初中数学竞赛分专题训练试题及解析【共10套】【整理版】.doc

1 初中数学竞赛专项训练 初中数学竞赛专项训练 1 实 数 一 选择题 1 如果自然数a是一个完全平方数 那么与 a之差最小且比a 大的一个完全平方数是 A a 1B a2 1C a2 2a 1D a 2a 1 2 在全体实数中引进一种新运算 其规定如下 对任意实数a b 有a b a b b 1 对任意实数a 有 a 2 a a 当x 2 时 3 x 2 2 x 1 的值为 A 34B 16C 12D 6 3 已知 n 是奇数 m 是偶数 方程 myx ny 2811 2004 有整数解 x0 y0 则 A x0 y0均为偶数B x0 y0均为奇数 C x0是偶数 y0是奇数D x0是奇数 y0是偶数 4 设 a b c d 都是非零实数 则四个数 ab ac bd cd A 都是正数B 都是负数C 两正两负D 一正三负或一负三正 5 满足等式2003200320032003 xyxyxyyx的正整数对的个数是 A 1B 2C 3D 4 6 已知 p q 均为质数 且满足 5p2 3q 59 由以 p 3 1 p q 2p q 4 为边长的三角形是 A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等腰三角形 7 一个六位数 如果它的前三位数码与后三位数码完全相同 顺序也相同 由此六位数可以被 整除 A 111B 1000C 1001D 1111 8 在 1 2 3 100 个自然数中 能被 2 3 4 整除的数的个数共 个 A 4B 6C 8D 16 二 填空题 1 若 2001 1 1981 1 1980 1 1 S 则 S 的整数部分是 2 M 是个位数字不为零的两位数 将 M 的个位数字与十位数字互换后 得另一个两位数 N 若 M N 2 恰是某正整数的立方 则这样的数共 个 3 已知正整数 a b 之差为 120 它们的最小公倍数是其最大公约数的 105 倍 那么 a b 中较大的数是 4 设 m 是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数 则 m 5 满足 19982 m2 19972 n2 0 m n 1998 的整数对 m n 共有 个 6 已知 x 为正整数 y 和 z 均为素数 且满足 zyx yzx 111 则 x 的值是 三 解答题 1 试求出这样四位数 它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方 恰好等于这个四位 数 3 2 从 1 2 3 4 205 共 205 个正整数中 最多能取出多少个数使得对于取出来的数中的任意三个数 a b c a b c 都有 ab c 3 已知方程03246 22 nnxx的根都是整数 求整数 n 的值 4 4 设有编号为 1 2 3 100 的 100 盏电灯 各有接线开关控制着 开始时 它们都是关闭状态 现 有 100 个学生 第 1 个学生进来时 凡号码是 1 的倍数的开关拉了一下 接着第二个学生进来 由号 码是 2 的倍数的开关拉一下 第 n 个 n 100 学生进来 凡号码是 n 的倍数的开关拉一下 如此下 去 最后一个学生进来 把编号能被 100 整除的电灯上的开关拉了一下 这样做过之后 请问哪些灯 还亮着 5 若勾股数组中 弦与股的差为 1 证明这样的勾股数组可表示为如下形式 1222212 22 aaaaa 其中a为正整数 5 初中数学竞赛专项训练 初中数学竞赛专项训练 2 代数式 恒等式 恒等变形 一 选择题 下面各题的选项中 只有一项是正确的 请将正确选项的代号填在括号内 1 某商店经销一批衬衣 进价为每件 m 元 零售价比进价高 a 后因市场的变化 该店把零售价调整为 原来零售价的 b 出售 那么调价后每件衬衣的零售价是 A m 1 a 1 b 元B m a 1 b 元 C m 1 a b 元D m 1 a b 元 2 如果 a b c 是非零实数 且 a b c 0 那么 abc abc c c b b a a 的所有可能的值为 A 0B 1 或 1C 2 或 2D 0 或 2 3 在 ABC 中 a b c 分别为角 A B C 的对边 若 B 60 则 bc a ba c 的值为 A 2 1 B 2 2 C 1D 2 4 设 a b 0 a2 b2 4ab 则 ba ba 的值为 A 3B 6C 2D 3 5 已知 a 1999x 2000 b 1999x 2001 c 1999x 2002 则多项式 a2 b2 c2 ab bc ca 的值为 A 0B 1C 2D 3 6 设 a b c 为实数 2 2 6 2 3 2 222 aczcbybax 则 x y z 中 至少有 一个值 A 大于 0B 等于 0C 不大于 0D 小于 0 7 已知 abc 0 且 a b c 0 则代数式 ab c ca b bc a 222 的值是 A 3B 2C 1D 0 8 若1364983 22 yxyxyxM x y 是实数 则 M 的值一定是 A 正数B 负数C 零D 整数 二 填空题 1 某商品的标价比成本高 p 当该商品降价出售时 为了不亏损成本 售价的折扣 即降价的百分数 不得超过 d 则 d 可用 p 表示为 c A BC a b 6 2 已知 1 a 0 化简4 1 4 1 22 a a a a得 3 已知实数 z y z 满足 x y 5 及 z2 xy y 9 则 x 2y 3z 4 已知 x1 x2 x40都是正整数 且 x1 x2 x40 58 若 x12 x22 x402的最大值为 A 最 小值为 B 则 A B 的值等于 5 计算 441 417 413 49 45 439 415 411 47 43 44444 44444 6 已知多项式1547 23 xbxax可被13 x和32 x整除 则 ba 三 解答题 1 已知实数 a b c d 互不相等 且x a d d c c b b a 1111 试求 x 的值 7 2 如果对一切 x 的整数值 x 的二次三项式cbxax 2 的值都是平方数 即整数的平方 证明 2a ab c 都是整数 a b c 都是整数 并且 c 是平方数 反过来 如果 成立 是否对于一切 x 的整数值 x 的二次三项式cbxax 2 的值都是平方数 3 若 2222 1996199619951995 a 求证 a 是一完全平方数 并写出 a 的值 8 4 设 a b c d 是四个整数 且使得 222222 4 1 dcbacdabm 是一个非零整数 求证 m 一定是个合数 5 若 2 a的十位数可取 1 3 5 7 9 求a的个位数 9 初中数学竞赛专项训练 初中数学竞赛专项训练 3 方 程 一 选择题 1 方程018 8 2 axax有两个整数根 试求整数 a 的值 A 8B 8C 7D 9 2 方程1 1 32 x xx的所有整数解的个数是 A 2B 3C 4D 5 3 若 0 x是一元二次方程 0 0 2 acbxax的根 则判别式acb4 2 与平方式 2 0 2 baxM 的大小关系是 A MB MC MD 不能确定 4 已知acb4 2 是一元二次方程 0 0 2 acbxax的一个实数根 则 ab 的取值范围为 A ab 8 1 B ab 8 1 C ab 4 1 D ab 4 1 5 已知 1 x 2 x是方程0 53 2 22 kkxkx的两个实根 则 2 2 2 1 xx 的最大值是 A 19B 18C 9 5 5D 以上答案都不对 6 已知zyx 为三个非负实数 且满足132523 zyxzyx zyxu73 若 则 u 的最大值与最小值之和为 A 77 62 B 77 64 C 77 68 D 77 74 7 若 m n 都是正实数 方程02 2 nmxx和方程02 2 mnxx都有实数根 则 m n 的最小值 是 A 4B 6C 8D 10 8 气象爱好者孔宗明同学在 x x 为正整数 天中观察到 有 7 个是雨天 有 5 个下午是晴天 有 6 个上午是晴天 当下午下雨时上午是晴天 则 x 等于 A 7B 8C 9D 10 二 填空题 1 已知两个方程00 22 abxxbaxx与有且只有一个公共根 则这两个方程的根应是 2 若 0161101611 22 babbaa 则 b a a b 10 3 已知关于 x 的方程012 1 2 nxnx的两根为整数 则整数 n 是 4 设 1 x 2 x是方程02 1 2 22 kxkx的两个实数根 且8 1 1 21 xx 则 k 的值是 5 已知 a b 是方程04 2 mxx的两个根 b c 是方程058 2 mxx的两个根 则 m 6 设 1 x 2 x是关于 x 的一元二次方程2 2 aaxx的两个实数根 则 2 2 1221 xxxx 的最大值 为 三 解答题 1 关于 x 的方程01 1 2 xkkx有有理根 求整数 k 的值 11 2 设方程01200120032002 22 xx的较大根是r 方程0120022001 2 xx的较小根是s 求r s的值 3 确定自然数 n 的值 使关于 x 的一元二次方程076351082 22 nnxnxx的两根均为质数 并求出此两根 12 4 已知关于 x 的一元二次方程054 15117 9 6 2 xkxkk的两个根均为整数 求所有满 足条件的实数 k 的值 5 有编号为 的四条赛艇 其速度依次为每小时 1 v 2 v 3 v 4 v千米 且满足 1 v 2 v 3 v 4 v 0 其中 水 v为河流的水流速度 千米 小时 它们在河流中进行追逐赛规则如下 1 四条艇在同一起跑线上 同时出发 是逆流而上 号艇顺流而下 2 经过 1 小时 同时掉头 追赶 号艇 谁先追上 号艇谁为冠军 问冠军为几号艇 13 初中数学竞赛专项训练 初中数学竞赛专项训练 4 不等式 一 选择题 1 若不等式 x 1 x 3 a 有解 则 a 的取值范围是 A 0 a 4B a 4C 0 a 2D a 2 2 已知 a b c d 都是正实数 且 d c b a 给出下列四个不等式 dc c ba a dc c ba a dc c ba b dc d ba b 其中正确的是 A B C D 3 已知 a b c 满足 a b c ab bc ac 0 abc 1 则 A a b c B a b c C a b c D a b 与 c 的大小关系不能确定 4 关于 x 的不等式组 ax x x x 2 3 5 3 52 只有 5 个整数解 则 a 的取值范围是 A 6 a 2 11 B 6 a 2 11 C 6 a 2 11 D 6 a 2 11 5 设关于 x 的方程09 2 2 axaax有两个不等的实数根 1 x 2 x 且 1 x 1 2 x 那么 a 的取值 范围是 A 5 2 7 2 aB 5 2 aC 7 2 aD 0 11 2 a 6 下列命题 若 a 0 b 0 则方程bax 无解 若 a 0 b 0 则不等式bax 无解 若 a 0 则方程bax 有惟一解 若 a 0 则不等式bax 的解为 a b x 其中 A 都正确B 正确 不正确 C 不正确 正确D 都不正确 7 已知不等式 x 2 1 1 2 2 x 0 3 1 xx 0 3 1 x x 其中解集是31 x的不 等式为 A B C D 8 设 a b 是正整数 且满足 56 a b 59 0 9 b a 0 91 则 b2 a2等于 A 171B 177C 180D 182 二 填空题 1 若方程1 2 2 x ax 的解是正数 则 a 的取值范围是 2 乒乓球队开会 每名队员坐一个凳子 凳子有两种 方凳 四脚 或圆凳 三脚 一个小孩走进会 场 他数得人脚和凳脚共有 33 条 不包括小孩本身 那么开会的队员共有 名 14 3 已知不等式 3 2 x 09 2 2 x 0 5 1 x x 1 1 6 x 其中解集是 15 x的不等式有 个 4 若关于 x 的一元二次方程02 5 2 2 xax无实数根 则 a 的取值范围是 5 在本埠投寄平信 每封信质量不超过 20g 时付邮费 0 80 元 超过 20g 而不超过 40g 时付邮费 1 6 元 依次类推 每增加 20g 需增加邮费 0 80 元 信的质量在 100g 以内 如果某人寄一封信的质量为 72 5g 那么他应付邮费 6 若 1 x 2 x都满足条件 32 12 xx 4 且 1 x 2 x则 1 x 2 x的取值范围是 三 解答题 1 有一水池 池底有泉水不断涌出 要将满池的水抽干 用 12 台水泵需 5 小时 用 10 台水泵需 7 小时 若要在 2 小时内抽干 至少需水泵几台 15 2 已知一元二次方程01 4 1 22 xkxk的一个根大于 1 另一个根小于 1 求整数 k 的值 3 若关于 x 的不等式 ax a 2 2 有且只有一个整数解 求 a 的整数值 16 4 某宾馆一层客房比二层客房少 5 间 某旅游团 48 人 若全安排在第一层 每间 4 人 房间不够 每 间 5 人 则有房间住不满 若全安排在第二层 每 3 人 房间不够 每间住 4 人 则有房间住不满 该宾馆一层有客房多少间 5 某生产小组开展劳动竞赛后 每人一天多做 10 个零件 这样 8 个人一天做的零件超过 200 个 后来 改进技术 每人一天又多做 27 个零件 这样他们 4 个人一天所做零件就超过劳动竞赛中 8 个人做的零 件 问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍 17 初中数学竞赛专项训练 初中数学竞赛专项训练 5 方程应用 一 选择题 1 甲乙两人同时从同一地点出发 相背而行 1 小时后他们分别到达各自的终点 A 与 B 若仍从原地出发 互换彼此的目的地 则甲在乙到达 A 之后 35 分钟到达 B 甲乙的速度之比为 A 3 5B 4 3C 4 5D 3 4 2 某种产品按质量分为 10 个档次 生产最低档次产品 每件获利润 8 元 每提高一个档次 每件产品 利润增加 2 元 用同样工时 最低档次产品每天可生产 60 件 提高一个档次将减少 3 件 如果获利 润最大的产品是第 R 档次 最低档次为第一档次 档次依次随质量增加 那么 R 等于 A 5B 7C 9D 10 3 某商店出售某种商品每件可获利 m 元 利润为 20 利润 售价进价 进价 若这种商品的进价提高 25 而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利 m 元 则提价后的利润率为 A 25 B 20 C 16 D 12 5 4 某项工程 甲单独需 a 天完成 在甲做了 c cb 若两个三角 形的最小内角相等 则 b a 的值等于 A 2 13 B 2 15 C 2 23 D 2 25 7 在凸 10 边形的所有内角中 锐角的个数最多是 A 0B 1C 3D 5 8 若函数 0 kkxy与函数 x y 1 的图象相交于 A C 两点 AB 垂直 x 轴于 B 则 ABC 的面积为 A 1B 2C kD k2 二 填空题 1 若四边形的一组对边中点的连线的长为 d 另一组对边的长分别为 a b 则 d 与 2 ba 的大小关系是 60 A B C D A B C D P 图 8 1 图 8 2 AD CB EF 图 8 3 图 8 4 A BC D AD C F C B E 29 2 如图 8 5 AA BB 分别是 EAB DBC 的平分线 若 AA BB AB 则 BAC 的度数为 3 已知五条线段长度分别是 3 5 7 9 11 将其中不同的三个数组成三数组 比如 3 5 7 5 9 11 问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长 4 如图 8 6 P 是矩形 ABCD 内一点 若 PA 3 PB 4 PC 5 则 PD 5 如图 8 7 甲楼楼高 16 米 乙楼座落在甲楼的正北面 已知当地冬至中午 12 时 太阳光线与水平面的夹角为 30 此时求 如果两楼相距 20 米 那么甲楼的影子落在乙楼上有多高 如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上 那么两楼的距离应当是 米 6 如图 8 8 在 ABC 中 ABC 60 点 P 是 ABC 内的一点 使得 APB BPC CPA 且 PA 8 PC 6 则 PB 图 8 6 A B D C P 16 米 20 米 A B C D 甲乙 图 8 7 图 8 8 B A C P A B B D C 图 8 5 E A 30 三 解答题 1 如图 8 9 AD 是 ABC 中 BC 边上的中线 求证 AD 2 1 AB AC 2 已知一个三角形的周长为 P 问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化 A B D C 图 8 9 31 3 如图 8 10 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD 是角平分线 DE BC 交 AC 于点 E DF AC 交 BC 于点 F 求证 四边形 CEDF 是正方形 CD2 2AE BF 4 从 1 2 3 4 2004 中任选 k 个数 使所选的 k 个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个 数 这里要求三角形三边长互不相等 试问满足条件的 k 的最小值是多少 A C F B D E 图 8 10 32 初中数学竞赛专项训练 初中数学竞赛专项训练 9 面积及等积变换 一 选择题 1 如图 9 1 在梯形 ABCD 中 AB CD AC 与 BD 交于 O 点 P 在 AB 的延长线上 且 BP CD 则 图形中面积相等的三角形有 A 3 对B 4 对 C 5 对D 6 对 2 如图 9 2 点 E F 分别是矩形 ABCD 的边 AB BC 的中点 连 AF CE 设 AF CE 交于点 G 则 ABCD AGCD S S 矩形 四边形 等于 A 6 5 B 5 4 C 4 3 D 3 2 3 设 ABC 的面积为 1 D 是边 AB 上一点 且 AB AD 3 1 若在边 AC 上取一点 E 使四边形 DECB 的 面积为 4 3 则 EA CE 的值为 A 2 1 B 3 1 C 4 1 D 5 1 4 如图 9 3 在 ABC 中 ACB 90 分别以 AC AB 为边 在 ABC 外作正 方形 ACEF 和正方形 AGHB 作 CK AB 分别交 AB 和 GH 于D 和 K 则正方 形 ACEF 的面积 S1与矩形 AGKD 的面积 S2的大小关系是 A S1 S2B S1 S2 C S1 S2D 不能确定 与 AB AC 的大小有关 5 如图 9 4 四 边形 ABCD 中 A 60 B D 90 AD 8 AB 7 则 BC CD 等于 A 36B 53C 43D 33 6 如图 9 5 若将左边正方形剪成四块 恰能拼成右边的矩形 设 a 1 则正方形的面积为 A 2 537 B 2 53 C 2 15 D 2 21 7 如图 9 6 矩形 ABCD 中 AB a BC b M 是 BC 的中点 DE AM E 为垂足 则 DE PA D C B O 图 9 1 A B CD E FG 图 9 2 A B C D HGK F E 图 9 3 A B C D 图 9 4 a b a a b b 图 9 5 a b A BC D E M 图 9 6 33 A 22 4 2 ba ab B 22 4ba ab C 22 4 2 ba ab D 22 4ba ab 8 O 为 ABC 内一点 AO BO CO 及其延长线把 ABC 分成六个小三角形 它们的面积如图 9 7 所示 则 S ABC A 292B 315 C 322D 357 二 填空题 1 如图 9 8 梯形 ABCD 的中位线 EF 的长为 a 高为 h 则图中阴影部分的面积为 2 如图 9 9 若等腰三角形的底边上的高等于 18cm 腰上的中线等于 15cm 则这个等腰三角形的面积等于 3 如图 9 10 在 ABC 中 CE EB 1 2 DE AC 若 ABC 的面 积为 S 则 ADE 的面积为 4 如图 9 11 已知 D E 分别是 ABC 的边 BC CA 上的点 且 BD 4 DC 1 AE 5 EC 2 连结 AD 和 BE 它们相交于点P 过点 P 分别 作 PQ CA PR CB 它们分别与边 AB 交于点 Q R 则 PQR 的面积与 ABC 的面积之比为 5 如图 9 12 梯形 ABCD 中 AD BC AD BC 2 5 AF FD 1 1 BE EC 2 3 EF CD 延长线交于 G 用最简单的整数比来表示 S GFD S FED S DEC 6 如图 9 13 P 是矩形 ABCD 内一点 若 PA 3 PB 4 PC 5 则 PD 三 解答题 1 如图 9 14 在矩形 ABCD 中 E 是 BC 上的点 F 是 CD 上的点 S ABE S ADF 3 1 S矩形 ABCD A BC D E F O 84 x y y40 y 30 y 35 y 图 9 7 图 9 8 A E D C F B A M C D B G 图 9 9 A C E B D 图 9 10 A B QR D C E P 图 9 11 A BC D G F E 图 9 12 A BC D P 图 9 13 A D F C EB 图 9 14 34 求 CEF AEF S S 的值 2 一条直线截 ABC 的边 BC CA AB 或它们的延长线 于点 D E F 求证 1 FB AF EA CE DC BD A B CD E F 图 9 15 35 3 如图 9 16 在 ABCD 中 P1 P2 P3 Pn 1是 BD 的 n 等分点 连结 AP2 并延长交 BC 于点 E 连结 APn 2并延长交 CD 于点 F 求证 EF BD 设 ABCD 的面积是 S 若 S AEF 8 3 S 求 n 的值 4 如图 9 17 ABC 是等腰三角形 C 90 O 是 ABC 内一点 点 O 到 ABC 各边的距离等于 1 将 ABC 绕点 O 顺时针旋转 45 得到 A1B1C1 两三角形的公共部分为多边形 KLMNPQ 证明 AKL BMN CPQ 都是等腰直角三角形 求证 ABC 与 A1B1C1公共部分的面积 D B A C E F P1 P2 Pn 2 Pn 1 图 9 16 图 9 17 A B C C1 A1 B1 L M K N Q P O 36 初中数学竞赛专项训练 初中数学竞赛专项训练 10 三角形的四心及性质 平移 旋转 覆盖 一 填空题 1 G 是 ABC 的重心 连结 AG 并延长交边 BC 于 D 若 ABC 的面积为 6cm2 则 BGD 的面积为 A 2cm2B 3 cm2 C 1 cm2D 2 3 cm2 2 如图 10 1 在 Rt ABC 中 C 90 A 30 C 的平分线与 B 的 外角的平分线交于 E 点 则 AEB 是 A 50 B 45 C 40 D 35 3 在 ABC 中 ACB 90 A 20 如图 10 2 将 ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转角 到 A C B 的位置 其中 A B 分 别是 A B 的对应点 B 在 A B 上 CA 交 AB 于 D 则 BDC 的度数 为 A 40 B 45 C 50 D 60 4 设 G 是 ABC 的垂心 且 AG 6 BG 8 CG 10 则三角形的面积为 A 58B 66C 72D 84 5 如图 10 3 有一块矩形纸片 ABCD AB 8 AD 6 将纸片折叠 使 AD 边落在 AB 边上 折痕为 AE 再将 AED 沿 DE 向右翻折 AE 与 BC 的交点为 F CEF 的面积为 A 2B 4C 6D 8 6 在 ABC 中 A 45 BC a 高 BE CF 交于点 H 则 AH A a 2 1 B a 2 2 C aD a2 7 已知点 I 是锐角三角形 ABC 的内心 A1 B1 C1分别是点 I 关于 BC CA AB 的对称点 若点 B 在 A1B1C1的外接圆上 则 ABC 等于 A 30 B 45 C 60 D 90 8 已知 AD BE CF 是锐角 ABC 三条高线 垂心为 H 则其图中直角三角形的个数是 A 6B 8C 10D 12 二 填空题 1 如图 10 4 I 是 ABC 的内心 A 40 则 CIB 2 在凸四边形 ABCD 中 已知 AB BC CD DA 2 2 3 1 且 ABC 90 则 DAB 的度数 是 A C B E 图 10 1 A B C D A B 图 10 2 A B CD D A E B C A D E B C F 图 10 3 A C I B D 图 10 4 A BC D E D 图 10 5 37 3 如图 10 5 在矩形 ABCD 中 AB 5 BC 12 将矩形 ABCD 沿对角线对折 然后放在桌面上 折 叠后所成的图形覆盖桌面的面积是 4 在一个圆形时钟的表面 OA 表示秒针 OB 表示分针 O 为两针的旋转中心 若现在时间恰好是 12 点整 则经过 秒钟后 OAB 的面积第一次达到最大 5 已知等腰三角形顶角为 36 则底与腰的比值等于 6 已知 AM 是 ABC 中 BC 边上的中线 P 是 ABC 的重心 过 P 作 EF EF BC 分别交 AB AC 于 E F 则 AF CF AE BE 三 解答题 1 如图 10 6 在正方形 ABCD 的对角线 OB 上任取一点 E 过 D 作 AE 的垂线与 OA 交于 F 求证 OE OF 38 2 在 ABC 中 D 为 AB 的中点 分别延长 CA CB 到点 E F 使 DE DF 过 E F 分别作 CA CB 的垂线相交于 P 设线段 PA PB 的中点分别为 M N 求证 DEM DFN PAE PBF 3 如图 10 8 在 ABC 中 AB AC 底角 B 的三等分线交高线 AD 于 M N 边 CN 并延长交 AB 于 E 求证 EM BN A E C B F D P M N 图 10 7 A BC N M E D 图 10 8 39 4 如图 10 9 半径不等的两圆相交于 A B 两点 线段 CD 经过点 A 且分别交两于 C D 两点 连结 BC CD 设 P Q K 分别是 BC BD CD 中点 M N 分别是弧 BC 和弧 BD 的中点 求证 QB NQ PM BP KPM NQK A B CD M N K P Q 图 10 9 1 数学竞赛专项训练 数学竞赛专项训练 1 实数参考答案 实数参考答案 一 选择题 1 解 设与 a 之差最小且比 a 大的一个完全平方数是 x 则1 ax 所以 12 1 2 aaax 应选 D 6 138 13 13 13 133 3 12 2 2 2 3 12 2 2 3 2 2 解 原式 应选 D 3 2004 n 0 y n 是奇数 0 y必是奇数 又 11 0 x m 28 0 y m 和 28 0 y均为偶数 所以 11 0 x是偶数 0 x应为偶数 故选 C 4 解 ab ac bd cd a2b2c2d2 0 所以这四个数中应一正三负或一负三正 应选 D 5 解 由02003200320032003 xyyxxyyx可得 020030 2003 2003 yxyxxy 而 所以是质数 因此必有 又因为 故2003200302003 xyxy 2003 1 y x 1 2003 y x 应选 B 6 解 因qp35 2 为奇数 故 p q 必一奇一偶 而 p q 均为质数 故 p q 中有一个为 2 若 5 53 2 2 pq 不合题意舍去 若 p 2 则 q 3 此时 p 3 5 1 p q 12 2p q 4 13 因为 52 122 132 所以 5 12 13 为边长的三角形为直角三角形 故选 B 7 解 依题意设六位数为abcabc 则 abcabc a 105 b 104 c 103 a 102 b 10 c a 102 103 1 b 10 103 1 c 103 1 a 103 b 10 c 103 1 1001 a 103 b 10 c 而 a 103 b 10 c 是整数 所以能被 1001 整除 故选 C 8 解 能被 2 3 4 整除即能被 2 3 4 12 整除 共有 12 24 36 48 96 共 8 个 应选 C 二 填空题 1 解 因 1981 1982 2001 均大于 1980 所以90 22 1980 1980 1 22 1 S 又 2 1980 1981 2000 均小于 2001 所以 22 21 90 22 2001 2001 1 22 1 S 从而知 S 的整数部分为 90 2 解 设两位数 M 10a b 则 N 10b a 由 a b 正整数 且 1 a b 9 3 9 10 10 cbaabbaNM 又 c 是某正整数 显然 c3 100 c 4 而且 c3是 9 的倍数 所以 c 3 即 a b 3 满足条件的两位数有 41 52 63 74 85 96 共 6 个 3 解设 a b d 且 a md b nd 其中 m n 且 m 与 n 互质 于是 a b 的最小公倍数为 mnd 依题题有 105 120 d mnd ndmd 即 753 532 3 mn dnm 则 m n 据 可得 1 105 n m 或 3 135 n m 或 5 21 n m 或 7 15 n m 根据 只取 7 15 n m 可求得 d 15 故两个数中较大的数是 md 225 4 解 最小三个合数是 4 6 8 4 6 8 18 故 17 是不能表示为三个互不相等的合数之和的整数 当 m 18 时 若 m 2k 18 则 m 4 6 2 k 5 若 m 2k 1 18 则 m 4 9 2 k 7 即任意大 于 18 的整数均可表示为三个互不相等的合数之和 故 m 17 5 解 n2 m2 3995 5 17 47 n m n m 5 17 47 显然对 3995 的任意整数分拆均可得到 m n 由题设 0 m n 1998 故满足条件的整数对 m n 共 3 个 6 解 由 yz zy yzx 111 及 x yz 得 y z 1 即 y 与 z 是两个相邻的自然数 又 y 与 z 均为素数 只有 y 3 z 2 故 x yz 6 三 解答题 1 解 设前后两个二位数分别为 x y 10 x y 99 根据题意有yxyx 100 2 即0 50 2 22 yyxyx 当0 992500 4 4 50 4 22 yyyy yyx yy 99250050 250992500 时方程有实数解 即 由于 2500 99y 必为完全平方数 而完全平方数的末位数仅可能为 0 1 4 5 6 9 故 y 仅可 取 25 此时 x 30 或 20 故所求四位数为 2025 或 3025 2 解 首先 1 14 15 16 205 这 193 个数满足题设条件 事实上 设 a b c a b c 这 3 个 数取自 1 14 15 16 205 若 a 1 则 ab a c 若 a 1 则 ab 14 15 210 c 3 另一方面考虑如下 12 个数组 2 25 2 25 3 24 3 24 13 14 13 14 上述这 36 个数互不相等 且其中最小 的数为 2 最大的数为 13 14 182 205 所以每一个数组中的 3 个数不能全部都取出来 于是 如 果取出来的数满足题设条件 那么 取出来的数的个数不超过 205 12 193 个 综上所述 从 1 14 15 16 205 中最多能取出 193 个数 满足题设条件 3 解 原方程解得 93243 2 932426 2 94324446 2 324 4366 2 2 2 2 nn nn nnnn x 因为方程的根是整数 所以 4n2 32n 9 是完全平方数 设 4n2 32n 9 m2 m 0 2n 8 2 55 m2 2n 8 m 2n 8 m 55 因 55 1 55 1 55 5 11 5 11 1182 582 5582 182 582 1182 182 5582 mn mn mn mn mn mn mn mn 解得 n 10 0 8 18 4 解 首先 电灯编号有几个正约数 它的开关就会被拉几次 由于一开始电灯是关的 所以只有那些 被拉过奇数次的灯才是亮的 因为只有平方数才有奇数个约数 所以那些编号为 1 22 32 42 52 62 72 82 92 102共 10 盏灯是亮的 5 证明 设勾长为x 弦长为z 则股长为1 z 1 1 zz zzx 1 是一个基本勾股数组 由z为奇数知 1 z为偶数 从而x为奇数 设12 ax a 为正整数 则有 222 1 12 zza 解得 122 2 aaz 故勾股数组具有形式 1222212 22 aaaaa 4 数学竞赛专项训练 数学竞赛专项训练 2 参考答案 参考答案 一 选择题 1 解 根据题意 这批衬衣的零售价为每件 m 1 a 元 因调整后的零售价为原零售价的 b 所以 调价后每件衬衣的零售价为 m 1 a b 元 应选 C 2 解 由已知 a b c 为两正一负或两负一正 当 a b c 为两正一负时 0 1 1 abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以 当 a b c 为两负一正时 0 1 1 abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以 由 知 abc abc c c b b a a 所有可能的值为 0 应选 A 3 解 过 A 点作 AD CD 于 D 在 Rt BDA 中 则于 B 60 所以 DB 2 C AD C 2 3 在 Rt ADC 中 DC2 AC2 AD2 所以有 a 2 C 2 b2 4 3 C2 整理得 a2 c2 b2 ac 从而有 1 2 2222 bbcabac bcabca bcba abacbc bc a ba c 应选 C 4 解 因为 a b 2 6ab a b 2 2ab 由于 a b 0 得abbaabba26 故3 ba ba 应选 A 3 2 1 1 2 1 211 2 1 5 222 222222 原式 又 解 accbba accbbacabcabcba 应选 D 0 03 1 1 1 azyx6 222 中至少有一个大于 则 解 因 zyx cb 应选 A 5 3 7 c c b b a a b c a c c b a b c a b a ab cba ac bca bc acb 解 原式 应选 A 所以这三个数不能同时为 且 解 因为 0M0322 0 3 2 2 2 13649838 222 22 yxyx yxyx yxyxyxM 应选 A 二 填空题 1 解 设该商品的成本为 a 则有 a 1 p 1 d a 解得 p100 p100 d 2 解因为 1 a 0 所以 且 即0 1 0 1 a 1 a 1 a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 24 1 4 1 22 2 2 2 222 3 解 由已知条件知 x 1 y 6 x 1 y z2 9 所以 x 1 y 是 t2 6t z2 9 0 的两个实根 方 程有实数解 则 6 2 4 z2 9 4z2 0 从而知 z 0 解方程得 x 1 3 y 3 所以 x 2y 3z 8 4 解 494 因为把 58 写成 40 个正整数的和的写法只有有限种 故 2 40 2 2 2 1 xxx 的最小值和最 大值是存在的 不妨设 4021 xxx 若 1 x 1 则 1 x 2 x 1 x 1 2 x 1 且 1 x 1 2 2 x 1 2 1 x 2 2 x 2 2 2 x 1 x 2 1 x 2 2 x 2 所以 当 1 x 1 时 可以把 1 x逐步调整到 1 这 时 2 40 2 2 2 1 xxx 将增大 同样地 可以把 2 x 3 x 39 x逐步调整到 1 这时 2 40 2 2 2 1 xxx 将增大 于是 当 1 x 2 x 39 x均为 1 40 x 19 时 2 40 2 2 2 1 xxx 取得最大值 即 A 个39 222 1 11 192 400 若存在两个数 i x j x 使得 j x i x 2 1 i j 40 则 i x 1 2 j x 1 2 i x 2 j x 2 2 j x i x 1 i x 2 j x 2 这 说明在 1 x 3 x 39 x 40 x中 如果有两个数的差大于 1 则把较小的数加 1 较大的数减 1 这时 2 40 2 2 2 1 xxx 将减小 所以 当 2 40 2 2 2 1 xxx 取到最小时 1 x 2 x 40 x中任意两个 6 数的差都不大于 1 于是当 1 x 2 x 22 x 1 23 x 24 x 40 x 2 时 2 40 2 2 2 1 xxx 取得最小值 即942 221 11 18 222 22 222 个个 B 故 A B 494 353 1 142 12 142140181614 140138161412 1 1 1 1 22 22 2 2 45 2 2 22222 22222 22 222224 原式 解 xx xxxxxxx 6 解 由已知可知 0 2 3 0 3 1 ff 得 015 2 141 4 9 8 22 015 3 47 927 ba ba 解得 2 24 b a a b 24 2 26 三 解答题 1 解 由已知有 x a dx d cx c bx b a 1111 220 x 020 0 2 1 01 2 1 1 1 1 1 2 3 3 23 2 2 xxca xxad xxadaxad adxadxaddx x daxx ax axx ax c ax b 矛盾 故有 则由 可得若 由已知 代入 得由 得 即 将 代入 得 代入 得 由 解出 2 解 令0 x 得 c 平方数 c2 令1 x 得 2 mcba 2 ncba 其中 m n 都是 整数 所以 2222 222nmbcnma 都是整数 如果 2b 是奇数 2k 1 k 是整数 令4 x得 22 416hcba 其中 h 是整数 由于 2a 是整数 所以 16a 被 4 整除 有2416416 kaba除以 4 余 2 而 22 lhlhlh 在 h l 的 奇偶性不同时 lhlh 是奇数 在 h l 的奇偶性相同时 lhlh 能被 4 整除 因此 22 416lhba 从而 2b 是偶数 b 是整数 bcma 2 也是整数 在 成立时 cbxax 2 不一定对 x 的整数值都是平方数 例如 a 2 b 2 c 4 x 1 时 cbxax 2 8 不 是平方数 3 解 设 x 1995 则 1996 x 1 所以 7 222 222 2222 22222222 3982021 199619951 1 1 1 1 21 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1996199619951995 xx xxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxa 4 解 要证明 m 是合数 只要能证出 m p q p q 均为大于 1 的正整数即可 4 1 4 1 22 22 4 1 2 1 2 1 4 1 2222 22222222 22222222 22222 badcbadcdcbadcba badcdcba dcbacdabdcbacdab dcbacdabdcbacdab dcbacdabm 证明 因为 m 是非零整数 则 4 1 badcbadcdcbadcba 是非零整数 由 于四个数 a b c d a b c d a b c d a b c d 的奇偶性相同 乘积应被 4 整除 所以四个数均为偶 数 所以可设 a b c d 2m1 a b c d 2m2 a b c d 2m3 a b c d 2m4 其中 m1 m2 m3 m4均 为非零整数 所以 43214321 4 2 2 2 2 4 1 mmmmmmmmm 所以 m 4 m1m2m3m4 0 所以 m 是一个合数 5 解 设cba 10 其中c取自 0 1 2 3 4 9 将 2 c写成两位数的形式为 00 01 04 09 16 25 36 49 64 81 其中只有 c 4 6 时其十位数为奇数 又 2222 10 5 2 10 cbcbcba 可见 2 a的十位数是一个偶数加上 2 c的十位数 当 2 a的十位数为奇数 1 2 5 7 9 时 a 的个位数只能取 4 6 8 数学竞赛专项训练 数学竞赛专项训练 3 方程参考答案 方程参考答案 一 选择题 1 选 B 原方程变为 18 1 18 1 1 8 x ax x ax xax或 解得 x 9 或 7 a 8 2 选 C 原方程有整数解的条件有且只有以下 3 种 仅有一个整数解 为偶数 故原方程此时时 显然仅当或得为偶数 解而 解 即原方程有两个整数或 解之得 是方程的一个整数解 此时而 231 1011311 1211 30103 22 2 2 xx xxxxxx xxxx xxxx 综上所述知方程的解共有 1 2 1 4 个 应选 即的根 所以是 因 解 令 B 00 4 444 4 2ax md3 2 0 0 2 0 22 0 2 0 2 22 0 Mdcbxaxx cbxaxa acbbbaxxa acbb 4 应选 B 因为方程有实数解 故04 2 acb 由题意有 即的判别式非负 即 是其解 所以方程 因为或则得 令或者 8 1 081 40202 44 2 4 4 2 4 222 22 2 2 2 abab acbubuaubuau acbuacb a acbb acb a acbb 5 选 B 由方程有实根 得 0 即 184 5 19610 53 2 2 2 532 3 4 4 0 4 43 0161630 53 4 2 2 2 2 1 2 222 21 2 21 2 2 2 1 2 2121 222 取最大值时 当 得 又由 xxkk kkkkkxxxx xxkkxxkxxk kkkkkkk 6 选 A 237 711 37 3 711 37 132 523 zzzzu zy zx zyx zyx 由 x 0 y 0 得 9 2 11 7 3232 7 3 3 11 7 7 3 0711 037 zz z z 即 11 1 7 5 u 77 62 11 1 7 5 11 1 7 5 最大最小最大最小 uuuu 7 选 B 因方程有实根 故 044 08 2 2 mn nm 因此有mnm6464 24 则46400 64 33 mmmmm 则 因 得 m 最小值是 4 又 的最小值为 故的最小值为即 得6228 24 nmnnnmn 8 选 C 设全天下雨 a 天 上午晴下午雨 b 天 上午雨下午晴 c 天 全天晴 d 天 由题可得关系式 a 0 b d 6 c d 5 a b c 7 得 2d a 4 即 d 2 故 b 4 c 3 于 x a b c d 9 二 填空题 a