高中数学概念教学研究及案例分析.pdf

学位论文独创性声明 fiil l lj i i i i i j l l l lj l l lr r l l i mpiiiijiiirlli y 2 6 12 8 9 7 本人承诺 所早交的学位论文是本人在导师指导 卜 所取得的研究成果 论文中除特别加以标注和 致谢的地方外 不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果 其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助 均己在论文中做了明确的卢明并表示谢意 学位论文作者签名 盔妇蛀 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留 使用学位论文的规定 及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘 允许论文被查阅和借阅 本文授权 辽宁师范大学 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索 可以采 用影印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编学位论文 并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致 保密的学位论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名 毒秀姆 指导教师签名 玉里堕 签名同期 趴f 午年孓月戤9 r 辽宁师范大学教育硕士专业学位论文 摘要 数学概念是高中数学知识系统的重要组成部分 理解并掌握高中数学概念是学好高 中数学知识的前提 因此 对高中数学概念教学的研究要给以足够重视 自新课程改革 以来 已有更多的人开始关注高中数学概念教学的研究 在国内外 有关高中数学概念 教学的理论研究已取得丰硕的成果 如概念同化教学模式 概念教学的七阶段模式 a p o s 概念教学理论模型和 学 做 用 等 但是 由于多种原因 在数学概念教学的实践 中 许多关于高中数学概念教学的理论成果仍然无法实施 在实际教学中 一些教师在 应试教育的影响下 只重视培养学生的解题能力 而忽视了数学概念的教学 一些教师 在传统的授课方式影响下 概念教学仍然采用满堂灌或填鸭式 学生依然是被动地接受 知识 体现不出其主体性 为此 笔者对高中数学概念教学进行了研究 本文首先介绍了国内外对数学概念教学研究的现状 接着阐述了数学概念的含义 又从高中数学概念教学是数学知识教学的基础 是发展学生思维培养学生数学能力的基 础的角度 给出了数学概念教学的意义 然后 介绍了相关的认知学习理论 并在布鲁 纳的 认知 发现说 奥苏贝尔的 有意义接受学习 理论和 认知同化 理论 的指导下 提出了适应新课程改革的数学概念教学策略 包括高中数学概念形成的教学 策略 高中数学概念深化的教学策略和高中数学概念巩固的教学策略 并给出了三个具 体的案例研究 即 函数的奇偶性 概念的教学设计 等比数列 概念的教学设计和 椭圆 概念的教学设计 试图通过案例研究 进一步说明如何应用数学概念教学的策 略进行高中数学概念的教学 由于个人能力有限 本文的研究还存在许多不足之处 有待进一步研究 关键词 数学概念 高中数学 数学教学 高中数学概念教学研究及案例分析 t h e t e a c h i n gr e s e a r c ha n dc a s ea n a l y s i sf o rh i g h s c h o o lm a t h e m a t i c c o n c e p t s a b s t r a c t m a t h e m a t i c sc o n c e p ti sa l l i m p o r t a n tp a r t o fh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c sk n o w l e d g e s y s t e m u n d e r s t a n da n dg r a s p t l l eh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c sc o n c e p ti st h ep r e m i s et os t u d y 恤 l l i g hs c h o o lm a t h e m a t i c sk n o w l e d g e t h e r e f o r e r e s e a r c ho ns e n i o rh i l g hs c h o o lm a t h e m a t i c s c o n c e p tt e a c h i n gs h o u l db eg i v e ne n o u g ha t t e n t i o n s i n c et h en e w c u r r i c u l u mr e f o r i l l m o r e p e o p l eb e g a n t of o c u so nh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c sc o n c e p tt e a c h i n g a th o m e a n d a b r o a d t h e o r e t i c a lm s e a r c ha b o u th i g hs c h o o l m a t h e m a t i c sc o n c e p tt e a c h i n gh a sa c h i e v e d f r u i t f u lr e s u l t s s u c ha st h ec o n c e p to ft e a c h i n gm o d e t e a c h i n gt h ec o n c e p to fa s s i m i l a t i o no f t h es e v e ns t a g em o d e lo fc o n c e p tt e a c h i n gt h e o r y a p o sm o d e la n d l e a r n d o e t c h o w e v e r d u et ov a r i o u sr e a s o n s i np r a c t i c et h et e a c h i n go fm a t h e m a t i c sc o n c e p t s m a n yo ft h eh i g h s c h o o lm a t h e m a t i c sc o n c e p t s t e a c h i n gt h e o r yi s s t i l ln o ti m p l e m e n t e d i na c t u a lt e a c h i n g s o m et e a c h e r si nt h ei m p a c to fe x a m i n a t i o no r i e n t e de d u c a t i o n o n l yp a ya t t e n t i o nt ot r a i n i n g t h es t u d e n t s a b i l i t yo fs o l v i n gp r o b l e m s w h i l ei g n o r i n g t h et e a c h i n go fm a t h e m a t i c s c o n c e p t s s o m et e a c h e r si nt h et r a d i t i o n a lt e a c h i n gm o d e c o n c e p tt e a c h i n gs t i l la d o p t st h e t r a d i t i o n a lo rc r a m m i n g s t u d e n t sa r es t i l lp a s s i v ea c c e p t a n c eo fk n o w l e d g e c a n n o tr e f l e c tt h e s u b j e c t i v i t y t h e r e f o r e t h ea u t h o rh a sc o n d u c t e d t h er e s e a r c ht ot h eh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c s c o n c e p t st e a c h i n g t h i sp a p e rf i r s ti n t r o d u c e st h es t a t u sq u oo fm a t h e m a t i c sc o n c e p tt e a c h i n g t h e n d i s c u s s e st h em e a n i n go fm a t h e m a t i c a lc o n c e p t s a n df r o mt h eh i g h s c h o o lm a t h e m a t i c s c o n c e p tt e a c h i n gi st h ef o u n d a t i o n t h et e a c h i n go fm a t h e m a t i c a lk n o w l e d g ei s t h eb a s i so f d e v e l o p i n gs t u d e n t s t h i n k i n ga n d t h ec u l t i v a t i o no fs t u d e n t s m a t h e m a t i c a la b i l i t yp e r s p e c t i v e g i v e st h em a t h e m a t i c a lc o n c e p t st e a c h i n gs i g n i f i c a n c e t h e n i n t r o d u c e dt h er e l a t e dc o g n i t i v e l e a r n i n gt h e o r y a n di nb r u n e r s c o g n i t i v e f o u n dt h a t a u s u b e l s m e a n i n g f u lr e c e p t i o n l e a r n i n g t h e o r ya n d a s s i m i l a t i o n u n d e r t h eg u i d a n c eo ft h et h e o r y p u tf o r w a r dt h e m a t h e m a t i c sc o n c e p tt e a c h i n gs t r a t e g yo ft h en e wc u r r i c u l u mr e f o r m i n c l u d i n gh i g hs c h o o l m a t h e m a t i c sc o n c e p tt e a c h i n gs t r a t e g y t h es e n i o rm a t h e m a t i c st od e e p e n t h et e a c h i n g s t r a t e g i e sa n dt h eh i g hs c h o o l m a t h e m a t i c sc o n c e p tt e a c h i n gs t r a t e g yt oc o n s o l i d a t e a n d p r e s e n t st h r e ec a s e s t u d i e s n a m e l y p a r i t y o f f u n c t i o n c o n c e p t o f t e a c h i n gd e s i g n g e o m e t r i cs e r i e s c o n c e p to ft e a c h i n gd e s i g na n d e l l i p t i c c o n c e p to ft e a c h i n gd e s i g n a t t e m p t st h r o u g ht h e c a s es t u d y t of u r t h e re x p l a i nh o wt o u s em a t h e m a t i c sc o n c e p t t e a c h i n gs t r a t e g yi ns e n i o rh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c sc o n c e p tt e a c h i n g 辽宁师范大学教育硕士专业学位论文 b e c a u s eo fp e r s o n a la b i l i t yi sl i m i t e d t h e r ea r es t i l lm a n yd e f i c i e n c i e si nt h i sr e s e a r c h f u r t h e rr e s e a r c h k e yw o r d s m a t h e m a t i cc o n c e p t s h i g h s c h o o lm a t h e m a t i c m a t h e m a t i c st e a c h i n g 高中数学概念教学研究及案例分析 目录 摘要 i a b s t r a c t i i 1 问题的提出 一l 1 1 研究背景及研究目的 1 1 1 1 研究背景 1 1 1 2 研究目的 2 1 2 国内外对数学概念教学的研究现状 2 1 2 1 国外研究现状 2 1 2 2 国内研究现状 2 1 3 研究设想及内容框架 一3 2 高中数学概念教学的相关理论概述与教学现状 5 2 1 数学概念概述 5 2 1 1 数学概念的含义 5 2 1 2 数学概念的内涵与外延 5 2 1 3 数学概念间的关系 5 2 2 高中数学概念教学概述 7 2 2 1 高中数学概念教学的含义 一7 2 2 2 高中数学概念教学的原则 8 2 2 3 高中数学概念教学应关注的要点 8 2 3 高中数学概念教学的意义 1 0 2 3 1 高中数学概念教学是数学教学的基础 1 0 2 3 2 高中数学概念教学是发展学生数学思维的基础 1 0 2 4 高中数学概念教学的现状 1 0 2 4 1 重解题 轻概念 1 0 2 4 2 重结论 轻过程 1 0 2 4 3 重讲授 轻探索 1l 3 高中数学概念教学与认知学习理论 1 2 3 1 高中数学概念教学与布鲁纳的 认知 发现说 1 2 3 1 1 发现学习理论 1 2 3 1 2 发现学习的特征 1 2 3 1 3 发现式教学法的步骤 1 2 辽宁师范大学教育硕士专业学位论文 3 2 高中数学概念教学与奥苏贝尔的 有意义接受学习 理论 1 3 3 2 1 有意义接受学习理论 1 3 3 2 2 有意义接受学习的特点 1 4 3 3 高中数学概念教学与奥苏贝尔的 认知同化 理论 1 5 3 3 1 认知同化理论 1 5 3 3 2 同化的方式 1 5 4 高中数学概念教学的基本策略 1 7 4 1 高中数学概念形成的教学策略 1 7 4 1 1 引入数学概念的策略 17 4 1 2 形成数学概念的策略 1 8 4 2 高中数学概念深化的教学策略 2 0 4 2 1 揭示数学概念的内涵和外延 2 0 4 2 2 揭示数学概念间的关系 2 0 4 3 高中数学概念巩固的教学策略 2 0 4 3 1 通过课堂例题与练习题巩固数学概念 2 0 4 3 2 通过课后作业巩固数学概念 2 1 4 3 3 通过课前复习巩固数学概念 2 2 5 高中数学概念教学的案例研究 2 3 5 1 函数的奇偶性 概念的教学设计 2 3 5 2 等比数列 概念的教学设计 2 7 5 3 椭圆 概念的教学设计 3 0 6 研究结论及存在的问题 3 4 6 1 研究结论 3 4 6 2 存在的问题 3 4 参考文献 3 5 致谢 3 6 辽宁师范大学教育硕士专业学位论文 1 问题的提出 1 1 研究背景及研究目的 1 1 1 研究背景 概念是认识的高级的产物 每一学科对概念都有着各自的理解 数学概念和数学命 题是数学知识体系的主要组成部分 而数学命题又是在数学概念的基础上推导出来的 因而数学概念是数学知识的根基 是构成各个数学知识系统的基本元素 是分析数学问 题和解决数学问题的基础 所以 在数学学科的学习过程中 只有掌握了数学概念 才 能更好地掌握其它数学知识 普通高中数学课程标准 实验 针对数学概念的教学提出 高中数学课程应该 返璞归真 努力揭示数学概念 法则 结论的发展过程和本质 在数学概念教学过程中 学生应该理解数学概念形成的过程 并掌握在这一过程中所蕴含的思想方法 使学生易 于接受枯燥难懂的数学知识 由此可以看出 数学概念己经成为高中数学中一项非常重 要的内容 是 双基 的核心内容 然而很多教师在应试教育的影响下 为了让学生拿 高分 只重视培养学生的解题能力 而忽视数学概念教学 因此造成数学概念和数学解 题的脱节 由于对概念的模糊不清 因此学生无法正确的理解和运用概念 从而严重影 响了学生数学学习的质量 新课程改革 提出的新教育理念 以学生为主体 以教师为主导 该理念已深 入人心 然而由于理解层次不同 导致了该理念的落实情况也不尽相同 许多教师在传 统的授课方式影响下 仍然采用满堂灌 使学生被动接受知识 用死记硬背的方法 背 概念 背性质 背公式 用题海战术加以强化 这种做法的结果是 在大多数学生的意 识中 数学学习主要就是解题 因此忽视数学概念 对数学概念不求甚解 导致了数学 概念认识不清和理解模糊 还有的学生死记硬背数学概念 对数学概念不能全面认识 学生无法做到知识的正迁移 无法将新知识和已有的旧知识联系起来 在为期半年的教育实践中我了解到 虽然大多数教师都知道概念的重要性 然而在 教学过程中 真正做到重视概念教学的却少之又少 由于教师对概念学习的不重视 导 致了学生轻概念重命题 重公式 而要想把握数学的知识系统 正确 合理 迅速地进 行运算和论证 必须要真正掌握了数学中的基本概念 因此对高中数学的概念教学研究 显得尤其重要 高中数学概念教学研究及案例分析 1 1 2 研究目的 通过对高中数学概念教学的研究 可以让我们对数学概念的相关知识有所了解 意 识到高中数学概念教学是发展学生数学思维的基础 重视高中数学概念的教学 能够在 数学概念教学过程中 根据具体的教学内容 教学条件和学生的认知水平 选取适当的 教学策略 1 2 国内外对数学概念教学的研究现状 1 2 1 国外研究现状 自2 0 世纪中叶开始 学习理论学家开始行积极探索学生在知识学习过程的特点和 规律 提出各种适于课堂教学的模式和方法 主要的学习理论有 布鲁纳的 认知 发现说 奥苏贝尔的 有意义言语学习理论 加涅的 认知学习理论 班杜拉的 社会学习理论 这些理论的主要特点是 1 研究对象是间接经验的学习过程 2 研究的重点是学生学习的认知过程 3 注重学 j 的内部条件的研究 l j 在相应的学习理论的指导下 教育专家和教育工作者经过实践研究 形成了一些关 于数学概念教学的模式主要有 1 概念同化教学模式 该模式教学过程简单明确 省时 省力 见效快 目前 对于概念教学 许多数学 教师依然在使用这种模式 该模式的基本操作步骤如下 1 给出数学概念的名称 定 义和符号 2 揭示出数学概念的内涵和外延 3 巩固数学概念 4 应用概念解决问题 2 概念教学的七阶段模式 张耀在其文章中指出 概念教学的七阶段模式包括 刺激阶段 辨析阶段 分化阶段 类化阶段 抽象阶段 验证阶段 概 括阶段 1 2 1 用该模式进行概念教学时 不是这七个阶段都必须要用到 要根据实际教 学内容而定 当数学概念教学较为复杂时 常常选用该模式 3 a p o s 概念教学理论模型 该模型的理论基础是建构主义 由杜宾斯基等人在数 学教学实践中发展起来的 张耀在其文章中指出 a p o s 概念教学理模型是基于建构主 义理论之上的 强调概念教学中学生要积极主动建构 并要经历以下四个阶段 主要经历 以下四个阶段 操作 a c t i o n 阶段 过程 p r o c e s s 阶段 对象 o b j e c t 阶段 概型 f s c h e m e 阶段 1 3 在我国 有很多教师对该模型还存在疑问 所以普及范围不大 1 2 2 国内研究现状 近年来 结合理论和教学实践 我国数学教师开始研究数学概念教学 为获得有效 的数学教学效果 顾泠沅老师等人经过长期的实验提出了变式教学理论 在数学概念教 辽宁师范大学教育硕士专业学位论文 学中 提出通过概念变式与非概念变式之间的异同来掌握数学概念的内涵和外延 实现 从多角度理解数学概念 汤炳兴老师在其文章中指出 提出在概念教学中 学数学 做数学 用数学 的想 法 其目的在于用建构主义的数学教学观指导数学概念教学 使学生的数学概念学习过 程变为 学数学 做数学 用数学 的过程 在学 做 用的过程中逐步形成相应的观 念 4 在概念教学过程中 通过创设情境 唤起学生学习兴趣 引导学生学习 这种 方式可以调动学生已有的相关知识经验 促使学生主动探索常识材料 曾国光老师总结了五条关于数学概念建构的教学策略 模型建构教学策略 活动建 构教学策略 演绎建构教学策略 类比建构教学策略 反思建构教学策略 刘雄老师结 合自身教学工作实践 提出从四个方面进行概念教学 1 从生活中感悟新概念 2 从 已有概念中类比新概念 3 从数学问题中引入新概念 4 动手实验探究新概念 可以看出 越来越多的人开始关注数学概念教学 并取得了一定的研究成果 但是 由于数学概念的产生背景不同 在数学中的地位也不同 而每个教师有着自己独特的教 学方式 学生的认知水平不同 接受能力也有强弱之分 因此 上述的研究成果并不能 普遍适用 为此 笔者希望通过本文的研究 能更深入地对数学概念教学进行探索 1 3 研究设想及内容框架 为提高数学概念教学效果 笔者根据自身的实践经验及查阅相关文献 在认知学习 理论的指导下 本文研究了高中数学概念教学的策略 主要有高中数学概念形成的教学 策略 高中数学概念深化的教学策略和高中数学概念巩固的教学策略 并给出了三个教 学案例 本文首先介绍数学概念的相关知识 包括数学概念的含义 数学概念的内涵与外延 以及数学概念之间的关系 然后介绍数学概念教学的相关知识 包括高中数学概念教学 的含义 教学原则 以及数学概念教学的意义和数学概念教学的现状 再给出与数学概 念教学有关的三个认知学习理论 布鲁纳的 认知 发现说 奥苏贝尔的 有意义 接受学习 和 认知同化 理论 在此基础上 给出高中数学概念教学的基本策略 在高中数学概念形成的教学策略中 分为引入数学概念的教学策略和形成数学概念的教 学策略 在高中数学概念深化的教学策略中 分为揭示数学概念的内涵与外延和揭示数 学概念间关系的策略 在高中数学概念巩固的教学策略中 包括通过课堂例题与练习题 巩固数学概念 通过课后作业巩固数学概念和通过课前复习巩固数学概念的策略 最后 高中数学概念教学研究及案例分析 结合高中数学教学案例 研究概念教学策略的应用问题 辽宁师范大学教育硕士专业学位论文 2 高中数学概念教学的相关理论概述与教学现状 2 1 数学概念概述 2 1 1 数学概念的含义 吴先芳和郭熙汉等人给出数学概念的定义 数学概念是现实世界空间形式和数量 关系及其本质属性在人们头脑中的反映 1 5 j 数学概念的产生与发展有着不同的途径 主要有 直接从事物的空间形式和数量关系中反映出来 例如自然数概念是从事物排 列的次序抽象概括得来 在抽象的概念的基础上经过多次复杂的抽象概括过程才产生 和发展而成 例如在有理数概念基础上产生了实数的概念 在实数概念的基础上产生了 复数的概念 根据理论上有存在的可能性而提出的 例如无穷小 从数学内部需要 产生出来的 例如为了使角度与实数实现一一对应引入了弧度制 2 1 2 数学概念的内涵与外延 数学概念的内涵是指数学概念所反映对象的共同的本质属性的总和 也就是说概念 的内涵是对概念对象质的反映 如 在 三角形 这一概念的内涵中 包含着所有三角形所共有的两个本质属性 不在同一直线上的三条线段 首尾顺次相接 又如 在 函数 这一概念的内涵中 包 含着所有函数所共有的三个本质属性 两个非空数集a b 某个对应法则 对于数集 a 中的任意一个元素x 在b 中都有唯一一个y 与之对应 数学概念的外延是指适合于某个概念的一切对象的范围 也就是说概念的外延是概 念反映对象量的方面 如椭圆 包括圆 双曲线 抛物线 这所有对象的全体 就是 圆锥曲线 这一概念的外延 2 1 3 数学概念间的关系 数学概念不是独立存在的 与其它数学概念总会存在一定的联系 只有了解了数学 概念之间的关系 才能更好地把握数学概念的内涵与外延 才能克服概念混淆的逻辑错 误 在高中数学中 常见的概念之间的关系主要有相容关系和相异关系 1 相容关系是指两个或两个以上概念的外延至少有一部分重合 比如 菱形 和 矩形 都具有 平行四边形 的性质 相容关系有三种 即同一关系 从属关系和相 交关系 高中数学概念教学研究及案例分析 同一关系是指两个或两个以上概念的外延完全相同 此时把这两个或两个以上 概念叫做同一概念 如 正三角形 与 等边三角形 用v e n n 图2 1 表示同一关系 其中封闭曲线表示概念的外延 a b 表示两个概念 图2 1 从属关系是指一个概念的外延被另一概念的外延完全包含 此时 把外延较大 的概念称为属概念 外延较小的概念称为种概念 例如 棱柱 和 直棱柱 这两个 概念是从属关系 棱柱 是属概念 直棱柱 是种概念 用v e n n 图2 2 表示从属 关系 其中封闭曲线表示概念的外延 a b 表示两个概念 图2 2 相交关系是指两个或两个以上概念的外延只有一部分是重合的 此时把这两个 或两个以上概念叫做相交概念 如 菱形 和 长方形 这两个概念就是相交关系 用 v e n n 图2 3 表示相交关系 其中封闭曲线表示概念的外延 a b 表示两个概念 图2 3 2 相异关系是指两个或两个以上概念的外延没有共同的部分 在相异关系中 常 见的有对立关系和矛盾关系 一6 一 辽宁师范大学教育硕士专业学位论文 对立关系是指两个或两个以上概念的外延不重合 且其外延相加的和小于其属 概念的外延 此时把这两个或两个以上概念叫做对立概念 例如 锐角三角形 和 直 角三角形 这两个概念就是对立关系 用v e n n 图2 4 表示对立关系 其中c 表示概念 的外延 a b 表示两个概念 图2 4 矛盾关系是指两个或两个以上概念的外延不重合 且其外延相加的和等于其属 概念的外延 此时把这两个或两个以上概念叫做矛盾概念 比如 实数 和 虚数 就 是矛盾概念 又如 椭圆 双曲线 和 抛物线 就是矛盾概念 用v e n n 图2 5 表示矛盾关系 其中封闭曲线表示圆锥曲线的外延 a b c 表示三个概念 2 2 高中数学概念教学概述 图2 5 2 2 1 高中数学概念教学的含义 邵光华和章建跃在其文章中给出高中数学概念教学的定义 高中数学概念教学是 指教师在分析数学概念特性的基础上 选择适当的素材 设计恰当的问题情境 使学生 在经历概念发生发展过程中 认识概念的不同特征 通过概念的运用训练 使学生掌握 根据具体问题的需要改变认识角度 反映概念不同特征的方法 进而有效地应用概念解 高中数学概念教学研究及案例分析 决问题 6 j 例如 椭圆的定义方法是发生式定义 在教学中应该让学生体验到椭圆的 形成过程 因此 可以先开展数学活动 让学生通过实践活动 总结概括出椭圆的定义 掌握椭圆的本质属性 进而能够应用椭圆的定义解决有关问题 2 2 2 高中数学概念教学的原则 数学概念教学是在数学教育学 教育心理学 教学实践共同作用下的进行的 所以 在数学概念教学过程中 应遵循共有的原则 1 循序渐进原则 数学有着自身的逻辑系统 不同阶段学生的认知发展水平也不 同 因此 在高中数学概念教学中 应遵循循序渐进的原则 如果数学概念的内涵比较 丰富 外延比较广泛的话 应该分层次 循序渐进 逐步加深提高 要避免一步到位 例如 三角函数的定义 经历了 直角三角形内的定义j 锐角的坐标法定义专o 2 7 c 间 三角函数定义专任意角的三角函数定义 四个层次 最终成为 从一个角的集合到一个 比值的集合的映射 的过程 2 启发性原则 新知识与学生已有的旧知识存在着一定的联系 对于新问题 可 以启发学生用旧知识来分析 调动学生学习的积极性 培养学生的自主学习的能力 例 如 在 等比数列 这一概念的教学中 可以从等差数列这一概念引入 类比等差数 列的定义得到等比数列的定义 3 过程原则 在数学概念教学中 应让学生体会思维过程 在这一过程中 要想 使学生从表象理解数学概念到深入到数学概念的本质 可以通过设问 设疑 设错等教 学手段 培养学生辩证地分析问题 找出错误的原因 进而达到目的 例如 在 椭圆 这一概念教学中 要想真正掌握椭圆的本质 对于胛l 踞 2 a 2 a l f l f 2 1 可以提出疑 问 让学生思考 当2 a l f f 2 i 或2 a l f i r i 时 动点的轨迹是什么 2 2 3 高中数学概念教学应关注的要点 数学概念教学要让学生掌握数学概念的定义 符号表示 外延和内涵 以及数学概 念之间的相互关系 能够应数学概念来解决实际数学问题 因此 对与数学概念教学应 重视以下几方面 1 重视数学概念的来源 不同的数学概念产生的背景各有不同 有的来源于实际生活和生产 有的为了满足 数学内部的需要而直接规定 在数学概教学中 指出数学概念产生的背景 能够帮助学 生更好地理解并掌握数学概念 因此 对数学概念的来源应该加以重视 辽宁师范大学教育硕士专业学位论文 来源于从实际生活和生产 在高中数学中 虽然有些数学概念很抽象 但是它们 是为了解决实际问题而引入的 例如 函数的引入 为了解决不规则图形面积的求法而 引入了积分 来源数学内部需要 在高中数学中 有些概念是为了满足数学内部的需要而直接 规定 例如 为了使角度与实数实现一一对应引入了弧度制 2 重视数学概念的引入 在高中数学中 许多数学概念是比较抽象 难于理解的 而在学习并掌握数学概念 的过程中 同时可以培养学生的数学思维和数学思想方法 在数学概念的教学过程中 如果想要降低学生的学习难度 教师可以通过创设问题情景 使学生由感性认识过渡到 理性认识 并引导学生将新知识与原有的旧知识建立起实质性的联系 因此 对数学概 念的引入应该加以重视 3 揭示数学概念的内涵和外延 数学概念的定义揭示了概念的内涵 是一个简炼的语句 包含了对象所共同具有的 本质属性 要想使学生应理解和掌握概念的本质属性 在概念教学中 要用不同的方法 来揭示 例如 在双曲线的教学中 教师要明确双曲线概念的两个本质属性 i m f i m f z 2 a 口是常数 2 a 2 c 在教学过程中 为了说明 2 a 2 c 时是什么样的情况 数学概念的外延是指适合于某个概念的一切对象的范围 具有层次性 例如 整 数 分数 o 由锐角三角函数的定义知 s i n a y r c s o c i x t a n c z y x y形 o x mx 图3 4 在此基础上 利用直角坐标系把锐角三角函数推广到任意角的三角函数 即在直角坐标 系中 以原点0 为顶点 x 轴正半轴为始边 a x 力是0 的终边上任意一点 则定义 y r 叫做角0 的正弦 记作s i n 仅 即s i n t y r i x 叫做角仪的余弦 记作c o s 0 即c s 仅 i x y x 叫做角0 c 的正切 i 己作t a n c t 即t a n t y x 3 3 高中数学概念教学与奥苏贝尔的 认知同化 理论 3 3 1 认知同化理论 同化理论的核心是 学生能否获得新知识 主要取决于学生个体的认知结构中是否 已有相关的概念 3 3 2 同化的方式 根据新旧观念的概括水平及其联系方式的不同 奥苏贝尔提出三种同化方式 1 下位学习又称为类属学习 下位学习分为派生类属过程和相关类属过程 派 生类属过程 是指新知识是学习者认知结构中原有观念的一个特例或例证 在这种派生 高中数学概念教学研究及案例分析 类属学习中 新知识纳入到原有的旧知识中 原有的概念或命题得到进一步说明 本质 不变 8 例如 等差数列是数列的一个特例 它具有数列的本质属性 同时又具有其 它数列所没有的性质 这个学习过程就是派生类属过程 在相关类属过程中 新知识 与学习者认知结构中原有观念同属于一个具有较高概括性的观念之中 原有观念得到扩 展 新知识也获得意义 9 1 例如 学习集合的交集运算后 学习集合的并集运算 就 是相关类属过程 因为 交集和并集都是集合的运算 学生掌握并集的同时 也扩展了 集合的运算 2 上位学习 是指新知识能够包含一系列已有观念而获得意义 例如 先学习了 实数 然后将数系扩充到复数系 这个复数的学习过程就是上位学习 3 组合学习 当新知识与学生认知结构中已有观念既不产生下位学习 又不产 生上位学习时 这时称为组合学习 i o l 例如 学习直线与平面平行后 学习直线与 平面垂直 直线与平面垂直既不是直线与平面平行一个特例或例证 也不包含直线与平 面平行 因此 这个学习过程就是组合学习 1 6 辽宁师范大学教育硕士专业学位论文 4 高中数学概念教学的基本策略 4 1 高中数学概念形成的教学策略 4 1 1 引入数学概念的策略 普通高中数学课程标准 实验 中指出 在数学概念教学中 学生不应该只是 单纯的接受 记忆概念 还应该经历从具体的实例抽象出数学概念的过程 要想达到这 一目标 在数学概念教学中 应该为学生创造一个好的问题情景 从而引入数学概念 因为 每一个数学概念的产生背景都各有不同 因此 不同的数学概念有不同的引入方 法 常用的方法有 1 以数学史引入 在以提高分数为数学教学的主要目的时 教师将大部分时间都用在了对学生解题能 力的培养上 以至于大部分学生失去了对于数学学科的兴趣 在高中数学学习中 大多 数学生都是背概念 背定理 背性质 背公式 背题型 而对于数学的发展史和古今中 外的数学家却知之甚少 因此 在数学概念教学中 可以引入一些与之有关的数学家或 数学故事 这样既可以激发学生的数学学习兴趣 达到教学目标 又可以鼓励学生勇于 探索和创新 同时还能向学生渗透数学发展史 增加学生的课外阅读兴趣 例如 在 集 合 这一概念的教学中 可以向学生讲一讲数学家康托的事迹 在讲平面解析几何时 可以讲一讲数学家笛卡尔 在讲概率论时 可以讲一讲概率的起源问题 2 用实际问题引入 高中数学中许多概念来源于生活实际 因此在数学概念教学时 应该与学生的生活 实际紧密相连 通过实际问题引入数学概念教学 可以把抽象的数学概念直观化 易于 学生理解并接受 还可以改变学生认为数学知识与实际生活无关的错误意识 同时能够 增加学生的数学应用意识 例如 在 映射 的定义中 某种对应法则厂 对于学生 来说是抽象的 难以理解的 因此 在 映射 这一概念的教学中 可以先举出同学们 在生活中遇到的两个集合之间元素存在依赖关系的例子 比如 在一个班级中 学生 的姓名和学号之间的关系 走进考场时 考号与座位的关系 3 通过数学活动探究引入 数学概念教学中 如果直接给出概念的定义让学生记忆 学生会感到困难 但对某 些数学概念 如果让学生先动手操作 然后观察总结概括得到数学概念的定义 那么只 需要很短的时间就能够记住该数学概念的定义 因此 对于某些数学概念 如果条件允 许 操作难度不是很大的情况下 在教学过程中 可以先开展数学活动 让学生通过实 高中数学概念教学研究及案例分析 践活动 总结概括出数学概念的定义 这样做 可以提高学生的数学学习兴趣 同时还 有利于培养学生多动手 勤思考的意识 例如 在 椭圆 这一概念教学中 让学生准 备纸版 图钉和绳子等工具 用两个图钉将一条长为2 a 厘米的绳子两端固定在纸板上 绳子的长度要大于两个图钉之间的距离 用铅笔把绳子拉紧 使笔尖在纸上移动 观察 笔尖画出的图形 如图4 1 点p 表示笔尖 f l f 2 表示两个图钉 i p f i p f 2 i 表示绳子 的长度 观察这个过程 最后得出椭圆的概念 图4 1 4 类比已有概念引入 在高中数学概念教学中 有许多数学概念之间具有相似的性质 此时运用类比的方 法进行教学就容易取得较好的教学效果 例如 在 等比数列 这一概念的教学中 可以类比等差数列 由等差数列的定义类比得到等比数列的定义 5 因数学内部需要引入 在高中数学中 有些数学概念是因为数学的内部需要而引入的 对于这样的概念 在教学中 应该先说明概念的由来 是为了解决什么问题而引入的 例如 为了使角度 与实数实现一一对应引入了弧度制 4 1 2 形成数学概念的策略 通过数学概念的引入 使得学生对数学概念有了初步的认识 此时 还无法揭示出 数学概念的本质属性 因此 需要在数学概念引入的基础上 通过观察 分析 概括出 数学概念的本质属性 从而形成数学概念 并给数学概念下定义 给出其符号表示 例 1 111 如 在等比数列的教学过程中 给出两组数列2 4 8 1 6 3 2 6 4 互1 言 专 壶 1 者 类比等差数列的学习方法 学生经过观察会发现 第一个数列 相邻两项之间都 1 是2 倍的关系 第二个数列 相邻两项之间都是音倍的关系 进而能够概括出这类数列 的本质属性 形成 等比数列 这个概念 并给出其定义及符号表示 一1 8 辽宁师范大学教育硕士专业学位论文 1 讲清数学概念的定义 数学概念的定义一般是用准确而精练的数学语言来描述的 有两种语言 即文字语 言和符号语言 有的数学概念只用其中一种语言 有的二者兼而有之 数学概念的定义 的方式主要有三种 属加种差定义 发生式定义和约定式定义 为了满足数学内部需要 而规定的定义 数学概念教学的目的是使学生理解 掌握进而能够灵活应用数学概念 揭示数学概念定义的本质特征 对于用属加种差定义的数学概念 应该明确指 出何为属 何为种差 例如 在多面体的定义中 属是指 几何体 种差是指 由若 干个平面多边形围成的 多面体 是被定义者 在教学过程中 应重点强调种差 对于用发生式定义的数学概念 应揭示概念的发生过程 例如 圆台是直角梯形绕着其 垂直于底边的腰所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 指出数学概念定义中的关键字词 在数学概念的定义中 有些字词看似不起眼 经常被忽略 然后这些字词往往是数学概念定义的关键 如果把握不好这些关键词 就 会出现学生对概念认识模糊 做题时容易出现疏漏 例如 在椭圆的定义中 关键词有 两个定点 和 定长 大于i l 尼i 在教学过程中 可以让学生思考 如果两个图钉不是 固定的 会出现什么情况 等于 f l r l 会出现什么情况 小于i f f 2 1 会出现什么情况 经 过思考讨论 学生对椭圆的理解就比较深刻了 应明确表示概念的符号含义 许多数学概念常常用符号来表示 这是数学的一 大特点 它清晰 简洁 明了 能够直观地表达出文字语言 使用比较广泛 由于符号 的抽象性 学生很难理解符号的意义 主要是死记硬背 因此 在使用时常常出错 在 教学中 教师可以把符号产生的背景 发展过程 历史意义以及现实价值告诉学生 以 便学生更易接受 2 通过举正反例巩固数学概念 要想真正掌握数学概念 正反例子是少不了的 可以先举出一些正例 以方便学生从例子概括出概念的共同特征 举出反例 可以让学 生意识到易忽略或容易理解错误的地方 以便加深学生对概念本质的认识 例如在 指 1 数函数 这一概念教学中 先举出几个正例 y 2 y 去 y 1 6 在举出反例 z y 3 2 y 2 h y 一2 高中数学概念教学研究及案例分析 4 2 高中数学概念深化的教学策略 数学概念的形成是一个由特殊到 般的抽象过程 而数学概念的深化是一个对数学 概念理解并掌握的过程 理解数学概念是认识数学概念本质属性的一种思维活动 在这 个过程中 教师应该帮助学生掌握数学概念的定义和性质 并引导学生思考 开拓思维 4 2 1 揭示数学概念的内涵和外延 数学概念的定义揭示了概念的内涵 是一个简炼的语句 包含了对象所共同具有的 本质属性 要想使学生应理解和掌握概念的本质属性 在概念教学中 要用不同的方法 来揭示 例如 在双曲线的教学中 教师要明确双曲线概念的两个本质属性 朋l 一鹏l 2 口如是常数 2 a 2 c 2 c l f l f z l 在教学过程中 为了说明 2 a 2 c 时是什么样的情况 数学概念的外延是指适合于某个概念的一切对象的范围 例如 正棱柱 直棱柱 棱柱 要想揭示概念的外延 就要研究概念所反映对象的全体 例如 学习直线与平面 的位置关系时 包括直线在平面内 直线与平面平行和直线与平面相交 4 2 2 揭示数学概念间的关系 在数学概念中 每个概念都不是独立存在的 总会与其它数学概念存在着一定的联 系 例如 直棱柱与棱柱是从属关系 直棱柱与斜棱柱是矛盾关系 正棱柱与斜棱柱是 对立关系 了解了数学概念之间的关系 才能更好地把握数学概念的内涵与外延 克服 概念混淆的逻辑错误 4 3 高中数学概念巩固的教学策略 数学概念具有高度的抽象性 如果掌握数学概念后 没有及时进行巩固练习 那么 就会出现 课堂上好似听懂了 下课后却无法独立做题 头脑中对数学概念理解模糊 因此数学概念巩固是十分重要的 可以通过课堂例题与练习题和课后作业以及课前复习 来达到对于数学概念的巩固 4 3 1 通过课堂例题与练习题巩固数学概念 掌握数学概念后 要给出典型的例题 并配以相应的练习题 在教学过程中 例题 的解题步骤 教师需要板演 为学生提供一个一个规范的解题步骤 例如 由奇函数和 偶函数的定义可以知道 如果一个函数是奇函数或者偶函数必须满足 该函数的定义域 一定要关于原点对称 对于这个前提 学生往往容易忽略 只记住第二个条件 厂 口x 堂堇奎堂塾宣堡主童些兰垡壑 口厂 或g 口x 2g 因此 对于这两个条件 需给出相应的例题 并给出规范的解题 步骤 例如 例1 判断下列函数是否具有奇偶性 1 厂 x x x 3 x 5 3 厂 x x 1 练习 判断下列函数是否具有奇偶性 2 f x x 2 i 1 4 厂 x x 2 x 1 3 1 厂 x x x 3 2 厂 x 工2 4 g x x x 1 5 西1 3 办 z x 派 6 而1 x 1 2 x l 1 4 3 2 通过课后作业巩固数学概念 课堂时间有限 在课堂上又不能把大部分精力放在数学概念的学习上 因此 课后 一定要布置与数学概念有关的作业题 只有