2020版高考数学复习第九章平面解析几何高考中的圆锥曲线问题（第1课时）范围、最值问题教案理新人教A版.docx

第1课时范围、最值问题题型一范围问题例1(2016天津)设椭圆1(a)的右焦点为F，右顶点为A.已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围解(1)设F(c,0)，由，即，可得a2c23c2.又a2c2b23，所以c21，因此a24.所以椭圆的方程为1.(2)设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为yk(x2)设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120.解得x2或x.由题意得xB，从而yB.由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，有(1，yH)，.由BFHF，得0，所以0，解得yH.因此直线MH的方程为yx.设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM.在MAO中，由MOAMAO，得|MA|MO|，即(xM2)2yxy，化简，得xM1，即1，解得k或k.所以直线l的斜率的取值范围为.思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围跟踪训练1(2018浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围(1)证明设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程24，即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1y22y0，所以PM垂直于y轴(2)解由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.所以PAB的面积SPAB|PM|y1y2|.因为x1(1x0b0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点M在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求OAB面积的最大值解(1)由题意，得acb，则(ac)2b2，结合b2a2c2，得(ac)2(a2c2)，即2c23aca20，亦即2e23e10，结合0e0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.因为y1y2k(x1x2)2m，所以线段AB的中点N的坐标为，因为点N在直线yx上，所以2，解得k.所以48(12m2)0，解得2m2，且m0，|AB|x2x1|.又原点O到直线l的距离d，所以SOAB.当且仅当12m2m2，即m时等号成立，符合2m0，将AB的中点M代入直线方程ymx，解得b，由得m.(2)令t，则t2.则|AB|，且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d，当且仅当t2时，等号成立，此时满足t2.故AOB面积的最大值为.1已知P(x0，y0)是椭圆C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则x0的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析由题意可知，F1(，0)，F2(，0)，则(x0)(x0)yxy30，点P在椭圆上，则y1，故x30，解得x0，即x0的取值范围是.2定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为()A1B.C2D5答案B解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线y2x的焦点为F，抛物线的准线为x，所求的距离d，所以(两边之和大于第三边且M，N，F三点共线时取等号)3过抛物线y2x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析记点A的横坐标是x1，则有|AF|x1|AF|cos，|AF|(1cos)，|AF|.由得1cos，22(1cos)4，0，b0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|28a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(2,3 C(1,3 D(1,2答案C解析由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF2|2a|PF1|，所以|PF1|4a8a，|PF1|2a，|PF2|4a，在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即2a4a2c，所以e3.又e1，所以10)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.B.C.D1答案A解析由题意可得F，设P(y00)，则()，可得k.当且仅当时取得等号，故选A.6已知M，N为双曲线y21上关于坐标原点O对称的两点，P为双曲线上异于M，N的点，若直线PM的斜率的取值范围是，则直线PN的斜率的取值范围是()A.B.C.D.答案C解析设M(x0，y0)，N(x0，y0)，P(m，n)(mx0)，则kPM，kPN.因为点P，M，N均在双曲线y21上，所以n21，y1，两式相减得(ny0)(ny0)0，化简得，即kPMkPN，又kPM2，即2，解得kPN，故选C.7椭圆C：y21(a1)的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，则|AF2|BF2|的最大值等于_答案7解析因为椭圆C的离心率为，所以，解得a2，由椭圆定义得|AF2|BF2|AB|4a8，即|AF2|BF2|8|AB|，而由焦点弦性质，知当ABx轴时，|AB|取最小值21，因此|AF2|BF2|的最大值等于817.8(2018沈阳模拟)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|t|PF2|(t(1,3)，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是_答案(0，解析由双曲线的定义及题意可得解得又|PF1|PF2|2c，|PF1|PF2|2c，整理得e1，1t3，12，1e2.又e21，03，故00，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若PQF2的周长为16，则的最大值为_答案解析由题意，得ABF2的周长为32，|AF2|BF2|AB|32，|AF2|BF2|AB|4a，|AB|，324a，b(0a8)，令ta1(1t0，所以4k2m230.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得所以y1y2kx1mkx2mk(x1x2)2m2m，所以，所以线段AB的中点坐标为，当k0时，弦AB的中垂线为y轴，此时x00，当k0时，线段AB的垂直平分线方程为y，把点P(x0,0)代入上面的方程得x0(34k2)km.所以m，代入4k2m230.整理得x0)，x，综上，x0b0)与抛物线E：y22px(p0)的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F.(1)求椭圆C及抛物线E的方程；(2)设过F且互相垂直的两动直线l1，l2，l1与椭圆C交于A，B两点，l2与抛物线E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值解(1)P是抛物线E：y22px(p0)上一点，p2，即抛物线E的方程为y24x，F(1,0)，a2b21.又P在椭圆C：1上，1，结合a2b21知b23(舍负)，a24，椭圆C的方程为1，抛物线E的方程为y24x.(2)由题意可知直线l1斜率存在，设直线l1的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)当k0时，|AB|4，直线l2的方程为x1，|CD|4，故S四边形ACBD|AB|CD|8.当k0时，直线l2的方程为y(x1)，由得(34k2)x28k2x4k2120.x1x2，x1x2.由弦长公式知|AB|x1x2|.同理可得|CD|4(k21)S四边形ACBD|AB|CD|4(k21).令tk21，t(1，)，则S四边形ACBD，当t(1，)时，(0,1)，248.综上所述，四边形ACBD面积的最小值为8.12已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上位于第一象限的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D.(1)若当点A的横坐标为3，且ADF为等边三角形，求C的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C，若点D(x0,0)，记点B关于x轴的对称点为E，AE交x轴于点P，且APBP，求证：点P的坐标为(x0,0)，并求点P到直线AB的距离d的取值范围解(1)由题意知F，|FA|3，则D(3p,0)，FD的中点坐标为，则3，解得p2，故C的方程为y24x.(2)依题意可设直线AB的方程为xmyx0(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则E(x2，y2)，由消去x，得y24my4x00，x0.所以16m216x00，y1y24m，y1y24x0，设P的坐标为(xP,0)，则(x2xP，y2)，(x1xP，y1)，由题意知，所以(x2xP)y1y2(x1xP)0，即x2y1y2x1(y1y2)xP，显然y1y24m0，所以xPx0，即证P(x0,0)，由题意知EPB为等腰直角三角形，所以kAP1，即1，也即1，所以y1y24，所以(y1y2)24y1y216，即16m216x016，m21x0，x01，又因为x0，所以x00，b0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交于B，C两点，记BAC，若的离心率为，则()ABCD答案B解析e，ca，b2c2a2a2，双曲线方程可变形为x2y2a2.设B(x0，y0)，由对称性可知C(x0，y0)，点B(x0，y0)在双曲线上，xya2.A(a,0)，(x0a，y0)，(x0a，y0)，(x0a)(x0a)ya2xy0，即.故选B.14若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为_答案6解析点P为椭圆1上的任意一点，设P(x，y)(3x3，2y2)，由题意得左焦点F(1,0)，(x，y)，(x1，y)，x(x1)y2x2x2.3x3，x，2，2，6212，即612.故最小值为6.15如图，由抛物线y212x与圆E：(x3)2y216的实线部分构成图形，过点P(3,0)的直线始终与图形中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为()A4,5B7,8C6,7D5,6答案B解析由题意可知抛物线y212x的焦点为F(3,0)，圆(x3)2y216的圆心为E(3,0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|4，设B(x0，y0)，则由抛物线的定义