势阱中粒子运动的能级和波函数毕业论文.doc

晋晋 中中 学学 院院 本科毕业论文 设计 题题 目目 势阱中粒子运动的能级和波函数 院院 系系 物理与电子工程学院 专专 业业 物理学 晋中学院本科生毕业 设计 论文 1 一维势垒 一维散射中的几率密度 摘 要 利用数值计算方法研究了粒子在一维 方形 势垒中运动时的粒子的几 率分布 并给出了几率密度图 从这些图我们可以清楚的看出不同能量的粒子在 方形 势垒散射时的几率分布情况 并讨论了透射系数 反射系数与势垒宽度的关系 关键词 几率密度 势垒 几率密度 阶梯势 势垒 几率密度阶梯势 势垒 几率密度 阶梯势 势垒 晋中学院本科生毕业 设计 论文 2 One dimensional square potentials One dimensional square potentials Author s Name JianPing Gong Tutor JianPing Gong ABSTRACT In this paper we outline the quantitative calculation of the stationary states of the particle We limit ourselves to one dimensional models We shall give the results of this calculation for a certain number of simple cases and discuss their physical implications We study the motion of a particle in a square potential whose rapid spatial variation for certain values of introduce purely quantum effects We consider the quantum mechanics of x a particle which encounters the potential step with and We 0 EU 0 0EU next study more complicated potential form the rectangular potential barrier We draw as a function of by numerical calculation From this figure we 2 x can see clearly an important difference between classical mechanics and quantum mechanics KEYWORDS Probability density Potential steps Potential barriers Classical mechanics Quantum mechanics Keywords Keywords 用小三号号 Times New Roman 加粗顶格 内容用四号 Times New Roman 段前 空 0 行 行距采用固定值 22 磅 采用悬挂缩进 约 9 2 字符 与上面的内容对齐 单词后加分号后打一 个空格 然后再写下一个词 最后一个词不用分号 晋中学院本科生毕业 设计 论文 目 录 引引 言言 1 1 势垒模型与量子力学方程势垒模型与量子力学方程 2 1 1 势垒模型 2 1 1 1 势垒模型 2 1 1 1 1 势垒模型 2 1 2 量子力学方程与边界条件 3 2 阶梯势垒散射阶梯势垒散射 5 2 1 模型与方程 5 2 2 0 EU 的情况 6 2 3 0 EU 的情况 8 2 4 0 U 的情况 9 3 方形势垒散射方形势垒散射 12 3 1 模型与方程 12 3 2 0 EU 情况 12 3 3 0 EU 情况 15 3 4 0 EU 情况 16 总总 结结 17 致致 谢谢 17 目录前空一行 三号 黑体 居中 1 25倍行距 目录两字间空四格 与正文空一行 引言总结第几章等一级标题用小 三号 宋体加粗 顶格 单倍行 距 章标号用阿拉伯数字 数字用 Times New Roman字体 二级标 题不加粗 晋中学院本科生毕业 设计 论文 注注 释释 17 参考文献参考文献 17 附录附录 19 晋中学院本科生毕业 设计 论文 1 引引 言言 一维势垒散射问题属于量子力学非束缚定态的基本问题 几乎所有的量子力学著 作中均作为主要内容加以阐述 1 5 对该问题深入讨论可以初步掌握经典力学与量子 力学所给出的粒子的穿越势垒的不同行为的基本特征 但是大部分都是着重描述粒子 在势垒存在时的穿过势垒的透射系数或被势垒反射回来的反射系数 而对于势垒存在 时微观粒子的几率分布的情况却描述较少 由其对于势垒中粒子的几率分布情况更是很 少涉及 并且一些书中 1 2 给出粒子穿越势 垒时的波动图像存在问题 如图 0 1 因为对 于非束缚定态问题粒子的波函数是复函数 一般情况下很难在二维图像中表示 如果说 这里给出的是粒子的几率分布图像 那么由于穿过势垒后波函数一般形式是 ikx e 所以几率分布显然应该是一常数 并不存在任何的波动 为了能够对粒子在穿越势 2 垒时的几率分布有一个清晰的认识 我们分别对粒子穿越阶梯形势垒和方形势垒的不 同情况下的几率分布通过计算机数值计算给出了相应的几率密度图像 本文讨论的阶梯势垒与方形势垒由于模型简单 数学计算相对容易而使得物理图 像清晰 对于深入理解粒子穿越势垒时的物理图像有一深刻正确的了解可以起到一定 的作用 图 0 1 粒子穿越势垒时的波动图 像 每章后另起一页 用 插入分页符的方法 引言 每章题目 总结 格式 上面输入一空行 居 中 三号黑体加粗 单倍 行距与段后空0 5行 级 别为标题1 首行缩进两字符 小四号宋体 对只有单行公式 或无公式的段落如 行距一般采用固定 ikx e 值22磅 此值为了页面美观可适当调整 引文文献号用上标 加方括号标出 论文中的插图 除示意图可用Word软 件中的绘图工具绘制外 函数图应用专 门绘图软件绘制 所有插图要按章统一 编号 并与文中对应 每幅图要有简要说 明 说明文字用五号字 行距采用最小值 0磅 数字用Times New Roman字体 文字用宋体 位于插图下方中央 图的大 小要适中 当图较小时一般置于版面右 侧 注意与左侧空出0 5厘米 插图中所 插字符应用公式编辑器编好后 转成图 片格式 其字符大小为10 5磅 在解释文 字中所用的数学字符也要用公式编辑 插入 字号大小为10 5磅 引言一般包括课题问题的提出 前人在该问题有关领域已经做过的工 作和成果的概述 本课题的内容和采 用的方法 本论文的结构说明等 正文从引言开始起 编页码 统一采用单 面打印 页码右对齐 晋中学院本科生毕业 设计 论文 2 1 势垒模型势垒模型与量子力学方程与量子力学方程 1 1 势垒模型势垒模型 1 1 1 势垒模型势垒模型 1 1 1 1 势垒模型势垒模型 如果空间中有两个区域 并且在这两个区域内粒子的势能都比它在这两个区域的 分界面上的势能小 我们就说 这两个区域是由一个势垒分隔开的 图 1 1 所示的一维势垒可以作为一 维势垒最简单的例子 纵轴上标出势能 它是粒子的坐标的函数 在 U xx 点上势能具有极大值 整个空间 0 x 0 U 在这一点上分为两个区域 x 和 在这两个区域内 0 xx 0 xx m UU 如果我们根据经典力学来考察粒子在场 中的运动 我们马上可以说明 势垒 的意义 粒子的总能量等于E 1 1 2 2 p EU x 式中为粒子的动量 为它的质量 从 1 1 解出动量 我们得到p 1 2 2 p xEU x 上式中的符号应该根据粒子的运动方向来选择 如果粒子的能量大于势垒的 E m U 高度 则当粒子的初始动量时 粒子可以毫无阻碍地从左边向右边通过势0p 垒 而当粒子的初始动量时 粒子通过势垒的方向正好相反 0p 假设粒子是从左向右运动的 其总能量小于 于是在某一点 势能E m U 1 x 粒子将停止下来 它的全部动能转化为势能 因而运动将向相 1 U xE 1 0P x 反的方向进行 是反转点 因此 当时 从左边来的粒子不能穿过势能极大 1 x m EU 值的区域 因而便不能进入第二个区域去 相似地 如果粒子是从右向 0 xx 0 xx 左运动的 而且 则它便不能进入第二个反转点后面的区域去 因为在点 m EU 2 x 2 x 上 参阅图 1 1 因此对于所有能量小于的粒子来说 势垒都是一个 2 U xE m U 不透明 的壁垒 相反地 对于能量大于的粒子 势垒则是 透明 的 这也 m U 就说明了 势垒 这个名称的来源 U x m EU m EU m EU x 0 x O 图 1 1 一维势垒 1 x 2 x 数字与标题间空一格 数字用Times New Roman字体 文字用黑体加粗 字号均为三号 居中 二级标题级别为标题2 格式左对齐首行缩进2 字符 或1 7字符 与正文首行对齐即可 数字用 Times New Roman字体 文字用黑体加粗 字号均为四 号 数字与文字空一格 单倍行距 如在章标题下或位 于本页第一行 段前空0行 段后空0 5行 如在文中位 置时采用段前空1行 段后空0 5行 三级标题级别为标题3 格式左对齐首行缩进2 字符 数字用Times New Roman字体 文字用宋体加 粗 字号均为小四号 数字与文字空一格 单倍行距 如 在章标题下或位于本页第一行 段前空0行 段后空 0 5行 如在文中位置时采用段前空1行 段后空0 5 行 四级标题级别为标题4 格式左对齐首行缩进2 字符 数字用Times New Roman字体 文字用宋体加 粗 字号均为小四号 数字与文字空一格 单倍行距 如 在章标题下或位于本页第一行 段前空0行 段后空 0 5行 如在文中位置时采用段前空1行 段后空0 5 行 一般不要用四级 晋中学院本科生毕业 设计 论文 3 为了进一步理解势垒这个概念 我们想象一个质量为 在图 1 2 所表示的那种 力函数作用下的粒子 xl 0U x 0 U x xxl 2 m U Uxl 2 m UU x lx m UU 0 U x 在横坐标为和的两个点之间 粒子受到一个力的作用 此力的指向与l x F 轴的单位矢量相反Ox x e 2 m x U Fe 在这个区域之外 势能 或为一常数 m U xU 0U x 而力等于零 在时刻 以速度 在横 0 t 0 v 坐标为的点处接近这一区域的粒子由于的作用而减速 由此得运动方程 x F 2 000 4 m U xttvttl 只有当方程 2 000 4 m U lttvttl 具有实根时 粒子才能到达横坐标为的点 这就要求 l 2 0 1 2 m vU 如果不是这样 粒子的能量小于E m U 1 3 2 0 1 2 m EvU 这个粒子就不可能到达势能变化区的端点 因而粒子要被反射回来 并重新向反向运 动 使趋于零 而保持值不变 力就变的无限大 作用区变得无限薄 方程 1 3 所表 示的结果依旧成立 因为它与宽度无关 1 2 量子力学方程与边界条件量子力学方程与边界条件 如果我们谈的是微观粒子在微观场中的运动 也就是在谈到不能略去量子效应的 U x m U x l O 图 1 2 一维势垒粒子受力分析 l ex l 论文中的公式统一用Word软件中的公式编辑器书写 主 要公式要按章统一进行编号并与论文中的叙述一致 编号 数字用Times New Roman字体 右对齐 未编号的公式要居 中 如单行公式行距采用固定值22磅 多行公式行距采用 最小值0磅 为了页面统一 所有正文内容 文字图表均就在此线 框内 最上 下 面的线及左右线与页面标志对齐 注 意要使内容与横线的内侧线对齐 如果首行为多行 公式 应在公式前插入一空行 此空行的行距为固定 值5磅 当下端内容与下面的内侧线有空白时 要行 当调整本面中的行距使之对齐 另起一页时除外 二级标题级别为标题2 格式左对齐首行缩进2 字符 或1 8字符 与正方首行对齐即可 数字用 Times New Roman字体 文字用黑体加粗 字号均 为四号 数字与文字空一格 单倍行距 如在章标 题下或位于本页第一行 段前空0行 段后空0 5 行 如在文中位置时采用段前空1行 段后空0 5 行 晋中学院本科生毕业 设计 论文 4 运动时 在势垒附近发生的现象就完全不同了 在这种情况下 与经典力学的结论相 反 能量大于势垒高度的粒子有一部分为势垒反射 而能量小于的粒子也有E m U m U 一部分会穿过势垒 在量子力学里 必须知道波函数 因此必须要解薛定谔方程 1 4 22 2 2 iU x tx 一维散射问题是一个非束缚态问题 与时间无关 而是正的 因此令 U xE 1 5 E it x tx e 由此得到 1 6 22 2 2 d U xE dx 按照势能的形式 方程 1 6 一般需要分成几个部分求解 将上式改写成如下形式 U x 1 7 2 2 2 0 d k dx 1 8 2222 11 22 22 kEkk nxEU x 为了确定波函数要满足的边界条件 我们把和看作是 的缓变函数 在 U x n xx 图 1 2 中为方便取 于是 在点附近对方程 1 7 求积分 我们得到0l 0 x 2 2 2 0 d dxkdx dx 即 2 22 1 2 0 d dxknxdx dx 由此得 1 9 22 1 knxdx 当取极限时 我们得到一个边界条件0 1 10 0 0 其次 根据波函数的连续性的普遍要求 我们有第二个边界条件 1 11 0 0 因为在点并没有任何特殊之处 所以条件 1 10 和 1 11 在任一点都能得到满足 0 x 实际上上述边界条件在任何势能函数跃变的地方均可以满足 晋中学院本科生毕业 设计 论文 5 2 阶梯势垒散射阶梯势垒散射 2 1 模型与方程模型与方程 本章中 我们将讨论体系势能在无限远处为有限的情况 这时粒子可以在无限远处 出现 波函数在无限远处不为零 由于没有无限远处波函数为零的约束 体系能量可以 取任意值 即能级组成连续谱 这类问题属于粒子被势函数散射的问题 粒子从无限远 处来 被势场散射后又到无限远处去 在这类问题中 粒子的能量是预先给定的 考虑在一维空间中运动的粒子 它的势能在有限区域内等于常量 0 x 而在区域内等于零 即 0 00 UU0 x 2 1 0 0 0 0 U xUx U xx 我们称这种势为阶梯势垒 图 2 1 具有一定能量的粒子由势垒左方向右方运动 E 0 x 在经典力学中 只有能量大于的粒子才能越过E 0 U 势垒运动到的区域 能量小于的粒子运动到势0 x E 0 U 垒左方边缘 处 时被反射回去 不能透过势垒 0 x 在量子力学中 情况却不是这样 能量大于的粒E 0 U 子有可能越过势垒 但也有可能被反射回来 而能量小E 于的粒子有可能被势垒反射回来 但也有可能贯穿势 0 U 垒而运动到势垒右边的区域中去 0 x 粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程是 2 2 22 2 0 2 d Ex dx 和 2 3 22 0 2 0 2 d UEx dx 或改写成 2 4 2 22 2 0 0 d Ex dx 和 2 5 2 0 22 2 0 0 d EUx dx 下面我们分两种情况分别进行讨论 U x 0 U O x 图 2 1 一维阶梯势 垒 晋中学院本科生毕业 设计 论文 6 2 2 的情况的情况 0 EU 现在令 2 6 22 120 22 22 kEkEU 则得 2 7 2 2 1 2 0 0 d kx dx 和 2 8 2 2 2 2 0 0 d kx dx 容易得出方程 2 7 和 2 8 的解为 2 9 11 1 0 ik xik x AeA ex 2 10 22 2 0 ik xik x BeB ex 由 1 5 式可知 当 2 9 和 2 10 式中的波函数 乘上时间因子后 中的 1 2 E it e 1 2 第一项和第二项分别描述的是由左向右传播的平面波和由右向左传播的平面波 由于 在处的边界条件并不足以确定 2 9 和 2 10 中的 4 个未知常数 为确定这些常数0 x 我们假设粒子自左向右运动 当为很大的正值时 波函数应该描述越过 壁顶 并x 沿轴的正方向运动的一个粒子 它的渐近形式必然是x 2 11 2 2 0 ik x Bex 即取 由处的边界条件 0b 0 x 2 12 0201 xx 2 13 0 2 0 1 xx dx d dx d 我们有 2 14 0 AABx 2 15 112 0 k Ak Ak Bx 2 14 和 2 15 两式给出透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系如下 2 16 12 12 kkA Akk 2 17 1 12 2kB Akk 由这两式可以求出透射波和反射波的几率密度与入射波几率密度之比 晋中学院本科生毕业 设计 论文 7 将入射波 透射波和反射波依次代换下式 1 ik x Ae 1 ik x Be 1 ik x A e 2 i J 中的 得入射波的几率流密度为 1111 2 1 2 ik xik xik xik x iddk JAeA eA eAeA dxdx 透射波的几率流密度为 2 2 D k JB 反射波的几率流密度为 2 1 R k JA 透射波的几率流密度与入射波的几率流密度之比称为透射系数 以表示 这个比值也D 就是贯穿到区域的粒子在单位时间内流过垂直于方向的单位面积的数目 与入0 x x 射粒子 在区域 单位时间内流过垂直于方向的单位面积的数目之比 由上面的0 xx 结果 有 2 18 2 212 2 1 12 4 D JkBk k D JkA kk 反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数 以表示 由上面结果 有R 2 19 2 12 22 12 4 11 R AJk k RD J kkA 由上两式可见 和都小于 1 和之和等于 1 这说明入射粒子一部分贯穿势垒DRDR 区域 另一部分被势垒反射回去 为画出粒子分布的几率密度图 我们令入射波的0 x 振幅 得到1A 2 20 11 12 1 12 0 ik xik x kk eex kk 2 21 2 1 2 12 2 0 ik x k ex kk 粒子的几率密度分布如图 2 2 所示 要注意当 即时 势垒消失 因此反 12 kk 0 0U 射为零 透射系数 此时只有入射波而没有反射波 在 的区域粒子分1D 0 x 0 x 布的几率密度相同 如图 2 3 所示 晋中学院本科生毕业 设计 论文 8 2 3 的情况 0 EU 此时我们只要令 22 ki 2 22 202 2 2 kEUi 20 2 2 UE 则我们得到 2 23 11 1 0 ik xik x AeA ex 2 24 22 2 0 xx BeB ex 由于当时 波函数应该保持有限 所以应取 2 24 中的 因此有x 0B 2 25 12 12 kiA Aki 2 26 1 12 2kB Aki 此时反射系数为 2 27 2 2 12 2 12 1 R A Jki R Jki A 透射系数为 2 27 2 2 10 D BJ DR J A 与经典力学不同的是 虽然透射系数为零 但在区域找到粒子的几率并不为零 0 x 如果我们取 则可将波函数写作 1A 2 28 11 12 1 12 0 ik xik x ki eex ki 图 2 3 设 1 2k 2 2k 粒子几率密度图 图 2 2 设 1 2k 2 1k 粒子几率密度图 对于两个图并排情况 注意两图要对齐 说明文 字也要对齐 图的版式采用上下型 晋中学院本科生毕业 设计 论文 9 2 29 2 1 2 12 2 0 x k ex ki 从 2 28 可以看出虽然入射波与反射波的振幅相同 反射系数为 1 但由于为一复 AA 数 所以反射波相对于入射波有一相移因子 这与经典力学无共同之处 但与光在金属 表面反射时的情况类似 造成这种原因是因为粒子进入了区域延误所致 0 x 由 2 28 和 2 29 式我们可以画出在和区域中找到粒子的几率密度曲线 0 x 0 x 从图中可以明显的看出 在找到粒子的几率随着的增加而指数衰减 在的0 x x 2 1 x 区域内 找到粒子的几率几乎可以忽略不计 值得注意的是由于反射波的振幅与入射波的 振幅相同 所以入射波与反射波在的区域中发生干涉 使得一些点 这是干0 x 2 0 涉相消的结果 这与时的情况不同 因为在时入射波的强度大于反射波的 0 EU 0 EU 强度 干涉相消的结果只使的区域中的一些点的几率密度取极小值 另一点取极大0 x 值 但不会完全为零 当然当时 反射波的振幅接近入射波的振幅 因而那些取极 2 0k 小值的点将趋于零 2 4 0 U 的情况的情况 当势垒高度趋于无穷大时 即时的解 可以由的情况中令 0 U 0 EU 得到 2 2 30 2 12 12 lim1 kiA Aki 2 31 2 1 12 2 lim0 kB Aki 此时反射系数为 图 2 4 设 1 2k 2 1 粒子几率密度图 图 2 5 设 1 2k 2 0 5 粒子几率密度图 晋中学院本科生毕业 设计 论文 10 2 32 2 2 12 12 lim1 R Jki R Jki 透射系数为 2 33 2 lim10 D J DR J 如果我们令 则可将波函数写成如下形式 1A 2 34 11 1 0 ik xik x eex 2 35 2 0 0 x 值得注意的是 由 2 34 和 2 35 式给出的波函数和 在点处波函数连续 但 1 2 0 x 波函数的导数并不连续 这是因为在时 在 1 9 式中 0 U 22 1 knxdx 右端的积分在时 由于并不等于零 所以在这种情况下 波函数仍然保0 n x 持连续但波函数的导数却不在连续 我们可以由方程 2 34 和 2 35 给出的波函数和 绘出在和区域找 1 2 0 x 0 x 到粒子的几率曲线图 2 6 由于此时入射波与反射波的振幅相等 相位相差 显然在 区域中入射波与反射波干涉相消会使得一些点的几率密度为零 0 x 实际上时所给出的粒子几率分布曲线图 2 6 是在时的极限 0 U 0 EU 2 情况 为了说明这一点 我们利用方程 2 28 和 2 29 分别取为 和画出图 2 2101000 2 7 图 2 8 和图 2 9 从图中可以看出当时与图 2 6 已经很接近 而当取 2 10 2 时图 2 9 与图 2 6 已经无法区别 从这里可以理解实际上所谓的情况实际1000 0 U 上是势垒比粒子能量高的多时的一种理想近似 图 2 6 当 取 0 U 1 2k 2 时的粒子几率密度图 图 2 7 当 取 0 EU 1 2k 2 2 时的粒子几率密度图 晋中学院本科生毕业 设计 论文 11 图 2 8 当 取 0 U 1 2k 2 10 时的粒子的几率密度图 图 2 9 当 取 0 EU 1 2k 2 1000 时的粒子几率密度图 晋中学院本科生毕业 设计 论文 12 3 方形势垒散射方形势垒散射 3 1 模型与方程模型与方程 考虑在一维空间中运动的粒子 它的势能在有限区域内等于常量 0 xa 而在这个区域外等于零 即 0 00 UU 3 1 ax xxU ax UxU 00 0 0 我们称这种势为方势垒 图 3 1 具有一定能量的粒子由E 势垒左方向右方运动 0 x 粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程是 3 2 ax x E dx d 00 2 22 2 和 3 3 2 0 22 2 0 0 d EUxa dx 同第二章一样我们分两种情况分别进行讨论 3 2 0 EU 情况 与 2 6 式一样我们定义和将方程 3 2 和 3 3 改写为 1 k 2 k 3 4 ax x k dx d 00 2 1 2 2 和 3 5 2 2 2 2 0 0 d kxa dx 此处都是大于零的实数 21 k k 在区域内 波函数0 x 3 6 xikxik eAAe 11 1 是方程 3 4 的解 在区域内 方程 3 5 的解是ax 0 3 7 xikxik eBBe 22 2 在区域内 方程 3 4 的解是ax U x 0 U Oa x 图 3 1 一维方势垒 晋中学院本科生毕业 设计 论文 13 3 8 xikxik eCCe 11 3 按照公式 1 5 iEt x tx e 定态波函数是再分别乘上一个含时间因子 由此看出 3 6 3 8 321 Et i e 三式右边第一项是由左向右传播的平面波 第二项是由右向左传播的平面波 在 区域内 没有由右向左运动的粒子 因而只应有向右传播的透射波 不应有向左传ax 播的波 所以在 3 8 式中必须令 3 9 0 C 在和均可以用波函数和波函数导数的连续条件 1 8 和 1 9 来确定函数中的0 xax 其它系数 由 我们有 0201 xx BBAA 由有 0 2 0 1 xx dx d dx d BkBkAkAk 2211 由 有 axax 32 aikaikaik CeeBBe 122 由有 0 32 xax dx d dx d aikaikaik CekeBkBek 122 122 解这一组方程组 可以得出和的关系是A C A 3 10 A ekkekk ekk C aikaik aik 22 1 2 21 2 21 21 4 3 11 22 22 122 22 1212 2sin ik aik a i kkak AA kkekke 3 10 和 3 11 两式给出透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系 由这两式可以 求出透射系数为 3 12 2 22 12 22 22222 12212 4 sin4 D CJk k D J A kkakk k 反射系数为 晋中学院本科生毕业 设计 论文 14 3 13 2 2222 122 22 22222 12212 sin 1 sin4 R kkak AJ RD J A kkakk k 由上两式可见 和都小于 1 和之和等于 1 这说明入射粒子一部分贯穿势垒DRDR 区域 另一部分被势垒反射回去 特别要注意当 时 反射为ax 2 akn 0 1 2 n 零 透射系数 产生所谓共振透射 此时只有透射波而没有反射波 1D 从系数方程解得 2 2 2 112 222 1212 2 112 222 1212 2 2 i ak i ak i ak k kk BA ekkkk ek kk BA ekkkk 令我们得到波函数的形式为 1 A 3 14 11 22 22 122 1 22 1212 2sin ik xik x ik aik a i kkak ee kkekke 3 15 2 22 22 2 112112 2 222222 12121212 2 2 i ak ik xik x i aki ak k kkek kk ee ekkkkekkkk 3 16 1 1 22 12 3 22 1212 4 ik a ik x ik aik a k k e e kkekke 设 势垒宽度分别为 和分别画出粒子分布的几率密度图 12 2 1kk a123 图 3 2 取 时粒子几 12 2 1 1kak 率密度分布 图 3 3 取 时的粒子 12 2 1 2kak 几率密度分布 图 3 4 取 时的粒子 12 2 1 3kak 几率密度分布 图 3 5 取 时的粒子 12 2 1 kak 几率密度分布 晋中学院本科生毕业 设计 论文 15 3 2 图 3 3 图 3 4 和图 3 5 其中图 3 5 对应共振散射的情形 如果我取 而分别令为 1 和 0 1 我们得到图 3 6 图 3 7 从两图中1 5a 1 2k 2 k 可以看出当 当减小 对应势垒增高 相应的粒子穿过势垒的几率变小 反射几率增大 反 2 k 射波的强度与入射波的强度接近 所以在的区域内入射波与反射波干涉相消使得0 x 一些点波函数的密谋接近零 3 3 0 EU 情况 这时是虚数 令 2 k 22 ki 则是实数 2 3 17 1 2 0 2 2 2UE 把换成 前面的计算仍然成立 经过简单计算后 3 10 式可改写为 2 k 2 i 3 18 1 12 2 22 122122 2 sh2ch ik a ike CA kaika 透射系数的公式可改写为D 3 19 22 12 2 22222 12212 4 sh4 k D kak 在 3 14 3 15 和 3 16 式样中分别令和 12 0 5 2 0 2ak 可画出在时粒子分布的几率图 3 8 和图 3 9 由图可以看出当 12 2 2 1ak 0 EU 势垒变高变宽透射过势垒粒子的几率迅速减小 从而同样使反射的几率增加 与 的情况类似 这时反射波的强度和入射波的强度接近从而使在的区域中入 0 EU 0 x 图 3 6 取 时的粒子 12 2 1 1 5kak 几率密度分布 图3 7取 时的粒 12 2 0 1 1 5kak 子几率密度分布 晋中学院本科生毕业 设计 论文 16 射波和反射波的干涉出现相消而使得一些点上找到粒子的几率接近于零 3 4 情况 0 EU 对于情况 我们选择较 不透明的势垒 即满足 此时有 0 EU 22 0 8U a 1 11 2 22 0 1 22 0 22UEE k U 11 1 22 2 0 0 2 22 0 22 1 EUUE k U 由 3 19 式可以给出和的关系图 3 10 当时 2 DC A 0 E U 0 EU 当所选参数满足时 在图 3 10 中当时 1 2 0 2 1 2 mU a D 22 0 8U a 0 2D 0 1E U 0 2D 图 3 10 透射系数与关系曲线图D 0 E U 图 3 8 取 时的粒子 12 2 0 2 k 0 5a 几率密度分布 图 3 9 取 时的粒子 12 2 1 2ak 几率密度分布 晋中学院本科生毕业 设计 论文 17 总总 结结 我们在本文中对粒子在一维阶梯势垒和方形势垒的散射中的可能存在的各种情况 作了较详细的讨论 并根据所给出的波函数用数值计算的方法画了粒子的几率密度曲 线 在存在阶梯势垒的情况 如果 在的区域由于入射波与反射波的干涉 0 EU 0 x 效应 几率密度呈现出随的变化而波动 而在的区域由于只有透射波存在 所以x0 x 几率密度曲线为一直线 几率密度为一常量 如果 透射系数为零 在的区 0 EU 0 x 域由于入射波与反射波振幅相同 干涉相消使得一些点几率密度为零 而在的x0 x 区域由于透射波随着的增加而呈指数衰减 几率密度曲线很快单调下降至零 x 在方形势垒情况 如果有限 则透射波不为零 与阶梯势垒的情况类似 由于在 0 U a 的区域内只存在透射波 所以几率密度曲线为一直线 几率密度为一常量 而在0 x 的区域由于存在入射波和反射波的干涉效应 使得粒子的几率密度随不同而波0 x x 动 并且值得注意的是在方形势垒区域内 几率密度值也并非总是单调地减小 特别是 发生共振透射时 在势垒中存在一明显的几率密度峰 致 谢 在此真诚的感谢 注 释 1 文中长度单位取为单位长度 1 2 2 0 U 2 文中波矢单位取为单位波矢 1 2 2 0 U 参考文献 1 周世勋 量子力学教程 M 北京 高等教育出版社 1979 48 48 2 曾谨言 量子力学 M 3 北京 科学出版社 1999 108 108 3 J Salmon A Gervat 美 顾世杰译 量子力学 M 北京 科学出版社 1981 165 166 致谢部分顶格 致谢二字四号黑体 感谢 部分小四号宋体 段前空二行 固定行间距 22磅 参考文献四字顶格 四号 黑体 单倍行距 参考文献内容空两格 编 号和姓名空一格小四号 宋体 固定行间距22磅 晋中学院本科生毕业 设计 论文 18 4 E H Wichmann 美 复旦大学物理译 量子物理学 M 北京 科学出版社 1978 347 348 5 Cohen Tannoudji Diu Lalo Quantum Mechanics M Paris Hermann 1977 67 68 1 王传昌 高分子化工的研究对象 J 天津大学学报 1997 53 3 1 7 晋中学院本科生毕业 设计 论文 19 附录 晋中学院本科生毕业 设计 论文 为了加强我院本科生毕业论文 设计 的管理与指导 切实提高毕业论文 设计 的水平与质量 根据 中华人民共和国学位条例暂行实施办法 特制定本 工作规定 一 毕业论文 设计 的目的 本科生毕业论文 设计 是大学教学计划中的一个重要组成部分 是实现本科培养目标 培养实践能力和创新精神的一个极其重要的教学环节 是大学生学习深化和提高的重要过程 是 培养学生探求真理的科学精神 科学方法和优良的思想品德等综合素质的重要途径 毕业论文 设计 工作的具体任务是 一 培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的综合能力 二 深化所学知识 发展学生的想象力和创造力 三 培养学生正确的思维方法 严谨的学习态度和实事求是的学风 四 对学生进行科学研究 技术实验的学术道德教育和学术政策教育 二 毕业论文 设计 的步骤 一 选题 二 开题论证 三 搜集资料 四 提出写作提纲 五 论文实践与写作 六 答辩 三 毕业论文 设计 工作的组织管理 毕业论文指导工作在学院教务处的统一领导下 由各教学学院具体组织实施 各教学学院 院长和分管教学工作的副院长全面负责本院毕业论文 设计 的指导教师配备 选题调整 时间安 排 进度检查 答辩组织 成绩评定 优秀毕业论文 设计 推荐等工作 要加强管理 精心组织 严格要求 经常了解毕业论文 设计 的进展情况 确保毕业论文 设计 的教学质量和学术水平 一 专业教研室按照选题原则确定题目 学生也可自己提出有创意的题目报教研室 和指 导教师 经分管教学工作的副院长或院长认可 然后将课题向学生公布 同时各教学学院要制定 和填写毕业设计 论文 指导教师情况统计表 毕业设计 论文 选题情况统计表 以备随机抽 查 二 学生在教师指导下 根据个人能力等情况自选题目 但各教学学院需调整解决一题多 人争选或有的题目无人选的情况 三 学生在教师指导下 认真填写 晋中学院本科毕业论文 设计 开题报告及任务书 晋中学院本科生毕业 设计 论文 见附件 1 指导教师根据学生课题进展情况及时将有关审核意见填入 晋中学院本科毕业论 文 设计 进度表 见附件 2 教务处对 开题报告 及 进度表 进行随机抽查 要求填写 的表格一律用蓝 黑笔填写 四 专业教研室要进行中期检查 听取每个学生关于课题进展的口头汇报与问题解答 对 达不到教学要求的学生应给予警告和具体帮助 对优秀学生应予以更细致的指导 各教学学院检 查日期要报知教务处 教务处随机抽查 五 评审与答辩 由各教学学院具体组织实施 并认真填写 晋中学院本科毕业论文 设计 评 审答辩表 见附件 3 此表作为答辩小组评定学生毕业论文 设计 等级的成绩记录并装订入 学生论文 设计 中 答辩结束后 各教学学院要认真填写 晋中学院本科毕业生论文 设计 成 绩表 见附件 4 此表一式三份 一份留存本教学学院 一份记入学生学业档案 一份报教务 处 六 毕业论文 设计 成绩评定完成之后 必须认真填写 晋中学院本科生院级优秀毕业论 文 设计 推荐表 见附件 5 和 晋中学院本科生毕业论文 设计 统计表 见附件 6 四 毕业论文 设计 的指导教师 一 指导教师应当具有讲师以上 含讲师 包括有经验的实验室工程师 职称 具有丰富的 教学经验和较高的科研水平 二 指导教师要对学生的开题报告 文献查阅 实验操作 工艺制作 提纲拟订 论文 设 计 的撰写及其格式等及时进行指导 帮助和检查 每指导一个学生的工作量不少于 10 课时 指 导教师必须严谨认真 为人师表 尽心尽责 要严格把关 杜绝学生的抄袭 剽窃行为 三 每位指导教师指导的学生人数应适当 原则上人文社科 外语 教育 经济 管理等 学科应控制在 3 8 人为宜 理工学科应不超过 6 人 四 分管教学的各教学学院领导要审核 晋中学院本科毕业论文 设计 开题报告及任务书 和 晋中学院本科毕业论文 设计 进度表 并对毕业论文 设计 的有关情况进行督促检查 保证课题的进度和质量 五 各教学学院要按照学院的要求 为指导教师的论文 设计 指导工作和答辩小组成员的 答辩工作计相应的教学工作量和发放相应津贴 五 毕业论文 设计 的时间安排 一 第七学期第八周各教学学院组织学生选报论文 设计 题目 在第七学期结束前 确 定每个学生的论文 设计 题目 完成开题报告工作 并将学生选题汇总后报教务处教务科 二 毕业论文 设计 的时间 文科学生不得少于 8 周 理科学生不得少于 10 周 三 每年 6 月 30 日前 各教学学院从优秀毕业论文 设计 中选送 5 的论文 打印件 晋中学院本科生毕业 设计 论文 和软盘 报送教务处教务科 经审核后编印 优秀论文 设计 选编 六 毕业论文 设计 的选题 一 毕业论文 设计 的选题必须符合本科教学培养目标要求 体现本专业基本训练内容 同时要体现本专业科学研究和科学实践的基本特点 有益于学生综合运用多学科的知识与技能 以培养锻炼学生的综合能力和钻研精神 二 选题应具有学术价值和现实意义 选取的课题既要以本学科的基本范畴和基本理论为 研究内容 有利于学科的丰富和发展 具有一定的学术价值 又要紧密结合当前实践中直接提出 来的理论问题和实际问题 可以直接为现实服务 具有一定的现实意义 三 选题应具有多样性和适当性 根据学生对基本知识和技能掌握的情况 针对学生不同 的研究能力 特长 兴趣和可投入时间的多少 一方面选题可以多样化 体现不同方面不同类型 的科学实践的特点和要求 另一方面 选题的份量和难易程度要适当 在保证达到教学基本要求 的前提下 使学生能够在导师的指导下在规定的时间内完成 四 毕业论文 设计 选题遵循命题和自选相结合的原则 教研室按照选题原则确定题目 供学生选择 学生也可提出有创意的题目 命题和自选题目皆由教学学院备案 题目一经选定 一般不得随意更改 有特殊理由者 须经指导教师所在的教研室研究决定 并报主管教学工作的 副院长或院长主任批准 方可更改题目 五 毕业论文 设计 选题原则上为一人一题 即每个学生独立完成一个题目 需要几位学 生共同参加的项目 每个学生应有完整的独立完成的部分 以保证每位学生都能受到全面的训练 不能把几人合作的课题写成一篇论文 设计 而同时作为几位学生的毕业论文 设计 对综合训 练不够的课题 指导教师应做适当的增补 使其满足教学要求 七 毕业论文 设计 的开题 一 学生选定题目后 必须通过开题论证 开题论证工作由各教学学院院长或分管教学的 副院长负责 由专业教研室具体组织实施 二 学生开题时必须向开题论证小组阐明选题的目的和意义 该选题的研究现状及发展趋 势 主要研究内容 实验设计 完成论文的条件 方法及措施 并填写 晋中学院毕业论文 设 计 开题报告及任务书 三 开题论证小组必须对学生选题进行认真考察和论证 以鉴定学生是否具备完成该选题 的能力 不具备完成该选题能力者 建议其另选题目 连续三次开题未获通过者 推迟一年毕业 八 毕业论文 设计 的撰写 一 毕业论文 设计 的结构 晋中学院本科生毕业 设计 论文 毕业论文 设计 的结构一般由以下几部分组成 1 标题 标题应鲜明 准确 精练地直接概括所进行的研究实践的主要内容和结果 正标 题一般不超过 20 个字 如需有副标题 副标题一般不超过 28 个字 2 内容提要 在主体内容前用 200 500 字扼要介绍论文的主要内容 采用的方法和得出 的主要结论 3 关键词 按照与论文内容紧密程度 另行依次列出 3 5 个关键词 4 英文翻译内容 中文的标题 作者姓名 指导教师姓名 内容提要 关键词应翻译成英 文 5 主体内容 正文是科学实践工作和成果的系统总结报道 是论文的主体部分 要做到思 路清晰 概念清楚 论点明确 结构合理 资料翔实并与论点想结合 同时要做到文字通顺 引 文规范 以实验为主的论文要求实验方法科学 分析归纳合理 图表应用得当 结果有应用价值 论文 设计 字数 文科不得少于 6000 字 理工科不得少于 5000 字 以实验为主的工程技术类课题 论文中应有实验数据 测试结果 数据处理分析意见与结 论 以产品开发为主的课题应有实物成果及实物的性能报告 软件工程类课题应包括有效程序软 盘和源程序清单 软件设计及使用说明书 软件测试分析报告 项目总结 6 注释 论文中凡属引用 包括直接引用和间接引用 他人的观点 结论 数据等 须加 注释 注释应为尾注 放在正文之后 参考文献之前 按照行文中的顺序排列 例如 每 条注释的书写格式参见参考文献 7 参考文献 科学实践中参考了前人的研究工作和成果 在毕业论文中应反映出来 在论 文中按行文涉及的先后排列参考文献 主体内容或附录中以上标形式列出参考文献的序号 主体 部分或附录后按序号列出参考文献 参考文献一般来自正式出版的学术期刊 学术会议论文集 图书 报纸及已完成的学位论文等 1 参考文献类型及其标识 以单字母方式标识以下各种参考文献类型 参考文献 类型 专著 论文集 报纸 文章 期刊 文章 学位 论文 报告 标准 专利 文献类型 标识 MC N J D RS P 对于专著 论文集中的析出文献 其文献类型标识建议采用单字母 A 对于其他未说明 的文献类型 建议采用单字母 Z 对于数据库 database 计算机程序 computer program 及电子公告 electronic bul 晋中学院本科生毕业 设计 论文 letin board 等电子文献类型的参考文献 建议以下列双字母作为标识 电子参考文献类型 数据库 计算机程序 电子公告 电子文献类型标识 DBCP EB 电子文献的载体类型及其标识 对于非纸张型载体的电子文献 当被引用为参考文献时需在参考文献类型标识中同时标明 其载体类型 建议采用双字母表示电子文献载体类型 磁带 MT 磁盘 DK 光盘 C D 联机网络 OL 并以下列格式表示包括了文献载体类型的参考文献类型标识 文献类型标识 载体类型标识 如 DB OL 联机网上数据库 DB MT 磁带数据库 M CD 光盘图书 CP DK 磁盘软件 J OL 网上期刊 EB OL 网上电子公告 以纸张为载体的传统文献在引作参考文献时不必注明其载体类型 2 参考文献的注释格式为 文献为期刊时 书写格式为 序号 作者 文章题目 J 期刊名 出版年份 卷号 期数 起止页码 如 1 杨盛标 许康 工程范畴演变考略 J 自然辨证法研究 2000 1 35 38 如果作者的人数多于 3 人时 只写第一位作者的姓名 其后面加 等 即可 如 2 何祚庥等 云南宇宙射线站奇特事例的再分析 中国科学 J 1995 A25 596 565 文献为专著 学位论文 报告时 书写格式为 序号 作者 书名 版次 出版地 出版单位 出版年份 起止页码 如 1 刘国钧等 图书馆目录 M 第一版 北京 高等教育出版社 1957 15 18 2 张筑生 微分半动力系