高等数学 下册 (黄立宏 廖基定 著) 复旦大学出版社 第八章 课后答案.pdf

习题八习题八 1 判断下列平面点集哪些是开集 闭集 区域 有界集 无界集 并分别指出它们的聚点 集和边界 1 x y x 0 2 x y 1 x2 y2 4 3 x y y 2 0 0 dx yxyxy 22222 3 40 10 0 dx yxyxyxy 4 0 0 0 dx y zxyz 2 5 0 0 dx yxyxy 22 6 0 0 1 dx yyxxxy 22222 7 0 0 dx y zxyxyz 5 求下列各极限 221 0 ln e 1 lim y x y x xy 22 0 0 1 2 lim x y xy 0 0 24 3 lim x y xy xy 0 0 4 lim 1 1 x y xy xy 0 0 sin 5 lim x y xy x 22 22 22 0 0 1 cos 6 lim ex y x y xy xy 解 1 原式 0 22 ln 1 e ln2 10 2 原式 3 原式 0 0 441 lim 4 24 x y xy xyxy 4 原式 0 0 1 1 lim2 1 1 x y xyxy xy 5 原式 0 0 sin lim1 00 x y xy y xy 6 原式 2222 222 22 22 00 00 1 2 limlim0 e2e xyxy xx yy xy xy xy 6 判断下列函数在原点o 0 0 处是否连续 33 22 22 22 sin 0 1 0 0 xy xy zxy xy 33 33 33 33 sin 0 2 0 0 xy xy zxy xy 3 22 22 222 22 0 2 0 0 x y xy zx yxy xy 解 1 由于 33333333 22223333 sin sin sin 0 xyxyxyxy yx xyxyxyxy 又 0 0 lim 0 x y y x 且 33 33 00 0 sin sin limlim1 xu y xyu xyu 故 0 0 lim0 0 0 x y zz 故函数在o 0 0 处连续 2 00 0 sin limlim1 0 0 0 xu y u zz u 故o 0 0 是z的间断点 3 若p x y 沿直线y x趋于 0 0 点 则 22 22 00 0 limlim1 0 xx y x xx z xx 若点p x y 沿直线y x趋于 0 0 点 则 222 2222 000 0 limlimlim0 44 xxx yx xxx z xxxx 故 0 0 lim x y z 不存在 故函数z在o 0 0 处不连续 7 指出下列函数在向外间断 1 f x y 2 33 xy xy 2 f x y 2 2 2 2 yx yx 3 f x y ln 1 x2 y2 4 f x y 2 2 2 e 0 0 0 x y x y y y 解 1 因为当y x时 函数无定义 所以函数在直线y x上的所有点处间断 而在其余 点处均连续 2 因为当y2 2x时 函数无定义 所以函数在抛物线y2 2x上的所有点处间断 而在其余各点 处均连续 3 因为当x2 y2 1 时 函数无定义 所以函数在圆周x2 y2 1 上所有点处间断 而在其余各点 处均连续 4 因为点p x y 沿直线y x趋于o 0 0 时 1 2 00 0 lim lime xx y x x f x y x 故 0 0 是函数的间断点 而在其余各点处均连续 8 求下列函数的偏导数 1 z x2y 2 x y 2 s 22 uv uv 3 z xln 22 xy 4 z lntan x y 5 z 1 xy y 6 u zxy 7 u arctan x y z 8 y z ux 解 1 2 23 12 2 zzx xyx xyyy 2 uv s vu 22 11 svsu uvuvvu 3 2 2222 22 2222 111 ln2ln 2 2 zx xyxxxy xxy xyxy 22 2222 11 2 2 zxy xy yxy xyxy 4 2 1122 seccsc tan zxx x xy yyy y 2 22 122 sec csc tan zxxxx x yyyyy y 5 两边取对数得ln ln 1 zyxy 故 2 21 1 1 1 ln 1 1 yyy x zy xyxyyxyyxy xxy ln 1 1 1 ln 1 1 ln 1 1 1 yy y y xz xyyxyxyyxy xyy xy xyxy xy 6 1 lnln xyxyxy uuu z zyz zxxy z xyz 7 1 1 22 1 1 1 z z zz uz xy z xy xxyxy 11 22 22 1 1 1 ln ln 1 1 zz zz zz zz uz xyz xy yxyxy uxyxyxyxy zxyxy 8 1 y z uy x xz 22 11 lnln lnln yy zz yy zz u xxxx yzz uyy xxxx zzz 9 已知 22 x y u xy 求证 3 uu xyu xy 证明 222223 22 2 2 uxyxyx yx yxy xxyxy 由对称性知 223 2 2 ux yyx yxy 于是 22 2 3 3 uux yxy xyu xyxy 10 设 11 e xy z 求证 22 2 zz xyz xy 证明 1111 22 11 ee xyxy z xxx 由z关于x y的对称性得 11 2 1 e xy z yy 故 111111 2222 22 11 ee2e2 xyxyxy zz xyxyz xyxy 11 设f x y x y 1 arcsin x y 求fx x 1 解 2 111 1 1 2 1 x fx yy yx x y y 则 1 1 01 x fx 12 求曲线 22 4 4 xy z y 在点 2 4 5 处的切线与正向x轴所成的倾角 解 2 4 5 1 1 2 zz x xx 设切线与正向 x 轴的倾角为 则 tan 1 故 4 13 求下列函数的二阶偏导数 1 z x4 y4 4x2y2 2 z arctan y x 3 z yx 4 z 2 ex y 解 1 2 3222 2 4812816 zzz xxyxyxy xxx y 由x y的对称性知 22 22 2 128 16 zz yxxy yy x 2 222 2 1 1 zyy xxyx y x 222 2222222 222 2 2222 22222 222222 22222 222222 022 11 1 2 2 2 zxyyxxy xxyxy zx yxxy y x zxy yxy zxyyyyx x yxyxy zxyxxyx y xxyxy 3 2 2 2 ln ln xx zz yyyy xx 2 12 2 2 11 2 111 1 1 ln 1ln ln 1ln xx xxx xxx zz xyx xy yy z yxyyyxy x yy z yxy yyxy y x 4 22 e2 e xyxy zz x xy 222 222 2 2 2 e22e22e 21 e 2 e 2 e xyxyxy xyxyxy z xxx x zzz xx yx yy x 14 设f x y z xy2 yz2 zx2 求 0 0 1 0 1 0 2 0 1 xxyzzzx fff 解 2 2 x fx y zyzx 2 2 2 0 0 1 2 2 2 0 1 0 0 2 2 0 2 0 1 0 xxxx y yzyz z zz zzxzzx fx y zzf fx y zxyz fx y zzf fx y zyzx fx y zy fx y zf 15 设z xln xy 求 3 2 z xy 及 3 2 z x y 解 ln 1 ln zy xxyxy xxy 23 22 23 22 1 0 11 zyz xxyxxy zxz x yxyyx yy 16 求下列函数的全微分 1 22 ex y z 2 22 y z xy 3 z y ux 4 y z ux 解 1 2222 e2 e2 xyxy zz xy xy 222222 d2 ed2 ed2e dd xyxyxy zxxyyx xy y 2 2222 3 2 22 12 2 zxxy y xyxxy xy 22 222 2222 3 2 y xyy xyzx yxyxy 22 3 2 d dd x zy xx y xy 3 11 ln zz zyyz uu y xxx zy xy 2 lnln yz u x xy y z 211 ddlndlnlnd zzz yyzyz uy xxxx zyyx xy yz 4 1 y z uy x xz 1 ln y z u x x yz ln y z uy x x zz2 1 2 1 ddlndlnd yyy zzz yy uxxx xyx xz zzz 17 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分 1 22 2 2 1 0 2 0 1 zxxyyxyxy 2 e 1 1 0 15 0 1 xy zxyxy 解 1 22 2 9 6881 68zxxxxyyyyz d 2 4 1 6zxyxxyy 2 0 265 eee e1 0 30e xxyyxy z deee 0 25e xyxyxy zyxxyy xx y 18 利用全微分代替全增量 近似计算 1 1 02 3 0 97 2 2 22 4 05 2 93 3 1 97 1 05 解 1 设f x y x3 y2 则 223 3 2 xy fx yx yfx yx y 故 df x y 3x2y2dx 2x3ydy xy 3xydx 2x2dy 取x 1 y 1 dx 0 02 dy 0 03 则 1 02 3 0 97 2 f 1 02 0 97 f 1 1 df 1 1 d0 02 d0 03 x y 13 12 1 1 3 1 1 0 02 2 12 0 03 1 2 设f x y 22 xy 则 2222 22 2 2 x y xx fx y xyxy y fx y xy 故 22 1 d dd f x yx xy y xy 取 4 3 d0 05 d0 07xyxy 则 22d0 05 d0 07 22 22 4 05 2 93 4 05 2 93 4 3 d 4 3 1 43 4 0 053 0 07 43 1 5 0 01 5 4 998 x y fff 3 设f x y xy 则 df x y yxy 1dx xylnxdy 取x 2 y 1 dx 0 03 dy 0 05 则 1 05d0 03 d0 05 1 97 1 97 1 05 2 1 d 2 1 20 03932 0393 x y fff 19 矩型一边长a 10cm 另一边长b 24cm 当a边增加 4mm 而 b 边缩小 1mm 时 求对角 线长的变化 解 设矩形对角线长为l 则 22 22 1 d dd lxylx xy y xy 当x 10 y 24 dx 0 4 dy 0 1 时 22 1 d 10 0 424 0 1 0 062 1024 l cm 故矩形的对角线长约增加 0 062cm 20 1mol 理想气体在温度 0 和 1 个大气压的标准状态下 体积是 22 4l 从这标准状态下 将温度升高 3 压强升高 0 015 个大气压 问体积大约改变多少 解 由pv rt得v rt p 且在标准状态下 r 8 20568 10 2 v dv 2 dd rtr pt pp dd vr pt pp 2 22 48 20568 10 0 01530 09 11 故体积改变量大约为 0 09 21 测得一物体的体积v 4 45cm3 其绝对误差限是 0 01cm3 质量m 30 80g 其绝对误差限 是 0 01g 求由公式 m v 算出密度 的绝对误差与相对误差 解 当 v 4 45 m 30 80 dv 0 01 dm 0 01 时 22 130 801 ddd0 010 01 4 454 45 0 0133 0 0133 m vm vv 当v 4 45 m 30 80 时 30 80 6 9213 4 45 d 0 00192160 19216 22 求下列复合函数的偏导数或全导数 1 22 cos sin zx yxyxuv yuv 求 z u z v 2 z arctan x y x u v y u v 求 z u z v 3 ln ee xy u y x3 求 d d u x 4 u x2 y2 z2 x e cos t t y e sin t t z et 求 d d u t 解 1 22 2 2 cos 2 sin 3sin cos cossin zzxzy xyyvxxyv uxuyu uvvvv 22 3333 2 sin 2 cos 2sin cos sincos sincos zzxzy xyyuvxxyuv vxvyv uvvvvuvv 2 2222222 111 11 xzzxzyyxv yuxuyuyxyuv xx yy 222 2222 111 1 11 xzzxzy yvxvyvy xx yy yxu xyuv 3 3 3 22 2 ddd11e3ee3e ee3 dddeeeeee ee xyxx xy xyxyxy xx uuxuyxx x xxxyx 4 dddd dddd uuxuyuz txtytzt 2 2 e cose sin 2 e sine cos 2e4e tttttt xttyttz 23 设f具有一阶连续偏导数 试求下列函数的一阶偏导数 1 22 e xy uf xy 2 x y uf y z 3 uf x xy xyz 解 1 1212 2e2e xyxy u fxfyxfyf x 1212 2 e2e xyxy u fyfxyfxf y 2 11 11u ff xyy 12122 2 22 2 2 11 xux ffff yyzyz uyy ff zzz 3 123123 1 u ffyfyzfyfyzf x 12323 33 0 u ffxfxzxfxzf y u fxyxyf z 24 设 y zxyxf u uf u x 为可导函数 证明 zz xyzxy xy 证明 2 zyy yxf uf uf uyf u xxx 1 z xxf uxf u yx 故 zzf u y xyxy xf uf uy xyx xf uxyyf uxyyf u xyxf uxy zxy 25 设 22 y z f xy 其中f u 为可导函数 验证 2 11zzz x xy yy 证明 22 22zyfxxyf xff 2 22 2 2zfy fyfy f yff 2 2222 112211zzyffy fyz x xyyfyfyffyy 26 22 zf xy 其中f具有二阶导数 求 222 22 zzz xx yy 解 2 2 zz xfyf xy 2 2 2 2 22224 224 z fxxffx f x z xfyxyf x y 由对称性知 2 2 2 24 z fy f y 27 设f是c2类函数 求下列函数的二阶偏导数 1 x xzf y 2 22 z f xy x y 3 sin cos ex yzfxy 解 1 1212 11 1 z ffff xyy 2 21221112111222 22 2 1222122222 22222 222 2 2 222 232 11121 1111 2 z fffffff yxyyyy xxzx ffffff yyyx yyyyy xzx ff yyy zxx ff yyy 2 2222 34 2 xxx ff yyy 2 22 1212 22 z fyfxyy fxyf x 2 2 22 2 2 11122122 4322 2111222 22 22 244 z yyfxy fyfxyfyfxy x yfy fxy fx y f 2 2 22 12 11122122 3322 12112212 22 1212 2 2 22 1 2 11122122 1 222 22 22225 22 22 22 2 z yfyxfxy fxyfxfxyfx x y yfxfxy fx yfx y f z fxyfxxyfx f y z xfxyx fxyfxfxyfx y xf 2234 111222 44 x y fx yfx f 3 1313 cosecose x yx y z fxfxff x 13 2 11133133 22 31111333 2 3 12133233 sincosee cosecose esincos2ecose cosee sin e sin x yx y x yx y x yx yx y x yx y x y z xfxf fxffxf x fxfxfxff z xf fyffyf x y 2 312133233 2323 2 23 2 22233233 e ecos sinecosesine sin esine cossinee sin e sin e x y x yx yx yx y x yx y x yx y x yx y fxyfxfyff z fyfyff y z yfyf fyffyf y 22 32222333 ecossin2esine x yx yx y fyfyfyff 28 试证 利用变量替换 1 3 xyxy 可将方程 222 22 430 uuu xx yy 化简为 2 0 u 证明 设 1 3 uffxy xy 22222222 22222 2222222 222 2 1411 1 1 3333 uuuuu xxx uuuuuuuu xxxxx uuuuuuu x y 2 2 u 22222222 22222 222 22 2222 222 11 1 33 111211 1 1 339333 43 14 24 33 uuuuu y uuuuuuuu y uuu xx yy uuuu 22222 222 2 12 3 93 4 0 3 uuuuu u 故 2 0 u 29 求下列隐函数的导数或偏导数 1 2 sine0 x yxy 求 d d y x 2 22 lnarctan y xy x 求 d d y x 3 220 xyzxyz 求 zz xy 4 33 3zxyza 求 2 2 zz xy 解 1 解法 1 用隐函数求导公式 设f x y siny ex xy2 则 2 e cos2 x xy fyfyxy 故 22 dee dcos2cos2 xx x y fyyy xfyxyyxy 解法 2 方程两边对x求导 得 2 cose02 x y yyxyy 故 2 e cos2 x y y yxy 2 设 22 22 1 lnarctanlnarctan 2 yy f x yxyxy xx 22222 2 121 2 1 x xxyy f xyxyx y x 22222 1211 2 1 y yyx f xyxxy y x d d x y fyxy xfxy 3 方程两边求全微分 得 2 ddd d2dd0 2 yz xxz yxy z xyz xyz 2 ddd xyzxyyzxyzxzxyz zxy xyzxyzxyz 则 2 ddd yzxyzxzxyz zxy xyzxyxyzxy 故 2 yzxyzxzxyzzz xyxyzxyxyzxy 4 设 33 3f x y zzxyza 2 3 3 33 xyz fyzfxzfzxy 则 22 3 33 x z fzyzyz xfzxyzxy 22 3 33 y z f zxzxz yfzxyzxy 2 2 222 2 2 232 223 2 2 2 2 zz zxxxz zxy xzyzy zxyyy zxy xzxz zxxxz zxy zxyx yzzxy xyz zxy 30 设f x y z 0 可以确定函数x x y z y y x z z z x y 证明 1 xyz yzx 证明 y xz xyz f ffxyz yfzfxf 1 yz x y zx fff xyz ff fyzx 31 设 11 0fyz xy 确定了函数z z x y 其中f可微 求 zz xy 解 121 22 11 0 x ffff xx 122 122 1 2 1 2 22 122 2 21 2 22 01 1 1 1 1 z y x z y z ffff fff y f ffz x xf fx f ff f fy fzy yf fy f 32 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数 1 22 222 2320 zxy xyz 求 dd dd yz xx 2 1 0 xuyv yuxv 求 uvuv xxyy 3 2 uf ux vy vg ux v y 其中f g是c 类函数 求 uv xx 4 esin ecos u u xuv yuv 求 uuvv xyxy 解 1 原方程组变为 22 222 2320 yzx yzx 方程两边对x求导 得 dd 22 dd dd 23 dd yz yx xx yz yzx xx 当 21 620 23 y jyzy yz 21 d16 61 3d622 31 22 d12 2d6231 x yxzxxz xzxjyzyyz yx zxyx yxxjyzyz 2 设 1 f x y u vxuyvg x y u vyuxv xyuv xyuv fufvfxfy gvgugygx 22uv uv ffxy jxy ggyx 故 22 xv xv ffuy ggvxuuxyv xjjxy 22 22 22 ux ux yv yv uy uy ffxu ggyvvvxuy xjjxy ff vy gg uxuvxuy yjjxy ff xv gg yuvxuvy yjjxy 3 设 f u v x yf ux vyu 2 g u v x yg ux v yv 则 12 1221 12 1 1 21 21 uv uv ffxff jxfyvgf g gg gvyg 故 12 12 1221 1221 21 21 1 21 xv xv uff ff gggyvgufyvgf gu xjj xfyvgf g 11 11 111 1221 1 1 1 21 ux ux xfuf ff gggggxfufv xjj xfyvgf g 4 uu x y vv x y 是已知函数的反函数 方程组两边对x求导 得 1e