椭圆及其性质.doc

圆锥曲线-椭圆及其性质一、知识梳理1、 椭圆的定义:椭圆的第一定义平面内与两个定点的距离之和为常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.注：即设是平面上两定点，P为平面上一动点，则.2、 椭圆的标准方程:若焦点在x轴上，则标准方程为；若焦点在y轴上，则标准方程为。其中，且.3、椭圆的几何性质：焦点、顶点、长轴、短轴、a、b、c的关系:定义平面内到两个定点的距离之和等于定长（）的点的轨迹标准方 程椭圆：（）；椭圆：（）；几何性质焦点坐标，顶点，； ，；，；，；范围，；，；对称性关于轴均对称，关于原点中心对称；的关系4、直线与椭圆的位置关系:将直线方程与椭圆方程联立组成方程组，消元后得到一个一元二次方程.根据判别式：当0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相交；当0时，直线与椭圆相离.焦点弦长公式：直线与椭圆方程相交通过联立方程应用韦达定理来求解得：；若分别为A、B的纵坐标，则.5、点与椭圆的位置关系：设点，椭圆方程为，则：（其中为椭圆焦点）.二、典型例题例1 已知椭圆方程，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，求：的面积（用a、b、表示）分析计算三角形的面积有多种公式可供选择，其中与已知条件联系最密切的当为，所以应围绕进行计算.解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限由余弦定理知： 由椭圆定义知： 则得故 求椭圆方程：例2 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求m的值分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值解：方程变形为因为焦点在轴上，所以，解得又，所以，适合故例3 已知动圆P过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程解：如图所示，设动圆和定圆内切于点动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：补例练习 1、已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程2、椭圆的左、右焦点是、，P是椭圆上一点，若，则P点到左准线的距离是（ ）A2 B.4 C.6 D.83、设为椭圆的焦点，P是椭圆上的点，=5，则等于（ ）A B C D4、设是椭圆的右焦点，P（）是椭圆上的点，则=（ ）A B C D求离心率：例4已知、是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A B C D解设椭圆方程为，则过且与椭圆长轴垂直的通径.若是正三角形，则，即，故. 例5 若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为（ ）ABCD分析：对于中心不在原点的圆锥曲线，曲线的几何特征并没有变化例6 如图43-3，B（），C（），垂足为H，且.（1） 若=0，求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率；（2） D分有向线段的比为，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，当时，求椭圆的离心率的取值范围.解（1），又 ，设，由，得，即，椭圆长轴（2） 设D(),分有向段线段的比为，设椭圆方程为，将A、D点坐标代入椭圆方程， 由得，代入，整理得 ，又，点评式还可变为，则可解不等式：.补例练习1若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则=（ ）.A B C D2设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D3点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A B C D4已知依次成等差数列，又，依次成等比数列，则椭圆的离心率= .例7 当m为何值时，直线l：yxm与椭圆相切、相交、相离？例8 已知P(4,2)是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程解：方法一：设所求直线方程为代入椭圆方程，整理得设直线与椭圆的交点为，则、是的两根，为中点，所求直线方程为方法二：设直线与椭圆交点，为中点，又，在椭圆上，两式相减得，即所求直线方程为方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为，另一个交点、在椭圆上，从而，在方程的图形上，而过、的直线只有一条，所求直线方程为例9 已知椭圆及直线（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，即 ，解得（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，由（1）得，根据弦长公式得 解得因此，所求直线的方程为例9已知椭圆，（1）求过点且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足，求线段PQ中点M的轨迹方程解：设弦两端点分别为，线段的中点，则 得由题意知，则上式两端同除以，有，将代入得 （1）将，代入，得，故所求直线方程为 将代入椭圆方程得，符合题意，故即为所求（2）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）（3）将代入得所求轨迹方程为 （椭圆内部分）（4）由得 ， 将平方并整理得 ， ， 将代入得 ， 再将代入式得 ， 即 三、巩固练习一、选择题1、若椭圆的方程为，则其长轴长为 ( )A 、3 B、 4 C、 6 D、 92化简方程=10为不含根式的形式是（ ） （A） （B） （C） （D）3、若ABC的两个顶点坐标，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是( ) 4、椭圆的焦距等于2，则=( )A、5或3 B、8 C、5 D、65已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是 （ ） A B或 C D或6.设P为椭圆上一点,为焦点,如果,那么椭圆的离心率为 ( ) A. B. C. D.7、(山西)椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则=（ ）A B C D48、椭圆的短轴长，焦距长，长轴长组成等差数列，则此椭圆的离心率为 ( )9、椭圆的焦点为和 ，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的( )A、倍 B、倍 C、倍 D、7倍10、如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A、 B、 C、 D、二、填空题11、直线过椭圆的焦点, 则 .12 方程表示在轴上的椭圆，则的取值范围是 。13椭圆的两焦点把长轴长分成三等分，则这个椭圆的离心率是 。14如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，POF2是面积为的正三角形，则b2的值是 .三、解答题15、求以椭圆的焦点为焦点，且过点的椭圆标准方程。16、已知点是椭圆上一点，为椭圆的焦点，且的面积等于8，求点的坐标。17、设P为椭圆上的点,