高三数学复习导数在研究函数中的应用第三课时利用导数证明不等式专题基丛点练理.docx

第三课时利用导数证明不等式专题【选题明细表】知识点、方法题号构造法证明不等式1,4等价转化法证明不等式2赋值法证明不等式31.(2015高考福建卷)已知函数f(x)=ln x-.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)证明:当x1时,f(x)1,当x(1,x0)时,恒有f(x)k(x-1).(1)解:f(x)=-x+1=,x(0,+),由f(x)0,得解得0x.故f(x)的单调递增区间是(0,).(2)证明:令F(x)=f(x)-(x-1),x(0,+),则F(x)=.当x(1,+)时,F(x)1时,F(x)1时,f(x)1满足题意.当k1时,对于x1,有f(x)x-1k(x-1),则f(x)1满足题意.当k1时,令G(x)=f(x)-k(x-1),x(0,+),则G(x)=-x+1-k=,由G(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0,解得x1=1.当x(1,x2)时,G(x)0,故G(x)在1,x2)内单调递增,从而当x(1,x2)时,G(x)G(1)=0,即f(x)k(x-1),综上,k的取值范围是(-,1).2.(2015皖南八校联考)已知函数f(x)=xln x+mx(mR)的图象在点(1,f(1)处的切线的斜率为2.(1)求实数m的值;(2)设g(x)=,讨论g(x)的单调性;(3)已知m,nN*且mn1,证明.(1)解:因为f(x)=xln x+mx,所以f(x)=1+ln x+m.由题意f(1)= 1+ln 1+m=2,得m=1.(2)解:g(x)=(x0,x1),所以g(x)=.设h(x)=x-1-ln x,h(x)=1-.当x1时,h(x)=1-0,h(x)是增函数,h(x)h(1)=0,所以g(x)=0,故g(x)在(1,+)上为增函数;当0x1时,h(x)= 1-h(1)=0,所以g(x)=0,故g(x)在(0,1)上为增函数;所以g(x)在区间(0,1)和(1,+)上都是单调递增的.(3)证明:由已知可知要证,即证-ln n-ln m,即证ln mln n,即证,即证g(m)g(n),又mn1(m,nN*),由(2)知g(m)g(n)成立,所以.3.(2016东北三省四市教研联合体模拟)已知函数f(x)=aln x-ax-3(a0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)求证ln (22+1)+ln (32+1)+ln (42+1)+ln (n2+1)0),当a0时,f(x)的单调增区间为(0,1,单调减区间为1,+);当af(1),即-ln x+x-10,所以ln xx-1对一切x(1,+)成立.因为n2,nN*,则有ln (+1)=-,要证ln (22+1)+ln (32+1)+ln (42+1)+ln (n2+1)1+2ln n!(n2,nN*),只需证ln (+1)+ln (+1)+ln (+1)1(n2,nN*),ln (+1)+ln (+1)+ln (+1) (1-)+(-)+(-)=1-1时,.(1)解:因为f(x)=,由已知f(e)=-,所以-=-.得a=1.所以f(x)=.f(x)=-(x0).当x(0,1)时,f(x)0,f(x)为增函数;当x(1,+)时,f(x)0,f(x)为减函数.所以x=1是函数f(x)的极大值点.又f(x)在(m,m+1)上存在极值,所以m1m+1,即0m,即为,令g(x)=,则g(x)=再令(x)=x-ln x,则(x)=1-=.因为x1,所以(x)0,所以(x)在(1,+)上是增函数,所以(x)(1)=10,所以g(x)0,所以g(x)在