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文档简介
第一章解三角形学业质量标准检测一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1在ABC中,a80,b100,A45,则此三角形解的情况是(B)A一解B两解C一解或两解D无解解析bsinA1005080,bsinAa0,设最大角为,则cos0,为锐角,故选A7(20182019学年度宁夏育才中学高二月考)在ABC中,A60,b1,其面积为,则等于(B)ABCD解析由题意,知bcsinAcsin60,c4由余弦定理,得a2b2c22bccosA11621413,a8在ABC中,已知sin2Asin2BsinAsinBsin2C,且满足ab4,则该三角形的面积为(D)A1B2CD解析由sin2Asin2BsinAsinBsin2C,得a2b2abc2,cosCC(0,180),C60sinC,SABCabsinC9ABC中,已知下列条件:b3,c4,B30;a5,b8,A30;c6,b3,B60;c9,b12,C60.其中满足上述条件的三角形有两解的是(A)ABCD解析csinBbc,故有两解;bsinAab,故有两解;bcsinB,有一解;cbsinC,无解所以有两解的有,故选A10若G是ABC的重心,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且abc0,则角A(D)A90B60C45D30解析由重心性质可知0,故,代入abc0中,即(ba)(ca)0,因为,不共线,则,即,故cosA,因为0A180,所以A30,故选D11在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对边的边长,若cosAsinA0,则的值是(B)A1BCD2解析将cosAsinA0,整理得(cosAsinA)(cosBsinB)2,即cosAcosBsinBcosAsinAcosBsinAsinBcos(AB)sin(AB)2,cos(AB)1,sin(AB)1,AB0,AB,即AB,C.利用2R,得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC,则.(R为ABC的外接圆半径)12如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15,与灯塔S相距20 n mile,随后货轮按北偏西30的方向航行30 min后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为(B)A20()n mile/hB20()n mile/hC20()n mile/hD20()n mile/h解析由题意可知SMN153045,MS20,MNS45(9030)105,设货轮每小时航行x n mile,则MNx,MSN1801054530,由正弦定理,得,sin105sin(6045)sin60cos45cos60sin45,x20(),故选B二、填空题(本大题共4个小题,每个小题5分,共20分将正确答案填在题中横线上)13在ABC中,已知b1,sinC,bcosCccosB2,则_或_解析由余弦定理的推论,得cosC,cosBbcosCccosB2,2,a2,即|2sinC,0C180,cosC,或cosC又b1,即|1,或14(2018浙江,13)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a,b2,A60,则sinB_,c_3_解析由正弦定理,得,得sinB,由余弦定理,得cosA,解得c315(2016全国卷理,13)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若cosA,cosC,a1,则b_解析解法一:因为cosA,cosC,所以sinA,sinC,从而sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC.由正弦定理,得b解法二:因为cosA,cosC,所以sinA,sinC,从而cosBcos(AC)cosAcosCsinAsinC.由正弦定理,得c.由余弦定理b2a2c22accosB,得b解法三:因为cosA,cosC,所以sinA,sinC,由正弦定理,得c从而bacosCccosA解法四:如图,作BDAC于点D,由cosC,aBC1,知CD,BD又cosA,所以tanA,从而AD故bADDC16(20182019学年度江西戈阳一中高二月考)在ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知(abc)(abc)3ab,且c4,则ABC面积的最大值为_4_解析(abc)(abc)(ab)2c2a22abb2c23ab,a2b2c2ab又a2b2c22abcosC,2abcosCab,cosC,C(0,),C由余弦定理,得c2a2b22abcosC,16a2b22abcosa2b2ab2ababab,ab16ABC面积的最大值S16sin4三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)(2016北京理,15)在ABC中,a2c2b2ac(1)求B的大小;(2)求cosAcosC的最大值解析(1)由余弦定理及题设条件得cosB又0B,所以B(2)由(1)知AC,则cosAcosCcosAcoscosAcosAsinAcosAsinAcos因为0A,所以当A时,cosAcosC取得最大值118(本题满分12分)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知cosC(1)若,求ABC的面积;(2)设向量x(2sin,),y(cosB,cos),且xy,求sin(BA)的值解析(1)由得abcosC又因为cosC,所以ab又C为ABC的内角,所以sinC所以ABC的面积SabsinC3(2)因为xy,所以2sincoscosB,即sinBcosB,因为cosB0,所以tanB因为B为三角形的内角,所以B所以AC,所以AC所以sin(BA)sin(A)sin(C)sinCcosC19(本题满分12分)为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1 km内不能收到手机信号检查员抽查青岛市一考点,在考点正西约 km有一条北偏东60方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以12 km/h的速度沿公路行驶,最长需要多少时间,检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格?解析如图所示,考点为A,检查开始处为B,设公路上C,D两点到考点的距离为1 km在ABC中,AB1.732,AC1,ABC30,由正弦定理,得sinACB,ACB120(ACB60不合题意),BAC30,BCAC1在ACD中,ACAD,ACD60,ACD为等边三角形,CD1605,在BC上需要5 min,CD上需要5 min最长需要5 min检查员开始收不到信号,并至少持续5 min该考点才算合格20(本题满分12分)(20182019学年度深圳耀华实验中学高二月考)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知acosBbcosA2(1)求c的值;(2)若C,试写出ABC的周长f(B),并求出f(B)的最大值解析(1)由acosBbcosA2及余弦定理,得ab2,整理解得c2(2)由c2和C及正弦定理,得,ABC的周长f(B)abcsinAsinB2由三角形内角和为,得AB,f(B)sin(B)sinB22(sinBcosB)sin(B)2,又B(0,),B(,),当B,即B时,f(B)取得最大值221(本题满分12分)(20182019学年度北京市顺义区杨镇一中高二月考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2,c3,cosB(1)求b的值;(2)求sinC的值;(3)求ABC的面积解析(1)由余弦定理,得b2a2c22accosB223222310,b(2)cosB,sinB由正弦定理,得,sinC(3)由(1)知b,由(2)得sinC,又a2,SABCabsinC222(本题满分12分)如图所示,甲船以每小时30 n mile的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处,此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处,此时两船相距10 n mile,问乙船每小时航行多少n mile? 解析解法一:如图,连结A1B2,由题意知A2B210 n mile,A1A23010 n mile所以A1A2A2B2又A1A2B218012060,所以A1A2B2是等边三角形所以A1B2A1A210 n mile由题意知,A1B120 n mile,B1A1B21056045,在A1B2B1中,由余弦定理,得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos45202(10)222010200所以B1B210 n mile因此,乙船速度的大小为6030(n mile/h)答:乙船每小时航行30 n mile解法二:如下图所示,连结A2B1,由题意知A1B120 n mile,A1A23010 n mile,B1A1A2105,又cos105cos(4560)cos45cos60sin45sin60,sin105sin(4560)sin45cos60cos45sin60,在A2A1B1中,由余弦定理,得A2BA1BA1A2A1B1A1A2cos105202(10)222010100(42),所以A2B110(1)n mi
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