2019年高中数学第三章立体几何中的向量方法第一课时空间向量与平行、垂直关系练习（含解析）新人教A版选修.docx

第一课时空间向量与平行、垂直关系1.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量.若l1l2,则(D)(A)x=6,y=15 (B)x=3,y=(C)x=3,y=15 (D)x=6,y=解析:由l1l2得,=,解得x=6,y=.故选D.2.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是(A)(A)(2,2,6)(B)(-1,1,3)(C)(3,1,1)(D)(-3,0,1)解析:因为A,B在直线l上,所以=(1,1,3),与共线的向量(2,2,6)可以是直线l的一个方向向量.故选A.3.直线l的方向向量为a,平面内两共点向量,下列关系中能表示l的是(D)(A)a= (B)a=k(C)a=p+ (D)以上均不能解析:A,B显然不能,而a=p+能表示l或l.故选D.4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个法向量是(D)(A)(1,1,-1) (B)(1,-1,1)(C)(-1,1,1) (D)(-1,-1,-1)解析:=(-1,1,0),=(-1,0,1).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有取x=-1,则y=-1,z=-1.故平面ABC的一个法向量是(-1,-1,-1).故选D.5.设平面的法向量的坐标为(1,2,-2),平面的法向量的坐标为(-2,-4,k).若,则k等于(C)(A)2(B)-4(C)4(D)-2解析:因为,所以=,所以k=4.6.已知直线l1的方向向量是a=(2,4,x),直线l2的方向向量是b=(2,y,2).若|a|=6,且ab=0,则x+y的值是(A)(A)-3或1 (B)3或-1 (C)-3 (D)1解析:由题意知|a|=6,解得x=4,由ab=4+4y+2x=0,得x=-2y-2.当x=4时,y=-3,所以x+y=1,当x=-4时,y=1,所以x+y=-3,综上,x+y=-3或1.7.已知平面内有一个点A(2,-1,2),的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面内的是(B)(A)(1,-1,1) (B)(1,3,)(C)(1,-3,-) (D)(-1,3,-)解析:依题意知,n,所以n=0,逐一验证可知,选B.8.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则(B)(A)EF至多与A1D,AC之一垂直(B)EFA1D,EFAC(C)EF与BD1相交(D)EF与BD1异面解析:以D为原点,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz(图略),设正方体棱长为3,则A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),D(0,0,0),D1(0,0,3),A1(3,0,3),E(1,0,1),F(2,1,0),所以=(1,1,-1),=(-3,-3,3),=(-3,0,-3),=(-3,3,0),因为=-3+0+3=0,=-3+3+0=0,=-3,所以EFA1D,EFAC,EFBD1.故选B.9.已知直线l的方向向量为(2,m,1),平面的法向量为(1,2),且l,则m=.解析:因为l,所以l的方向向量与的法向量垂直.所以(2,m,1)(1,2)=2+m+2=0.解得m=-8.答案:-810.若平面的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面的一个法向量为u2=(6,-2,z),且,则y+z= .解析:因为,所以u1u2,所以=,所以y=1,z=-4,所以y+z=-3.答案:-311.若平面,的法向量分别为u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),则与的位置关系是 .解析:因为u与v既不平行也不垂直,所以与斜交.答案:斜交12.若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面内三点,设平面的法向量为a=(x,y,z),则xyz=.解析:=(1,-3,-),=(-2,-1,-),由得解得则xyz=yy(-y)=23(-4).答案:23(-4)13.如图,已知PA矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)指出直线MN的一个以A为起点的方向向量;(2)若PDA=45,求证为平面PCD的一个法向量.(1)解:如图,取PD的中点E,连接NE,AE,因为N是PC的中点,所以NEDC.又因为DCAB,AM=AB,所以AMCD,所以NEAM,所以四边形AMNE是平行四边形,所以MNAE.所以为直线MN的一个以A为起点的方向向量.(2)证明:在RtPAD中,PDA=45,所以AP=AD,所以AEPD.又因为MNAE,所以MNPD.因为PA平面ABCD,所以PACD.又因为CDAD,所以CD平面PAD.因为AE平面PAD,所以CDAE.又因为MNAE,所以CDMN,所以MN平面PCD.所以为平面PCD的一个法向量.14.如图,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD为等边三角形, AD=DE=2AB,F为CD的中点.(1)求证:AF平面BCE;(2)求证:平面BCE平面CDE.证明:设AD=DE=2AB=2a,建立如图所示的坐标系Axyz,则A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,a,0),E(a,a,2a).因为F为CD的中点,所以F(a,a,0).(1)因为=(a,a,0),=(a,a,a),=(2a,0,-a),所以=(+),又AF平面BCE,所以AF平面BCE.(2)因为=(a,a,0),=(-a,a,0),=(0,0,-2a),所以=0,=0,所以,.因为CDED=D,所以AF平面CDE.又AF平面BCE,所以平面CDE平面BCE.15.(2018浙江温州高二检测)如图,已知在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA平面ABCD,E,F分别是线段AB,BC的中点.(1)证明:PFFD;(2)判断并证明PA上是否存在点G,使得EG平面PFD.(1)证明:因为PA平面ABCD,BAD=90,AB=1,AD=2,如图,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0).不妨令P(0,0,t),所以=(1,1,-t),=(1,-1,0),所以=11+1(-1)+(-t)0=0,所以,即PFFD.(2)解:存在.设平面PFD的法向量为n=(x,y,z),由得令z=1,解得x=y=,所以n=(,1).设点G的坐标为(0,0,m),又E(,0,0),则=(-,0,m).要使EG平面PFD,只需n=0,即(-)+0+m1=0,即m-=0,解得m=t,从而满足AG=AP的点G即为所求.16.如图,PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BFPE时,AFFD的值为(B)(A)12(B)11(C)31(D)21解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E(,1,0),P(0,0,a).设点F的坐标为(0,y,0),则=(-1,y,0),=(,1,-a).因为BFPE,所以=0,解得y=,即点F的坐标为(0,0),所以F为AD的中点,所以AFFD=11.故选B.17.在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B,AC的中点,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(B)(A)相交(B)平行(C)垂直(D)不能确定解析:建系如图,设正方体的棱长为2,则A(2,2,2),A1(2,2,0),C(0,0,2),B(2,0,2),所以M(2,1,1),N(1,1,2),所以=(-1,0,1).又平面BB1C1C的一个法向量为n=(0,1,0),因为-10+01+10=0,所以n,又MN平面BB1C1C,所以MN平面BB1C1C.故选B.18.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果=(2,-1,-4), =(4,2,0),=(-1,2,-1).给出下列结论:APAB;APAD;是平面ABCD的一个法向量.其中正确的是(填序号).解析:因为=2(-1)+(-1)2+(-4)(-1)=-2-2+4=0,所以,则ABAP.因为=4(-1)+22+0=0,所以,则APAD.又ABAD=A,所以AP平面ABCD,故是平面ABCD的一个法向量.答案:19.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若,=(x-1,y,-3),且平面ABC,则= .解析:因为,所以=0,所以3+5-2z=0,所以z=4.因为=(x-1,y,-3),且平面ABC,所以即解得所以=(,-,-3).答案:(,-,-3)20.在三棱锥PABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=3,G是PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BEEC=PFFB=12.(1)求证:平面GEF平面PBC;(2)求证:EG与直线PG和BC都垂直.证明:(1)如图,以三棱锥的顶点P为原点,以PA,PB,PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Pxyz.则A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0).于是=(