基本(均值不等式)不等式知识点 基础练习1.doc

千里之行，始于足下；状元之路，尽在今朝。状元堂测试试卷日期： 2012- 时间： 学生姓名： 任课教师： 试卷审查教师： 测试科目： 涉及章节： 教师评语：不等是知识点 知 识 梳理 1.基本形式:,则;,则,当且仅当时等号成立.2求最值:当为定值时,有最小值;当或为定值时,有最大值().3.拓展：若时,当且仅当时等号成立. 重 难 点 突 破 1.重点：理解基本不等式等号成立条件，掌握用基本不等式证明不等式会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.2.难点：利用基本不等式求最大值、最小值3.重难点：正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最值二 方法技巧讲解(1) 灵活运用基本不等式处理不等关系问题1. 已知正数x、y满足x+2y=1，求+的最小值.点拨：x、y为正数，且x+2y=1，+=（x+2y）（+）=3+3+2，当且仅当=，即当x=1，y=1时等号成立.+的最小值为3+2.（2）注意取等号的条件问题2. 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=的最小值为 。点拨：错解1、因为对a0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4。错解2、，所以z的最小值是。错因分析：解一等号成立的条件是相矛盾。解二等号成立的条件是，与相矛盾。解析：z=，令t=xy, 则，由在上单调递减,故当t=时 有最小值,所以当时z有最小值。 热 点 考 点 题 型 探 析考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围)题型1. 当积为定值时,求和最小值例1 . 已知且满足,求的最小值.例2. 已知x0，y0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值例3. 若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_考点2 利用基本不等式证明题型：用综合法证明简单的不等式例4已知,求证:.强化训练1.若，则=_时,有最小值，最小值为_.2. .(2010华附)已知则的最小值为 3. 已知一动直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线的纵、横截距之和大1，求这三角形面积的最小值4. 已知a，b为正数，求证：5.设x0,y0且xy,求证6.已知函数，若在（0，+）上恒成立，求的取值范围。7.( 2010梅县）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本为.当年产量不足80千件时,(万元);当年产量不小于80千件时,(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?参考答案例1【解题思路】利用，构造均值不等式解析：, ,当且仅当时等号成立,即,又, 当时,有最小值18.例2解析x0，y0，3x+4y=12， ，lgx+lgy=lgxylg3 由 解得 当x=2，y=时，lgx+lgy取得最大值lg3 例3解法一 由a、bR+，由重要不等式得a+b2，则ab=a+b+32+3，即3， ab9 解法二 a、b为正数， ab=a+b+30，两边立方得 a3b334aba2b234，ab0，ab9 解法三 原条件式变为ab-3=a+b， a、b均为正数，故式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab， a2+b22ab， a2b2-6ab+94ab，即a2b2-10ab+90，(ab-1)(ab-9)0，由式可知ab3， ab9 解法四 把a、bR+看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-ab)x+ab=0，则=(3-ab)2-4ab0，即 (ab)2-10ab+90， (ab-9)(ab-1)0，ab-1=a+b+20成立， ab9 例4 【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.解析 ,相加整理得. 当且仅当时等号成立.强化训练1.若，则=_时,有最小值，最小值为_.解析:, , ,=，当且仅当即时.2. .(2010华附)已知则的最小值为 解析:，当且仅当时取等号.3. 已知一动直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线的纵、横截距之和大1，求这三角形面积的最小值解析： 设直线的方程（a0，b0），则，a+b2，即0，解得，当a=b=2+时，三角形面积的最小值为5+24 解析1： a0，b0， ， ，两式相加，得， 解析2. 5证明：由x0,y0且xy,要证明只需 即只需6 解析：因为在（0，+）上恒成立，即 的最小值为4 解得7解析: