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浙江大学硕士学位论文 摘要 正电子发射断层成像( p o s i t r o ne m i s s i o nt o m o g r a p h y , 简称p e t ) 是一种由 r 光子探 测、信号处理以及图像重建等综合技术相结合，对活体生物体内放射性核素的生化代谢 过程进行显像的高级功能分子影像技术，已成为现代核医学诊断的一个重要组成部分。 p e t 图像重建技术以光子计数值为测量数据计算得到感兴趣的放射性活度图像或 功能性参数图像，是p e t 研究体系中的一个重要方向。本文对p e t 图像重建算法中的 一系列关键问题进行了研究，主要贡献包括： 首次实现了先验点云引导p e t 图像重建。与传统的规则像素图像模式相比，自适应 分布的点云模式能够准确捕获目标图像的结构和功能信息，从而在保证图像精度的前提 下极大减少计算量。本文还进行模拟图像和真实病人数据实验，验证了我们方法的可行 性。 本文把状态空间理论和p e t 动态重建技术相结合，实现了房室模型生理参数的重 建。在状态空间模型的表述中，可以将房室模型耦合于状态方程，成像模型表述为测量 方程，再用带有鲁棒性的h o o 理论求解，从而有利于克服p e t 成像中统计不确定性和系 统不确定性的难题。 本文还初步实现了p e t 多示踪剂成分同时图像重建。由于光子的能量单一的物理特 性，多示踪剂同时注入的实验中的单示踪剂成分一般无法直接分离。通过求解独立平行 房室模型引导的状态空间模型，我们首次实现了对两种示踪剂放射性活度的同时重建， 并对测量与模型对噪声的敏感性问题进行了比较分析。 关键词：正电子发射断层像，图像重建，状态空间法，点云模型，多示踪剂同时重建 浙江大学硕士学位论文 一一 a b s t r a c t p o s i t r o ne m i s s i o nt o m o g r a p h y ( p e t ) i sa ni n t e g r a la n da d v a n c e dm o l e c u l a ri m a g i n g t e c h n i q u ew h i c hi s ac o m b i n a t i o no fp h o t od e t e c t i o n ，s i g n a lp r o c e s s i n ga n di m a g e r e c o n s t r u c t i o n , a n dd i s p l a y st h eb i o l o g i c a la n dp h y s i o l o g i c a lp r o c e s sb yi m a g i n gt h es p a t i a l d i s t r i b u t i o no fr a d i o i s o t o p el a b e l e dc h e m i c a lc o m p o u n d si n j e c t e di n t ov i v o p e th a sb e c o m e o n eo ft h em o s ti m p o r t a n tp a r t so fm o d e mn u c l e a rm e d i c i n e p e ti m a g er e c o n s t r u c t i o n ，a sak e yi s s u ei np e tr e s e a r c h ，f o c u s e so nc o m p u t i n gt h e f u n c t i o n a li m a g ef r o md a t ao fp h o t od e t e c t i o n t ec o n t r i b u t i o n so ns o m ek e yp r o b l e m si np e t i m a g er e c o n s t r u c t i o n ，a r ea sf o l l o w ： an e wp e ti m a g i n gm o d e lo fc o n t e n t a d a p t i v ep o i n tc l o u di sp r o p o s e di n t h i sp a p e r , u s i n gp r i o ri n f o r m a t i o n o b t a i n e df r o mt h et r a n s m i s s i o nr e c o n s t r u c t i o no rf a s tf b p r e c o n s t r u c t e di m a g e t h ep r i m a r yd i s t i n c t i o nb e t w e e no u ra p p r o a c ha n dp r e v i o u se f f o r t si st h e n o t i o no fi m a g es a m p l i n g ：t h ea m o u n t so fs a m p l i n gn o d e sa r eo b j e c t i v e - v a r i a n ta n dt h e g e n e r a t i o no f n o d e si so b j e c t i v e - g u i d e di no u ra p p l i c a t i o n s t h i sm e t h o da c h i e v e st h eb e n e f i t s o ft h ea c c u r a t e i m a g er e p r e s e n t a t i o n a n df a s t ，s i m p l e c o m p u t a t i o n s i n a l g o r i t h m i m p l e m e n t a t i o n a n o t h e rc o n t r i b u t i o no ft h i sp a p e ri st h es t a t es p a c er e p r e s e n t a t i o nf o rt h ep e td y n a m i c s y s t e m ar o b u s ts y s t e mi d e n t i f i c a t i o np a r a d i g mi sa d o p t e dt oe s t i m a t et h et r a c e rk i n e t i c s p a r a m e t e r sf r o mp e ts i n o g r a md a t ad i r e c t l y i ti sd e r i v e da n de x t e n d e df r o mt h eh o of i l t e r i n g p r i n c i p l e sa n dp a r t i c u l a r l yp o w e r f u lf o rr e a l - w o r l ds i t u a t i o n sw h e r et h em o d e sa n dl e v e l so f t h ed i s t u r b a n c e sa r eu n k n o w n s p e c i f i c a l l y , t h er e c o n s t r u c t e dr e s u l t sg a i n e db ya p p l y i n gt h i s s t r a t e g yt os y n t h e t i cp h a n t o md a t ap r o d u c ep e r s u a s i v ea s s e s s m e n to f o u rm e t h o d t h ea v a i l a b i l i t yo ff o r m u l a t i n gt h ed o u b l e - i n j e c t i o n ，s i n g l e s c a np r o t o c o li np e ti m a g i n g i ns t a t e s p a c er e p r e s e n t a t i o ni sa l s oe v a l u a t e d t h ep a r a l l e lc o m p a r t m e n t a lm o d e l sw i t h k i n e t i cp a r a m e t e r sf o rd u a l - t r a c e ra r ec o u p l e di n t ot h es t a t ee q u a t i o ni nb i o l o g i c a ls y s t e m ，a n d t h em i x e dp h o t o na c q u i s i t i o ni si n t e g r a t e di n t om e a s u r e m e n te q u a t i o ni np e tr e c o n s t r u c t i o n m o d e l f i n a l l y , t h er e s u l t so fd y n a m i ci m a g e sf o re a c ht r a c e ra r ep r e s e n t e di ns i m u l a t e d e x p e r i m e n t ，a n dt h ea n a l y s i so nm e a s u r e m e n ts e n s i t i v i t ya n dn o i s es e n s i t i v i t y i sa l s o p e r f o r m e d k e y w o r d s ：p o s i t r o ne m i s s i o nt o m o g r a p h y , i m a g er e c o n s t r u c t i o n ，s t a t es p a c em e t h o d ， p o i n tc l o u dm o d e l , m u l t i - t r a c e rr e c o n s t r u c t i o n l l 浙江大学硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 正电子是一种本质上与电子相同但是电荷相反的核粒子，由于正电子是一种反物 质，在自然界中难以长期独立存在，因此在其产生的l o q l 。q 2 秒内即发生电子湮灭，转化 成为两个运动方向相反、能量各为5 1 l k e v 的y 光子 1 。p e t 显像技术是在生物活体内 注射一种直接或间接反映生化代谢过程的放射性示踪剂，通过p e t 设备中面向发射体排 列的探测器对接收这一对光子，即可计算确定正电子湮灭( 发射) 的位置。连接某一探 测器对的连线被称为符合线，这种探测方式被称为符合探测。当足够多的探测器对产生 的千万条符合线，通过计算机反投影或迭代方式重建发射体在空间的分布，并以断层的 方式加以显示，就形成了p e t 图像 2 。 正电子发射断层成像( p e t ) 作为一种生物医学研究技术和临床诊断手段在核医学成 像中具有重要的应用价值。目前，许多医学领域已经开始使用p e t 进行相关的研究。在 临床领域，p e t 对具有不同代谢特性的组织和器官进行功能性成像常被用于癌症和肿瘤 的诊断；在神经科学领域，p e t 可以用于进行脑功能识别和脑功能分析的研究；在医药 领域，p e t 对药理、药效具有独一无二的窥视效果，可用于辅助新药物的开发 3 。总之， p e t 是实现分子水平显像的最佳途径之一，为临床诊断、治疗和预后监测，以及新药研 究和开发研制等提供了十分有力的分析手段。 1 2 研究内容与现状 1 2 1p e t 显像基本原理 ( 1 ) 正电子放射性核素的产生 p e t 所用的放射性示踪剂均为正电子核素标记，这类核素原子核中因质子的数目多 于中子而不稳定，在自然环境中会产生同位素的衰变而不能长期自由存在。因此p e t 所用的正电子放射性核素需要由医用回旋加速器产生。常用的放射性同位素包括：1 8 f ， 1 1 c 等等。 ( 2 ) 电子对湮灭与探测 放射性核素在从不稳定态向基态发生衰变过程中会随机向四周发射正电子，该正电 i + d 图1 1 电子对湮灭与p e t 探测原理 浙江大学硕士学位论文 图1 - 2p e t 散射事件 衰减效应( a t t e n u a t i o ne f f e c t ) 。衰减是指光子在介质中飞行时被组织散射或吸收后 的现象。如图1 3 所示，一个光子由于被衰减后偏转或停滞而不能沿着最初发射方向到 达探测器，真符合事件未能被探测。衰减会给p e t 数据采集带来的很大的影响，由于总 计数事件损失，使得数据信噪比以及重建图像的精度降低，因此只有对衰减进行补偿才 能得到定量分析的图像。衰减校正最常用的方式是进行透射扫描( t r a n s m i s s i o ns c a n ) 后 重建衰减图，或通过图像分割技术对特定组织进行先验划分。 图1 - 3p e t 组织衰减 死时间效应( d e a dt i m ee f f e c t ) 。随着光子计数率增加，探测器的死时间效应变 得非常显著。死时间损失是由于探测器在对一个光子探测的相应时间内接受到另一个入 射光子而造成计数损失的现象。通过实验可以得到计数率与活度成正比关系，从而计算 出与活度成正比的直线为无死时间损失曲线，由此得到不同计数率时的死时间校正系 数。 随机符合( r a n d o m a c c i d e n t a lc o i n c i d e n c e ) 。如果散射光子数目很大，探测器接 受光子立体角很小，湮灭的光子对中可能仅有一个能被探测器接收。两个来自不同湮灭 时间的光子在符合时间窗内同时被探测到并作为一次符合事件被记录下来，这种符合称 一3 一 浙江大学硕十学位论文 为随机符合( 图卜4 ) 。随机符合可以通过设置符合时间窗来校正。随机符合率可以表 述一个光子被一个探测器接收并在符合窗内另一个光子被另一个探测器接收的概率， 即： r = 2 r s l 是 其中s 和是分别为两探测器的单计数率，f 为符合时间窗宽。s 、与同位素浓度成 正比，由此看出随机符合率与浓度二次方成正比，因此，随机符合率对计数值的限制， 以及探测器死时间的限制共同决定了在p e t 研究中注入放射性剂量的上界。 图卜4p e t 随机符合事件 探测器效率不均。p e t 探测器是由许多光电倍增管模块在视场周围呈环形排列而 成，不同探测器模块的光子探测效率有所不同，即使时同一模块内的小分块也存在一定 的差别。p e t 探测器效率归一化( n o r m a l i z a t i o n ) 要求定期采用标准线源或柱源进行 测试扫描，并间接地转换成校正系数图。 ( 4 ) p e t 成像模型 在p e t 成像系统中，放射性同位素发生正电子衰变产生正电子，在很短的距离内与 电子发生湮灭产生一对y 光子，经生物组织衰减后被探测器对捕获进行符合探测，从 而得到包含正电子空间分布信息的投影数据 4 ，5 。 由于光子探测的过程受到来自生物组织本身衰减、光子到达探测器的几何概率、计 数方法和噪声等诸多物理因素的影响，在投影数据使用过程中需进行必要的校正。使用 重建算法对校正后的投影数据进行重建，得到放射性核素的浓度分布，即为p e t 图像。 若假设生物组织中放射性浓度分布及衰减系数分布由j 及表示，系统的固有性 一4 一 浙江大学硕士学位论文 能( 包括探测器效率，灵敏度，死时间特性等) 由0 表示，则光子探测的物理模型可表 示为关于和p 的概率矩阵g 似，钏。若将投影数据采集和校正过程表示为算子厂， 最终得到的投影数据表示为只则p e t 成像的数学模型可表示为： r ( x 。g t 弘9 ) e ) = y 若把算子r 转化为直观的噪声e ，上式亦可表示为直观的矩阵相乘的形式： g ( u e ) x4 - e = y ( 1 - 2 ) ( 1 - 3 ) 图像重建的过程就是基于投影数据e 求解生物组织内放射性浓度分布的过程。 1 2 2p e t 数据模型 p e t 采集的原始数据是沿着探测器对符合线的符合事件计数，称为串列数据( l i s t m o d e ) 。为了直观重建方便，我们通常把每个事件按照符合线的角度和径向距离编码排 列形成的矩阵称为正弦图( s i n o g r a m ) 【6 】。正弦图的构造方法为：首先将环内沿某一方 向所有平行的符合线从左到右排列，产生正线图的一行数据，然后依序转动方向挑选平 行的符合线，重复上述过程直至完成1 8 0 0 排范围内所有角度排列。正弦图中行号对应符 合线的角度，列数对应符合线的径向距离。 p e t 可以进行2 d 采集模式和3 d 采集模式。所谓2 d 采集模式，指的是仅对同层内检测 到的光子做符合处理，而3 d 采集模式指的是在2 d 模式的基础上增加了对隔层符合线的处 理。3 d 采集模式中由于光子采集量大大提高，并且消除了隔板带来的伪影，所以三维数 据采集方式在很大程度上提高了探测器的灵敏度，可以更加充分地利用投影数据，有利 于减少测量时间，进行动态成像。对采集到的三维数据，可以直接采用三维重建方法， 为了提高运算速度，减少运算量，通常采用重组的方法( r e b i n ) ，将三维数据重组成二 维数据，再用二维重建方法得到各断层图像，如图卜5 所示。p e t 常用的几种重组方法有 单层重组( s i n g l es l i c er e b i n ) 、多层重组( m u l t i p l es l i c er e b i n ) 和傅立叶重组 ( f o u r i e rr e b i n ) 7 ，8 等。 ( 1 ) 单层重组将倾斜的响应线重组到两个探测器环的中间平面上； 一5 一 浙江大学硕七学位论文 ( 2 ) 多层重组将倾斜的响应线均匀地重组到两个探测器环之间的各个平面上； ( 3 ) 傅立叶重组在二维频率空间将倾斜响应线重组到距两探测器环中间平面轴向相 位移为某一数值的平面上。 n r i n gs c a n a e r 3 d i m a g e 2 n 1s 】i c c s 1 2 3p e t 图像重建经典算法 图1 - 5p e t 傅立叶重组示意图 从式( 1 - 3 ) 表示的p e t 成像模型上看，这是一个求解大规模数据的逆问题。目前， 针对p e t 图像重建使用最广泛的算法有两类：解析法和迭代法。 滤波反投影算法( f i l t e r e db a c k p r o j e c t i o n ，简称f b p ) 是现代p e t 重建中广泛 使用的最基本的重建算法，这种方法具有计算量及存储空间小，重建速度快的优点 9 。 经典迭代算法又可分为基于泊松模型的有最大似然算法( m l ) 和最大后验概率算法 ( m a p ) ，以及基于高斯模型的是最小二乘算法( l e a s ts q u a r e ) 。在e m 算法的基础上， 有序子集最大似然法( o r d e r e ds u b s e te x p e c t a t i o nm a x i m i z a t i o n ，简称0 s e m ) 结合 了有序分块子集和最大似然的思想，有效解决大规模矩阵迭代速度较慢的问题 1 0 。另 外，最大后验算法( m a x i m u map o s t e r i o r ) 从贝叶斯公式出发，在数据满足泊松模型 的基础上加入了使图像平滑的先验惩罚项 1 1 ，有利于克服求解p e t 图像中条件数不足 的困难。基于最d x - - 乘算法又有许多的改进算法，如共轭梯度惩罚加权最d , - - 乘算法 ( p e n a l i z e dw e i g h t e dl e a s ts q u a r e ，简称p w l s ) 和非负连续超松弛( n o n n e g a t i v e s u c c e s s i v eo v e rr e l a x a t i o n ，简称+ s o r ) 惩罚加权最小二乘算法 1 2 ，1 3 。 对于结合房室模型的动态p e t 参量图重建，目前主要有两类算法：直接重建和间接 重建。 间接重建的方法需要首先重建每个测量时间段的放射性浓度图像，接着使用该图像 一6 一 一一一一一一一 浙江大学硕士学位论文 来估计动力学参量。间接重建的主要问题在于每个时间段采集的低信噪比数据重建的放 射性活度图像通常带有较大的噪声，运用带噪的图像来估计动力学参量会引入更大的系 统误差 1 4 。为了改进重建精度，各种基于间接重建的框架的算法相继提出并用于真实 的i 临床实验：通过对大量病人数据的分析获取有关待求动力学参数均值的先验知识，应 用岭回归方法在计算过程中，对参数进行调节 1 5 ；空间平滑因子也可以应用到动力学 参数的迭代过程中 1 6 ，对求解的问题的条件因此而增加；还有学者提出了两步算法， 第一步使用标准非线性方法求解动力学参数，第二步将上一步所得的结果进行空间平 滑，并用来限制最终的计算结果 1 7 ；另外也有人将图像进行分块，在每一块内调整动 力学参数并重建 1 8 ，1 9 。 直接重建的方法通过p e t 采集的正弦数据直接重建动力学参量的空间分布，相比之 下，直接重建算法难度较大，但却更为直观准确。在直接重建的研究中，c a r s o n 和l a n g e 最早提出了使用期望最大化( e m ) 迭代算法的直接重建框架 2 0 ；k a m a s a k 等于近年提 出了的基于贝叶斯估值的参量化迭代坐标下降算法( p a r a m e t r i ci t e r a t i v ec o o r d i n a t e d e s c e n t ，简称p i c d ) 1 4 。 1 2 4p e t 在分子影像学中的应用 近些年来，p e t 成像技术配合各种特异性或相对特异性的正电子放射性示踪剂被广 泛应用于医学研究的各个学科分支，包括肿瘤学、神经病学、精神病学、心脏病学、基 因学的临床和基础研究以及新药开发。除了具有相对较长半衰期的1 8 f 以外，其它放射 性同位素标记的放射性药物研究也异常活跃。 ( 1 ) 肿瘤分子影像 由于肿瘤不稳定会有异常增生，对d n a 合成底物过度消耗，因此葡萄糖、蛋白质 和核酸代谢速率明显加快，对一些受体过度表达，易产生多药耐药等特性。各种特异的 示踪剂可以用于肿瘤发展的各个阶段诊断，包括：葡萄糖转运蛋白功能显像，细胞增殖 核和3 h t d r 激酶功能显像、氨基酸代谢显像、胆碱激酶功能显像、肿瘤乏氧显像、肿 瘤受体分子显像等等。 ( 2 ) 脑功能分子显像 脑功能显像尤其是脑受体显像可以在分子水平反映脑内的生物化学过程，是探测疾 病早期改变的敏感手段，能够早期发现神经系统隐匿性病变，可评价许多中枢神经系统 一7 一 浙江大学硕士学位论文 药物在体内引起的生理、病理变化，对探究脑部疾病的病因，早期诊断和指导治疗有重 要价值。 ( 3 ) 基因表达显像 以往对基因表达进行原位检测的方法只有活体解剖，而随着p e t 技术的发展，已可 在非侵入的条件下，观察基因在体内表达的时间、数量和分布。 ( 4 ) 新药物开发中的研究 分子医学的发展，促使我们必须从基因分子水平研究疾病，而这首先需要以动物模 型来模拟人体的生理生化过程，新药的开发也首先要在动物身上进行。小鼠以其基因可 调控性好、费用低、繁殖快、与人类同源性多，多转基因鼠和基因敲除鼠进行正常和病 理过程的研究，可以揭示疾病的发病机制，从而达到靶向治疗。 利用小动物m i c r o p e t 可获得新药在活体动物( 生理和病理状态下) 的定量和动态的 体内分布、吸收、代谢、排泄和靶器官反应等一系列数据，获得剂量反应曲线。它代替 了过去给药后要需动脉血采样的方法，使数据的体内真实性大大提高。若用不同位置标 记的药物，还可以判断新药的体内代谢途径，是否有代谢活性产物或毒性产物，为阐明 药物作用原理，指导临床合理用药以及寻找新药提供了正确的导向。小动物p e t 还可以 在整体水平上进行药理作用研究，如1 8 f f d g 用于研究新药康维脑对脑区能量代谢的变 化，可能产生的组织损伤及毒性反应；h 2 1 5 0 用于研究新药对局部脑血流的影响；1 1 c 黜也 用于研究药物对多巴胺受体的相互作用；c c g p 用于研究心血管药物对心脏肾上腺素 能受体的调节等等。m i c r o p e t 的突出优点在于体内精确定量，动物可重复使用，可在 分子水平观察药物的长期毒性，同时动物本身可进行治疗前后的自身对照。 1 3 本文的主要贡献 p e t 成像研究是一个以物理、数学、生物、医学等学科为基础，面向工程技术推广、 临床应用的交叉性领域。本文将研究重点放在p e t 图像重建方面，结合当前实际应用中 碰到的难题开展了一系列创新性的研究工作。 1 3 1 首次实现了先验点云引导p e t 图像重建 p e t 图像重建需要对其成像方式进行建模，通常把目标空间离散近似后，才能采用 计算机数值方法求解。传统方法常把离散后的重建目标等同于常规像素，图像重建的过 程就是重建每个像素的强度值。我们提出了采用点云模型取代常规像素作为重建目标， 一8 一 浙江大学硕十学位论文 具有以下优点：首先，点云能自适应捕获空间的信息密度，有利于提高局部关键区域的 重建精度；其次，采用点云表示后图像具有高压缩性，能够极大减小运算量；最后，点 云的自由性特征特别利于追踪动态变化的目标。更重要的是，我们还考虑利用图像空间 中的先验信息来构造点云，这是一种完全崭新的尝试。 本文随后使用我们的方法对模拟p e t 数据以及真实病人的数据进行重建，并与传统 方法对比，取得了可观的结果。 1 3 2 使用状态空间法实现了p e t 动态重建 状态空问体系的扩展研究是本文另一核心问题。状态空间是一种从系统建模到问题 求解的完备理论构架，其被引入到p e t 静态重建问题并证明能够克服传统迭代方法中的 不确定性难题。状态空间体系最早使用于控制领域中求解动态系统的参数，将其运用于 p e t 动态重建的优越性则更为明显。通过把房室模型转换成状态方程，成像模型转换为 测量方程，状态空间建模把静态重建和动态重建的问题统一于同一类求解构架之下，为 p e t 重建技术提供了新的发展思路。 本文还进行了模拟单组织房室模型实验，采用带有鲁棒性的也滤波法求解状态空 间方程，验证了我们的框架在p e t 动态重建问题中的适用性。 1 3 3 首次开展了状态空间法下双示踪剂同时重建研究 本文还结合了当前p e t 重建中一个热门课题一一多示踪剂同时重建进行了分析，并 采用状态空间法首次实验了双示踪剂动态活度图像同时重建。p e t 双示踪剂同时注入后 的活度分别重建是一个混合信号处理的问题，在没有外部模型的引导之下，两种示踪剂 成分是难以独立分离的。我们提出采用平行房室模型作为区别两种示踪剂信号的特征， 在测量数据与模型的共同作用下，每种成份的活度图像可以同时重建。本文随后还考虑 不同水平的测量数据噪声和模型参数噪声，对处于不同噪声组合下的双示踪剂重建结果 进行了比较分析。 1 4 本文的组织结构 本文将围绕上述内容，主要从四个方面介绍我们进行的研究工作。 第二章介绍各种常用p e t 图像重建算法。近二十年来，这些相对成熟的算法都已被 运用在临床医学图像的重建之中，研究它们各自的原理与优缺点比较是进行我们下一步 一9 一 浙江大学硕士学位论文 工作的必要条件。 第三章将给出目前p e t 图像重建中采用的各种图像表示方法，然后详细介绍我们构 造点云和重建图像的具体方法，并在最后给出我们的实验结果。 第四章中，我们会详细介绍p e t 动态重建中采用的各种房室模型及适用范围，还会 介绍完整的状态空间构架及求解方法，并对我们动态重建的结果做分析。 在论文第五章中，将介绍p e t 多示踪剂同时重建的问题，并推导出在双示踪剂同时 注入成像下的状态空间方程组，最后详细分析实验中各种噪声因素对重建结果的影响。 在论文最后一章，将在总结全文的基础上，介绍本文引出的后续问题和可深入研究 的方向，为进一步完善p e t 成像框架带来有意义的参考。 一1 0 一 浙江大学硕士学位论文 第二章p e t 图像重建算法研究 2 1 重建图像评价准则 为了定量分析重建图像的精度，除了直接观察之外必须使用一定的评价准则，这些 准则已经被广泛接受。 2 1 1 均方根标准 均方根评价标准( r o o tm e a ns q u a r e ，简称r m s ) 可以表述为： r m s ( x ) = 其中x ( f ) 表示图像中像素真值，舅( f ) 表示重建的像素值。 ( 2 1 ) 使用均方根标准的条件是真值图像必须为已知，而在真实重建问题中真实图像是不 可知的，因此只适用与模拟重建的结果分析。 2 1 2 残差范数标准 残差范数标准( r e s i d u a ln o r m ) 可以表示为： r n ( y ) = 歹( ) = 研少( 川= x ( f ) q ， 其中y ( j ) 是测量值，歹( ) 为测量期望值，j 是总像素数目。 ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) 参差标准代表对测量的接近程度，可以用于真实数据重建比较，但是由于仅仅致信 于数据，往往在复杂的噪声的情况下不能获得很好的结果。 2 1 3 泊松统计准则 泊松统计准则可以表示为： 浙江大学硕十学位论文 列，= 专喜鼍铲 一，= l， 泊松准则可以检验重建图像是否服从泊松分布。 2 2 滤波反投影法 ( 2 4 ) 滤波反投影的理论依据源于傅立叶切片定理( f o u r i e rs l i c et h e o r e m ) ，即密度函 数f ( x ，y ) 沿任意方向平行投影，得到与该方向垂直的一维投影函数，此函数的傅立 叶变换就等于f ( x ，y ) 的二维傅立叶空间平面上过原点的一条线，并且这条线与一维 投影函数同方向，如图2 - 1 。下面将从数学上推导这个定理。 首先对空间密度函数f ( x ，y ) 沿r 做线积分： p p ( r ) = g , e f ( x , y ) d s = jj 厂( x ，y ) 万( x c o s o + y s i n o - r ) d x d y ( 2 - 5 ) 然后对其进行f o u r i e r 变换： b ( 户) = ，p o ( r ) e - j 2 , 础d r = 互弘舻m 础峭枷叫出砂卜出 = ，少( w ) p 川础c o s “y s 抽印姗 = f ( p c o s o ，p s i n o ) 从上式中看出f ( p c o s o ，户s i n 口) 就是密度函数坟x ，y ) 的二维f o u f i e r 变换。 ( 2 - 6 ) f ，1 ，) = ，i f ( x , y ) e - n r ( = + ) d x d y = f ( p c o s 0 ，p s i n 目) ( 2 - 7 ) 因此，如果能采集到物体密度函数f ( x ，y ) 在所有角度下的投影，然后在每个投 影方向上进行一维f o u r i e r 变换，就得到了原始图像的二维f o u r i e r 变换，利用简单的 二维f o u r i e r 逆变换就能重建出原始物体的图像。 一1 2 一 浙江大学硕士学位论文 2 3e m - m l 迭代法 j 确t y ) 斗 i jj 百o r ( x ) 2 孙+ z 焘) a l ( x ) a ( x ) 上式两边同乘x ，且当苏 o ( 2 2 5 ) 由于重建问题的病态性，需要把平滑惩罚项或其他先验知识加入到目标函数中，这 就是惩罚加权最小二乘法( p e n a l i z e dw e i g h t e dl e a s ts q u a r e ) ，其目标函数为 m i n f ( x ) = ( a x y ) 7 1 t r ( 御c y ) + 屈“( x ) ( 2 2 6 ) 0 其中( x ) 为正则化的平滑因子。 最小二乘函数的求解方法很多，包括连续松弛迭代、预条件共轭梯度法等等，本文 不再一一详述。 一1 8 浙江大学硕士学位论文 第三章先验点云引导p e t 像重建 3 1p e t 图像模型表示 在p e t 成像的模型中，离散的测量数据可看成是对连续空间密度函数的积分变换。 通过测量数据重建的函数或图像，能够从本质上反映出活体内各个部位生理和病理的感 兴趣特征。但是，重建连续的空间密度函数是非常困难的，通常需要进行目标离散化。 首先，有限的离散数据本身只适用于解出有限维数问题，获得连续或近似连续变量一般 需要通过插值处理，但本身并不能提高解的精度。其次，计算机数值解必须通过对连续 变量问题进行离散化来处理数学模型，未经过适当离散的模型会使得系统矩阵的规模大 幅增长，造成巨大的运算负担。在几乎所有的p e t 重建算法中，对连续空间密度函数的 离散化都是通过有限基函数的线性组合实现的。基函数的引入使得图像空间的局部积分 运算变得直观和简单。 3 1 1p e t 图像模型一自然像素 p e t 成像模型中一类最简单的基函数称为“自然像素”( n a t u r a lp i x e l ) 2 1 。自 然像素是采用带有局部性的基函数元组合来表示图像的，每个基元在空间不重叠的小立 方体单元( 三维) 或正方形单元( 二维) 内是常量。二维基元可表示为： f 1 “易力2 怫 y m e a n ( f ( x ) ) ； ( 4 ) 搜索每个点的影响域得到疗个临近点，如果n k ，则在影响域内随机增加k 一 个点； ( 5 ) 每次点云结构更新后对新的点重复( 4 ) ，直到所有点的影响域内包含至少后个 相邻点。 p e t 技术正是通过独特的功能型成像特性对病理进行分析诊断。但在某些情况下( 特 别是衰减图像先验) ，上述步骤得到的点云无法从解剖学的轮廓上搜索得到功能信息。 因此，在第二次重建之前，我们必须把反映功能信息的点增加至点云结构中。本文定义反 映每个三角形6 内部信息密度的特征函数： 厶( 万) = g ( ，厶，1 0 丁( 万) g ( ，厶，厶) = ( 一厶) 2 + ( - 1 0 2 + ( 厶- 1 0 2 ( 3 - 6 ) ( 3 7 ) 其中，厶、厶和厶表示三角形万- - + n a 的重建n ，丁( 占) 表示三角形万的面积。通过式 ( 3 - 6 ) 可以建立起三角形信息密度与定点强度差和面积的正比关系，并把新的点随机 加入三角形万内部。每个三角形内部增加的点数为： ，2 ( 万) = ( 万) ( 3 8 ) 其中y 是由实验确定的比例常数。式( 3 8 ) 最终确定的点云结构可重建出目标图像。 3 2 4 系统矩阵构造 p e t 图像重建之前需要计算权投影的系统矩阵( 概率矩阵) ，必须对点云结构进行 d e l a u n a y 三角形实化。由点云产生的一系列三角形单元具有不规则的分布和形状，对其 进行投影计算的步骤如下： ( 1 ) 由物理投影线对三角形进行自动分割如图3 1 ( a ) ，满足权投影条件； ( 2 ) 把( 1 ) 得到的四边形