江苏省高考数学二轮复习专题七应用题第1讲函数、不等式中的应用题学案.docx

第1讲 函数、不等式中的应用题考情考向分析应用题考查是江苏高考特色，每年均有考查，试题难度中等或中等偏上命题主要考查学生运用所学知识建立数学相关模型解决实际问题的能力. 与函数、不等式有关的应用题，可以通过建立函数、不等式模型，解决实际中的优化问题或者满足特定条件的实际问题热点一和函数有关的应用题例1某工厂现有200人，人均年收入为4万元为了提高工人的收入，工厂将进行技术改造若改造后，有x(100x150)人继续留用，他们的人均年收入为4a(aN*)万元；剩下的人从事其他服务行业，这些人的人均年收入有望提高2x%.(1)设技术改造后这200人的人均年收入为y万元，求出y与x之间的函数关系式；(2)当x为多少时，能使这200人的人均年收入达到最大，并求出最大值解(1)yx25(a3)2(a3)24.其中100x150，xN*.(2)当10025(a3)150，即1a3，aN*时，当x25(a3)时，y取最大值，即ymax(a3)24；当25(a3)150，即a3，aN*时，函数y在100,150上单调递增，当x150时，y取最大值，即ymax3a4.答当1a3，aN*，x25(a3)时，y取最大值(a3)24；当a3，aN*，x150时，y取最大值3a4.思维升华二次函数是高考数学应用题命题的一个重要模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质跟踪演练1某企业参加A项目生产的工人为1 000人，平均每人每年创造利润10万元根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10万元(a0)，A项目余下的工人每人每年创造利润需要提高0.2x%.(1)若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1 000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？(2)在(1)的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围解(1)根据题意可得(1 000x)(10100.2x%)1 00010，整理得x2500x0，解得0x500，最多调出的人数为500.(2)由解得0x400.10x(1 000x)(10100.2x%)对x0,400恒成立，即10ax1 0001020x10x2x2%恒成立，即axx1 000对于任意的x0,400恒成立当x0时，不等式显然成立；当0x400时，a11.令函数f(x)x，可知f(x)在区间0,400上是减函数，故f(x)minf(400)1 025，故1.故0a，所以实数a的取值范围是.热点二和不等式有关的应用题例2秸秆还田是当今世界上普遍重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花137 600元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入6万元(已减去所用柴油费)；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用y(元)与使用年数n的关系为yknb(n2，且nN*)，已知第二年付费1 800元，第五年付费6 000元(1)试求出该农机户用于维修保养的费用f(n)(元)与使用年数n(nN*)的函数关系式；(2)这台收割机使用多少年，可使年平均收益最大？(收益收入维修保养费用购买机械费用)解(1)依题意知，当n2时，y1 800；当n5时，y6 000，即解得所以f(n)(2)记使用n年，年均收益为W(元)，则依题意知，当n2时，W60 000137 6001 400(23n)1 000(n1)60 00060 000(137 200700n2300n) 60 30060 300240 700，当且仅当700n，即n14时取等号所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大思维升华运用基本不等式求解应用题时，要注意构造符合基本不等式使用的形式，同时要注意等号成立的条件跟踪演练2小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为(25x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？(利润累计收入销售收入总支出)解(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，则y25x6xx(x1)50,0x10，xN*，即yx220x50,0x10，xN*，由x220x500，解得105x105，而21053，故从第三年开始运输累计收入超过总支出(2)因为利润累计收入销售收入总支出，所以销售二手货车后，小张的年平均利润为y(25x)(x219x25)19，又191929，当且仅当x5时等号成立答第5年年底出售货车，获得的年平均利润最大热点三和三角函数有关的应用题例3(2018镇江期末)如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC分成AD，CD两段，其中两固定点A，B间距离为1米， AB与杆AC的夹角为60，杆AC长为1米，若制作AD段的成本为a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作杆BD成本是4a元/米设ADB，则制作整个支架的总成本记为S元(1)求S关于的函数表达式，并求出的取值范围；(2)问AD段多长时，S最小？解(1)在ABD中，由正弦定理得，BD， AD，则Sa 2a 4aa，由题意得.(2)令Sa0，设cos 0.0cos S0S极小值当cos 时， S最小，此时sin ，AD.思维升华诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，用三角函数知识来求解跟踪演练3某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图)设计要求彩门的面积为S(单位：m2)，高为h(单位：m)(S，h为常数)彩门的下底BC固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为，不锈钢支架的长度和记为l.(1)请将l表示成关于的函数lf()；(2)问当为何值时l最小，并求最小值解(1)过D作DHBC于点H，如图所示则DCB，DHh，则DC，CH.设ADx，BCx.因为Sh，则x，则lf()2DCADh.(2)由(1)可知，lf()h，则f()hh，令f()h0，得.f()0f()极小值所以lminfh.1某学校有长度为14 m 的旧墙一面，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126 m2的活动室，工程条件是：建1 m新墙的费用为a元；修1 m旧墙的费用是元； 拆去1 m旧墙所得的材料，建1 m新墙的费用为元，经过讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段x m(0x14)为矩形厂房的一面边长；(2)矩形活动室利用旧墙的一面边长为x14.问如何利用旧墙，即x为多少时建墙的费用最省？(1)(2)两种方案，哪种方案最好？解设利用旧墙的一面边长为x m，则矩形另一边长为 m.(1)当0x14时，总费用f(x)x(14x)a7a35a，当且仅当x12时取最小值35a.(2)当x14时，总费用f(x)14a2a，则f(x)2a0，故f(x)在14，)上单调递增，所以当x14时取最小值35.5a.答第(1)种方案最省，即当x12 m时，总费用最省，为35a元2某油库的容量为31万吨，年初储油量为10万吨，从年初起计划每月月初先购进石油m万吨，然后再调出一部分石油来满足区域内和区域外的需求若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y(万吨)与x的函数关系为y5(p0,1x10，xN*)已知前4个月区域外的需求量为15万吨(1)试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M(x)(万吨)的函数表达式；(2)要使油库中的石油在前10个月内任何时候都不超出油库的容量，又能满足区域内和区域外的需求，求m的取值范围解(1)因为前4个月区域外的需求量为15万吨，所以155，则p25，y55(1x10，xN*)M(x)10mxx(55)mxx55(1x10，xN*)(2)因为第x个月的月初购进石油后，储油量不能多于31万吨，所以M(x1)m31，即10mx(x1)(55)31，则mxx525，此式对一切1x10(xN*)恒成立，令t，则m1(t，k0,1，9)恒成立，令ut5，m1(u5，k0,1，9)恒成立，因为u10在u8时取得最大值，所以1的最小值为5，则m5.另一方面，第x个月调出石油后，储油量不能少于0万吨，所以M(x)0，即mxx550.即m1，此式对一切1x10(xN*)恒成立，所以m52，此式对一切1x10(xN*)恒成立，则m(x4时取等号)综上所述，m5答每月购进石油m的取值范围是.A组专题通关1某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件为获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告根据经验，每年投入的广告费是x(单位：十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表x(十万元)012y11.51.8(1)求y与x之间的函数关系式；(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式；(3)如果投入的年广告费为x，x10,30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？解(1)设二次函数的解析式为yax2bxc(a0)由关系表，得解得函数的解析式为yx2x1(x0)(2)根据题意，得S10y(32)xx25x10(x0)(3)Sx25x102，1x3，当1x2.5时，S随x的增大而增大故当年广告费为1025万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大2在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中ab.(1)当a90时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值解(1)因为矩形纸板ABCD的面积为3 600平方厘米，故当a90时，b40，从而包装盒子的侧面积S2x(902x)2x(402x)8x2260x，x(0,20) .因为S8x2260x82，故当x 时，侧面积最大，最大值为平方厘米(2)包装盒子的体积V(a2x)(b2x)xxab2(ab)x4x2，x，b60.Vxab2(ab)x4x2x(ab4x4x2)x(3 600240x4x2)4x3240x23 600x.当且仅当ab60时等号成立设f (x)4x3240x23 600x，x(0,30)则f(x)12(x10)(x30)于是当0x10时，f(x)0，所以f (x)在(0,10)上单调递增；当10x30时，f(x)0，所以f (x)在(10,30)上单调递减因此当x10时，f(x)有最大值f(10)16 000，此时ab60，x10.所以当ab60，x10时纸盒的体积最大，最大值为16 000立方厘米3(2018苏州模拟)某“T” 型水渠南北向宽为4 m，东西向宽为 m，其俯视图如图所示假设水渠内的水面始终保持水平位置(1)过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹角为(为锐角)，将线段PQ的长度l表示为的函数；(2)若从南面漂来一根长度为7 m的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？试说明理由解(1)由题意得，PA，QA，所以lPAQA.(2)设f()，由f()，令f()0，得tan 0.且当(0，0)时，f0，所以f在上单调递减，在上单调递增，所以当0时，f取得极小值，即为最小值当tan 0时，sin 0，cos 0，所以f的最小值为3，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3 m.因为37，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠答竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠4(2018江苏启东中学月考)园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r米，圆心角为(弧度)的扇形观景水池，其中， O为扇形AOB的圆心，同时紧贴水池周边(即 OA，OB和所对的圆弧)建设一圈理想的无宽度步道要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1 000元(1)若总费用恰好为24万元，则当r和分别为多少时，可使得水池面积最大，并求出最大面积；(2)若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少？解(1)弧长AB为r，扇形AOB面积为Sr2, 则400r21 000240 000.即r251 200.所以.Sr2r2650565052400.当且仅当r5，即r20时取等号，此时2.答r20, 2，面积最大值为400平方米(2) 由r2r105，得出，Sr2r，所以所以所以45r.Sr2r， r，所以当r45, 时，水池的最大面积为337.5平方米答 r的取值范围为，且当r45, 时，水池的最大面积为337.5平方米B组能力提高5(2018南通模拟)如图，某机械厂欲从AB2米，AD2米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E，F分别在边BC，AD上，且EBEF，AFBE.设BEF，四边形ABEF的面积为f()(单位：平方米)(1)求f()关于的函数关系式，求出定义域；(2)当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值解(1)过点F作FMBE，垂足为M.在RtFME中，MF2，EMF，FEM，所以EF，ME，故AFBMEFEM，所以f()(AFBE)AB2.根据题意得，AFBE，所以0)，记APB，CPD，则tan ，tan ，由tan()tan 451，化简得 7t2125t3000，解得t20或t(舍去), 所以ACAPPC2520500.答两索塔之间的距离AC为500米(2)设APx，点P处的承重强度之和为L(x)则L(x)60，且x(0,500)，即L(x)60ab，x(0,500)，记l(x)，x