（机械设计及理论专业论文）齿轮时变啮合刚度改进算法及刚度激励研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 齿轮传动系统是机械传动系统的重要组成部分，随着齿轮传动系统应用领域的扩 大，对齿轮系统提出更高要求。加强对齿轮系统动力学的研究，是提高传动系统性能的 重要途径。深入研究齿轮系统动力参数，尤其是齿轮时变啮合刚度这一最重要的基本参 数，对全面分析齿轮传动系统动力特点，提高机械传动系统性能有重要意义。 本文以行星齿轮传动系统为研究对象，建立了行星齿轮系统微分动力方程，运用材 料力学方法、有限元方法，及齿轮时变啮合刚度理论，针对石川轮齿变形公式，详细介 绍了公式需要的重要参数有效齿根圆半径及时变载荷作用距的具体计算方法，并提 出改进的轮齿变形计算公式，并利用有限元方法进行了仿真对比验证，最后本文研究了 齿轮动力系统刚度激励对齿轮系统应力状态的影响，并提出了减小齿轮刚度激励的方 法。 本文的主要研究内容如下： 首先，根据齿轮系统动力学理论，建立行星齿轮传动系统集总物理模型，然后参照 物理模型建立行星齿轮传动系统集总参数的微分动力学方程。并指出综合时变啮合刚度 在动力学方程中的重要意义。 其次，具体介绍了齿轮啮合轮齿变形的重要公式石川公式，提出了有效齿根圆半径 及时变载荷作用距两个重要参数的详细计算方法。在此基础上，提出了改进的齿轮啮合 轮齿变形公式。简单研究了综合啮合刚度合成方法并利用算例对两公式进行了验算对 比。 然后，利用显式动力学有限元方法，针对行星齿轮传动系统进行计算机仿真，获得 啮合齿面分度圆啮合位置某点在啮合周期内的变形曲线，并将此曲线与利用改进轮齿变 形公式计算曲线进行了对比，从而证明了改进轮齿变形公式的合理性。根据应用需要， 对此改进算法进行适当简化，提出一种新的齿轮时变啮合刚度简化函数法，并利用傅立 叶级数分解法获得了简化综合时变啮合刚度公式的频谱表示公式。 最后，在上述研究基础上，通过有限元谐响应分析法和工况组合法，分析了齿轮动 力系统刚度激励对齿轮系统应力状态的影响，分析了刚度激励对齿轮疲劳强度的影响， 证明通过选择合适的齿轮基本参数可以达到减小齿轮时变刚度激励，减小齿根应力集 中，优化齿面应力分布，提高齿轮寿命的目的。 关键词：行星传动系统；石川公式；有效齿根圆；时变啮合刚度；刚度激励 齿轮时变啮合刚度改进算法及刚度激励研究 s t u d yo ni m p r o v e da l g o r i t h mo ft h et i m e v a r y i n gm e s h i n gs t i f f n e s so f g e a ra n ds t i f f n e s se x c i t a t i o n a b s t r a c t t h eg e a rt r a n s m i s s i o ns y s t e mi sa ni m p o r t a n tp a r to ft h em e c h a n i c a lt r a n s m i s s i o n w i t h t h ea p p l i c a t i o nf i e l de x t e n d i n g ，m o r er e q u i r e m e n t sa r ep u tf o r w a r dt ot h eg e a rs y s t e m f u r t h e r r e s e a r c ho nt h eg e a rd y n a m i c si st h en e c e s s a r yw a yt oi m p r o v et h ep e r f o r m a n c eo ft h e t r a n s m i s s i o ns y s t e m i fw ew a n tt og e tm o r ec h a r a c t e r i s t i co ft h eg e a rd y n a m i c si nt h eg l o b e a s p e c ta n di m p r o v et h ep e r f o r m a n c eo ft h eg e a rs y s t e m ，w em u s tp a ym o r ea t t e n t i o no nt h e p a r a m e t e ro ft h eg e a rd y n a m i c s ，e s p e c i a l l yt h ep a r a m e t e ro ft i m e - v a r y i n gm e s hs t i f f n e s si s n e c e s s a r y i nt h i st h e s i s ，p l a n e t a r yg e a rs y s t e mw a ss t u d i e d d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fp l a n e t a r yg e a r s y s t e mw a se s t a b l i s h e d ，a c c o r d i n gt ot h e o r yo fm a t e r i a lm e c h a n i c s ，t h e o r yo ff i n i t ee l e m e n t a n dt h e o r yo fg e a r st i m e v a r y i n gm e s h i n gs t i f f n e s sa n dt h ei s h i k a w af o r m u l a , m o r ed e t a i lo f t h ep a r a m e t e r sw e r ei n t r o d u c e dw h i c hw e r er e f e rt oi nt h ei s h i k a w af o r m u l a , e g e f f e c t i v e r o o td i a m e t e r , t h ed i s t a n c eo fl o a d w h a t sm o r e ，t h i sp a p e rp r o p o s e da l li m p r o v e df o r m u l a w h i c hw a su s e dt oc a l c u l a t i o nd i s p l a c eo fg e a rt o o t hw h e ng e a r sa r em e s h i n g a n da c o m p a r i s o nb e t w e e n t h ei s h i k a w af o r m u l ar e s u l ta n dt h ei m p r o v e df o r m u l ar e s u l tw a ss h o w i nt h i sp a p e r c a ew a su s e di no r d e rt og e tt h ev a l u eo fd i s p l a c eo fg e a rt o o t hw h e ng e a r sa r e m e s h i n g t h ec a e r e s u l ti sa l s oc o m p a r e dw i mt h er e s u l to fi m p r o v e df o r m u l a a tl a s t ，t h i s p a p e rs t u d i e so nt h ee f f e c to ft h es t i f f n e s se x c i t a t i o nw h e nt h eg e a r sa r em e s h i n g f i r s t l y , t h i sp a p e rs e tu pt h el u m p e dp a r a m e t e rp h y s i c a lm o d e lo fp l a n e t a r yg e a r a c c o r d i n gt ot h et h e o r yo ft h eg e a rd y n a m i c s t h e nd i f f e r e n t i a le q u a t i o no fp l a n e t a r yw a s e s t a b l i s h e di na c c o r dw i t hp h y s i c a lm o d e l a n dt h es i g n i f i c a n c eo ft i m e - v a r y i n gm e s h s t i f f n e s sw a sp o i n t e do u tw h e ni tt a k ep l a c ei nt h eg e a rd y n a m i c se q u a t i o n s e c o n d l y , t h i sp a p e ri n t r o d u c e dt h ei s h i k a w af o r m u l ac o n c r e t e l y , a n dt h e nt h i sp a p e r g i v e st h es o l v i n gs t e p so fe f f e c t i v er o o td i a m e t e ra n dt h ed i s t a n c eo fl o a di nd e t a i l a i m p r o v e df o r m u l aw a sg i v eb yt h ep a p e r , t h i si m p r o v e df o r m u l am a k eu pt h ed e f i c i e n c yo f i s h i k a w af o r m u l a w h a t sm o r e ，t h i sp a p e ra l s oi n t r o d u c e st h ep r i n c i p l eo fc o m p o s i t es t i f f n e s s ， a n dt h ec o m p a r ew a st a k e nb e t w e e nt h er e s u l to fi s h i k a w af o r m u l aa n dt h er e s u l to fi m p r o v e d f o r m u l ab ya ne x a m p l eo ft h ep l a n e t a r yg e a rs y s t e m t h i r d l y , t h ee x p l i c i td y n a m i ca n a l y s i sp r o c e d u r e w a sa d o p t e d a c c o r d i n gt ot h e p l a n e t a r yg e a rs y s t e mw h i c hw a sm e n t i o n e da b o v e ，w es i m u l a t et h em e s h i n gp r o c e s sb yt h e c o m p u t e r a n dt h e nw ec a ng e tt h ed i s p l a c ec u r v eo fo n en o d ew h i c hw a si nt h em a t i n g 大连理工大学硕士学位论文 s u r f a c ea n dn e a rb yt h ep i t c hc i r c l e t h en o d ed i s p l a c ec u r v e c a l lb eu s e dt oi n s t e a do ft h eg e a r t o o t hd i s p l a c ec u r v e a tl a s t ，t h i sp a p e rc o m p a r e st h ef e a c u r v ew i t ht h ei m p r o v e df o r m u l a a 叮v e f o u r t h ，t h i sp a p e ri n t r o d u c e san e ww a yw h i c hw a su s e dt os i m p l i f yt h et i m e 。v a r y i n g m e s hs t i f f n e s sf o r m u l a t h ef o u r i e rd e c o m p o s i t i o nw a sb eu s e dt oc h a n g et h et y p eo ft h e s i m p l i f ys t i f f n e s sf o r m u l a i nt h en e wt y p eo ft h es t i f f n e s sf o r m u l a ，w ec a ng e tt h ef r e q u e n c y o ft h es i n ew a v ee a s i l y ，a l lt h es i n ew a v ec o m p o s et h es t i f f n e s se x c i t a t i o n t h i sp a p e ra n a l y z e s t h ee f f e c to ft h es t i f f n e s se x c i t a t i o nw h e nt h eg e a r sa r em e s h i n g i nt h ep r o c e s so fa n a l y s i s ， t h i sp a p e ru s et h ea p p l i c a t i o no fa n s y sa n dt h et e c h n o l o g yo fc o n d i t i o nc o m b i n a t i o n ，t h e a n a l y s i st y p ei sh a r m o n i c t h ea i mo f t h er e s u l ta n a l y s i sf o c u s e so nf a t i g u eo ft h eg e a rt o o t h a tl a s t ，t h i sp a p e ra l s os t u d yo nt h ee f f e c to fg e a rb a s i cp a r a m e t e r so nt h et i m e v a r y i n g g e a rm e s hs t i f f n e s s t h o u g h tt h en u m e r i c a le x p e r i m e n t ，t h i sp a p e rh a v ep r o o f e dt h a t t h e s t i f f n e s se x c i t a t i o na n dt h eg e a rt o o t hr o o ts t r e s sc a nb er e d u c e db ys e l e c t i n gt h es u i t a b l eg e a r b a s i cp a r a m e t e r s k e yw o r d s ：p l a n e t a r yt r a n s m i s s i o ns y s t e m ；i s h i k a w af o r m u l a ；e f f e c t i v er o o td i a m e t e r ； t i m e - v a r y i n gm e s hs t i f f n e s s ；s t i f f n e s se x c i t a t i o n i i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目萏整盟垒兰刍笠堕l 趁塑泣登堇，艮鱼l 趋：缒趟堑墨 作者签名：圭鱼盛 日期： 型3 年卫月j l 日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 作者签名： 导师签名： 日期：逝年上，_ 月显日 日期：圣竺! 年j l 月j 五日 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 1 1课题来源 齿轮传动是各种传动机构中应用最为广泛的一种传动方式，它可以用来传递空间任 意轴间的运动和动力，并具有功率范围大、传动效率高、传动比准确、使用寿命长、工 作安全可靠等特点，广泛应用于机械、电子、冶金、汽车、三航及能源等领域【l 】。由太 阳轮、行星轮及内齿轮组成的行星轮系是自动变速器、行星齿轮变速器主要变速构件， 内啮合齿轮传动具有诱导法曲率小，重合度大，磨损较轻等优点，是一种承载能力高， 传动平稳，结构紧凑，传动效率较高，噪声较低的优良传动装置，因此应用非常广泛。 随着石油资源的日益减少及人类环保意识的增强，新能源的研究日益活跃。风能发电是 近年来发展最迅速的新能源领域，欧洲各主要能源制造企业投入大量资金进行风能发电 设备的研究，并取得了一系列成果，截止到2 0 0 8 年，丹麦的风能发电占总发电量的2 0 ， 德国的风能发电已占总发电量的8 ，其中萨安州风能发电比例己达4 0 【2 】。伴随着我 国经济的飞速发展及国际形势的复杂多变，能源矛盾日益突出，国家号召大力发展风能、 太阳能及核能等新能源。国内风能产业发展迅速，已有多家大型企业集团投入巨额资金 研究风能发电设备。国内成熟的风能发电机组是6 0 0 k w 和7 5 0 k w ，兆瓦机机组主要处 于自主研究和引进吸收相结合的阶段。考虑到风能及成熟发电设备的特点，目前世界上 主流的风能发电模式是通过风带动桨叶低速旋转，通过增速齿轮箱增速，带动发电机发 电。由于风力发电机组多处于几十或上百米的高空，对齿轮箱的体积及可靠性提出了更 高要求，结合行星轮内啮合传动的优点，故目前成熟的风力增速齿轮箱技术均采用一级 或二级行星传动系统。国内某大型重工企业积极响应国家号召，投入资金引进设计研制 风能增速齿轮箱，同时与大连理工大学机械学院自动化研究所合作进行“兆瓦级风力发 电用增速齿轮箱性能分析”项目，并且已经取得了一定成果。本课题即来源于该项目齿 轮系统动力学性能研究科学预研。本课题研究了齿轮系统动力学方程中的重要基本参数 齿轮时变啮合刚度，为建立考虑时变刚度、齿轮侧隙、啮合误差及齿面摩擦的完整齿轮 系统动力学方程，进而更全面合理分析齿轮动态性能，增加齿轮承载能力减小齿轮系统 振动及噪声提供基础。同时本课题简单研究了齿轮刚度激励，为今后齿轮动力系统分析 提供参照。 1 2 国内外研究现状和发展趋势 渐开线圆柱齿轮传动仍是迄今应用最广泛的一种传动方式，此类齿轮具有传动平 稳，结构紧凑，便于制造，易于维护，承载能力大，使用寿命长等特点。但是随着传动 齿轮时变啮合刚度改进算法及刚度激励研究 系统向高速、重载、大型化方向发展，齿轮弹性变形或热力耦合变形明显增大，同时考 虑到安装制造误差，因此在理论上等价于两个基圆作纯滚动的渐开线齿轮传动，不可避 免的出现啮入啮出冲击、转速波动、载荷突变、载荷偏载，以及由不同的频率、振型组 成的振动，从而降低传动精度、缩短工作寿命、降低承载能力及增大振动及噪声。因此 从本世纪5 0 年代以来，各主要工业国家开始研究并采用齿轮修形技术，目前成熟的修 形方式主要是齿廓修形、螺旋角修形等方式【3 】。虽然单纯从静力学方面考虑的齿轮修形 方式能提高齿轮承载能力、改善齿轮偏载状况，但是并不能满足齿轮在动态工况中的使 用要求，齿轮的振动噪声问题仍然比较严重。因此大量研究者丌始建立齿轮系统动力学 方程，研究齿轮系统的动力学特性，并根据动力学分析结果改进齿轮系统结构。大量实 践表明，根据动力学结果对齿轮系统结构进行改进后可以明显减少齿轮系统的振动和噪 声，提高系统综合性能。 1 2 1 国外研究现状 最初对齿轮动力学的研究主要是在现有理论公式中加入动力学参数，例如动载系 数、偏载系数及齿形修正量，i s o 、a g m a 及d i n 标准中都对此类系数进行了详细定义。 这些系数的求解公式中均用到了齿轮时变啮合刚度，但是各标准均有各自的定义及不同 的求解方法【4 弓】。之后有大量学者建立了集总参数的齿轮系统动力学模型。由于行星轮 系的优秀性能，更有大量学者建立了行星轮系统的集总参数模型【6 1 ，如图1 1 、1 2 所示， 根掘模型中对集总质量运动模式的处理方式不同，有两种不同的模型：纯扭转振动模型 和扭转横向耦合振动模型。 图1 1 纯扭转模型 f i g 1 1 t o r s i o n a lm o d e l 图1 2 扭转一横向振动模型 f i g 1 2 t r a n s v e r s e - t o r s i o n a lm o d e l 大连理工大学硕士学位论文 使用纯扭转模型进行研究的学者有k a h r a m a n ，h i d a k a 等人r 7 9 】。此类模型考虑因素 少，求解简单，但是仅与某些特定参数吻合的比较好，例如求解系统的固有频率。扭转 横向振动耦合模型除了考虑扭转振动外，对直齿轮还考虑零件的轴向运动，对螺旋齿 轮传动，还考虑零件的轴向运动，进行此类研究的学者有a u g u s t 等人【l 仉1 1 】。最初的集 总参数模型，均是针对理想齿轮的，齿轮的啮合刚度是一固定值，没有考虑轮齿变形、 齿廓侧隙、齿面摩擦等，近几年，有许多学者提出了考虑齿形误差、传动误差、装配误 差、齿面摩擦及齿廓侧隙的齿轮系统集总参数模型。美国俄亥俄州立大学的s o n gh e 1 2 】 建立了考虑摩擦力的齿轮系统非线性动力学方程，并且用一组物理实验验证了理论求解 的正确性。t e i kc l i m ( 1 3 】研究并建立在非线性驱动力作用下，交错轴齿轮系统动力方 程。y c a i ( 1 4 】提出了一种考虑齿面分离过程的斜齿轮旋转振动方程。r o b e r tg p 诎e r 【l 5 】 分析了齿轮的模态参数激励及响应。r a i e n d r as i n g 【1 6 】研究了摩擦力在齿轮非线性振动 系统中的振动响应。在以上研究人员的研究中，各主要参数的获得必须考虑时变啮合刚 度，故在研究主要参数的影响同时也对时变啮合刚度进行了简单研究，但研究方式比较 单一，大部分研究者是通过f e a ( f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ) 仿真获得某些节点的齿轮刚 度，然后将齿轮时变啮合刚度的变化形式简化为方波函数。此外有些研究人员直接考虑 齿轮时变啮合刚度对齿轮动力系统的影响，南威尔士大学的sd u 1 7 】建立了考虑静态传 动误差及齿轮啮合刚度的非线性动力学方程，并进行了求解。j 一h k u a n g l l 8 】研究考 虑时变啮合刚度的齿轮系统对变化扭矩的振动响应。j l i i l 【l9 】研究了行星轮由时变啮合 刚度引起的参数激励。c a r l o sh e n r i q u ew i n k 2 0 】研究了时变啮合刚度及传动误差对齿面 载荷分配的影响因子。以上学者对时变啮合刚度研究较深入，时变啮合刚度的计算方式 也较广泛，除了继续使用f e a 方式外，还采用了标准公式法，例如y c a i 1 4 】。 随着对齿轮要求的提高，越来越多的学者直接关注齿轮时变啮合刚度的影响因素及 作用机理。对时变啮合刚度的研究方式主要分为三种：( 1 ) 公式法。f a k h e rc h a r i t 2 1 】利 用韦伯公式研究了齿根裂纹对齿轮时变啮合刚度的影响。i s h i k a w a 和w e b e r b a n a s c h c k 分别提出各自的齿轮时变啮合刚度计算方法瞄】。( 2 ) 有限元方法。伴随着计算机技术 的高速发展，有限元方法是当前应用最广泛的方法。t i m ok i e k b u s c h l 2 3 根据自己计算 的有限元分析结果，推出了一个经验公式。j j z h a n g 2 4 】利用有限元方式计算斜齿轮的 时变啮合刚度。( 3 ) 简化方波法。一般此种方法在各个标准中采用较多，方波的幅值 是根据公式法中的公式计算得到，然后根据一定的标准简化为一个方波函数。例如 i s 0 6 3 3 6 1 9 9 7 等。而在研究者中方波法的幅值一般是通过f e a 分析得到。r o b e r tg p a r k e r ( 1 5 】建立的齿轮动力方程中时变啮合刚度是通过f e a 计算获得某时间节点上的齿 齿轮时变啮合刚度改进算法及刚度激励研究 轮刚度，通过傅立叶函数简化为方波函数。i a nh o w a r d 2 5 】研究中也使用了时变啮合刚 度的方波函数。 1 2 2 国内研究现状 国内研究者对齿轮的研究也经历了先静力再动力，先建立单集总参数动力学方程再 建立考虑时变刚度、齿形误差、传动误差、装配误差、齿面摩擦及齿廓侧隙的齿轮系统 动力学系统模型的过程。相较而言，同时国内的研究也具有高起点的特征，研究单因素 在齿轮动力系统中的作用较少，多因素耦合作用在齿轮系统动力方程中的影响研究的比 较多。重庆大学及西北工业大学在齿轮系统动力学的研究方面比较深入，发表了多篇高 质量的论文，如西北工业大学的沈允文【2 6 】教授、孙涛】利用扭转横向振动耦合模型研 究了行星齿轮传动的非线性现象：如跳跃和多解等问题。重庆大学的秦大同f 27 j 教授提出 考虑综合误差及时变啮合刚度的1 5 m wj x l 力齿轮箱力学模型并利用此模型对齿轮箱进 行优化，其方程中的时变啮合刚度是利用g b 3 4 8 0 1 9 9 7 计算时变啮合刚度的峰值和平均 值，之后根据频率简化为方波函数带入齿轮系统方程。重庆大学的林腾蛟【2 8 】利用有限元 方式研究了时变啮合刚度和啮合冲击激励对齿形系统可靠性的影响。对齿轮系统研究最 深入最全面的是重庆大学李润方 2 9 - 3 0 教授，出版两本专著专门介绍齿轮系统动力学研究 趋势及现状，专著中简述了齿轮时变啮合刚度的定义，并阐述了时变啮合刚度材料力学 求解法的韦伯公式、有限单元法求解原理、边界元法及保角映射法。给出了不同重合度 的时变啮合刚度曲线变化规律。 此外，中南大学的唐进元【3 l 】教授等人提出了考虑齿面摩擦、齿轮时变啮合刚度和齿 侧间隙的非线性齿轮系统动力学方程，其时变啮合刚度是利用k u a n gj h t 3 2 】和y a n gy t 【3 2 】的二次平面应变等参有限元方法与单齿啮合获得的。张锁怀【3 3 1 教授等人建立考虑 时变刚度、齿侧间隙等多因素耦合的齿轮系统多自由度动力学模型，其时变刚度最终是 根据i s o d i s6 3 3 6 1 2 公式计算得到的，重庆大学邢子坤【3 4 】建立的动力方程中也用到时 变啮合刚度，其刚度是根据g b 公式计算得到的。朱自冰【35 l 建立了综合考虑啮合误差、 时变啮合刚度及齿侧问隙的两级行星系统的非线性动力学方程，但其未指明时变啮合刚 度的计算方法。卫一多【3 6 】提出了一种考虑行星架特性的行星齿轮系统动力学模型，并给 出了多齿啮合的综合啮合刚度。朱秋玲【37 】同时运用公式法和有限元仿真法对考虑时变啮 合刚度、啮合误差的齿轮非线性动力学系统进行了研究。 国内也有大量研究者专门针对时变啮合刚度计算方法进行研究。其研究方式主要也 分为两种：( 1 ) 公式法。王刚【3 8 。3 9 1 、王龙宝等人根据石川公式提出了改建建议，并 利用改进公式研究了齿轮有关参数对齿轮时变啮合刚度的影响作用。张会【4 l 】介绍时变啮 合刚度计算公式中的参数可用齿根圆( 或称有效齿根圆e f f e c t i v er o o td i a m e t e r ) 的 大连理工大学硕士学位论文 几何求解方法，并给出此参数的经验公式。( 2 ) 有限元法。李建宜【4 2 】使用通用商业有 限元软件a n s y s ，对特定时间节点的齿轮状态进行接触分析，得到一系列时变刚度节 点，并拟合出齿轮时变刚度变化曲线。邓晓龙【4 3 】利用t y c o n 建立了齿轮系统动力学模 型并进行仿真计算，其软件中自动考虑了齿轮时变啮合刚度的影响。利用i s 0 6 3 3 6 1 9 9 6 以及g b 3 4 8 0 1 9 9 7 计算齿轮时变啮合刚度也在国内研究者中得到了应用，此外还有i s o 线图等方式。 目前，国内对考虑多种因素的齿轮系统动力学方程研究比较深入，无论考虑哪种影 响因素，齿轮时变啮合刚度均是不可绕过的基础参数，但是国内外对齿轮时变啮合刚度 的研究多采用有限元仿真法，公式法中的韦伯公式在国外运用较多，石川公式在国内运 用较多，如朱秋玲、王龙宝等人的研究等。各动力学公式中将时变啮合刚度简化为方波 函数的应用也较广泛。其主要的简化方法有傅立叶法和峰值平均法。 1 3 研究意义及主要研究方法 齿轮系统动力学研究之所以吸引了越来越多的研究者是因为实践证明，齿轮传动是 一个动态的动力学过程，轮齿上作用的力不是静态的而是动态变化的，某些动态冲击在 静力学中不能被考虑及研究，单纯从静力学角度对齿轮轮齿进行修形己远远不能满足当 今生产应用中对齿轮高速、重载、低振动、低噪声及高可靠性的研究，单纯从零件角度 对齿轮系统进行性能改进并不能大幅度提高整个系统的性能。必须以系统的、整体的观 点对系统进行研究及改进。 齿轮系统的动力学行为包括齿轮动态啮合力和动载系数，以及齿轮系统的振动和噪 声特性等。通过齿轮系统动力学的研究，可以了解齿轮系统的结构型式、几何参数、加 工方法等对这些动力学性能的影响，从而指导高质量齿轮系统的设计与制造。 齿轮系统动力学起初是以冲击理论为基础发展起来的，后来发展到以振动理论为基 础。在振动理论框架内，将啮合轮齿模拟成时变的弹性元件，可以统一描述和研究轮齿 啮合中刚度的时变激励、误差的周期激励和冲击的瞬态性激励，而且这种弹性元件作为 整个齿轮系统的一个组成部分，可以在研究一个完整的弹性机械系统的过程中，研究激 励、系统、响应间的相互作用和影响【3 0 1 。 建模的合理性是齿轮系统动力学的关键，一般传动系统建模时可以采用传递矩阵法 和集总参数法，也可以采用有限元法【3 川；对于结构系统则必须采用有限元法。集总参数 法主要是把齿轮看作集中质量，把啮合齿用想象的具有一定弹性的弹簧及一定阻尼的阻 尼器连接起来。之后安装弹性阻尼振动理论及牛顿第二定律建立振动方程。对于模型的 求解方法主要有解析法和数值法两类。根据分析模型的不同类型，应采用不同的求解方 齿轮时变啮合刚度改进算法及刚度激励研究 法，其中关键的问题之一是分析模型中时变参数( 啮合刚度) 和非线性参数( 齿侧间隙) 的简化和描述。 齿轮系统动力学的重要应用有( 1 ) 动载荷系数的计算方法。动载荷系数是各种齿 轮强度计算标准中用于考虑轮齿啮合力因系统振动而增大的定量指标。随着齿轮系统动 力学理论的发展，动载荷系数的计算方法也不断发展，采用更合理的振动理论基础和更 简洁的计算方法以获得更好的计算公式，一直都是各国齿轮标准的重要目标。( 2 ) 振 动和噪声控制。齿轮系统动力学的研究，即从动态激励、系统设计、响应特性三方面全 面研究齿轮系统产生振动和噪声的机理、性质、特点和影响因素，采取相应的措施降低 齿轮系统的振动和噪声，是齿轮系统动力学理论的主要应用领域之一。( 3 ) 状态监控 和故障诊断。预防问题比解决问题更重要，能提前解决小的系统故障比解决重大系统故 障对生产更有意义，系统振动信号和噪声信号的测试和分析是一种主要的检测和诊断手 段。系统动力学分析能获得系统在f 常状态下的性能指标，也能通过对比性能指标的变 化来分析预测系统性能的变化【3 0 1 。 齿轮系统动力学今后的研究重点是参数激励、载荷识别及故障诊断。其中参数激励 包括时变刚度激励、误差激励。同时时变刚度激励还是动载系数的主要基础参数，是误 差激励的重要辅助参数。所以说齿轮时变啮合刚度是系统动力学的重要基础参数，加强 对齿轮时变啮合刚度的研究，获得更简单可靠的时变啮合刚度计算方法是完善齿轮系统 动力学系统研究及应用，推进齿轮系统动力学向更高层次发展的重要基础。 齿轮时变啮合刚度的主要研究方法主要包括材料力学法、有限单元法、边界元法及 保角映射法等。随着计算机技术的发展有限单元法得到了快速发展，但是精度和效率问 题仍然制约着有限单元法的进一步发展。所以许多研究人员把目光对准了材料力学法， 针对现有公式提出了许多改进意见或提出了新的计算公式。 1 4 本文的研究内容 概述齿轮系统动力学的发展概况，并介绍一种考虑时变刚度的行星轮系统动力方 程，指出时变刚度对系统的影响，指出了几种求解时变啮合刚度的方法，其中详细介绍 石川公式的内容。针对内啮合传动及外啮合传动的各自特点，提出了利用石川公式求解 时变刚度时需要的重要参数有效齿根圆及载荷作用距的具体计算公式。同时针对石 川公式及其他改进公式仅考虑了轮齿变形未考虑齿轮腹板变形的不足，提出了新的改进 公式，并给出一组算例。之后建立了行星齿轮系统的三维模型，利用显式动力学有限元 软件进行显式动力分析，得到了齿轮啮合过程中的轮齿变形，通过求解变换得到齿轮啮 合过程中的时变刚度，与公式值进行了对比。另外，本文还对齿轮传动过程中刚度激励 大连理工大学硕士学位论文 对齿轮应力分布的影响进行简单仿真研究，揭示了齿轮工作过程中齿轮系统内部参数激 励对齿轮性能的影响，并提出了降低刚度激励的设计方法。具体研究内容如下： ( 1 ) 齿轮系统动力学理论介绍。阐述了齿轮动力学对系统整体性能的重要性及时 变啮合刚度对齿轮系统动力学的重要意义。介绍了一种行星轮系统传动的齿轮动力学集 总参数模型，指出时变啮合刚度在其中的重要作用及影响。 ( 2 ) 改进时变啮合刚度计算公式。介绍石川公式中提及但至今未有明确计算方法 的参数的计算公式。针对目前时变啮合刚度计算公式的不足，提出改进的时变啮合刚度 计算公式。并利用m a t l a b 编程，针对某一具体型号行星齿轮传动系统进行计算验证。 分析齿轮设计参数对时变刚度的影响作用。 ( 3 ) 齿轮时变啮合刚度显式动力学分析。对算例中的齿轮进行三维建模，利用显 式动力学软件l s d y n a 进行显式动力学分析。得到齿廓啮合线上某点随传动位置变化 的变形量，然后根据刚度与位移的关系，求得此型号齿轮的时变啮合刚度，并把此结果 同理论计算结果进行对比分析。 ( 4 ) 参数激励对齿轮应力分布的影响。利用理论公式得到的时变啮合刚度精确公 式，绘制时变啮合刚度曲线，并利用m a t l a b 对曲线进行拟合，为获得简化的时变啮 合刚度计算公式，提出一种新的简化方法。利用傅立叶级数将时变啮合刚度简化公式转 化为由一系列正弦波组成的周期激励。最后利用a p d l 编程，进行谐响应分析及工况组 合，仿真获得时变啮合刚度对齿轮应力分布的影响，分析刚度激励对齿轮可靠性及寿命 的影响。 ( 5 ) 利用改进公式，研究了齿轮基本设计参数对齿轮时变啮合刚度的影响，通过 选择合适的齿轮设计参数，达到了减小齿轮时变啮合刚度的目的。证明如果在齿轮设计 初期合理选择设计参数就可以减小齿轮时变刚度激励，减小齿根应力集中，优化齿面应 力分布，提高齿轮使用寿命。 齿轮时变啮合刚度改进算法及刚度激励研究 2 齿轮时变啮合刚度应用理论 2 1引言 齿轮传动以其结构紧凑、效率高、寿命长等特点具有悠久的使用历史，早在公元前 就有齿轮传动装置的使用，但是当时生产力水平低下，轮廓形状未有固定理论支持。随 着生产的发展，齿轮运转的平稳性受到重视。1 6 7 4 年丹麦天文学家罗默首次提出用外摆 线做齿廓曲线，以得到运转平稳的齿轮。1 8 世纪工业革命时期，齿轮技术得到高速发展， 人们对齿轮进行了大量研究，1 7 3 3 年法国数学家卡米发表齿廓啮合基本定律；1 7 6 5 年 瑞士数学家欧拉建议采用渐丌线做齿廓曲线。1 9 世纪出现的滚齿机和插齿机，解决了大 量生产高精度齿轮的问题】。虽然随着生产力的发展，渐丌线齿轮生产精度同益提高， 齿轮模数己达到o 0 0 4 m m 但是齿轮仍然存在偏载、振动及噪声等一系列问题。经过研 究发现，齿轮在工作过程中，存在受载变形及安装等些误差，制造齿廓是精确渐丌线， 其工作齿廓并不能保证是精确渐开线。自1 9 3 8 年w a l k e r 4 5 】第一次指出直齿轮齿向修形 的重要性以来，国内外学者做了大量工作来改进齿轮的承载能力和降低齿轮传动产生的 噪声。伴随着齿轮应用范围的扩大，人们对齿轮的性能要求越来越高，单纯以静力学为 基础的齿轮齿向修形、螺旋角修形已经远不能满足高速、重载、小振动、低噪声的使用 要求。此后伴随着相关力学理论与实验技术的发展，促进了齿轮系统研究向动力学方面 发展，并在载荷修f 、振动和噪声控制及状态监控和故障诊断方面取得巨大成就。 2 2 齿轮系统动力学的发展历程 最初齿轮动力学是按照啮合冲击理论描述和解释齿轮动态激励和动态响应。该方法 将齿轮系统简化为单自由度系统，以冲击作用下的单自由度系统的动态响应来表达齿轮 系统的动力学行为。上世纪5 0 年代后，齿轮系统逐渐被作为弹性的机械系统加以研究， 分析在啮合刚度、传递误差和啮合冲击作用下的系统动力学行为【3 0 】。 齿轮系统动力学进入振动理论后，经历了由低自由度系统到高自由度系统，由简单 扭转振动模型到扭转横向振动耦合模型，由简单线性系统到复杂非线性系统的发展过 程。 2 2 1 齿轮系统线性动力学 在线性系统中，用平均啮合刚度代替时变啮合刚度，不考虑由时变啮合刚度引起的 动态稳定问题，且避免研究由齿侧间隙引起的非线性及多对齿轮副、齿轮副与支持轴承、 支承间隙等时变刚度问的相互关系、相互作用对系统动态特性的影响。具有代表性如图 大连理工大学硕士学位论文 2 1 【3 0 】所示的线性单自由度纯扭转振动系统和2 2 所示的线性多自由度扭转横向振动耦 合系统。 线性单自由度纯扭转振动系统简单描述了齿轮周向转动过程中齿对啮合的动力学 特性，主要由两个圆盘与一个弹簧及一个阻尼器组成，圆盘代表齿轮的惯性质量，弹簧 代表齿轮的啮合刚度，阻尼器代表系统间的啮合阻尼。需要说明的是，弹簧代表的啮合 刚度是齿轮啮合刚度的平均值，是一个常量。 ip i f 图2 1 纯扭转齿轮系统动力模型 f i g 2 1 t o r s i o n a lm o d e lo fg e a rd y n a m i c ss y s t e m 主动轮p 的振动方程可以描述为： 啡+ 邱( 邱砟一毽嚷) + r p k ( 耳郇一毽咚) = 昂 从动轮g 的振动方程可以描述为： + 如( 毽一邱啡) + b k ( 匙吱一r p ) = 一巧 式中： 郎、以为主、从动齿轮的扭转振动位移； 以、以为主、从动齿轮的扭转振动速度； 以、或为主、从动齿轮的扭转振动加速度； j r ”，为主、从动齿轮的转动惯量； r p 、尺，为主、从动齿轮的基圆半径； 品、疋为主、从动齿轮上的外载荷力矩； 气为齿轮副的啮合阻尼； 一9 一 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 齿轮时变啮合刚度改进算法及刚度激励研究 k 为齿轮副的啮合综合刚度。 图2 2 扭转一横向振动耦合齿轮系统动力模7 i ! ! f i g 2 2 t r a n s v e r s e t o r s i o n a lm o d e lo fg e a rd y n a m i c ss y s t e m 线性多自由度扭转一横向振动耦合系统描述了齿轮周向转动过程中齿对啮合的动力 学特性及齿轮在水平方向及垂直方向上的横向振动特性，主要由两个圆盘与五个弹簧及 五个阻尼器组成，圆盘代表齿轮的惯性质量，弹簧尼。代表齿轮的啮合刚度，弹簧尼i ，( i = p ， g ) 代表齿轮水平方向的齿轮刚度弹簧岛、。( i = p ，g ) 代表齿轮垂直方向的齿轮刚度， 阻尼器c 。代表系统问的啮合阻尼，阻尼器( i = p ，g ) 代表齿轮水平方向上的阻尼， 阻尼器c f l ，( i = p ，g ) 代表齿轮水平方向上的阻尼。同单自由度系统一样，啮合刚度是 齿轮整体啮合刚度的平均值，也是一个常量。 建立可靠的齿轮动力模型，各齿轮间相互作用的弹性变形必须被加以考虑，啮合产 生的切向力同齿轮中心线的角度必须加以明确，扭转横向振动耦合齿轮系统的弹性模 型如图2 2 所示。 则主动轮p 的振动方程可以描述为： i p o f i + 砟c m ( r 尸6 - r , 6 ) + r 尸k ( 邱郇一毽唿) = 昂 m p ) c p + c 强x p + k p x x p = q m p y p + c p x y p 七k p x y p = 0 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 大连理工大学硕士学位论文 从动轮g 的振动方程可以描述为： 乇咚+ 毽( 毽一r e o p ) + 毽( 毽巳一邱郇) = 一毛 m g x