04 矩阵的对角化.doc_第1页
04 矩阵的对角化.doc_第2页
04 矩阵的对角化.doc_第3页
04 矩阵的对角化.doc_第4页
04 矩阵的对角化.doc_第5页
免费预览已结束，剩余1页可下载查看

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

第四讲 矩阵的对角化 基元素坐标向量加法元素加法坐标向量的加法数乘数与元素“乘”数与坐标向量相乘线性变换及其作用对应关系矩阵与坐标列向量的乘积对任何线性空间，给定基后，我们对元素进行线性变换或线性运算时，只需用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可，因此，在后面的内容中着重研究矩阵和向量。对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程时，将矩阵对角化后很容易得到方程的解。对角化的过程实际上是一个去耦的过程。以前我们学习过相似变化对角化。那么，一个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？一、 特征征值与特征向量1. 定义：对阶方阵，若存在数，及非零向量（列向量），使得,则称为的特征值，为的属于特征值的特征向量。特征值不唯一特征向量非零有非零解，则，称为的多项式。例1，求其特征值和特征向量。解 属于特征值的特征向量 可取基础解系为 属于的特征向量 可取基础解系为 2. 矩阵的迹与行列式 所有对角元素之和 3. 两个定理（1） 设、分别为和阶矩阵，则 （2）sylvster定理：设、分别为和阶矩阵，则 即：AB与BA的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同。 二、 矩阵对角化的充要条件定理：阶方阵可通过相似变换对角化的充要条件是它具有个线性无关的特征向量。证明 充分性：已知具有个线性无关的特征向量，则 线性无关，故为满秩矩阵，令，则有 必要性：已知存在可逆方阵，使将写成列向量，为维列向量 可见，为的特征值，为的特征向量，具有个线性无关的特征向量。推论：阶方阵有个互异的特征值，则必可对角化。（充分条件）三、 内积空间1. Euclid空间设是实线性空间（），对于中任何两个元素、均按某一规则存在一个实数与之对应，记为，若它满足（1）交换律 （2）分配律 （3）齐次律 （4）非负性 ，当且仅当时，则称为与的内积，定义了内积的实线性空间称为Euclid空间。对于一个给定的线性空间，可以定义多种内积，较典型的如三维向量空间的数量积就满足以上四条性质，构成内积。以维向量空间为例：，可定义内积 ，它满足内积的四条性质：（1）（2）（3）（4） 当且仅当时，该内积可写为：，其中更一般的，对实对称正定矩阵，也满足内积的定义。正定：（1）特征值全为正（2）各阶顺序主子式大于02. 酉空间：设是复线性空间（），对于中任何两个元素、均按某一规则存在一个复数与之对应，记为，若它满足（1）交换律 （2）分配律 （3）齐次律 or （4）非负性 ，当且仅当时，则称为与的内积，定义了内积的复线性空间称为酉空间。以维向量空间为例，为厄米（）正定（）矩阵，较常见的比如，最简单：实 复 3. 正交性：若，则称与正交。 与的夹角：，称为与的夹角。4. Gram-Schmidt正交化手续设为一组线性无关的元素或向量，可以进行如下正交归一化操作（正交规范化或正交单位化）： 选择合适的使与正交， 选择、使与和均正交
人人文库> 全部分类> 应用文书 > 技术指导

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论