（固体力学专业论文）一类具有弹性梯度纳米纤维的静动力学行为.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 在纳米纤维力学研究中，基于弹性梯度理论，建立有许多的本构关系。本文 讨论的是其中较为常见的两类本构关系的应用。利用这两类本构关系，分析了一 类纳米纤维在轴向恒定外力和周期性外力作用下的静、动力学行为。 首先，以第一类本构关系为基础，根据弹性梯度理论，通过增加一个四阶线 性高阶应变梯度项，提出了第一类本构框架下的一个新本构模型。分析了该模型 下纳米纤维的纵向静、动力学行为。在静力学行为研究方面，用此新模型分析了 纳米纤维受轴向恒定拉力时，静态无量纲应变和位移的分布规律。分析基于忽略 轴向应变高阶小量。通过基本方程和变分原理得到平衡控制方程，并通过变分法 和残余权值法导出全部的经典和非经典边界条件。得到的解析计算结果显示出高 阶应变梯度在不同材料参数下对尺度和边界效应的影响。然后在静态分析的基础 上，进一步讨论了该新本构关系在动力学行为方面的应用。研究了纳米纤维的轴 向自由和受迫振动。分析了自由振动时的频率和模态，以及受迫振动时的应变和 位移随时间变化的规律。得到了纳米纤维位移及应变分布的傅立叶级数形式的解 析解。通过对自由端位移和固定端应变随时间变化规律的分析，得出了随时间变 化高阶线性梯度对应变的影响比对位移的影响明显。同时，也详细研究了其他材 料参数对纳米纤维动力学行为的影响。 其次，讨论了第二类本构关系的应用。研究了纳米纤维轴向自由振动时的频 率和受迫振动时无量纲位移、应变的随时间变化的规律。采用与前面相同的数学 处理方法。通过位移和应变分布的傅立叶级数形式的解析解，详细分析了此类本 构关系中各个不同的材料参数对纳米纤维动力学行为的影响。由于这个本构关系 和本文新提出的本构关系都可以退化成第一类本构的经典形式，因此，本文也集 中讨论了这种退化对自由振动频率的影响。 第二类本构关系的最大特点就是引入了内部时间项参数，因此本文着重讨论 了该参数对纳米纤维位移和应变随时间变化的影响。通过分析，发现这个参数对 v i 上海大学硕士学位论文 纳米纤维的动力学行为有不可忽略的明显影响。在自由端位移和固定端应变随时 间变化的过程中，内部时间项不仅会影响到应变和位移的大小，还会产生“拍 现象，并且随着内部时间项的变化，“拍 周期或“拍”频也会发生变化。同时， 也研究了其它材料参数对纳米纤维位移和应变分布的影响。 最后，对本文新提出的本构关系和相应的经典形式以及第二类本构关系做了 一个总结和对比。 关键词：纳米纤维；梯度理论；应变分析；振动；变分原理；尺度效应。 i 上海大学硕士学位论文 a bs t r a c t m a n yg r a d i e n td e p e n d e n tc o n s t i t u t i v em o d e l sa r ep r o p o s e do nt h es t u d yo ft h e m e c h a n i c a lp r o p e r t i e so fn a n o f i b e r s t h i sp a p e rs t u d i e st w ot y p e so fc o m m o n l yu s e d c o n s t i t u t i v er e l a t i o n s h i p s b yu s i n go ft h e s ec o n s t i t u t i v er e l a t i o n s h i p sb o t hs t a t i ca n d d y n a m i c sb e h a v i o r so fag r a d i e n te l a s t i cn a n o f i b e ra r es t u d i e d f i r s t l y , a p p l i c a t i o no ft h ef i r s tc a t e g o r yc o n s t i t u t i v er e l a t i o n s h i pi ss t u d i e d a n e wg r a d i e n td e p e n d e n tc o n s t i t u t i v em o d e li sp r o p o s e dw h i c hi sb a s e do nt h ef i r s t c a t e g o r yc o n s t i t u t i v er e l a t i o n s h i pb ya d d i n gaf o u r t h - g r a d i e n tt e r m t h es t a t i ca n d d y n a m i cb e h a v i o r so fag r a d i e n te l a s t i cn a n o f i b e ra r ed i s c u s s e db yu s i n gt h i sn e w m o d e l o nt h es t u d yo ft h es t a t i c st h i sp a p e ra n a l y s e st h ed i m e n s i o n l e s sd i s p l a c e m e n t a n ds t r a i nd i s t r i b u t i o no fa 孕a d i e n tn a n o f i b e ri nt e n s i o n a f t e rn e g l e c t i n gt h eh i g h e r i n f i n i t e s i m a ls t r a i na l o n gn a n o f i b e r sl o n g i t u d i n a ld i r e c t i o n , t h eg o v e r n i n ge q u a t i o no f e q u i l i b r i u mi so b t a i n e db yac o m b i n a t i o no ft h eb a s i ce q u a t i o na n dap r o p o s a l v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e b yu s i n go f b o t hv a r i a t i o n a la n dw e i g h t e dr e s i d u a l sm e t h o d s ，a l l c l a s s i c a la n dn o n c l a s s i c a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ed e t e r m i n e d s o m ei n f l u e n c e so f l l i g h o r d e rg r a d i e n to fs t a i no ns i z ea n db o u n d a r ye f f e c t sa r ei d e n t i f i e da n da s s e s s e d b ya n a l y t i c a le x p r e s s i o n s f u r t h e r m o r e , b yu s i n gt h es a m em a t h e m a t i c a lm e t h o d d y n a m i ca n a l y s e so ft h eg r a d i e n te l a s t i cn a n o f i b e ri sd i s c u s s e d b o t hf r e ev i b r a t i o n a n df o r c e dv i b r a t i o n sa r es t u d i e d ，i n c l u d i n gt h ev i b r a t i o n a lm o d e sa n dn a t u r e f r e q u e n c i e so ft h en a n o f i b e r sa sw e l la sd i m e n s i o n l e s sd i s p l a c e m e n t s t r a i nd i s t r i b u t i o n o ff o r c e dv i b r a t i o n s a n a l y t i cs o l u t i o n sf o rd i s p l a c e m e n ta n ds t r a i nr e s p o n s e s d e t e r m i n e db yf o u r i e r ss e r i e sa r ec a l c u l a t e di nd e t a i l s d i m e n s i o n l e s sd i s p l a c e m e n ta t f r e ee n da n dd i m e n s i o n l e s ss t r a i na tf i x e de n da r ed i s c u s s e d t h er e s u l ts h o w st h a tt h e e f f e c to fh i g h - o r d e rg r a d i e n ti sn o t s i g n i f i c a n to nt h ed i s p l a c e m e n tb u tm o r e s i g n i f i c a n to nt h es t r a i n t h ee f f e c t so fo t h e rv a r i o u sm a t e r i a lp a r a m e t e r so fag r a d i e n t e l a s t i cn a n o f i b e ra r ea l s od i s c u s s e d s e c o n d l y , a p p l i c a t i o no ft h es e c o n dc a t e g o r yc o n s t i t u t i v er e l a t i o n s h i pi ss t u d i e d f r e ev i b r a t i o na n df o r c e dv i b r a t i o nf o rt h eg r a d i e n te l a s t i cn a n o f i b e r sa r ea d d r e s s e d d i m e n s i o n l e s sd i s p l a c e m e n ta n ds t r a i nf o rv a r i o u sv a l u e so ft h es i z ep a r a m e t e ra r e 上海大学硕士学位论文 o b t a i n e db yu s i n go ft h es a m em a t h e m a t i c a lm e t h o da b o v em e n t i o n e d a n a l y t i c s o l u t i o n sf o rd i s p l a c e m e n ta n ds t r a i nr e s p o n s e sd e t e r m i n e db yf o u r i e r ss e r i e sa r e c a l c u l a t e di nd e t a i l s t h ee f f e c t so fv a r i o u sm a t e r i a lp a r a m e t e r so fag r a d i e n te l a s t i c n a n o f i b e ra r ed i s c u s s e d b e c a u s eb o t hc o n s t i t u t i v er e l a t i o n s h i p sr e p r e s e n t e di nt h i s p a p e rc a nb es i m p l i f i e dt o ac l a s s i c a lf o r mo ft h ef i r s t c a t e g o r yc o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s h i p ，e a c ho ft h et h r e ei n t e r r e l a t e dv i b r a t i o nf r e q u e n c i e sa r ed i s c u s s e di n d e t a i l a ni n t e r n a lt i m eti st h em o s tc h a r a c t e r i s t i co ft h es e c o n dc a t e g o r yc o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s h i p t h ee f f e c t so fi n t e r n a lt i m eta r ed i s c u s s e di nd e t a i lo nd i s p l a c e m e n ta n d s t r a i nd i s t r i b u t i o n d e t a i l e dr e s u l t si n d i c a t et h a ti n t e r n a lt i m eh a ss i g n i f i c a n te f f e c to n t h ed i s p l a c e m e n ta n ds t r a i nd i s t r i b u t i o n t h eb e a tv i b r a t i o no ft h en a n o f i b e ri s o b s e r v e da n di ti sc h a n g e df o rv a r i o u sv a l u e so ft t h ee f f e c t so fo t h e rv a r i o u s m a t e r i a lp a r a m e t e r so fag r a d i e n te l a s t i cn a n o f i b e ra r ea l s od i s c u s s e d f i n a l l y ，t h i sp a p e rs u m su pt h ef i r s ta n ds e c o n dc a t e g o r yc o n s t i t u t i v er e l a t i o n sa s w e l la st h en e wc o n s t i t u t i v er e l a t i o n sp u tf o r w a r db ya u t h o r k e yw o r d s ：n a n o f i b e r s ；g r a d i e n tt h e o r y ；s t r a i na n a l y s i s ；v i b r a t i o n ； v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ；s i z ee f f e c t s i x 上海大学硕士学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：衅日期：丝丛 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 新签名：阻日期：邀： i 上海大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 纳米纤维的力学特性研究进展和方法 在微、纳米尺度范围内，物理量的尺寸效应变得极其重要。再加之纳米材 料所具有的不稳定性、各向异性以及材料规律的统计特性，这些都对其力学行 为具有特别重大的影响【l 】。同时这些性质也决定如何建立纳米尺度下的分析和 计算模型。纳米纤维做为新材料科学的一个重点研究领域，已经越来越深入并 显现出广阔的应用价值。这些新材料的共同特点就是其物理构成单元及其变形 所涉及到的特征尺寸都很小。 为了把连续介质力学的理论应用于微细观尺度，必须能精确的测量微细观 尺度下材料的力学性质。而微观尺度与宏观尺度下，材料性质一般情况下有很 大差异。因此，已发展了一些小尺度试验来测量小尺度材料的性质【l 】。所有的 试验都表明，当材料的特征尺度达到微米级时，就已经表现出了比较明显的尺 度效应。f l e c k 等【2 】利用微米量级的不同直径的细铜丝进行了拉伸和扭转试验， 在扭转试验中，当细铜丝的直径从1 7 0 p m 减少到1 2 9 m 时，无量纲扭矩会增加 三倍。s t o l k e n 和e v a n s 【3 】利用镍薄梁进行弯曲实验，观察到当梁的无量纲厚度 从5 0 减小到1 2 5 时，无量纲化的弯曲硬度也显著增加。 经典的弹性理论的本构关系由于不包含任何特征长度尺度，所以它不可能 预测材料的力学性能在微米尺度下的尺寸依赖性。现今的计算和设计工具，例 如有限元方法( f e m ) 和计算机辅助设计( c a d ) ，都是以经典连续介质力学为基 础的，应用到如此小的尺度需要解决一些理论上的困难【1 1 。另一方面，由于计 算量的巨大，目前还不大可能广泛进行微米尺度下量子与原子模拟。所以，建 立连续介质框架下多尺度分析工具是联系经典弹性力学与原子模拟之间现实 可行的桥梁【1 1 。 上海大学硕士学位论文 能够解释上述尺度效应的有效方法之一就是应变梯度理论。1 9 0 9 年 c o s s c r a t 兄弟【4 1 提出微极非线性弹性理论。在此理论中，将每一个材料粒子看 成一个完美的刚性颗粒。在变形时，不仅有位移产生，还伴随着转动。每一个 物质元有6 个自由度，导致了应变和应力张量的非对称性。由于此理论已经为 非线性理论，且当时并非用来分析弹性理论框架下的一些问题，加之c o s s c r a t 兄弟没有引进本构关系，所以一直没有引起足够的关注。直到2 0 世纪6 0 年代， 一些学者才将他们的偶应力理论进行了推广。t o u p i n 5 】讨论了在连续介质中引 入高阶梯度的基本原理。他假定应变能密度函数不仅依赖于应变，而且还依赖 于转动梯度，得到了线弹性偶应力理论。m i n d l i n t 6 】认为连续介质中每一个物质 点，从微观角度可以看作一个胞元，这个胞元不仅跟随连续介质作宏观位移和 宏观变形，而且自身还会有微观位移和微观变形。因此，应变能密度函数不仅 依赖于应变张量而且依赖于变形张量及微观变形梯度。1 9 9 3 年f l e c k 和 h u t e h i n s o n 7 1 从几何必需位错及统计储存位错角度出发，发展了一种只考虑转 动应变梯度影响的应变梯度理论。1 9 9 9 年g a o ，h u a n g 等【8 】发展了一种基于位 错机制的应变梯度塑性理论，简称m s g 理论。这种应变梯度塑性理论通过一 个多尺度、分层次的框架，实现了宏观塑性理论和位错理论的联系。然而上述 几种理论都引入了高阶应力，本构关系及边界条件都相当复杂。a i f a n t i s 及其 合作者 9 】在研究局部失稳和剪切带问题时，将应变梯度引入屈服面中。强调剪 切带形成过程中细观结构演化，这其中包括剪切带、滑移面、位错结构的演化， 它导致了应变高度不均匀。在此基础上他们提出了一种应变梯度理论框架，认 为可以在不引进高阶应力的前提下，考虑应变梯度的影响。 上世纪8 0 年代引入的梯度理论【1 0 - - 1 3 】，用以解释位错、剪切带和材料软化 问题，但这时的梯度理论还不能够讨论不稳定性和各向异性。w a l g r a e f 和 a i f a n t i s 在1 9 8 5 提出了w - a 模型【1 4 1 ，讨论了材料微细观结构在滑移等现象中 的变化，这种变化导致了应变的高度不均匀。由于前期与尺度相关的模型在解 决塑性和缺陷动力学上的成功，t r i a n t a f y l l i d i s 和a i f a n t i s ( 1 9 8 6 ) 1 5 】将变形梯度引 入到应变能函数，应用于非线性弹性理论。同时a i f a n t i s ( 1 9 9 9 a , b ，2 0 0 1 ) 1 1 6 , 1 b 提 出了考虑尺度效应的模型，利用拉普拉斯算子结合高阶梯度，将位错密度引入 2 上海大学硕士学位论文 本构方程，由此所得出的弹塑性关系能很好的解释在微米级【1 8 】和纳米级【1 9 1 研究 中所表现出的尺度效应。 在描述纳米纤维的力学行为时，由于尺度效应显然是不能忽略的，因此将 对尺度效应的考虑体现在高阶应变梯度上。基本原理就是在本构方程中引入高 阶梯度以反映区域的局部变形特征，而这一特征依赖于材料尺度。通过建立和 求解高阶控制方程，更有效地分析尺度效应的影响。研究结果表明：仅应用经 典弹性力学中所讨论的微型梁的静态、动态和波的传播问题，是不能够反映出 材料的尺度效剧2 0 2 1 1 ，而梯度理论则能方便地捕捉到这些尺度效应，它不仅可 用于分析弹性问题，还可以推广到粘弹性问题【2 2 1 。 1 2 描述纳米纤维力学特性的本构关系及其应用 为了描述纳米纤维的微观结构对其力学性能的影响，可以假定某一定点的 应力状态不仅与该点的应变有关，还与该点附近某一内部特征长度范围的应变 梯度有关。 基于弹性梯度理论，研究者先后提出了各种各样的本构关系。从类型上划 分，即有线性形式也有非线性形式；即有一维形式也有三维形式。a i f a n t i s 及 其合作者提出了一类基于弹性梯度理论的三维形式的本构关系，随后 f r a n t z i s k o n i s 和a i f a n t i s 2 4 】给出了这个本构的统计学解释。本文称之为第一类本 构关系。此类本构关系的一般形式可写为： = ( 一，2 ，。) ( 1 - 1 ) 这里c 表示弹性模量，表示内部特征长度。应变梯度可以看成是对应变能密 度函数的一个附加影响。这个本构关系中，由于对应变能密度函数的附加影响 是正值，因此这个模型的唯一性和稳定性可以保证。l a z a r ，m a u g i n 和a i f a n t i s 2 5 】 用这个本构进行了裂纹尖端研究、位错分析和尺度效应的分析。x u 和 a i f a n t i s 1 0 】基于这个模型，提出了一个一维形式的非线性模型，详细研究了一类 胶原蛋白纳米纤维的纵向静态力学行为。a s k e s 等【2 6 】分析了该本构决定的纳米 纤维自由振动的相位速度一波数、频率一波数规律，并与其他本构关系所得到 3 上海大学硕士学位论文 的结论做了对比。t s a g r a k i s ，k o n s t a n t i n i d i s 和a i f a n t i s 2 7 1 利用此类本构的另一种 非线性形式研究了纳米纤维屈曲和拉伸中的尺度效应。由于这个模型最初提出 的设想是用于解决静力学问题，a s k e s 等【2 6 1 不推荐将这个本构关系应用于动力 学问题。 第二类本构关系的提出可以追溯到9 0 年代初。a i f a n t i s ( 1 9 9 2 ) t 2 引、 v a r d o u l a k i s 和a i f a n t i s ( 1 9 9 4 ) t 2 9 1 在总结塑性梯度时，提出增加了一个内部变量， 用于描述连续性特征。按照简单线性关系，他们将这一方法应用到弹性梯度理 论中，具体构成方式是在第一类本构关系中，增加一个内部时间项，用来反映 连续体内部的传播特性，即 = ( 一，2 朋+ f 2 南) ( 1 2 ) 其中的f 代表内部时间项。它与物质内部的波的传播有关。a s k e s 等【2 6 】利用该 本构研究了一类材料参数下自由振动的相位速度一波数和频率一波数规律。到 目前，关于这个本构还没有发现更多的应用文献。 还有一类的本构关系是为了建立波在各项异性介质中的传播模型而由 c h a n g 和g a o ( 1 9 9 5 ) t 3 0 1 、m u h l h a u s h 和o k a ( 1 9 9 6 ) e 3 1 】分别提出的。通过对描述 单个微粒间相互作用的差分方程做t a y l o r 级数展开，并结合连续介质力学得到。 形式为 = ( + ，2 ，棚) ( 1 3 ) 其中，是反映微观结构对应力影响的材料参数。对于微观结构来说，离散模型 应当比经典弹性理论的连续模型要更为接近真实情况。但是这个本构关系不能 保证应变能密度函数是正值，唯一性和稳定性也不能保证，因此a s k e s 认为可 能此类本构不能用于解决边界值问题。然而这个模型可以解释各项异性材料的 传播特性【2 6 1 。 1 3 本文主要研究内容 本文研究的主要内容是两个本构关系的应用：第一个是基于第一类本构框 架而建立的新本构关系；第二个是经典形式的第二类本构关系。利用这两个本 4 上海大学硕士学位论文 构关系，研究一类纳米纤维的静、动力学行为。对动力学行为的分析又分成自 由振动和受迫振动两种情况。 本文的第二章详细讨论了新本构的应用。该本构是在第一类本构的经典形 式基础上，增加一个线性四阶梯度项，从而可以分析高阶梯度对纳米纤维位移 分布和应变分布的影响。并得出在静力学行为研究中，可以忽略这个高阶梯度 的参数取值范围。本章首先分析了纳米纤维的纵向静力学特性。然后对纵向动 力学问题做了自由振动和受迫振动的分析，并与已有的文献结论【2 6 】做对比。通 过对这个新本构关系在动力学中的应用分析，得到了高阶梯度对纳米纤维的位 移和应变随时间变化的影响。静力学和动力学行为分析都表明，高阶梯度对应 变的分布有非常明显的影响，在特定尺度范围内其影响不可忽略。 第三章研究了第二类本构关系，详细分析了纳米纤维纵向振动时的动力学 行为，包括自由振动和受迫振动两个部分。分析的数学思路与第二章相同。根 据由应变梯度决定的本构方程，导出以特征尺度为参数的控制方程，并应用变 分法和残余权值法推导出相应的边界条件。最后通过得到的解析解讨论了各个 材料参数对纳米纤维应力和应变分布的影响。通过对自由振动分析，得出了振 动频率和振动模态，并将该频率与第一类本构经典形式所对应的频率以及新本 构所对应的频率做了比较和分析。在受迫振动方面，分析了各个材料参数对振 动的影响。由于该本构的特别之处在于引入了内部时间项，因此本章重点讨论 了内部时间项对纳米纤维的动力学行为的影响。 最后是第四章，对新提出的本构关系以及第一和第二类本构关系做了整体 分析和对比，系统地总结了全文的结论并指出了进一步研究的方向。 5 上海大学硕士学位论文 第二章在第一类本构关系下的静动力学行为 2 1 纵向静态位移和应变分布 2 1 1 基于应变梯度理论构建模型和控制方程 在描述纳米纤维的微观结构对其力学性能的影响时，为了考虑材料的尺度 效应和非局部效应，可假设其中一点的应力状态不仅与该点的应变有关，还与 该点的应变梯度有关。利用这一假设所建立的应力一应变关系有很多。例如第 一类本构关系的一维形式中，最简单的就有【冽 仃：e ( 占一，2 算 ( 2 1 ) 这里e 代表由拉伸试验所得到的弹性模量，z 为材料尺度效应参数。为了 能更深入的研究高阶梯度的影响，在式( 2 1 ) 的基础上，进一步引入一个高阶梯 度项，分析梯度系数对应变分布的影响。 假定一等截面纳米纤维处于笔直状态，中心轴为x 轴，在石= 0 处为固定 端，在工= l 处为自由端，且受到沿石轴方向的恒定拉力，。根据一维弹性梯度 理论，引入高阶应变梯度后，局部轴向应力一应变关系可以表示为 仃= e ( 6 - - 1 2 窘+ 6 其中b 代表高阶弹性梯度系数，由量纲可知是包含有纳米纤维特征尺寸的 参数。如果该纤维同时还受到沿轴向作用的分布力q = g ，则很容易得到平 衡方程为 。 彳生+ q ：0 d x ( 2 3 ) 其中彳为纳米纤维的横截面积。若用u 代表轴向位移，由于本文考虑的是 小应变问题，所以应变表达式可以写成占= d u d x ，代入式( 2 2 ) 可得 6 上海大学硕士学位论文 仃叫罢窘+ 6 争 c 2 川 如果沿轴向分布力g = 0 ，并考虑到式( 2 4 ) ，那么平衡方程( 2 3 ) 可以写 成如下形式 参+ 6 参= 。 c 2 卸 2 1 2 边界条件和变分原理 由于该边界值问题的平衡方程已知，通过变分法和残余权值法可以得到全 部的边界条件。这种方法的好处是适合解决应变能表达式未知或很难得到应变 能表达式的问题。 我们研究长为l 、受到轴向恒定拉力f 的等截面纳米纤维。已知位移“ 满足平衡方程( 2 5 ) ，根据残余权值法，有弱积分表达如下 工 ( 小，2 ( 4 ) + 妇肭= o 0 这里的w = w i 是权函数，将上式分成三项并分部积分可得 ( 2 - 6 ) ，“”础= ，w d “t 一( “w ) l ：一p w 出 00 l 0 p 4 ) 础卸卜w ，仨+ ( u w 3 - 卜嘲 p 7 ， p 础斗5 啦卜3 ”盼v 却 二万u圭-女12u(“m+)2b+uo户i二j并二：2曼，万“：i：+bu。，万“i：。c28， + 万“i ：+ ，2 “一- 6 “h ， 万“i ：+”】万“”i ：= o 根据式( 2 8 ) ，应变能u 可以定义如下 u = 了a el 且 ) 2 + z 2 _ ) 2 + 6 - 1 ) 2 ) 血 。0 7 ( 2 9 ) 上海大学硕士学位论文 这样，平衡控制方程和所有可能的边界条件就可以通过求解变分原理 万( u 一形) = 0 得到，其中的w 代表外力总功。由式( 2 8 ) 并1 1 ( 2 9 ) g 得应变能的变 分为 肌鼢“) i = + ( 鲫勺p 如n 一 4 e 翼“_ ，2 “。+ 6 “_ _ 声“ | _ + f 一4 e ( “- ，2 “”j 6 “( 5 ) 万“i ： ( 2 。2 ， + 尺一肛( z 2 “l 玩( 4 ) 抛| ：+ q 一舡( 玩”) 如“| ：= o - a e ( u , 1 2 u 彬) 蚓知 r 一肚( 心l ) 抛i ：= o ( 2 1 3 ) q 一肛( ) 弦| ：= o 2 1 3 边值问题的解 由于已设纳米纤维所受的分布力q = 0 且规定z = 0 处为固定端，x = 处 为自由端。则n bi - - _ 式( 2 1 3 ) 中的第一式，两端的经典边界条件为 。 “( o ) = o ，( ”一z 2 ”m + 施) k2 否f(2-14) 其余非经典边界条件为 3 2 3 3 1 “( 三) 2 叭删= 他( 7 2 “弋o ) 一扩( o ) )( 2 1 5 ) 8 l 6 一灿一陋 厶“_ “ 如 甜 儿 1 地 肛 q 一 ，忆。一咄 肌 i | 上海大学硕士学位论文 其中的o 为边界给定应变。根据弹性梯度理论的处理方法【1 0 3 3 1 ，在此边界 条件下，可以令r ( 0 ) = q ( ) = 0 。对非经典边界条件式( 2 1 5 ) 中第四式的直观解 释是：该问题与长牡，两端自由，且受一对拉力f 作用的纤维所对应一半长 度的应变分布相同。由对称性可知，应变在工= 0 处应该取得极值或在其邻 域内为一常数。即占( 0 ) = ”_ ( 0 ) = o 成立。 对平衡方程( 2 5 ) 进行首次积分，并利用边界条件式( 2 1 4 ) 第二式的结果确 定积分常数，则平衡方程可以写成下面的形式。并与其余五个边界条件共同构 成边值问题。 u t - f 2 u m + b u t 5 ) ：土 ( 2 t 6 ) a e 、 为了计算方便，进入无量纲量定义如下 z ：手，y ：鲁，m ：鲁，力：告( 2 - 1 7 ) 弘z y2 瓦m2 万肛可 a e 将式( 2 1 7 ) 代入方程( 2 1 6 ) 并整理可得无量纲形式的平衡方程为 y - m y + n y 5 = l ( 2 1 8 ) 显然有m 0 恒成立。为了简化，进一步规定s = f a e ，根据式( 2 1 4 ) 的 第一式和式( 2 1 5 ) ，无量纲边界条件可表示为 邶) = o ，朋) = e f o = 詈，y = o ，j ，_ ( 1 ) = o ，) ( o ) = o ( 2 - 1 9 ) a e 如果定义 m ：m - 4 m 2 - - 4 蚕n ：m + 届m 重2 - 4 n 则可以得到位移指数形式的通解如下 y = z + c l p 胞+ c 2 p 一胜+ c 3 p 肫+ c 4 9 一脏+ g ( 2 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) 对于每一个确定的m 正值，以在三个不同范围内取值时将会使位移通解 ( 2 - 2 1 ) 有三种不同的具体表达形式。其对应的待定常数均可以通过边界条件式 ( 2 1 9 ) 求得。 第一种情况，当刀 0 ，n 为纯虚数，解的形式为 9 上海大学硕士学位论文 m 2 斋黼f 尬矿，+ 丽m z ( s - 6 0 ) s e c n os 似m 亿2 2 ， 其中的n o 由下面的式( 2 2 3 ) 定3 o = ( 2 - 2 3 ) 第二种情况，当0 0 ，解的形式为 胪而( s - s o ) 黼一帮 p 2 4 ， 第三种情况，当n m 2 4 时，此时有m 都为虚数，解的形式为 三 乃。z + 币霜a t ( s 可- 6 0 ) i c s c ( 2 霄0 ) n 硐4 其中常数由f 面的表达式定义 9 毛删a n ( 坚m ) 22 6 ) zf 4 = p 44 似口，4 = s i n ( n - is i n 0 ) ，4 = c o s ( n is i n 0 ) 通过无量纲定义式( 2 1 7 ) 的定义可知，纳米纤维的应变分布无量纲表达应为 s = d u ( i x = s d y d z 。 2 1 4 分析和讨论 图2 1 是n 分别在上述三个范围内取值时，纳米纤维的应变沿着无量纲长 度方向的分布情况。此时边界给定应变为国= 0 6 ，其余参数为m = 0 0 0 5 ，s = 1 。 从图中可以看出高阶应变梯度对应变分布的影响。图2 一l ( a ) 说明，当刀s 0 时， 高阶应变梯度会对纳米纤维的应变分布有一个微小的空间周期扰动，这一现象 与c o l e m a 3 4 1 所预测的结果相一致。随着系数绝对值的减小，扰动幅值也在减 1 0 c ，2 - q 、rj刊 ：、 砰l r l、l-、，、“、 、9 ， 旧 砒 咖 幽 唱 。一“ 一。 一 l堋 伊 坩 ，3 ，旧厂 ，引 鸟 伽 吼 c - 川 ：一 一 t 年l 广 、刁坩 m g 一4 扰 z - 托 钳 始 1 j 厂_ y 文 广l、一1 邶 一 昏 ，_、h 舭 也 上海大学硕士学位论文 小。注意n = 0 时的应变分布为经典梯度理论对应的曲线【2 0 1 ，可以看出扰动是 以这条曲线所代表的应变为中心呈周期分布。图2 1 ( b ) 是在区间0 n m 2 4 时高阶应变梯度对应变分布的影 响。可以看出在此范围内刀的取值越大，应变沿着纳米纤维的分布越平滑。同 时也会在纤维中部位置出现一个最大应变点，且该点会随着n 的变大而逐渐向 纳米纤维的固定端方向移动。三个图都表明，在接近自由端附近，应变分布高 度不均匀，尺度效应明显。 图2 2 是在上述三种情况下，给定n 取不同的m 值，计算当e o = 0 6 ，s = 1 时，应变的分布规律。通过式( 2 2 ) 和式( 2 1 7 ) 中关于口和m 的定义可知m 具有 面积量纲，结合物理意义及文献【矧可知m 是与纳米纤维的横截面积有关的无量 纲特征尺寸。图2 - 2 ( a ) 反映出，随着m 取值的增大，同时产生了两个影响：一 是使高阶应变梯度造成的扰动减弱；二是使纳米纤维的应变分布趋向于平滑变 化。图2 - 2 c o ) 表明在所给定的区间内，随着研的减小，应变除自由端外趋向于 均匀分布。这种变化反映出纳米纤维越细，端点的应变非均匀效应越明显。图 2 - 2 ( c ) 反映出明显的边界效应，随着m 取值变小，自由端附近的应变最大点的 应变值也随之增大，并愈发靠近自由端边界，这说明此时可能在自由端附近处 可能发生颈缩。 综合分析图2 1 ( a ) 和图2 2 ( a ) ，可以得出这样的结论：就是高阶应变梯度 会对纳米纤维的应变分布产生类似正弦或余弦曲线形状的扰动，扰动大小与 n m 2 的绝对值有关，该值越大则扰动越大，反之则小。如果对比图2 1 ( c ) 和图 2 - 2 ( a ) 、( b ) ，能看出n m 2 的绝对值也在影响应变分布的平滑性，该值越大，应 变分布越平滑，反之，不平滑性越强。 上海大学硕士学位论文 d i m e n s i o n l e s sd i s t a n c e ( a ) 一s 0 d i m e n s i o n l e s sd i s t a n c e ( ”0 丹 m 2 4 图2 一l参数万分别在不同范围内取值时的应变分布= 0 6 ，s = l ，m = 0 0 0 5 ) 1 2 暑口；01hsip暑一j乃 d5；=声-iisip i l 一霉暑以 o=jojln一口皇_暑_力 上海大学硕士学位论文 量 砉 毒 姜 们 d i m e n s i o n l e s sd i s t a n c e c a ) 斤s 0 ，o = 1 0 7 ) d i m e n s i o n l e s sd l s t a n c e ( b ) 0 n m 2 4 ，o = 1 0 7 ) 图2 2m 分别在不同范围内取值时的应变分布( 8 0 = 0 6 ，s = 1 ) 1 3 口。暑jo_b帆_口写曩扫 写=口苫ip_!_日扫 上海大学硕士学位论文 d i m e n s i o n l e s sd i s t a n c e ( a ) 历= 1 0 3 ，一- - 1 0 ，邱= 0 6 d i m e n s i o n l e s sd l s t a n c e c o ) ，玎= 1 0 一 = 1 0 - 7j = 1 图2 - 3 当0 刀 朋2 4 时，j 和邱分别取不同值的应变分布 图2 3 是无量纲条件下，参数s 和0 取不同值时的应变沿轴向z 方向的分 布规律，其余参数取值如图中所示。从s 的定义可知其物理意义是经典弹性理 论中的均匀应变。从图2 - 3 ( a ) q 唰看出，随着参数s 取值不断增大，纳米纤 维的整体应变程度增加，但自由端应变却是由非经典边界条件决定。说明在纳 米纤维应力、应变问题中，非经典边界条件8 0 起着重要作用。从图2 3 ( b ) 中可 以观察到随着o 增大，纳米纤维自由端的应变随之增加，应变的非均匀效应在 纳米纤维的自由端附近愈加明显。 1 4 皇oll=o_扫矾一口=暑力 上海大学硕士学位论文 d i m e n s i o n l e s sd i s t a n c e d i m e n s i o n l e s $ d i s t a n c e c o ) 0 m 2 4 时， 高阶应变梯度的影响主要体现在自由端附近。 需要指出的是，本文所分析的m 和n 的取值除了满足前面所述三种情况的 约束以外，还必须满足应变能大于零的条件。根据式( 2 9 ) 关于应变能u 的定