清华大学微积分考试真题2.pdf

作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 1 of 2 微积分 b(1)第二次习题课题目（第三周） 微积分 b(1)第二次习题课题目（第三周） 一、数列极限的定义 1用极限定义证明： (1)0)1(lim=+ nn n （2）1)(lim= n n n （3） 已知1,0ak， 证明：lim0 k n n n a = 2. 讨论教材 48 页第 7、8 题。 3证明：若单调数列具有收敛的子列，则此单调数列收敛 二、数列极限的运算（四则运算）与数列极限存在的充分条件（单调有界定理，夹逼准则） 4求极限 )21(lim 21 mnanana m n + l，其中0 21 =+ m aaal 5 （1）已知数列 + = +11 2 51 2 51 5 1 nn n f，求 1 lim + n n n f f ； （2）己知()222 nn n ba +=+, 求 n n n b a lim； 6求下列极限 （1）()1sinlim 22 + n n （2）()nn n + 22 sinlim 7.求极限 （1） 1 3 5(21) lim 2 4 6(2 ) n n n l l ； （2） + = = n m k n k n m k n k n aa 1 1 1 1 lim，其中), 2 , 1(0mkakl= (3) 2 2 (1) 1 lim n n k n k + = (4) 11 1 lim(1)(1) n kk kk n k nn = + 8求极限：limcoscoscos 242n n xxx l 9设 1 1 (1)n n u n + =+（易知数列 n u收敛于 e） （1）研究数列 n u的单调性； （2）利用（1）的结果证明 111 ln(1) 1nnn ， 12 lim() n n aaa += +l，且数列 n a单调减， 证明： 1321 242 lim1 n n n aaa aaa + = + l l 14设,k 证明：数列sinn发散 15已知,m n，有0 m nmn xxx + +，证明lim n n x n 存在 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 1 of 10 微积分 b(1)第二次习题课题目参考答案 微积分 b(1)第二次习题课题目参考答案 （第三周） （第三周） 一、数列极限的定义 1用极限定义证明 (1)0)1(lim=+ nn n 证明：0，由于 nnn nn 1 1 1 |1| + =+， 欲使 时，有 n n，令 n n an+=1，则0 n a，且1)(lim= n n n等价于0lim= n n a 由于 22 ) 1( 2 1 ) 1( 2 1 1)1 ( n n nnn n n annaannnaan+=+=l， 所以 1 2 0 时，有 。证明：lim0 k n n n a = 提示：令1(0)ab b= +，当 1nk+时， 1 1 (1) nnkk n abcb + =+， 1 1 1 kk nkk n nn acb + ，因为 lim k n k aa =，所以 0 0n，当 0 kn时，有 k n aa时，有 0 n nn aaa，总存在 n k，使得 n k nn，由单调性知 k nn aa 综上可知，当 0 n nn时，总有 0 nk nnn aaaaa (3) 2 2 (1) 1 lim n n k n k + = (4) 11 1 lim(1)(1) n kk kk n k nn = + 解： （1）解法 1：因为 31 2 31 2 + =，53 2 53 4 + =， ，) 12)(12( 2 ) 12() 12( 2+ + =nn nn n， 所以 12 1 ) ) 12)(12(755331 ) 12(531 )2(642 ) 12(531 0 + = + nnn n n n l l l l ， 由于0 12 1 lim= + n n ，所以0 )2(642 ) 12(531 lim= n n n l l 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 4 of 10 解法 2：令 )2(642 ) 12(531 n n an = l l ，则 22222 2 )2( 12 )2(642 ) 12() 12(55331 0 n n n nn an = l l ， 易知 0 )2(642 ) 12(531 lim= n n n l l 解法 3：由 12 2 7 6 5 4 3 2 )2(642 ) 12(531 + n n n n l l l ，可知 12 1 )2(642 ) 12(531 2 + nn n l l ，进而得到 0 )2(642 ) 12(531 lim= n n n l l （2）令max,min 11 k mk k mk aaaa =，则 + + + = = a amaa a a n n m k n k n m k n k 11 1 1 1 1 ， 由于1lim= n n m，所以 a aaa n m k n k n m k n k n 1 lim 1 1 1 1 += + = = （3）解法 1 :由于 1 21221kkkk k + ，则 2 2 (1) 2222 1 2 (1)122 (1)2 (1)1 n k n nnnn k + = + + 不难看出不等号两边的极限均为 2，由夹逼准则得到 2 2 (1) 1 lim2 n n k n k + = = . 解法 2: 2 2 (1) 1 n k n k + = 一共(22)n+项，最小项为 2 11 1 (1) n n = + + ，最大项为 2 11 n n =，因 此 2 2 (1) 22122 1 n k n nn nnk + = + + ,由夹逼准则得到 2 2 (1) 1 lim2 n n k n k + = = . （4）由于1(1) kkk nnn+ +，所以 1 11 (1) 1 k k n nn + + ，相加得 1 1 (1)1 1 n k k k n n n = + + 由夹逼准则得到 1 1 lim(1)1 n k k n k n = += .同理 1 1 lim(1)1 n k k n k n = = ， 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 5 of 10 原极限为 2. 8求极限：limcoscoscos 242n n xxx l 解：当0 x =时，原式1=，当0 x 时，有 1 1 sinsin 22 coscoscoscoscoscoscoscoscos 242242242 sin2sin 22 sinsin 2 2 sinsin 22 nn nnn nn n n nn xx xxxxxxxxx xx x xx xx x = = lll l 由于lim0 2n n x =，得到 sin limcoscoscos 242n n xxxx x =l 综合起来有， 10 limcoscoscos sin 2420 n n x xxx x x x = = l 注释：注意到对于每一个, x lim0 2n n x =，所以当n充分大时，有| 2n x .因此当0 x 时， sin0 2n x .我们在给表达式同时乘除sin 2n x 是没有问题的. 9设 1 1 (1)n n u n + =+（易知数列 n u收敛于 e） （1）研究数列 n u的单调性； （2）利用（1）的结果证明 111 ln(1) 1nnn ， 1 (1)ne n + + + + 所以 111 ln(1) 1nnn +， 1 ln() nnn xxax + =+，证明数列 n x收敛，并求极限lim n n x 的 值 解：易知，当极限存在时，若其值为*x，则*ln(*)xxax=+，解得*1xa= 记 ( )ln()f xxax=+，则 11 ( )1 ax fx axax = = 取( )ln1g aaa=+， 则 1 ( )1g a a =， 易知(1)0g=是( )ln1g aaa=+在(0,)+ 上的最大值所以 1 ln1xaa=故 21111 ln()ln1xxaxxx=+= 又易知函数( )ln()f xxax=+当1xa=时取得最大值(1)1f aa=，所以 211 ln()1xxaxa=+ 类似地可证 23 1xxa从而可知数列 n x单调有界，故其极限存在 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 7 of 10 三、极限的存在性证明 11已知当0lim= n n a （1）证明：0lim 21 = + n aaa n n l 。 （2）当bbaa n n n n = lim,lim时，证明：ab n bababa nnn n = + 1121 lim l 。 证 （极限性质、极限与无穷小的关系、极限运算） 因为bbaa n n n n = lim,lim，所以 nnnn bbaa+=+=,，其中 0lim, 0lim= n n n n 。 由于 1111 )( + +=+= knkkknknkknk baabbaba，所以 + + + + + += + nn b n aab n bababa nnnnnn n nnn n 11212111 1121 lim lim lll l 而 n m n n nnn + + ll 21 1121 ，其中m n ， 从而根据0lim 11 = + n nn n l ， 0lim 321 = + n n l ，及 0lim 21 = + n n n l ，得到ab n bababa nnn n = + 1121 lim l 。 12设极限lim () 12 aaaa n n += l存在，证明 2 12 lim0 aanan n n + = l 证：任给0 ，因为 lim () 12 aaaa n n += l，所以存在 1 0n ，当 1 nn时， 有 12 aaaaa n +l 记 12 121211212 12121 2 () () () nn nnn nn baana aaaaaaaaaaaa aaaaaa =+ =+ + l lll lll 则 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 8 of 10 112121 112121 ()()() ()()() n n n naaaaaaaaaa b naaaaaaaaaa + + ll ll 所以 112121 112121 ()()() ()()() n n n aaaaaaaaaa n b n aaaaaaaaaa n + + （不妨设 1 nn） ，当nn时，有 12n ccc n + 时，有 22 n b n ，单调减） 242224422 2345221 1 () 2 1 () 2 nnn nn aaaaaaaaa aaaaaa + +=+ + ll l 所以 12 lim() n n aaa += +l， 2321 lim() n n aaa + += +l， 242 lim() n n aaa += +l同样 1321 lim()