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高高高一年级数学培优教材 第一讲 函数的性质一、 基本性质：1. 函数图像的对称性（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意，都有成立；偶函数的图像关于轴对称，对于任意，都有成立。（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线对称。 若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线对称。（3） 若函数满足，则的图像就关于直线对称；若函数满足，则的图像就关于点对称。（4） 互对称知识：函数的图像关于直线对称。2函数的单调性 函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性） 特别提示：函数的图像和单调区间。3函数的周期性 对于函数，若存在一个非零常数，使得当为定义域中的每一个值时，都有成立，则称是周期函数，称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。（1） 若是的周期，那么也是它的周期。（2） 若是周期为的函数，则是周期为的周期函数。（3） 若函数的图像关于直线对称，则是周期为的函数。（4） 若函数满足，则是周期为的函数。4高斯函数对于任意实数，我们记不超过的最大整数为，通常称函数为取整函数。又称高斯函数。又记，则函数称为小数部分函数，它表示的是的小数部分。高斯函数的常用性质：（1） 对任意 （2） 对任意，函数的值域为（3） 高斯函数是一个不减函数，即对于任意（4） 若，后一个式子表明是周期为1的函数。（5） 若 （6） 若二、综合应用例1：设是r上的奇函数，求的值。例2：设都是定义在r上的奇函数，在区间上的最大值为5，求上的最小值。例3：已知_例4：设均为实数，试求当变化时，函数的最小值。例5：解方程：（1） （2）例6：已知定义在r上的函数满足，当，；（1） 求证：为奇函数； （2）求在上的最值；（3）当不等式恒成立，求实数的取值范围。例7：证明：对于一切大于1的自然数，恒有例8：设是定义在z上的一个实值函数，满足，求证：是周期为4的周期函数。 例9：给定实数，定义为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的序号是 （ ）例10：求方程的实根个数。三、 强化训练：1. 已知（a、b为实数），且，求的值。2. 若方程有唯一解，求a的所有取值。3. 已知函数定义在非负整数集上，且对任意正整数x，都有。若，求的值。4. 函数定义在实数集r上，且对一切实数x满足等式设的一个根是，记中的根的个数是n，求n的最小值。5. 若函数的图像关于直线对称，且关于点对称，求证是周期函数。6. 求数列的最小项，其中7. 已知的解集为，解不等式8. 设是定义在上的增函数，对任意，满足。（1）求证：当（2）若，解不等式9. 已知，求满足的的值。10. 求和：参考答案：例1：周期为4，例2：记，则为奇函数。在上的最小值为-1.例3：在上为增函数，例4：，换元后研究函数的单调性当时；当时例5：（1）构造，利用单调性得：（2） 构造递增函数，利用解得：例6：（2） （3）例7：构造，证明是递增数列，故例8：令得例9：例10： （1）当时，代入原方程解得 （2）当时（矛盾） （3）当时 （4）当时强化训练：1 3234 4015 略6 最小项为789 时；时10 第二讲 二次函数二、 基础知识：1 二次函数的解析式（1）一般式：（2）顶点式：，顶点为（3）两根式：（4）三点式：2二次函数的图像和性质（1）的图像是一条抛物线，顶点坐标是，对称轴方程为，开口与有关。（2）单调性：当时，在上为减函数，在上为增函数；时相反。（3）奇偶性：当时，为偶函数；若对恒成立，则为的对称轴。（4）最值：当时，的最值为，当时，的最值可从中选取；当时，的最值可从中选取。常依轴与区间的位置分类讨论。3三个二次之间的关联及根的分布理论：二次方程的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。三、 综合应用：例1：已知二次函数的图像经过三点，求的解析式。例2：已知，若时，恒成立，求的取值范围。例3：集合，若，求实数的取值范围。例4：设满足条件：（1）当时，（2）当， （3）在r上的最小值为0。求的解析式；求最大的使得存在，只要就有。例5：求实数的取值范围，使得对于任意实数和任意实数，恒有。例6：已知函数，方程的两根是，又若，试比较的大小。例7：设,方程的两个根满足，（1）当时，证明；（2）设的图像关于直线对称，证明四、 强化训练：1 二次函数满足，且又两个实根，则等于（ ）a . 0 b 3 c. 6 d. 122已知，并且是方程的两根，则实数的大小关系可能是（ ） 3已知函数上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ）4设函数，若则的值的符号是_5已知对于一切实数都成立，则_6已知的值域是r，则实数的取值范围是_7函数的递增区间为，则实数的值是_8设实数满足，则实数_9若函数在区间上的最大值为，最小值为，求区间。10设,方程的两个根，若，设的对称轴为，求证11已知，求的最小值的表达式，并求的最大值。12是否存在二次函数，同时满足： （1）； （2）对于一切都有？若存在，写出满足条件的函数的解析式；若不存在，说明理由。13设,当时，求证：适合的最小实数a的值为8。14若，求证：方程，（1）有两个异号实根；（2）正根必小于，负根必大于参考答案：例1：例2： ； 其中例3：，例4：（1）由得：；（2）结合图像可以知道：为方程的两根，从而例5：设，原不等式化为：恒成立记，则 ， ， 例6：提示： 例7：方法同例6，本题使97年全国高考理可题。强化训练：1c 2. a 3. c 4. 正 5. 6. 7. 8. 9分析对称轴：（1）， （2）无解（3）10构造可以推出结论。11同例2解法1213，所以a的最小值为814略福鼎一中高一年段数学培优教材 高一数学备课组第三讲 三角恒等变换一、 基础知识：1 三角的恒等变化：要注意公式间的内在联系和特点，审题时要善于观察差异，寻找联系，实现转化；要熟悉公式的正用和、逆用和变形应用。化简三角函数式可以采用“切化弦”来减少函数种类，采用“配方法”和“降次公式”来逐步降低各项次数，并设法去分母、去根号、利用特殊值来向目标靠拢。 2 常见的变形公式： 3 通过对角的变换推出万能公式和半角公式以及和差与积的互化公式。如常见的角的拆并有等二、 综合应用：例1：已知角的终边上一点，则的弧度数为_ 已知，则_ 函数的最大值是_ 化简_例2：已知，求的取值范围。例3：求的值。例4：已知其中是适合的常数，试问取何值时，的值恒为定值？例5：求值：例6：已知；（1）求证：；（2）求的最大值，并求当取得最大值时的值。例7：已知，且，求证：例8：已知当时，不等式恒成立，求的取值范围。三、 强化练习：1.若角满足条件，则在（ ）a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限2.以下命题正确的是( )（a）都是第一象限角，若，则 （b）都是第二象限角，若，则 （c）都是第三象限角，若，则 （d）都是第四象限角，若，则3.若，则等于 （a） （b） （c） （d）4.在（0，）内，使成立的的取值范围是 （a）（，） （b）（，） （c）（，） （d）（，）5.设是一个钝角三角形的两个锐角，则下列四个不等式中不正确的是 （a） （b） （c） （d）6.已知，则的值为( ) a0 b1 c. d以上都不对7.在abc中，已知a、b、c成等差数列，则_8.已知点p(，tan)在第一象限，则在0，2)内的取值范围是_9.的值为 10.已知，求的值。11.已知cos(-)=,sin(-)= ,0,求cos(+)之值.12.求值：13.是否存在锐角，使得；同时成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。参考答案：例1：; ; ; 例2：法1：法2：例3：多种方法。（构造对偶式）设例4：恒为定值，考虑到（提示：本题也可以用赋值法：令）例5：1 （本题要总结公式 例6：（2）例7：例8：令则，令则 故原不等式化为强化练习： 1. b 2. d 3. c 4. c 5. d 6. a 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 存在福鼎一中高一年段数学培优教材 高一数学备课组第四讲 三角函数四、 基础知识：1 函数的对称轴方程为，对称中心坐标是；的对称轴方程为，对称中心坐标是的对称中心坐标是，它不是轴对称图形。2 求三角函数最值的常用方法： 通过适当的三角变换，把所求的三角式化为的形式，再利用正弦函数的有界性求其最值。 把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题。 对于某些分式型的含三角函数的式子的最值问题（如）可利用正弦函数的有界性来求。 利用函数的单调性求。五、 综合应用：1 已知函数是以5为最小正周期的奇函数，且，则对锐角，当时，_2 已知则的最大值是_3 函数取最小值的的集合为_4 函数的最大值和最小值的和为_.5 函数的最大值为_6 函数的最大值是_7 函数有最大值2，最小值，求的最小正周期。8 已知函数的定义域是，值域是，求的值。9 已知函数的图象关于直线对称，求的值。10 已知是常数，且的最小正周期为2，并且当时，取最大值为2。 （1）求表达式； （2）在区间上是否存在的图象的对称轴？若存在，求出其方程；若不存在，说明理由。11 已知函数是r上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值。12已知定义在区间上的函数的图象关于直线xyo-1对称，当时，函数，其图象如图所示.（1）求函数在的表达式；（2）求方程的解.三、强化训练：1有四个函数，其中周期为，且在上是增函数的函数个数是（ ） 2设函数（为实常数）在区间上的最小值是,则的值是（ ） 3的图像中一条对称轴方程是（ ）4定义在r上的偶函数f(x)满足f(x) = f (x+2)，当x3，4时，f(x) = x2，则（ ）af (sin) f (cos) cf (sin1) f (cos)5将函数y=f(x)sinx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴对称的曲线，得到函数 y=12sin2x, 则f(x)是 （ ） acosx b2cosxcsinxd2sinx 6曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依 次记为p1，p2，p3，则|p2p4|等于 （ ） a b2 c3 d47设，恒有成立，且，则实数m的值为 a b c1或3 d3或18使函数是奇函数，且在上是减函数的的一个值是_9已知函数的最大值为，其最小正周期为。（）求实数a与的值。（）写出曲线的对称轴方程及其对称中心的坐标。参考答案：例1：例2： 2例3：例4：例5：1例6：例7：例8：或例9：例10：（1） （2）的对称方程为，由 故存在。例11：03高考天津卷例12：（1）当时，当时 强化练习：1 c 2 c 3 c 4 c 5 b 6. a 7. d8. 9. （1） 。y的最小正周期t=。 =1。， a=1。（2）由（）知a=1，=1，。曲线y=f(x)的对称轴方程为。对称中心的坐标为。福鼎一中高一年段数学培优教材 高一数学备课组第五讲 平面向量（1）六、 基础知识：1向量的运算： 加法：设则 减法：设则 实数与向量的积： 向量与的关系； 设则 向量的数量积： 是与的夹角）； 设则2向量的关系： 不等关系： （注意等号的条件） 设 则 3平面向量的基本定理：如果是同一平面内的不共线向量，那么对于这个平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。 相关结论：如果是同一平面内的不共线向量，且，则 点o、a、b、c在同一平面内，a、b、c共线的充要条件是：4常用公式： 中，m为bc边的中点，g为重心， 则七、 综合应用：例1：求证：三角形的三条中线交于一点。例2：设外心为o，取点m，使，求证m是的垂心，且此三角形的外心、垂心、重心在一条直线上。例3：在三角形abc中，点m分所成的比为2，点n分所成的比为，设线段cm和bn交于点p，直线ap和bc的交点为q，且，用表示例4：已知o为内一点，设且，试用表示。例5：（1）已知三个顶点a、b、c及平面内一点p，若，则点p在（ ）a 内部 b 外部 c 在直线ab上 d 在直线ac上（2）o是平面上一 定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p满足 则p的轨迹一定通过abc的（ ）a外心b内心c重心d垂心（3）在四边形abcd中，设，若，则该四边形一定是（ ） a 矩形 b 正方形 c 菱形 d等腰梯形三、强化训练：1 已知a、b、c三点在同一直线上，o在直线外，且存在实数，使成立，求点c分所成的比及的值。2 若p分有向线段所成的比为，则有。3 已知，当为何值时：（1）与平行？平行时是否同向？（2）与垂直？4如图，在平行四边形abcd中,设以为基底表示5 设o为内一点，且满足，求6中，m是ab的中点，e是cm的中点，延长ae交bc于f，作mhaf，求证：bh= hf =fc。7如图，在平面斜坐标系，平面上任一点p关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与x轴y轴同方向的单位向量，则p点斜坐标为.若p点斜坐标为（2，2），求p到o的距离|po|；8已知向量的对应关系用表示。（1）证明：对任意向量及常数，恒有成立； （2）设，求向量的 坐标。 （3）求使为常数)的向量的坐标。参考答案：例1：略例2：三点共线。说明：外心为o，取点m，使成立的充要条件是 m为的垂心abco例3：例4： 如图建立直角坐标系： 设 例5：（1）d （2）b （3）a 强化练习：1 2略3（1）反向（2）45 367（2）（3）福鼎一中高一年段数学培优教材 高一数学备课组第六讲 平面向量（2）例1：（1）点p是的外心，且，则角c的大小为_（2）在中，其中g为的重心，则的形状是_（3）设的外心为o，h是它的垂心，求证：（4）已知o为所在平面内的一点，且满足，求证：点o是的垂心。（5）o为所在平面内的一点，则o为的垂心的充要条件是：例2：已知向量，且与之间有关系式：，其中k0 （1）证明： ；（2）试用k表示 例3：已知平面上的三个向量的模均为，它们相互之间的夹角都是，（1） 求证：（2）若，求的取值范围。例4：已知向量，存在实数，使得向量且，（1）试将表示为得函数；（2）求得最小值。例5已知向量 （1）向量是否共线？（2）求函数的最大值。例6：在rtabc中，已知， bc=a，若长为2a的线段pq以点a为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.强化训练：1已知满足，则的形状是（ ）a 等边三角形