北京市2020版高考数学第二章3第三节函数的奇偶性与周期性夯基提能作业本.docx

第三节函数的奇偶性与周期性A组基础题组1.下列函数中,值域为R的偶函数是()A.y=x2+1B.y=ex-e-xC.y=lg|x|D.y=答案Cy=x2+1是偶函数,值域为1,+),A错误;y=ex-e-x是奇函数,B错误;y=lg|x|是偶函数,值域为R,C正确;y=的值域为0,+),D错误.故选C.2.(2017北京丰台二模,2)下列函数中,既是偶函数又是(0,+)上的增函数的是()A.y=-x3B.y=2|x|C.y= D.y=log3(-x)答案B易知A中的函数为奇函数,C、D中的函数的定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,故选B.3.(2018北京石景山一模,2)下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+)上单调递减的函数为()A.y=B.y=-x3C.y=loxD.y=x+答案B由定义可知选项A和C都是非奇非偶函数,可排除.D选项在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,可排除.只有B满足条件,故选B.4.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()A.-3B.-1C.1D.3答案C解法一:f(x)- g(x)=x3+x2+1,f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1,又由题意可知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),f(x)+g(x)=-x3+x2+1,则f(1)+g(1) =1,故选C.解法二:令f(x)=x2+1,g(x)=-x3,显然符合题意,则f(1)+g(1)=12+1-13=1.选C.5.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3x-,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数答案A易知函数f(x)的定义域关于原点对称.f(-x)=3-x-=-3x=-f(x),f(x)为奇函数.又y=3x在R上是增函数,y=-在R上是增函数,f(x)=3x-在R上是增函数.故选A.6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)f(-),则a的取值范围是()A.B.C.D.答案Cf(x)是偶函数且在(-,0)上单调递增,f(x)在(0,+)上单调递减,且f(-)=f(),原不等式可化为f(2|a-1|)f().故有2|a-1|,即|a-1|,解得a0时, f(x)=.(1)求当x0时, f(x)的解析式;(2)解不等式f(x)-.解析(1)因为f(x)是奇函数,所以当x0,此时f(x)=-f(-x)=-=.(2)f(x)0时,-,所以,所以3x-18,解得x2,所以x(0,2);当x0时,-,所以3-x32,所以x-2,所以原不等式的解集是(-,-2)(0,2).9.(2016北京东城期中)已知函数f(x)=为奇函数,a,bR.(1)求a-b的值;(2)若f(x)在区间-1,m-2上单调递增,求实数m的取值范围.解析(1)令x0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x2+2x,所以a=1,b=2.所以a-b=-1.(2)由(1)可得f(x)=故f(x)在区间-1,1上单调递增.若f(x)在区间-1,m-2上单调递增,则应有-1,m-2-1,1,所以解得1m3.所以实数m的取值范围是(1,3.B组提升题组10.(2017北京朝阳期中)下列函数中,既在定义域上是偶函数,又在(0,+)上单调递减的是()A.y=x2B.y=x+1C.y=-lg|x|D.y=-2x答案C选项A:记f(x)=x2,其定义域为R,f(-x)=(-x)2=x2,f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数,但y=x2在(0,+)上单调递增,故A不符合题意.选项B:记f(x)=x+1,则f(1)=2, f(-1)=0,f(-1)f(1),y=x+1不是偶函数,故B不符合题意.选项C:记f(x)=-lg|x|,其定义域为(-,0)(0,+),f(-x)=-lg|-x|=-lg|x|,f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数,当x(0,+)时,y=-lg x.y=lg x在(0,+)上单调递增,y=-lg x在(0,+)上单调递减,故C符合题意.选项D:记f(x)=-2x,则f(1)=-2, f(-1)=-,f(-1)f(1),y=-2x不是偶函数,故D不符合题意.故选C.11.已知函数f(x)是(-,+)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x0,1时, f(x)=2x-1,则f(2 017)+f(2 018)的值为()A.-2B.-1C.0D.1答案D因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),又因为函数的图象关于x=1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以 f(4+x)=f(2+x)+2)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)的周期为4.又函数的图象关于x=1对称,所以f(0)=f(2),所以f(2 017)+f(2 018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0)=21-1+20-1=1.12.设奇函数f(x)在(0,+)上是增函数,且f(1)=0,则不等式xf(x)-f(-x)0的解集为()A.x|-1x1B.x|x-1或0x1C.x|x1D.x|-1x0或0x1答案D因为函数f(x)是奇函数且在(0,+)上是增函数,所以f(x)在(-,0)上也是增函数.因为f(-x)=-f(x),所以f(-1)=-f(1)=0,不等式xf(x)-f(-x)0可化为2xf(x)0,即xf(x)0.当x0=f(-1),所以x-1,所以-1x0时,可得f(x)0=f(1),所以x1,所以0x1.综上,原不等式的解集为x|-1x0或0x1.13.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时, f(x)=x2.若对任意xk,k+2,不等式 f(x+k)f(3x)恒成立,则g(k)=log2|k|的最小值是()A.2B.C.-D.-2答案A由题意得f(x)在R上单调递减,则对任意xk,k+2,不等式f(x+k)f(3x)恒成立等价于对任意xk,k+2,不等式x+k3x恒成立,即k2x恒成立,亦即k(2x)max,故k2(k+2),解得k-4,则g(k)=log2|k|的最小值为g(-4)=log2|-4|=2.故选A.14.(2018北京通州一模,14)设函数f(x)=x2+acos x,aR,非空集合M=x|f(x)=0,xR.(1)M中所有元素之和为;(2)若集合N=x|f(f(x)=0,xR,且M=N,则a的值是.答案(1)0(2)0解析(1)因为函数f(x)=x2+acos x是偶函数,所以函数f(x)的零点关于原点对称,所以M中所有元素之和为0.(2)由M=N得f(0)=f(a),所以a的值为0.思路分析研究函数时,我们通常先研究函数的奇偶性,再研究函数的其他性质,如对称性、单调性、周期性以及函数恒过定点,同时结合已知条件作出该函数的大致图象,这类问题便可迎刃而解.15.已知函数y=f(x)在定义域-1,1上既是奇函数,又是减函数.(1)求证:对任意x1,x2-1,1,有f(x1)+f(x2)(x1+x2)0;(2)若f(1-a)+f(1-a2)0,求实数a的取值范围.解析(1)证明:若x1+x2=0,显然原不等式成立.若x1+x20,则-1x1f(-x2)=-f(x2),所以f(x1)+f(x2)0.所以f(x1)+f(x2)(x1+x2)0,则1x1-x2-1,同理可证f(