弹性力学第三章习题.doc

1.设有矩形截面的竖柱，其密度为，在一边侧面上受均布剪力q，如图1，试求应力分量。图1解：采用半逆解法，设 。导出使其满足双调和方程： 取任意值时，上式都应成立，因而有：式中， 中略去了常数项， 中略去了 的一次项及常数项，因为它们对应力无影响。（1） （1）含待定常数的应力分量为：利用边界条件确定常数，并求出应力解答：能自然满足：能自然满足：（3） （2） （3）不能精确满足，只能近似满足：由式（3）、（4）解出常数 和 ，进而可求得应力分量：（4）（4） （4） （5）图2（a）（b）2如图2（a），三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。解：1.设应力函数为：不难验证其满足 。所以应力分量为： 2.用边界条件确定常数，进而求出应力解答： 上边界： 斜边： 解得： 3如果 为平面调和函数，它满足 ，问 是否可作为应力函数。 解：将 代入相容条件，得：满足双调和方程，因此，可作为应力函数。将代入相容条件得 1 也能作为应力函数。把 代入相容条件，得：所以， 也可作为应力函数。 4图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数为：，求简支梁的应力分量（体力不计）。 Oylxlh 解：由满足相容方程确定系数A与B的关系： 含待定系数的应力分量为 由边界条件确定待定系数： 、由以上式子可求得： 由此可解得：应力分量为5.如图所示，右端固定悬臂梁，长为l，高为h，在左端面上受分布力作用（其合力为P）。不计体力，试求梁的应力分量。PyOhlx解：用凑和幂次不同的双调和多项式函数的半逆解法来求解。显然，应力函数 所对应的面力，在梁两端与本题相一致，只是该函数在上、下边界面上多出了一个大小为 的剪应力，为了抵消它，在应力函数 上再添加一个与纯剪应力对应的应力函数 ：由平衡条件得含有待定系数的应力表达式为：利用边界条件确定，并求出应力分量：上、下边界：左端部：解得：6.试考察应力函数在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?【解答】相容条件:不论系数a取何值，应力函数总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).求应力分量当体力不计时，将应力函数代入公式(2-24)，得考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.左右边界上；当a0时，考察分布情况，注意到，故y向无面力左端: 右端: 应力分布如图所示，当时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩A主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。偏心距e：因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：同理可知，当h，图3-5，试用应力函数=Axy+By2+Cy3+Dxy3求解应力分量。解：本题是较典型的例题，已经给出了应力函数，可按下列步骤求解。1将代入相容方程，显然是满足的。2将代入式（2-24），求出应力分量3考虑边界条件：主要边界y=h/2上，应精确满足式（2-15），在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上x,和xy的正方向，由此得由式(a)，（b）解出最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必须满足的，故不必再校核。代入应力公式，得11. 挡水墙的密度为1，厚度为b，图3-6，水的密度为2，试求应力分量。解：用半逆解法求解1假设应力分量的函数形式，因为在y=-b/2边界上，y=0；y=b/2边界上，y=-2gx，所以可假设在区域内y为2推求应力函数的形式。由y推测的形式，3由相容方程求应力函数。将代入4=0，得要使上式在任意的x处都成立，必须代入，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。4由应力函数求应力分量，将代入式（2-24），注意体力fx=1g，fy=0，求得应力分量为5考虑边界条件：在主要边界y=b/2上，有由上式得到求解各系数，由(a)+(b)得 (a)-(b)得 (c)-(d)得(c)+(d)得由此得 又有(e)-(f)得 (e)+(f)得 代入A，得在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件：由式(g),(h)解出代入应力分量的表达式，得应力解答：12. 已知试问它们能否作为平面问题的应力函数？解：作为应力函数，必须首先满足相容方程，将代入，（a）其中A=0，才可成为应力函数；（b）必须满足 3（A+E）+C=0，才可成为应力函数。13. 图3-7所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩M= 的作用，试用应力函数 求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。解：应用应力函数求解：（1）校核相容方程 4=0，满足。（2）求应力分量，在无体力时，得（3）考虑主要边界条件 ，均已满足。考虑次人边界条件，在y=0上，代入，得应力的解答，上述和应力已满足了4=0和全部边界条件，因而是上述问题的解。（4）求应变分量，（5）求位移分量，将u,v代入几何方程第三式两边分开变量，并令都等于常数,即从上式分别积分，求出代入u,v，得再由刚体约束条件，代入u,v，得到位移分量的解答：在顶点x=y=0。14.矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载，图3-8。试用下列应力函数求解应力分量。解：应用上述应力函数求解：、（1）将代入相容方程由此，（2）求应力分量，在无体力下，得（3）考虑主要边界条件（yh/2）,对于任意的x值，上式均应满足，由此得由(c)+(d)得由(c)-(d)得由（e）-(a)得 （4）考虑小边界上的边界条件（x=0），由得由式（b）和(f)解出另两个积分的边界条件，显然是满足的。于是，将各系数代入应力表达式，得应力解答：读者试校核在x=l的小边界上，下列条件都是满足的。15. 矩形截面的柱体受到顶部的集中力和力矩M的作用。图3-9，不计体力，试用应力函数 求解其应力分量。解：应用上述应力函数求解：（1）代入相容方程，4=0，满足。（2）求应力分量，在无体力下，得（3）考察边界条件。在主要边界，在次要边界x=0，再由(a),(b)式解出代入，得应力解答，16. 试由应力函数求解图3-10所示的半无限平面体在x0的边界上受均布压力q的问题。解：应校核相容方程的边界条件，若这些条件均满足，就可以求出其应力分量。本题得出的应力解答是17.试由应力函数求解图3-11所示的半平面体在x0的边界上受均布切力q的问题解：应力函数应满足相容方程和边界条件，若这些条件均满足，就可以求出其应力分量。本题得出的应力解答是18.半平面体表面上受有均布水平面力2q，试用应力函数求解应力分量，如图解：（1）由于，而相容方程，故满足，验证相容方程满足； （2）求出应力分量如下： （3）代入边界的应力边界条件，得： （4）得到应力分量的表达式为： 19.半平面体表面上受有均布水平面力2q，试用应力函数求解应力分量，如图（12分）解（1）由于，而相容方程，故满足，验证相容方程满足； （2）求出应力分量如下： （3）代入边界的应力边界条件，得： （4）得到应力分量的表达式为： 20.如图所示矩形截面简支梁，长度为，高度为（，），在上边界受三角形分布荷载作用，试取应力函数为：，求简支梁的应力分量（体力不计）。 O解（1）将代入相容方程，由此， （2）求应力分量，在无体力下，得（3）考察主要边界条件，对于任意的x值，上式均应满足，由此得 （a） （b） （c） （d）由(c)+(d)得。由(c)-(d)得 (e)由(e)-(a)得（4）考察小边界上的边界条件（x=0）,由得 （f）由式（b）和(f)解出另两个积分的边界条件：显然是满足的。（5）于是，将各系数代入应力表达式，得应力解答：经校核在x=l的小边界上，下列条件也是满足的：。21.楔形体左边垂直，右边与垂直方向成角45o，下端无限长，不计体力，左边受到均布水平方向的面力q作用，试用半逆解法求应力分量。解：解法1-（1）假设部分应力的形式并推求应力函数的形式用量刚分析认为，各个应力分量只可能是x和y的纯一次式。而应力函数较长度量刚高两次，应该是x和y的纯三次式，因此假定： （2）验证上式满足相容方程。显然满足 （3）求解应力分量的具体形式 （4）考察边界条件第一个边界x=0应力边界条件为： 代入上式并代入边界方程x=0可得：因此应力分量变化为：第二边界x=y的应力边界条件为： 而：所以：（5）求解应力分量最后得出应力分量为： 解法2-（1）假设 （2）代入相容方程： 得到：（3）代入边界条件第一个边界x=0应力边界条件为： 第二边界x=y的应力边界条件为： 而：得到：（4）求解应力分量 22.如图所示楔形体右侧面受均布荷载q作用，试求应力分量。【解】（1）楔形体内任一点的应力分量决定于q、，其中q的量纲为NL-2，与应力的量纲相同。因此，各应力分量的表达式只可能取Kq的形式，而K是以，表示的无量纲函数，亦即应力表达式中不能出现，再由知，应力函数应是的函数乘以，可设 （a）将式（a）代入双调和方程，得 ，=0，上式的通解为 ，将上式代入式（a），得应力函数为。 （b）(2)应力表达式为 (c)(3)应力边界条件 ，得2（A+D）=q ; (d) ,得Acos2+B sin2+C+D=0, (e),得2BC=0, (f),2Asin22Bcos2=0 。 (g)联立求解式(d)(g)，得各系数 ，。将系数代入(c)，得应力分量 （h） 23.楔形体在两侧面上受有均布剪力q,如下图所示，试求其应力分量。 【解】（1）应用应力函数，进行求解。由应力函数得应力分量 （2）考察边界条件：根据对称性，得 （a） (b) (c) (d) 同式（a）得 (e)同式（b）得 (f)同式（c）得 (g)同式（d）得 (h) 式(e) 、(f) 、(g)、 (h)联立求解，得 将以上各系数代入应力分量，得 24. 图示悬臂梁，梁的横截面为矩形，其宽度取为1，右端固定、左端自由，荷载分布在自右端上，其合力为P（不计体力），求梁的应力分量。解：这是一个平面应力问题，采用半逆解法求解。（1）选取应力函数。由材料力学可知，悬臂梁任一截面上的弯矩方程M（x）与截面位置坐标x成正比，而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标y成正比，因此可设 (a)式中的为待定常数。将式（a）对y积分两次，得 (b)式中的，为x的待定函数，可由相容方程确定。将式（b）代入相容方程，得 上式是y的一次方程，梁内所有的y值都应是满足它，可见它的系数和自由项都必须为零，即，积分上二式，得式中为待定的积分常数。将，代入式（b），得应力函数为. (c)(2)应力分量的表达式 (3)考察应力边界条件：以确定各系数，自由端无水平力；上、下部无荷载；自由端的剪力之和为P，得边界条件 ,自然满足； ,得;上式对x的任何值均应满足，因此得，即，得X取任何值均应满足，因此得.将式（e）代入上式积分，得计算得 ,其中,横截面对Z轴的惯性矩。最后得应力分量为25. 试考察应力函数能满足相容方程，并求出应力分量(不计体力),画出题3-2图所示矩形体边界上的面力分布(在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩)，指出该应力函数所能解决的问题。 解 （1）相容条件：将代入相容方程,显然满足。（2）应力分量表达式(3)边界条件：在主要边界上，应精确定满足应力边界条件在次要边界x=o, x=l上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件 (a) (b) (c)对于如图所示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，由应力边界条件式（a）(b)、(c)可知上边、下边无面力；而左边界上受有铅直力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶，和铅直面力。所以，能解决悬臂在自由端受集中力作用的问题。26. 如题3-6图所示的墙，高度为h,宽度为b,hb,在两侧上受到均布剪力q的作用，试用函数求解应力分量。解：（1）相容条件将应力函数代入相容方程，其中，。很显然满足相容方程。（2）应力分量表达式(3)考察边界条件，在主要边界上，各有两个应精确满足的边界条件，即在次要边界y=0上，而的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0），可用积分的应力边界条件代替.(4)把各应力分量代入边界条件，得应力分量为27. 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，lh 如题3-7图所示，试用应力函数求解应力分量。解（1）相容条件将代入相容方程，显然满足。（2）应力分量表达式(3) 考察边界条件，在主要边界上，各有两个应精确满足的边界条件得 (a)在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件代替。注意x=0是负x面，由此得 (b)由式（a）(b)解出最后一个次要边界条件（x=l上）,在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。代入应力公式，得 28.设题3-9图中的简支梁只受重力作用，而梁的密度为，试用教材3-4中的应力函数(e)求解应力分量，并画出截面上的应力分布图。解 （1）应力函数为(2)应力分量的表达式这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的，因此，如果能够选择适当的常数A,B,，K,使所有的边界条件都满足，则应力分量式（b）,(c),(d)就是正确的解答。（3）考虑对称性。因为yz面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz面。这样是是x的偶函数，而是x的奇函数，于是由式（b）和（d）可见（4）考察边界条件：在主要边界上，应精确满足应力边界条件将应力分量式（c）和（d）代入，并注意到前面已有，可见这些边界条件要求联立求解得到将以上已确定的常数代入式（b）,式（c）和（d），得考虑左右两边的次要边界条件。由于问题的对称性，只需考虑其中的一边，例如右边。梁的右边没有水平面力，x=l时，不论y取任何值，都有。由式（f）可见，这是不可能满足的，除非是均为零。因此，用多项式求解，只能要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，也就是要求将式（f）代入式（i）,得积分以后得将式（f）代入式（j），得积分以后得将K，H的值代入式（f）,得另一方面，梁右边的切应力应当合成为反力积分以后，可见这一条件是满足的。将式（g）,(h),(k)略加整理，得应力分量的最后解答 注意梁截面的