对中国古代数学教育的再认识.pdf

学科教育 学科教育研究 19 97年第4期 对中 国古 代 数 学教育的再认识 刘洁民 任何一个国家的教育 包括数学教育 都是在一定的社会文化背景下进行的 教师和学生 都会受到相应国家或民族的传统观念 文化意识 思维方式与生活方式等方面的影响 从而 使得对数学的学习和理解打上民族文化的印记 例如 由于各国日常的计量体系 的差异 不 同国家的学生建立整数概念与发展运算能力的过程颇为不同 由于各种语言的乘法表读音不 同 使学生掌握有难易之分 因此 自8 0年代中期以来 从文化角度研究数学教育的理论 与实践的问题已逐渐为各国数学教育家所关注 为了建立既适合中国国情 又适应世界文化 发展与科技进步的单国数学教育体系 重新认识柬国古代数学教育的理论与方法并从中获得 某些借鉴是完全必要 的 中国传统数学的发展主要受官方及民间 的实际需要推动 数学书 的内容与体裁均 主要为 实用而设 数学不仅历来被作为政府管理各项事务的工具 还被作为官方培养与选拔人才的 手段 从而决定了束国古代数学教育的官学性质 单国古代数学家所关心 的大多是较为实用 的问题 理论研究则主要是直接为实用 问题的结果提供保障 在解决数学问题时所关 心的首 先是如何得到 可以直接应用 方便操作的解 另一方面 由于他们所关心的数学问题一般 都有直接的现实背景 如果问题的解在物理的或一般现实的意义上是存在的 在不超出 当 时数学能力的前提下 这些问题也恰好比较方便得到构造性的解 由此又决定 了在中国传 统数学中处于支配地位的方法是计算和模型方法 倾向于对现实世界中 的 问题给出强有力 的概括 从而使多种类型的问题得到统一的处理 而这种处理的核心是找到准确而高效率 的算法 此外 由于缺乏符 一号式 的表示方式 其模型又采取了具体问题的方式 这样的数 上接第 2 5页 七 利 用视听手段 努力创设俄语学习环境 这条原则揭示在俄语教学中应如何利用电化教学手段 在高中俄语教学中 随着教学设 备的改善要广泛利用电化教学手段 电化教学手段包括录音机 幻灯机 投影器 录像机 电视机和 电影机 以及相应的软件 录音带 录像带 教学影片等 电化教学 可以使声音 图像和语言文字有机地结合起来形成 三维空 间 在这种三维空 问里进行俄语教学 学生容 易进人交际角色 所学的俄语材料在声 像和语言所构成的情景中更容易再现出来 并且可 使学生在心理上进人最佳联想状态 最佳认知状态和最佳行为准备状态 精心设计的电化教 学 不仅可以加深学生对语言材料的理解 强化记忆 而且可以加快课堂教学的频率 增加 练习的人次 高中阶段 阅读训练为主 课文多 选自原著 在这种情况下使用 电化教学手段 更有必要 电化教学在为学生提供逼真的语言环境时 还可以帮助学生直接接触所学语言国 家的文化 风俗和习惯 使语言学习与 了解有关文化背景知识有机地结合起来 从而有助于 学生迅速 准确地掌握俄语 因此 这条原则还有助于第 5条原则的贯彻 本文系作者应 2 1cme 课题组之邀 所作研究成果的摘要 学科教育 学科教育研究 1卯7年第4期 学观念和方法 自然地导向机械化 构造性的算法体系的建立 中国传统数学的特点和数学 教育的目的 决定了数学教育的内容是为传授应用技能而设计的 在思想和方法上采取了注 重应用 以问题为中心 以算法为基础 主 要依靠归纳思维建立数学模型 强调基本法则及 其推广的一整套模式 1 实验归纳法与启发式 众所周知 归纳推理与演绎推理是人类思维过程中最基本的两 种方式 在历史上 以希腊数学为源头 的西方数学依赖逻辑和形式推演 主要使用演绎法 中国传统数学相信经验 较多地借助直观 最本质的方法是归纳 认识过程是 由特珠到一 般 数学知识是针对具体的对象 通过观察 操作 比较 分析的过程 然后归纳 概括的 产物 强 调实用 讲求效率 推崇算法的简洁直接 注重结果 从而在数学教育的方法上强 调 启发式 强调反复思索 借助直观 形数结合 把握基本规律 强调概括与推广能力 数 学教育首先需要考虑的是由学生的年龄和受教育程度所决定的知识结构 接受能力和思维品 质 学生在学习中 通常需要经历一个从感性到理性 从特殊到一般 从具体到抽象的认识 过程 因而归纳法以及与之密切 相关 的启发式就成了数学教育 中最基本的方法 而这正是 中国传统数学所擅长的 也是我们强 调 中国古代数学教育理论与实践的现代价值的基本依据 2 形数结合 从本质上说 数学是一个整体 在传统意义上 数学以数与形作为两个基 本的研究对象 在数学发展 的早期 数与形本来就是结合在一起的 在古希腊 公元前 5世 纪 的毕达哥拉斯学派最初以数 自然数及其比 作为全部数学的基础 许多几何结果是受数量 关 系的启发而得到的 数学研究是以形数结合的方式进行的 但是 由于不可通约量的发现 使毕达哥拉斯学派形数结合的传统被打破 造成形 与数的 长期分离 对希腊人来说 这完全 是迫不得已的事 并且在很大程度上妨碍了希腊数学的全面发展 在西方 这种形数分离的 局 面直到1 7世纪解析几何创立才得到改变 形数结合 代数与几何结合 这是近代数学的 关键性思想之一由于历史的原因 西方数学中形数结合的思想与方法更多地体现在高等数 学 中 中国传统数学由于没有经历不可通约量造成的危机 一直保持着形数结合的传统 许 多典型 的算术与代数方传 如比率算法 高次方程数值解法 在几何学领域广泛应用 而几何 学的原理与方法又被成功地用于代数 数论等领域 由于中国传统数学基本上 属于初等数学 范围 其中采用形数结合方法得到 的许多结果恰好可以给今天 的数学教育提供借鉴 支抽象与直观结合 在数学研究中 抽象化使得理论研究具有极大的一般性 统一性 概括性 系统性和严格性 而直观方法却具有极大的启发性 常常是作出数学发现的向 导 在数学教育中 直观方法有助于学生理解抽象的数学 内容 在学生数学能力发展的早 期 在接触一个新概念或抽象程度很高的新结果时 直观方法往往都是不 可缺少的辅助手 段 抽象性是数学的基本特点之一 也是传统的西方模式的数学教育 中刻意强调 的方面 但 是 在数学内容的抽象性达到一定程度之后 常常会有这样的情形 学生似乎已经掌握了有 关的概念和方法 能够仿照教材中的例题完成推导和证明 却不知道 自己做的是什么 为什 么要这样做 这种现象在学习高等数学时表现得尤为突 出 一个长而抽象的数学证明或推理 过程 学生能理解耳个具体步骤 但对整个过程却感到茫然 换言之 漂亮的抽象掩盖了数 学内容的实际背景 和数学思维的实质 从而对真正的理解造成了障碍 还应当指出 数学的另 一个重要特点是广泛的可应用性 培养应用能力也是近年来的数学教育研究中反复强调而未 能很好解决的问题 而直观方法恰好可以作为抽象的理论与具体的实践之间的桥梁 在这些 方面 中国传统数学及数学教育 中抽象与直观相结合的方法应能给我犷1 些启示 学科教育 学科教育研究 19 97年第4期 4 模型化与建模意识 以问题为 中心 以算法为基础 主要依靠归纳思维建立数学模 型 强调基本法则及其推广 是中国传统数学思想的精髓 中国传统数学的实用性 要求数 学研究的结果必须能对各种实际问题进行分类 对每类问题给出统一的解法 以归纳为主的 思维方式和以问题为 中心的研究方式 倾向于建立基本问题的结构与解题模式 一般问题则 被化归 分解为基本问题解决 由于中国传统数学未能建立起一套抽象的数学符号系统 对 一般原理 法则的叙述一方面是借助文辞 一方面是通过具体问题的解题过程加以演示 使具体问题成为相应的数学模型 根据今天 的观点 数学模型是对现实世界 的某一特定对 象 为某个特定目的做出一些必要的简化和假设 运用适当的数学工具描述和揭示对象的某 些特征而得到 的一个数学结构 它或者能解释特定规象的现实性态 或者能预测对象的未来 状态 或者能提供处理对象的最优决策或控制 从总体上说 现代所说的数学模型是可以用 来解决具体问题的抽象结构 而中国古代的数学模型则是用以揭示一般方法的具体问题与解 题模式 接近 于现代的应用性模型 二者表面上 虽不一致 但本质上是相通的 在现代数学 教育中 人们往往过多地强调了数学模型 的抽象性 从而担心在 中小学阶段谈建模超出了学 生的知识水平和抽象能力 从实践上看 目前国内外的建模教育也主要是在大学中进行的 所用方法也多 属于高等数学范围 而中国古代数学模型 的具体性与典型性 加之所涉及的内 容一般属 于初等数学范围 恰好适用于中小学学生的知识水平与思维水平 从而可以为今天 的数学教育改革提供生动 的素材和有益的借鉴 5 位置式思 维 从历史上看 数学 特别是代数学 的表述方式最初都是文辞式的 即 对问题及其解的表达不 用缩写和符号 而是写成一篇论说文 当数学发展到一定阶段 其表 述方式也随之发展 主 要有两类模式 使用表音文字的文化系统 希腊 印度 欧洲 对某些 较常 出现的量和运算采用 了缩写的方式 最终形成了今天通用的数学符号体系 使用表意文 字 象形文字 的文化系统 以中国为代表 倾向于发展位置式的表述 汉字的基础是象形 它 的进一步发展 是形旁 音旁的搭配 与位置组合 因此 汉字有着天然的形象性与位置性 与之相适应 位置思想在 中国传统数学的筹式演算体系中从一开始就占据着核心地位 数学 计算 推演均以位置化的筹式演算为中心 表现为较单一的数字阵变换 这种方便 直观 富有启发性的表示方法为中国传统的算术与代数学带来了极为丰硕的成果 位置式思维是中 华民族擅长 的思维方式 在教学中值得注意 例如 现代数学虽然主 要是符号化的 但其中也 有许多位置化的因素 例如 十进位值制记数法 坐标方法 行列式 矩阵 组合数学 排 列 幻方 拉 丁方 图论 置换群等 这些内容相对来说也是中国学生所易于接受和掌握 的 了解这些对编 写教材和实 际教学可能具有某种参考价值 6 程序化与构造性思想 中 国传统数学本质上是一种构造性 数学 数学对象及结果基 本上均可 由固 定的演算程序经有限步骤得到 各种计算均依固定的演算程序进行 发展起一 套程