（控制科学与工程专业论文）离散时滞切换神经网络研究.pdf

武汉理l ：人学硕十学f 节论文 摘要 切换系统是由一组连续或离散动态子系统组成，并按某种切换规则在各子 系统间切换的动力系统。在实际的工程应用中，切换系统是广泛存在的，因此， 对切换系统进行研究具有理论和实际意义。时滞切换系统是一类同时存在切换 和时滞的系统，它的动态特性极为复杂。对于任何实际应用系统来说，稳定是 其最基本的要求。 本文从切换系统的基本定义和性质出发，运用控制理论基本概念，采用 l y a p u n o v k r a s o v s k i i 方法、线性矩阵不等式( l m i ) 等方法，对一类切换系统的鲁 棒稳定性以及镇定问题进行研究，并考虑其实际的应用可能性。具体完成的工 作如下： 首先介绍了一些基本的预备知识，包括范数以及他们的性质，李雅普诺夫 稳定性以及切换系统李雅普诺夫稳定性的一些基本概念，在后面将要用到的一 些引理和结论等。 其次研究一类时滞切换递归神经网络( r n n s ) 的鲁棒稳定性问题。文中提出 了切换r n n s 的数学模型，并运用l y a p u n o v k r a s o v s k i i 方法和l m i s ，研究了在 任意切换律下，系统的全局指数稳定性，所得结果可适用于具有多个子系统的 时滞切换系统，也可适用于由一个子系统构成的系统，最后通过数值仿真来验 证结论的正确和有效性。 最后讨论一类时滞切换神经网络的镇定问题，提出了用于镇定切换动态神 经网络的方法，这种方法结合了切换系统和神经网络的相关理论，同时这种方 法也实现了对有意义耗散函数( m e a n i n g f u lc o s tf u n c t i o n ) 的非线性反向最优化。 所提出结果对于用动态神经网络实现非线性系统控制有着非常重要的意义。使 得时滞切换系统在满足给定的条件下，可任意切换实现镇定。最后通过仿真验 证了结论的正确和有效性。 关键词：切换神经网络，稳定性，镇定，李雅普诺夫函数 武汉理l ：人学硕十学何论文 a b s t r a ct as w i t c h e ds y s t e mi sac l a s so fh y b r i ds y s t e m ，c o m p o s e do fs e v e r a ld y n a m i c a l s u b s y s t e m sa n das w i t c h i n gl a wt h a ts p e c i f i e st h ea c t i v es u b s y s t e ma te a c hi n s t a n to f t i m e s w i t c h e ds y s t e m sa r i s ei nm a n ye n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s ，s oi t i so fg r e a t p r a c t i c a lv a l u ea n dt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c et oi n v e s t i g a t es w i t c h e ds y s t e m s s w i t c h e d s y s t e m sw i t ht i m e - d e l a yi sat y p eo fs y s t e mw i t hs w i t c h i n ga n dt i m e d e l a y , s oi t s b e h a v i o rc h a r a c t e ri s v e r yc o m p l e x s t a b l ei s t h e b a s i cr e q u i r e m e n t f o ra n y a p p l i c a t i o ns y s t e m s ，u n s t a b l ei sn o tt o l e r a n ti na n yw o r k i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，b yt h eb a s i cd e f i n i t i o na n dc h a r a c t e ro fs w i t c h e ds y s t e m s ， s o m ei d e a sa n dt h e o r i e sa b o u tc o n t r o lw i l lb eu s e dt od i s c u s st h er o b u s ts t a b i l i t yo f s w i t c h e dn e u r a ln e t w o r k sa n ds t a b i l i z a t i o no fs w i t c h e dd y n a m i cn e u r a ln e t w o r k sa n d t h e a p p l i c a t i o n o ft h e s et h e o r i e sw i t hs o m em a t h t o o l s ，f o re x a m p l e ， l y a p u n o v k r a s o v s k i ia n dl m im e t h o d sw i l lb ee m p l o y e dt oa n a l y z et h e r o b u s t s t a b i l i t yo fac l a s so fs w i t c h e dn e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m e - d e l a ya n dt h es t a b i l i z a t i o n o fac l a s so fs w i t c h e dd y n a m i cn e u r a ln e t w o r k s a n dt h ew o r ki sa r r a n g e db yt h e f o l l o w i n g ： f i r s t l y , p r e l i m i n a r yd a t aw i l lb ei n t r o d u c e d ，s u c ha sn o l t n ，v e c t o rn o r m ，m a t r i x n o r ma n dt h e i rc h a r a c t e r s ，a n dt h e r ew i l lb eg i v e ns o m ec o n c e p t i o n sa b o u tt h e l y a p u n o vs t a b l ea sw e l la sl y a p u n o vs t a b l eo fs w i t c h e ds y s t e m s ，o t h e r w i s e ，s o m e c o r o l l a r i e sa n dc o n c l u s i o n sw h i c hw i l lb eu s e di nt h el a t e rp a r t sa r eg i v e nt o o s e c o n d l y , t h ep r o b l e ma b o u tt h er o b u s ts t a b i l i t yo fac l a s so fs w i t c h e dn e u r a l n e t w o r k sw i t ht i m e - - d e l a yw i l lb ed i s c u s s e d ，i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h em a t h e m a t i c a l m o d e la b o u tt h er n n sw i l lb e p r o p o s e d ，a n db y t h e a p p r o a c h o f l y a p u n o v - - k r a s o v s k i i ，t h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h i ss y s t e mw i t ha l l a r b i t r a r ys w i t c h i n gm l ei sa n a l y z e d ，b yt h es t a b l es t a n d a r do fs t r i c tl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e s ，t h eo b t a i n sc a nb eu s e di nt h es y s t e mw i t hm a n ys u b - s y s t e m so rw i t h o n l yo n es u b - - - s y s t e m i no r d e rt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h em e t h o d o l o g y p r o p o s e di nt h i sl e t t e r , o n ee x a m p l ea b o u tt h e r e s u l t si sp r o v e dt ob ev a l i db yt h e d i g i t a ls i m u l a t i o na tl a s t i i 武汉理i ：人学硕 学位论文 f i n a l l y , t h ep r o b l e ma b o u tt h es t a b i l i z a t i o no fak i n do fs w i t c h e dn e u r a l n e t w o r k sw i t ht i m e - - - d e l a yw i l lb ed i s c u s s e d ，f i l la p p r o a c ht os t a b i l i z et h es w i t c h e d d y n a m i cn e u r a ln e t w o r k s ，w i l lb ep r o p o s e db yc o m b i n i n gt h et h e o r yo fs w i t c h e d s y s t e m sa n dd y n a m i cn e u r a ln e t w o r k s ，a n dt h ed e s i g ni sb a s e do nt h et e c h n i q u eo f n o n l i n e a ri n v e r s eo p t i m a l i t yw i t hr e q u e s tt oam e a n i n g f u lc o s tf u n c t i o n t h en e w r e s u l tw o u l db eh e l p f u lf o rt h ec o n t r o lo fn o n l i n e a rs y s t e m sb yd y n a m i cn e u r a l n e t w o r k s i no r d e rt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h em e t h o d o l o g yp r o p o s e di nt h i s l e t t e r , o n ei n s t a n c ea b o u tt h er e s u l t si sp r o v e dt ob ev a l i db yt h ed i g i t a ls i m u l a t i o na t 1 a s t k e y w o r d s ：s w i t c h e dn e u r a ln e t w o r k s ，s t a b i l i t y , s t a b i l i z a t i o n ，l y a p u n o vf u n c t i o n i l l 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权 保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：埤导师签名：望霉堑同期： i 犯f 口。；d 武汉理l ：人学硕十学位论文 1 1 切换系统简介 1 绪论 混杂动态系统( h y b r i dd y n a m i cs y s t e m s ) 1 】是指既含离散事件动态系统 d e d s ( d i s c r e t ee v e n td y n a m i cs y s t e m s ) 又含连续变量动念系统c v d s ( c o n t i n u o u s v a r i a b l ed y n a m i cs y s t e m s ) ，并且两者相互作用的系统。连续予系统的动念特征随 时| 日j 发展不断演化，离散子系统的动态演化受事件的驱动，二者相互作用，使 得系统的运行轨迹整体上呈现离散位置的迁移，局部上呈现连续状态的渐近演 化，在综合了连续变量动态系统和离散事件动态系统演化特征的基础上，表现 出更加复杂的动态行为【2 训。由于一些系统具有不连续的特性，加上嵌入式系统 的普遍应用，还有对控制系统的各种性能，指标要求不断提高，以及在处理系 统模型不确定性的情况下，需要同时考虑到克服控制目标、对象、环境等不可 预测量的变化，根据受控系统的连续量变化以及离散事件的发生情况来改变控 制算法等等，所有这些是混合动态系统的研究受到人们极大重视的根本因素。 1 9 8 9 年g o l l u 根据计算机的磁盘驱动器模型而第一次提出了关于混合动态 系统的概念，他实现了连续部分与接口部分相互结合的研列5 1 。从总体上来说， 整个混合动态系统的研究目前还处于初始阶段，相关的理论基础研究和实际应 用研究都是科学研究的前沿热点。并且混合动态系统的有很多的类型、有着广 泛的研究范围，涉及到许多相关学科知识，需要多学科相互合作，到目前为止， 涉及到的学科有控制、通讯、人工智能、辨识、估计、计算机科学等领域的理 论和技术。 通常情况下，一个混合动态系统可用下面的数学形式表述： 缸f ) = ( x ( f ) ，j ( f ) ，“( ，) ) y ( f ) = g ( 工( f ) ，5 ( f ) ，“( f ) ) s ( t ) = 妒( 工o ) ，5 ( f ) ，“( f ) ，c r ( f ) ) 这罩x ( t ) 吼“表示连续变量，u ( t ) 孵”表示连续的控制输入或连续动态系统的外 部信号，s ( t ) l ，m ) 表示这个系统的离散状态，a ( t ) 表示离散事件输入，y ( t ) 表 示系统的输出，厂( ，) 反应了系统连续状态变量的变化，( ，) 是不连续状态的 武汉理1 ：人学硕十学位论文 转移函数，反应了系统的逻辑决策或者离散事件动态的变化，在大多数情况下， j ( ，) 也可以作为一种控制量。 由于混合动念系统带有离散事件和连续时间这两种特征，因此要想对混合 动态系统建立起个较为理想的模型，实现有限期望性能分析，实现恰当适用 的控制方法，都是该领域需要解决的难题。但是，考虑到混合动态系统在人们 实际生活中的普遍应用和理论研究上的重大价值，第一，在实际工程应用系统 以及社会活动系统中，混合动态系统是广泛存在的，比如电力系统、变结构控 制系统、自动传输系统、机器人、系统熔炉的开关控制、化工批处理过程、汽 车 - 3 i 擎控制等掣2 1 ，还包括那些同时涉及到逻辑决策和连续控制的系统。从理 论研究角度来讲，对那些带有离散事件的动态系统，通常采用有限自动机，目 的在于捕获系统的逻辑或顺序行为；对于带有连续时间特性的动念系统一般运 用微分和差分方程来进行数学建模和数值分析，目的在于捕获到系统的内部“物 理”行为。 当前，国际学术界对混合动态系统的研究越来越重视，例如，德国久负盛 名的s p r i n g e r 出版社在他著名的计算机科学领域系列出版物l e c t u r en o t e si n c o m p u t e rs c i e n c e ( l n c s ) 中就有一个专题研究部分叫混杂系统( h y b r i d s y s t e m s ) ，其中包括了在混合动态系统领域中最具有代表性的最新研究成果；自 1 9 9 8 年起，还定期举行关于混杂系统：计算和控f 1 l j ( h y b r i ds y s t e m s ：c o m p u t a t i o n a n dc o n t r 0 1 ) 为主题的国际研讨会。国际学术界已经创立专门的关于混合动态系 统的杂志( i n t e m a t i o n a lj o u r n a lo fh y b r i dd y n a m i c a ls y s t e m s ) 和连续、离散、脉冲 动态系统杂志( d y n a m i c so f c o n t i n u o u s ，d i s c r e t ea n di m p u l s i v es y s t e m s ) 。目前为 止，国际上关于自动化领域的各大型学术会议和重要学术期刊上都开辟有混合 动态系统的专题或专刊，像著名的期刊i e e et r a n s a c t i o na u t o m a t i cc o n t r o l ， i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fc o n t r o l 等。由此可见，对混合动态系统的理论研究已经不 断的受到人们的关注，并不断的应用到实际工程系统中。对混合动态系统的相 关研究进行综合，可以概括出混合动态系统的基本特点： 1 1 系统的状态演化受到了时间和事件共同驱动； 2 ) 连续变量的变化速率轨迹受到离散状态的变化影响； 3 ) 离散事件产生于离散时刻，其特点是顺序、选择、并发等： 4 ) 对于系统的控制主要表现在对连续状态和离散状态的集成控制； 5 ) 对于系统的优化控制主要体现在定性定量两重要求下的集成优化控 制。 2 武汉珲f 人学坝 ：学何论空 运些特点丌胖了崭新的混合动态系统理论研究课题。 最 1 4 ta n t s a k l i s t 【1 3 1 ，在混杂动态系统的一个专刊中提出了关于混杂动态系 统的= 种类型，切换系统为其中的一种。切换系统( s w i t c h e ds y s t e m ) 是介j 。离 散系统与连续系统之问的一类特殊的混杂系统( h y b r i d s y s t e m s ) ( 山多个子系统 和某些策略构成的1 1 5 有连续状悫轨迹又有离散状奁轨迹的复杂系统) ，并且每一 时刻只有其中一个子系统在作用。其它子系统是不起作用的。在切换系统进行 切换的过程中，切换律起若非常重要的作用，即切换系统将在哪个子系统上运 行山他决定。在实际的工程系统中，切换系统是广泛存在的，“切换”作为一种 控制理念，拥有着非常多的实际应j 背景，比如在电力系统”，计算机磁盘驰 动器，机器人行走控制【i s ，交通管理，车摆系统的控制i 等中有着非常广 泛的应用，此外，在工程中应用广泛的分医p i d ，模糊控制，部可归入t u 换系统。 切换系统已经引起国内外学者的极大关注，得到广泛的关注。下咀j 列出儿个切 换系统应用的例子。 例了1 1 卅多控制器系统如罔l l 所示。 时目 图卜1 多控制器系统示意图 例12 2 0 - 2 2 1类在半导体技术中应用的调节嚣系统如图1 2 所示。调节器 具有如f 两种模式。模式1 一被称之为o n 模式，这时0 喵是闭合的，趴足 断丌的：模式2 被称之为“o f f ”模式这时s 是闭合的，s w , 是断丌的。保持 模式l 的时删为z x r , ，保持模式2 的时问为疋 ，耥 赢 ， 武汉理l ：人学硕十学何论文 s 峨s w 。 一一? 一一 + i i 。l ；l r ”c _ l ? _ 图卜2 调节器的电路示意图 在图1 2 中所示的系统，跳表示双极晶体管，跳表示二极管，肠表示电容的 电压，它等于作用在负载r 上的输出电压。表示电感电流，在“o n 模式， 电感电流等于电源的输入电流；在“o f f 模式，电源的输入电流等于零。选取 两个状念变量玉和而，其中五表示电容器的电压您，而表示电感电流，此系 统可用如下模型来描述。 在“o n ”模式，有 在“o f f ”模式，有卧 一上o r i c o一堕 三 卧 11 r c c ! o 即在“o n ”，模式下，系统的运行方程为x = 4 x + 8 , u ；在“o f r ”模式下，系统 的运行方程为石= a 2 x + o 。 4 = 一土o r i c o一堕 弘陆4 = 2 ”以= l1 r s c 三 。 工 例1 3 【2 3 1 继电器系统 在如图1 3 所示的系统中，两个质量分别为和_ ，z ：的木块分别由两根弹簧 连结到一个固定面上，他们的库仑摩擦力分别作用在点1 和点2 处。用x l 来表 示下面的木块离开平衡点的位移，用恐来表示上面木块相对于下面木块的位移。 并且令气= 五，- = t ，这样该系统可用以下模型来描述。 4 一二 土 k 1，jo ，一。l + 1j 五吃 。l 武汉理l ：人学硕+ 学位论文 x ( f ) = oo o0 一置o m l 毛如哎 聊l朋2 刀吃 10 i 1 01 1 0 0l x ( f ) + l 0 01 00 0o ll m im l 111 _ h ，1 1 ( u f = 一忍，i = l ，2 ) ， 一10 010i y c t ) 。lo o o 1p ， 其中，若只( f ) o ，那么u i ( f ) = - 1 ；若咒( f ) o ， 设计如下的切换策略 絮r l|m。一一船 武沮理i 人学硕十学忙皓文 艇篡i ： m 。， 同时选取初始状卷，那么切换系统( 1 3 ) 在切换策略( 1 4 ) 下是稳定的。系统运行 图卜1 9 状忐响应曲线 j 滋亭 t 澳璺璺荔i 、一ii 图1 2 0 状奄响应曲线 ? 涟骛静r _ 图卜2 1 状态响应曲线 由于切换系统的上述特性使得人们在研究切换系统时，不但要考虑到各 个子系统的动态行为，而且还要兼顾到切换策略，只有这样爿可能实现控制的 真正目标。所以切换策略对于一个切换系统束| 兑是非常有实用价值。 综上所述，我们可以知道切换系统具有下面五个基本的特性m 】： ( 1 ) 复杂性：切换系统中并个不同动态之矧的耦合、并个相异子系统之问的 耦台而导致系统的结构具确了复杂性；切换系统中即包含有连续变量又包台有 离散变量，所以这些变量f i 勺动态性，会导致整个系统动态行为的复杂性；切换 系统采用不同的切换策略会给整个系统的控制算法增加复杂性。 ( 2 1 混杂性：切换系统同时具有了离散事件动态系统和连续变量动态系统两 个系统的行为混杂性和结构混杂性，系统演化是山时日j 与事件两种不同类型因 素推动的，这样辛 内部推动的多重混杂性是整个切换系统的根本特点，从而 引起了信息结构上既具有确定性又具有不确定性的混合，并导致了在信息处理 过程中，符号推导与数理计算的混杂。本质上说，切换系统的混杂性，使研究 者必须在多模型的思想集成的指导下，对系统进行分析和设计，而不能用单一 的模型方法。 f 3 1 交互性：在切换系统中各模块的予系统不是相互孤立运行的，而是相 互之间存在着非常复杂的交瓦性。在切换系统研究中，交互性问题是主要难点 之一。在交互过程中，涉及到大量逻辑符号以及联系到数值计算方面的问题， 有时还可能会涉及到诸如模糊和随机这类非常复杂的关联关系。同时，设计者 武汉理i ：人拳硕十学位论文 还无法回避交互失败重构问题，从而实现切换系统的正常运行。 ( 4 ) 实时性：对于输入的响应有着非常严格的时间要求的系统称为实时系统， 在切换系统中考虑的时f o j 是可以度量的连续时问，系统的动态行为不但和离散 事件的顺序结构有关系，而且还和事件之间的时问结构紧密联系。切换系统研 究中所涉及的内容基本上覆盖了实时系统的研究内容。 ( 5 ) 模块性：切换系统的混杂性使其必然又具有多模块子系统集成的特点。 这种结构特征使系统具有很强的层次性和分布式特性。这就要求在系统设计和 实现过程中，既要从整体上进行考虑，又要注意各模块的自身特性。另一方面， 这种模块性又为系统的分布式实施和控制创造了条件。 1 2 切换系统的数学模型 s t i v e r 、a n t s a k l i s 所提的分层结构模型【3 7 】、b r a n i c k y 所提的七元组模型f 3 8 】和 m i c h e l 的五元组模型f 3 9 1 。其中分层模型比较适合于具有分层结构的切换系统混 杂系统，这种模型目的在于说明切换系统的内部层次，所以很直观清晰，却很 难被用于进行直接分析。相对而言七元组模型和五元组模型能够比较清晰地表 现切换系统混杂系统的特性，应用范围非常广阔，但内容过于抽象，表现形 式也极其繁琐，对于具体问题的研究很不方便。 在通常情况下，人们一般是用一组微分方程来描述切换系统： x ( t ) = ( 石( f ) ) ( 1 5 ) 具有离散时间特性的切换系统，一般用一组差分方程来描述， o - ( t ) ： 0 ) 一 l ，q ) 为切换信号， l ，q 表示子系统顺序对应的序号集合， o - ( t ) 表示时间变量分段常数函数，为了研究问题的方便起见，同时又不失一般 性，假设c r ( t ) 是右连续的。切换系统的切换信号有时是任意的或者是未知的， 比如随机切换系统；有时是已知的，比如o - ( t ) 是表示与状态变量或者时间变量 相关联的函数，( 1 5 ) 所述切换系统模型对于一般情况下切换系统基础研究而言 已能满足基本要求。 1 3 切换系统的稳定性分析 对于任何实际应用系统而言，稳定是其最基本的要求，不稳定的系统是绝 1 6 武汉理l ：人学硕t 学位论文 对没有可能会被应用于工程项目中。对于系统的稳定，可以表示为当实际系统 受到各种各样非必然性或持续性的扰动后，这个系统能够最终回到事先预定的 运动状态。切换系统的稳定性研究近年来已经受到研究者关注，并且获得了很 多的具有突破性的研究成果【4 0 卅】，特别是两位研究者l i b e r z o n 与m o r s e l 4 8 】，对 前人的研究成果进行归纳总结工作： 问题1 分析其在任意切换作用下( 全局) 渐近( 指数) 稳定条件。 问题2 分析切换信号的演化规律，使其( 全局) 渐近( 指数) 稳定。 问题3 若所有子系统均不稳定，构造切换控制，使其( 全局) 渐近( 指数) 稳定。 对于问题1 ，d a y a w a n s a 4 9 】证明线性切换系统在任意切换序列作用下渐近稳 定性和指数稳定性之f a j 的等价性，并且得到系统稳定等价于存在公共李雅普诺 夫函数( c l f ) ，同时得出这个函数不一定具有二次型形式。x i e p u j 证明，对于一 个由两个h u r w i t z 稳定矩阵所构成的切换系统，在任意切换作用下，能够实现指 数稳定的充要条件是存在一组合适的参数，使得一个关于正定矩阵 只 怎。的线性 矩阵不等式组( l m i ) 可解，其对应的李雅普诺夫函数为v ( x ) = m a x 7 p x ，用 f 2 i 2 一个拟二次型李雅普诺夫函数( q l f ) 与多面体李雅普诺夫函数得出线性微分包 含稳定性的研究与问题l 是等价的【5 3 1 ，从而认为线性切换系统在任意切换序列作 用下的一致渐近稳定性等价于：( 1 ) 存在映射l ：识”一贸“”满足于 三( 曲= ( x ) = l ( a x ) 0v x e9 v , v a 吼使得r ( x ) = x r l ( x ) x 为子系统公共李 雅普诺夫v 函数；( 2 ) 存在整数埘n ，矩阵形婀”4 满足 r a n k ( w ) = ，z ，q 9 i i t l 。n ! ，f ( 1 ，j 7 v ，使得= q , w ，儿( q ) 0 ( 1 - 6 ) 的解析性质。c h e n g 5 l j 用旋转群s o ( n ) ：作为工具，运用映射( 1 6 ) 的几何性质给出 切换系统存在公共二次型李雅普诺夫函数( c q l f ) 的充要条件。用获取映射( 1 6 ) 的代数特征从而得到了判断公共二次型李雅普诺夫函数( c q l f ) 存在性的若干 个充分条件 5 2 - 5 4 】。l i b e r z o n 【刘证实，要得到系统存在公共二次型李雅普诺夫函数 ( c q l f ) 的前提条件是线性子系统矩阵能够构成可解l i e 代数( 即有相似的变换 1 7 武汉理f ：人。硕 ：学位论文 矩阵使得全部的子系统矩阵都相似于上三角形式) ，m a n c i l l a a n g u i l a r t s 5 - 5 6 】得出， 对于平滑的非线性子系统所构成的切换系统，如果子系统向量场在l i e 括号运算 下能够满足交换律，那么由全部的子系统的渐近稳定性必能得出整个切换系统 在任意切换作用下的渐近稳定性。对线性子系统而言，在此前提下，等同于子 系统矩阵乘积可进行交换，且能推断出公共二次型李雅普诺夫函数( c q l f ) 的 存在性。 对切换信号的变化规律进行刻画存在两种基本的方式：一种是随时问变化， 另一种是跟随状态变化。对于l i b e r z o n 提出的第2 个问题，前一种是理想中的 刻画方式，是由于后一种常常很难得出统一的准则，来实现切换信号之间的相 互比较，并能对切换信号进行分类。在这些研究的基础上，b r a n i c k y 提出一种新 的方法即多李雅普诺夫函数( m u l t i p l el y a p u n o vf u n c t i o n s ) t 57 】方法以及与此相对应 的“最小驻留时问( m i n i m u md w e l lt i m e ) 1 5 8 】的概念，这种方法也成为了分析问 题2 的一种非常有效的工具，这其中核心的问题是如何实现不同李雅普诺夫函 数之间的几何相容性：即对于一个稳定系统，如果状态处于由任意一个李雅普 诺夫函数的某个等势面所定义的不变集内，那么经过一段时间后，状念必然会 进入到另外的李雅普诺夫函数的所处的同一等势面所定义的不变集内，那么相 邻的两次切换之| 日j 的适当时间问隔决定了整个系统的稳定性。 问题3 关于经常提出的切换镇定问题，从李雅普诺夫稳定性的定理与意义 出发，可将此问题归纳为判断是否存在v ( x ，f ) 0 ，t t o ，满足v ( o ，t ) = 0 ，t t o ， 使得倪”= l 妞，其中 q ，：= x 倪”ld + v ( x ，f ) z ( 工，t ) 0 ( 2 1 ) 2 0 武汉理i ：人学硕十学位论文 x7 1 ，+ y7 x x r p x + p 一1 y 7 p y ，v p 0 ( 2 - 2 ) 引理2 - 2 5 8 - 5 9 ( s c h u r 引理) ：对于定义在r 上的矩阵，线性矩阵不等式( l m i ) ： q = 匿外。 其中q l 。= 姊，q ：= 豌，q ：= 照，那么l m i 与下面两条性质等价 ( 1 ) q l i 0 ，q 2 2 一蝶“1q 1 2 0 ； ( 2 ) q 2 2 o ，向量函数 u ：【0 ，厂卜争吼”，可以得到下面的不等式： ( r o ) 凼) r z ( r o ) d 譬) 7 ( r r o ) z ( s ) 西) 引理2 - 5 t 6 1 1 对于任意两个1 1 维实向量，都有一个n ，l 维正定实对称矩阵p ， 使得下面关系式成立： 2 x7 y x 7 p x + 】，7 p 一1 】， 如果p = i ，那么 2 x t y s x l x + y t y ， 彳r j ，( 1 1x i l 2 十i l 】，| f 2 ) 。( 2 - 3 ) 2 1 武汉理i ? 人学硕十：学位论文 2 3 李雅普诺夫稳定性理论 2 3 1李雅普诺夫稳定性定义阳2 嵋羽 考虑一个不受外力作用的系统，系统动念特性的一般方程式 工= f ( x ，f ) ，( 2 4 ) 其中工孵“是该系统的状态向量，工= f ( x ，t ) 孵”表示一个连续的有界向量函数。 方程( 2 4 ) 的解用下面的式子来表示 x ( t ) = 矽( f ；而，t o ) ， ( 2 5 ) 这个关系式依赖于初始时刻f o ，和初始值x o = # ( t o ；x o ，t o ) 。 对于系统( 2 4 ) 的中的孤立平衡状态，如果任何实数孝 0 ，都对应有另一个实 数j ( 手，t o ) 0 ，使从满足下面关系 l x o 一l l o ( x 0 ) ，即v ( x ) 是一个正定函数： ( 2 ) v ( x ) o ，口 0 ，并且( 3 6 ) 的每个解x ( f ) 满足 f 石( s ) i p e 一甜s u pl ( j ) l ，v t 0 5 l f 。o l 那么( 3 6 ) 就是全局指数稳定的。 ( 3 - 1 0 ) 武汉理i ：人学硕十：学位论文 _ 一。一_ _ 一 3 3 主要结论 定理3 - 1 ：假设状态函数厂( x ( f ) ) ，g ( x ( f ) ) ，办( x ( f ) ) ，和不定参数分别满足假设3 - 1 和3 - 2 ，身，岛分别表示离散和分布延时，( 0 0 ，叩 0 ，仃 o ，三个正定对称矩 阵只，罡，只，和三个对角矩阵 a = d i a g ( _ q ，如，以) 0 f = d i a g ( y l ，托，以) 0 h = d i a g ( 6 。，龟，瓯) 0 如果下列l m i s 存在： q = q ；1 1 )q p 【q ；1 2 ) 】7q ：2 2 ) 【掣3 7 0 q 】0 【q ：1 5 ) r 0 q r 0 q p o o q 1 4 4 o o q ：1 5 ) 0 0 o q ：5 5 ) o q ， o o o o q1 6 6 0 ( 3 1 1 ) q ：一只p ，一d f # 一a t , 一i z 。一h j i + ( 仃+ 刁+ 矗一1 + ，l 一1 ) 只( m ，) 7 m ，只+ 仃一( 矽) 7 酽， q ：1 2 = 彳4 + a s ，q ；= f z 2 ，q ；= 口e ， q ：1 5 ) = 戤，q ：1 6 ) = 曰g ， q p = 1 7 - t ( 掣) 7 f - a ， q ：3 3 = ( 1 + 磊六) 一f ， q ：4 4 ) = 办( 群) r f 一只， q = 幺只- h ， q i ( 6 6 ) _ ，l ( 砰) 7 砰一挚e 证明：定义一个l y a p u n o v k r a s o v s k i i 2 8 ” 掣o 弩0 0 d 【 【 武汉理l ：人学硕十学位论文 _ 1 - l ( t ) = e 历矿( f ) ，矿o ) = 形( f ) ， k ( f ) - x 7 ( t ) p l x ( t ) ， 巧( ，) = 岛( g ( z ( s ) ) ) r p 2 g ( z ( j ) ) 出， 巧( f ) = 彘r ，( g ( x ( 刁) ) ) r p 2 g ( z ( r 1 ) ) d r l d s ， v 4 ( t ) = f 2 ，( 疗( 工( 7 7 ) ) ) 7 p 2 h ( x ( q ) ) d q d s 那么可以得到： k o ) = 2 ( j f ( f ) ) 7 # 芝二专( f ) ( j d ，+ q ) 石o ) + ( 4 + 4 ) f ( x o ) ) i = 1 ( 3 1 2 ) + ( 尽+ 够) g 似。一白) ) + ( g + c ：) “- ( x o ) ) 出】，( 3 - 1 3 ) 圪( f ) = ( g ( j ( f ) ) ) 7 g ( x ( f ) ) 一( g ( z o 一白) ) ) r 忍g ( x ( f 一氧) ) ，( 3 - 1 4 ) _ ( f ) = 彘岛( g ( x ( f ) ) ) 7 只g ( 工o ) ) 一彘【缸t g ( x o ) ) ) r 只g ( 石o ) ) a b ，( 3 - 1 5 ) 吃( f ) 炙( ( x ( f ) ) ) 7 p 3 h ( z ( f ) ) i - 。4 0 ( , 白日( 工( s ) 灿) r ( 3 16 ) ，2 。 只( 旬日( x ( s ) ) 出) 一彘白( 日( x ( s ) ) ) r 只日( x ( s ) ) 出， 根据引理2 - 1 可知 一只d ；一q 鼻 _ c r p 。m m r 只+ 伊一( 掣) r 矽 ( 3 1 7 ) ( x ( f ) ) 7 ( 露4 ) ( ，( x o ) ) ) ，+ f ( x ( f ) ) ( 可p o x ( t ) ( 3 18 ) ，7 ( 瓤，) ) 7 ( p t m m r p t ) x ( t ) + r l 一1 ( ，( z ( f ) ) ) r ( f ) r e f f f ( x ( t ) ) ( g ( x ( f 一) ) ) 7 ( a 彰日) x ( f ) + x ( f ) 7 ( 只凹r ) ( g ( 缸f 一岛) ) )( 3 1 9 ) j l ( g ( x ( f 一缶) ) ) r ( 掣) 7 彰( g ( x o 一厶) ) ) + x ( f ) r ( p ，m m r 置) x ( f ) 缸( 日i “j ) ) ) 凼( c 歹暑) 工( f ) + ( x ( f ) ) r ( 片g ) 6 ( 日( z ( j ) ) ) r 出( 3 - 2 0 ) m 克( 胃( x o ) ) ) r 西( e c ) 7 砰f ，( 日( 工( s ) ) ) 幽+ 小一1 ( x ( f ) ) 7 ( p 。m m 丁片) x ( f ) 2 9 一竖堡堡1 2 叁堂堡堂堡丝塞 一 一_ 一一一 从( 3 7 ) ，( 3 - 1 3 卜 3 ，2 0 ) 口 得： 砖( f ) + 唬( f ) + 吃( f ) + 皖( f ) n 专( f ) x ( f ) 7 量，x ( f ) 一彘f “( g ( x ( s ) ) ) r 最g ( x 。) ) 出 一彘f - 白( h ( 删) r 只( 删凼 ( 3 21 这罩有 x ( f ) ：( ( 工o ) ) 7 ，( ，( x o ) ) ) 7 ，( g ( z 0 ) ) ) 7 ，( g ( x ( f 一缸) ) ) 7 ， ( h ( x ( f ) ) ) 7 ，f - ；：( 日( x ( s ) ) ) r d s ) 7 ， 巨；l l ：一p d ? 一p ，# + ( t r + r + h 一+ 矿1 ) 鼻( m ，) r m ，露+ 仃。( 砰) 7 掣，( 3 - 2 2 ) 1声 巨：6 l _ m ( 巧) 7 f 一挚只 l ，2 l h ( 3 5 1 可知 ( 趔一巧) ( 丛生一譬) o ， ( 丛型一口i ) ( 丛盟一口：) o ， ( 蚴一k ) ( 鱼盟一畦) o k = 1 ，2 ，n ， 那么可以得到 一! 王蓑气j f 罄， 。， c 3 2 3 ， o o o o 掣 f o o o o z o 芝 一 格o o孵o o 酽 联 、l ， o o o o o + 0 掣 私聊o o o o 7 掣钾。黜。啪 武汉理l ：人学硕十学位论文 卜( ，) t