（运筹学与控制论专业论文）几类带随机利率的风险模型.pdf

摘要 本文对风险理论中的利率风险进行了一些探讨，主要研究带利率的双二项风 险模型以及利率分别为m a r k o v 链和l d v y 过程的两类风险模型的破产问题，全文 分为以下五部分 第一章介绍破产理论的研究状况及有关研究成果，并概述了本文主要内容 第二章探讨带随机利率的双二项风险模型，得到了破产概率的积分表达式 利用鞅分析的方法得到了破产概率的指数型上界；利用c a ij 【2 8 】中的证明方法给 出了一个更精确的破产概率的指数型上界，这个上界与保险公司的实际运营情况 是相符合的 第三章考虑将来利率的波动仅仅依赖于现在利率状态的情形，引入具有m a r k o v 性的随机利率模型主要讨论了破产前后瞬时盈余的联合分布，得到了该联合分 布的积分方程，并推导出它们的边缘分布以及破产概率的表达式，最后分别求解 出破产时刻分布以及破产持续时间分布的积分表达式 第四章在经典风险模型的基础上研究利率是l d v y 过程的风险模型，本章得 到了贴现罚函数的积分方程，由此分别得到了破产概率、破产时间的l a p l a c e 变 换、破产赤字以及导致破产发生的最后一次索赔分布的表达式，同时本章还对破 产前最大盈余分布进行了讨论 第五章总结了本文的主要内容，给出了一点关于本文的讨论和展望 关键词。随机利率，破产概率，破产前瞬时盈余，破产持续时间，贴现罚函 数，破产前最大盈余 a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw es t u d ys o m er i s km o d e l sw i t hd i f f e r e n tr a n d o mi n t e r e s t r a t e s ，m a i n l yd i s c u s sa b o u td o u b l eb i n o m i a lr i s km o d e lw i t hi n t e r e s tr a t e s a n dt w or i s km o d e l sw h e r ei n t e r e s t sa r em a r k o vc h a i na n dl g v yp r o c e s s r e s p e c t i v e l y t h i st h e s i sc o n s i s t so ff i v ep a r t sa sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h er e s e a r c hs i t u a t i o no fr i s kt h e o r y a n ds u m m a r i z et h ec o n t e n to ft h i sp a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yt h ep r o b l e m so fd o u b l eb i n o m i a lr i s k m o d e lw i t hd e p e n d e n tr a n d o mi n t e r e s tr a t e s ，a ni n t e g r a le x p r e s s i o no fr u i n p r o b a b i l i t yi so b t a i n e da sw e l la se x p o n e n tt y p eu p p e rb o u n d i na d d i t i o n a l ， w ef i n da n o t h e ru p p e rb o u n do fr u i np r o b a b i l i t yw h i c hi sp r e c i s e r i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h ef l u c t u a t i o no fi n t e r e s t si nt h e f u t u r ei so n l yc o r r e l a t i v et on o wa n di n t r o d u c em a r k o vc h a i ni n t e r e s tm o d e l ，w em a i n l yd i s c u s st h ej o i n td i s t r i b u t i o no ft h ei m m e d i a t e l ys u r p l u sb e f o r e a n da f t e rr u i n ，t h e ng e tt h ee x p r e s s i o no fr u i np r o b a b i l i t yf r o mt h i sj o i n t d i s t r i b u t i o n l a s t l yw er e s p e c t i v e l ym a k er e s e a r c ho nt h ed i s t r i b u t i o n so f d u r a t i o no fr u i na n dr u i nt i m e i nt h ef o u r t hc h a p t e r w es t u d ya ni n t e r e s tm o d e lw h i c hi sal d v yp r o - c e s s w eg e ti n t e g r a le q u a t i o no fd i s c o u n tp e n a l t yf u n c t i o na n ds o m er e s u l t s f r o mt h i sf u n c t i o ns u c ha sr u i np r o b a b i l i t y , r u i nd e f i c i t ，e t c a tt h es a m e t i m ew e6 t u d yt h es u p r e m u ms u r p l u sb e f o r er u i na n dg e ti t sd i s t r i b u t i o n i nt h ef i f t hc h a p t e r ，w es u m m a r i z et h et h e s i sa n dg i v ed i s c u s s i o na n d e x p e c t a t i o n s k e yw o r d s ：r a n d o mi n t e r e s tr a t e ，r u i np r o b a b i l i t y , t h ei m m e d i a t e l y s u r p l u sb e f o r er u i n ，t h ed u r a t i o no fr u i n ，d i s c o u n tp e n a l t yf u n c t i o n ，t h e s u p r e m u ms u r p l u sb e f o r er u i n 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除 了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰 写过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名t猃枣硷 日期：兰翌星：曼! 2 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 第一章前言 1 1 破产理论的研究概况 在人类社会发展史上，人们时时刻刻都在与风险等不确定性现象进行斗争， 保险作为一种有效转移风险的手段成功的帮助人类规避风险在保险数学的范畴 内，破产理论是风险理论的核心内容，它主要研究来自于保险公司的各种随机模 型并为风险管理提供数学上的支持 保险公司在经营风险过程中面临许多不确定性，使得风险难以掌控，如果在 开始经营之前能够基于风险状况建立风险模型，对破产可能性和偿还能力进行正 确的评估，使得风险降到使公司持续盈利而不至于亏本的最小程度，就能使保险公 司有效的规避风险，因此对风险的研究是保险投资行业推广新险种的首要之事， 日益受到人们的重视并得到广泛的支持和发展，成为了应用概率统计的一个十分 活跃的分支 二十世纪初瑞典精算师f l i pl u n d b e r g 奠定了精算风险理论的基石，而后 c r a m 芭r 将l u n d b e r g 的工作建立在坚实的数学基础之上发展了严格的随机过程 理论，建立了经典的l u n d b e r g - c r a r a d r 风险模型： 设保险公司在时刻t 的盈余为u ( t ) ，则盈余过程可表示为 r ( ) u ( t ) = t + c t 一 ：虬， ( 1 1 1 ) k = l 其中u ( o ) = 让表示保险公司的初始准备金，c 表示保险公司单位时间内征收的保 费，虬( 七1 ) 表示保险公司支付的第i 个索赔额，n ( t ) 表示到t 时刻发生的总 的索赔次数，是参数为a ( a 0 ) 的p o i s s o n 过程 l u n d b e r g - c r a m d r 经典风险模型基于以下三个基本假设； 假设1 ( 独立性假设) 设 ，七l 为取正值的独立同分布的随机变量序 列，且p = 驯x 1 】 0 ，称为相对安全负荷，易知日= 最一1 0 假设3 ( 调节系数存在唯一性假设) 个体索赔x 的矩母函数 m x ( r ) 。上扩d f ( z ) = 1 + r 上( 1 一f ( z ) ) 如 ( 1 1 3 ) ，0 0 在包含原点的某领域内存在，而且要求以下方程具有正根： m x ( r ) = 1 + 7 ( 1 1 4 ) 由于m x ( r ) 在包含原点的收敛域内是严格递增的凸函数，所以如果方程( 1 1 4 ) 有 正根则必唯一，我们称其为调节系数，记为r 由模型的独立性假设及强大数定律可得 1 i mu ( t ) = + ， a 8 ( 1 1 5 ) 由此可知，如果保险公司“长寿”的话，保险公司最终将会很富有实际上保险公 司未必能够“长寿”，因为在其经营过程中，某时刻的盈余过程u ( t ) 可能取值为 负，这时我们称保险公司发生破产，用t 表示保险公司首次发生破产的时刻，即 令 t 全i n f t ：u ( t ) o ) ，i n f0 = o o ， 则破产概率可表示为 皿( u ) = p r t o 。i v o = u ) 定理1 1 1 在假设1 - 3 成立的条件下有以下结论t 以归( 。) = 而1 ； ( 2 ) l u n d b e r g 不等式 皿( u ) e - m ，vt 0 ； 印 ( 3 ) l u n d b e r g - c r a m d r 近似存在正的常数c ，使得 皿( u ) 一c e 一肌( 缸_ o 。) ， 恕器乩 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 3 定理( 1 1 1 ) 告诉我们初始盈余为。时，破产概率皿( o ) 仅仅依赖于相对安全 负荷0 ，而与个体索赔分布的具体形式无关； ( 2 ) ( 3 ) 两式说明了只要初始盈余足 够大，在只需要支付。小额索赔”的理想环境下破产是不容易发生的 尽管c r a m d r 对定理( 1 1 1 ) 的证明经过了严格的数学讨论得到了破产概率的 初值和l u n d b e r g - c r a m d r 近似表达式，但是分析过程比较繁冗之后f e l l e r 运用索 赔时间间隔和全概率公式得到了生存概率西( u ) = 1 一皿( 札) 满足亏损更新方程， 并利用关键更新定理同样得到了l u n d b e r g - c r a m d r 近似表达式，证明过程简单易 懂；g e r b e r 利用盈余过程u ( t ) 构造了一个非负鞅m ( t ) = 瑞并利用连续鞅 停时定理以及收敛定理得到了l u n d b e r g 不等式的简单证明，可参考文献【3 】，在 此不做赘述 从现有破产理论的研究文献中，我们可以看到继c r a m d r 之后，最令人瞩目的 方法改进就是f e l l e r 的更新论证法和g e r b e r 的鞅证明技巧，这两种方法现已经成 为研究破产理论主要的数学工具近期关于破产论的大量研究中，虽然其模型有 不同程度上的推广与变化，但所使用的数学方法基本上是基于这两种证明技巧之 上的 经典风险理论给破产理论的研究增添了很多可以研究的内容。从而带来了风 险理论的发展后来人们根据实际保险公司的风险运作对经典风险模型进行了推 广，一些推广之后的风险模型增强了刻画保险公司风险业务的能力，具有很强的 实用性 1 1 1 离散型风险模型 经典风险模型是关于时间连续的，后来人们发现连续时间风险模型可以转化 为离散时间风险模型，且离散时间风险模型便于数学分析，于是近期的一些文献 对离散时间风险模型表现出很大兴趣，见参考文献【1 3 - 1 8 一般的离散型风险模型的盈余过程可表述为 型 u ( 佗) = u + 佗c 一：x ，n 0 ， ( 1 1 6 ) i = l e s t h e rf r o s t i g 16 】考虑了安全系数为非正数情况下的复合二项模型，得出了破 产赤字和破产前瞬时盈余的联合分布和边缘分布，并且给出了l u n d b e r g 系数与 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 4 破产赤字分布之间的一种特殊的关系。 p r d ( u ) = k ，t o o = e u 一知p r d ( u ) = 后 ，( 1 1 7 ) 其中d ( t ) 是破产赤字，( 是l u n d b e r g 系数 离散的多项分布风险模型是指索赔次数服从多项分布， p r r l - ( n ) = k ，啦( n ) = 乜，( n ) = ) = 币瓦竽丽砖1 彦击溉严水。 ( 0 礼，i = 1 ，2 ，m ) 即假定在单位时间区间内最多发生一次某种索赔傅云斌、凌玉美等人【1 7 18 】讨论 了离散三项分布风险模型，傅云斌得到了破产概率和破产前一刻盈余概率律的递 推公式、变换公式，显式公式；凌玉美得到了破产前瞬时盈余、破产赤字的明确表 达式以及其渐近解 1 1 2 对保费及索赔总额过程进行推广的风险模型 经典风险模型中保费以及索赔总额过程有很强的约束条件，一些文献对保费 收入总过程以及索赔总额过程作了相应的推广，使得模型能很好的贴近现实保险 公司的风险运作 d u r f r e s n e 和g e r b e r 1 9 】在保持索赔总额过程 s ( z ) ) 的齐次正增量性质的基 础上将 s ( ) ) 推广到广义复合p o i s s o n 过程以及带扩散扰动项的复合p o i s s o n 过 程，得到了生存概率圣( u ) 和破产概率皿( 乱) 满足的瑕疵更新方程；谭激扬、杨善 朝研究了离散时间的双p o i s s o n 模型，运用转移概率推导出了保险公司在有限 时间内破产的概率以及破产概率的级数表达式和矩阵表达式 1 1 3 考虑货币时间价值的风险模型 货币的时间价值是指货币经历一段时间的投资和再投资所增加的价值，只要 将闲置的钱存入银行或者买股票债券等都能够实现货币的时间价值按照诺贝尔 经济学奖得主r o b e r tm e r t o n 的观点，现代金融理论阻】的三大支柱是资金的时 间价值、资产定价和风险管理，可见货币的时间价值在金融研究中的重要性近 期越来越多的文献 2 1 - z 5 1 开始对保险数学和金融数学的交叉进行研究s u n d t 和 t e u g e l s 2 1 , 2 2 0 在连续时间经典风险模型下研究了常利率对破产概率的影响得到了 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 5 l u n d b e r g 型不等式；y a n gh a i l i a n g 等【2 4 】研究了带有固定利率的复合p o i s s o n 模 型，利用s u n d t 和t e u g e l s ( 1 9 9 5 ) 的技巧得到了破产前后瞬时盈余所满足的方程， 并讨论了一些特殊情况下的例子；d a v i dc m d i c k s o n 等【2 5 】考虑保险公司盈余 为负时借入资金来偿还理赔的同时还要偿还贷款利息的情况下，利用模拟的方法 得到了盈余为正的时间分布、盈余为负时的索赔分布 1 2 随机利率 传统的精算理论中都假定利率是固定的，这种假设的目的在于简化所研究的 问题，实际上利率具有随机性且是产生风险的重要因素利率风险一直都是保险 公司面临的主要风险形式，预定利率哪怕是微小的变化都可能造成保险公司运营 上巨大的变化甚至破产，因此未来利率的随机性一定程度上决定保险公司的赔付 能力估计以及应急准备金计划，利用固定利率来研究破产问题可能带来与实际之 间较大的偏差形成利差损，为了减少这种偏差，一种较好的方法就是采用随机利 率模型 破产理论中加入随机利率得到了金融界广泛的关注利率风险的研究需要引 入随机分析的方法用随机变量或随机过程刻画利率，这是对精算科学的丰富和 发展2 0 世纪7 0 年代利率随机性开始被作为精算假设，并逐渐成为了精算科学 研究的一个重要领域 c a ij u n 2 7 】假定利率是独立同分布的随机变量序列，研究 了随机利率对破产概率的影响，得到了l u n d b e r g 型不等式；c a ij u n 2 8 】在离散时 间风险模型下加入具有一阶线性自回归结构的随机利率 厶= q 厶一1 + ，n 1( 1 2 8 ) 其中 ，礼1 ) 是独立同分布的非负随机变量序列，同时考虑了保费对盈余情 况的影响得到了先收保费和后收保费两种不同情况下的盈余过程表达式 = u n 譬：1 ( 1 + 厶) + n 1 ( ( x 七( 1 + 厶) 一v k ) i i 警k + l ( 1 + i t ) ) n 1 “= u n 嚣：1 ( 1 + 厶) + 2 ：1 ( ( x 知一y k ) n ：= k + 1 ( 1 + 厶) ) n 1 关于这两种模型得到了破产概率的积分表达式和破产概率的l u n d b e r g 型上 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 6 用随机变量刻画利率，较固定利率能够更好的体现利率的不确定性，但是利率 是随时间不断发生变化的，具有很强的扰动性，因此许多学者采用了随机过程来刻画 利率，其中最常采用w i e n e r 过程和o u 过程来建立随机利率模型b e e k m a n j a 和f u e l l i n g ，c p 【3 3 , 3 4 】分别利用0 u 过程和w i e n e r 过程对随机利率建模，得到了这 两种随机利率模型下的终身寿险给付现值的前二阶矩；d es c h e p p e ra 【4 1 】在利率 为w i e n e r 过程的风险模型下得到了某些年金的矩母函数、分布函数以及l a p l a c e 变换 除了以上利用o - u 过程和w i e n e r 过程对利率进行假设外，p a u l s e n 和g j e s s i n g 2 9 】 考虑利息因子见是一个特殊的k 、，) r 过程，并要求破产时间的l a p l a c e 变换是连 续二次可微的情况下，得到了破产时间的l a p l a c e 变换是二次伊藤可微方程的解， p a u l s e n 3 0 1 利用此种方程得到了破产概率皿( t ) 的近似表达式w a n g 和w u l z l 】考 虑了忍是一个带有扰动项的布朗运动，得到了在某种条件限制下破产概率是二次 可微的，然而c a i l 3 2 纠正了w a n g 和w h 一些证明错误并在忌是一个带有扰动项 的布朗运动时得到了广义贴现罚函数皿a ( u ) 的伊藤微分方程，证明了在某些假定 下皿口( u ) 是二次可微的，同时得到了忍是i a v y 过程时破产概率的积分表达式 1 3 本文主要内容 1 3 1 预备知识 经典风险模型提出后，破产概率作为衡量保险公司破产严重程度的一个重要 指标引起了广泛的关注，破产概率的定义为。 g j ( u ) = p r ( t o o l u ( o ) = u ) ( 1 3 9 ) 之后也有研究有限时间内的破产概率 皿( t l ，t ) = p r ( t t l u ( 0 ) = u ) ，( 1 3 1 0 ) 容易得到h l i r a 皿( u ，) = 皿( u ) 破产概率皿( u ) 可以作为评价保险公司经营安全性的 一个重要的指标，它是借助概率论和随机过程的知识构造通过数学模型来刻画保 险公司的风险业务，但是破产概率并不能真正的表示保险公司即将倒闭的概率， 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 7 因为破产概率只是一个数学概念，它只是衡量保险公司破产可能性以及偿付能力 的一个重要指标 后来g e r b e r 等人引入了两个刻画保险公司破产严重程度的量破产前瞬时盈 余u ( t - ) 和破产赤字l u ( 丁) i ，破产前瞬时盈余和破产赤字的联合分布函数为 f ( z ，训_ u ) = p r u ( t - ) z ，i 己，( t ) ls 可i u o = 让) ， ( 1 3 1 1 ) 对于这个函数的研究也成为了破产理论中重要的研究内容，如文献【5 , 6 ，7 】令 g ( u ，z ) = p r s u pu t z ，t 0 ，c ，( n ) o ； 破产概率t 垂( u ；i o ) = p r ( u k 墨1 ( 魄 o ) ) = p r ( t 0 时， e ( y ) = p r ( k y ) = p r ( n = 0 ) + p r ( e n = 1 ) p r ( y ) = q 2 + p 2 h c y ) 由引理( 2 2 1 ) 我们可以将盈余过程写为 nnn = u ( ( 1 + 厶) ) + ( ( c 靠一k ) i i ( 1 + 乃) ) ( 2 2 7 ) k = lk = l j = k + l 碥的分布函数f ( y ) 是带有跳跃点y = 0 的分布函数，那么对任意的函数m ( y ) 关 于f ( y ) 的r i e m a n n - s t i e l j e s 积分为 ， m ( y ) d f ( y ) = m ( o ) f ( o ) + m ( y ) d f ( y ) j 0 j 时 定理2 2 1 破产概率妒( 札；i o ) 满足以下积分表达式 ，f u ( 1 + a i o + w ) 西( 仳；i o ) = q l 巾( u ( 1 + 口i o + w ) 一y ；q 硒+ w ) d r ( y ) d g ( w ) ，0j o ，o 。f u ( 1 + a i o + w ) + c + p 1 l 圣( u ( 1 + q t o + 叫) + c 一耖；q i o + w ) d f ( y ) d g ( w ) j o1 0 ， + q l f ( u ( 1 + a i o + 伽) ) + p l f ( t ( 1 + a i o + t o ) + c ) d g ( w )( 2 2 8 ) 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 证明；令h = 口i o + 埘，由( 2 2 7 ) 式可知 p t ( u 1 o l 肌= 叫，m = y ) = q l p r ( u ( 1 + h ) 一掣 o l w , = 加，h = 耖) = b m i 烈卅c ， 假定= 叫下，由( 2 1 3 ) 式可得 乃= 一一1 ( a i o + u ) + 一一2 + - fq 嵋一1 + = 一一1 h + 一一2 + + q 一14 - 令厩= 睨+ l 冠= 墨+ 1 舌= “。，则 ， 。 ，一，一，一 易一1 = 乃= 矿一1 h + 一一z 叭+ - i - 口一2 + 一1 ( 2 2 9 ) 因此 厶) 。l 也有与 厶) 。2 l 相同的线性自回归结构，即 瓦：q 不一l + 矾n ：1 ，2 ， 其中i o = i o = h = a i o + u 我们对可分情况讨论p 、，n 。：t - 1 ( 仉 o ) 1 w , = 叫，m = 3 ) ： 1 。当0 ! u ( 14 - h ) 时， 协 l p ，( u ( 以 o ) l w , = 加，m = ) k = - i n + l = p r ( u ( 仉 o ) l w l = 仰，h = y ) 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 ( 1 + ) + l 一) ( 1 + 易) + ( 呜一巧) ；2j = 2 1 - i ( 1 + 厶) o ) 1 w l = 叫，m = y ) i = j + l = p r ( n n一片 u ( ( 札( 1 + ) + 一3 ) i i ( i + 云) + ( 面一霹) k = l j = ij = i ( 1 十五) o ) 1 m = w ，m = y ) i = j + l = e ( 圣。( u ( 1 + h ) + c l 一；i o ) ) = q i n ( u ( 1 + h ) 一y ；h ) + p i n ( 仳( 1 + h ) + c 一! ，；h ) 2 。当u ( 1 + h ) y u ( 1 + h ) + c 时， o ) l w l = 1 i j ，m = y ) = p r ( 仉 o l 叭= u ，m o ) l w l = w ，m = y ，巩 0 ) + p r ( u 1 o l m = u ，m = y ) p r ( u ( 仇 o ) l w l = ，m = y ，仉o ) k = l n + l 9 1 + p 1 p r ( u ( u k 仳( 1 + ) + c 时，有p r 、i 、，i 。n ：+ 1 i 、f t 七 0 使得下列方程成立 e ( e x p - r ( c l x l e l ) 】) = 1 ，( 2 3 1 0 ) 那么破产概率 圣( 乜) e x p - r u ，u 芝0 其中月就称为调节系数，e x p - r u 称为此风险模型下的指数型上界在本文的 风险模型俾j 砂下，破产概率的满天v x t 不等式 圣( u ；i o ) e x p - r u ，u 0 证明；令 g ( r ) = e ( e x p - r ( c l m ) ) ， 则夕，( o ) 0 时有一个与 9 ( r ) = 1 的交点，即定理中的方程必有一个根大于0 ，记为r 西( u ) e x p - r u 的证明从略，可参考文献【5 1 】 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 5 下证西( u ；i o ) e x p - r u ，u 0 令 q n = e x p ( - r ( u - t - 晶) ) ， 其中岛= 0 ，q o = e x p - r u 设凡= 盯( 亭1 ，已，矗，x 1 ，1 ，n ) ，则 e ( q n + 1 1 兀) = e ( e x p ( - r ( u - - f 晶+ 1 ) ) i 兀) n + 1 = e ( e x p - r ( u - t - & + ( 咯+ l k + 1 ) ( 1 - t - 厶) - 1 ) 】i 兀) k = l n + l = q n e ( e x p - r ( c 毒n + l k + 1 ) ( 1 + 厶) _ 1 i 兀) 七= l q n e ( e x p 一r ( 略+ l k - t - i ) ) i 兀) 兀譬：( 1 4 - r h ) - 1( 2 3 1 1 ) q n 因此 q n ) n l 是一上鞅，其中( 2 3 1 1 ) 式用到了j e n s s e n 不等式 t = i n f n 0 ：q n 0 ) 是停时，n at 是有限停时，由可选停时定理可得 e ( q n a t ) e q o = e x p - r u 又 e x p 【一r u ) e ( q n a t ) e ( q t i ( t s n ) ) = e ( e x p ( 一r q t i ( t n ) ) e ( 如s n ) ) = 西n ( u ；i o ) 其中，( ) 是示性函数，当n 0 0 时，我们就得到了 圣( 缸；i o ) e x p ( - r u ，让20 无利率情况下的破产概率砂( 札) e x p ( - r u ，但是增加非负利率在某种意义 下相当于使得收入增多，从而使得破产的风险性降低了，因此有利率的情况下破 产概率应该小于无利率的破产概率，即 圣( 札；i o ) 妒( u ) e x p ( - r u ，t 0 既然这样垂( “；i o ) 应该有一个比e x p ( - r u 更小的上界 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 6 定理2 3 2 破产概率满足下面不等式 圣( 让；i o ) e ( e x p - r u ( 1 + a i o + m ) ) ) 很显然 e ( e x p - r u ( 1 + 口i o + m ) ) ) e x p - r u ， 当且仅当i o = 0 以及p r ( m = 0 ) = 1 时等号成立 证明：令 c 盯1 锼5 鼋筹= i 幽n f 崧搿器 则由 e x p ( r y d f ( y ) e x p r t d f ( y ) j tj t 所以( 历) 1 1 ，即角1 对任意的z 0 ， f ( z ) = ( 乏裹揣) 一le x p 一触) z e x p 【r 掣】d f ( ) 历e x p - r x e x p r y d f ( y ) se x p - r x ) e ( e x p r y l ) ) 对任意的u 0 ，i o 0 ， 圣1 ( u ；i o ) = p r ( 巩 1 所以 垂n + 1 ( u ；i o ) ，f u ( 1 + h ) = e ( 圣。( u ( 1 + h ) + 1 一；h ) ) d f ( y ) d g ( w ) j 0j 0 ，i f u ( 1 + h ) + c + i p x n ( u ( 1 + h ) + c 一耖；h ) + q ：d f ( y ) d g ( w ) - ，o ，u ( 1 + h ) ，o 。 + i l d f ( y ) d o ( w ) ，0 ，u ( 1 + l i ) 押 ，f u ( 1 + h ) = l e ( 西n ( 让( 1 + h ) + c 1 一；h ) ) d f ( y ) d g ( w ) j 0j 0 ，f u ( 1 + h ) + c + i e ( 圣。( u ( 1 - i - h ) - i - 1 一y ；h ) j o j u ( 1 - i - h ) + q l ( 1 一e x p - r ( u ( 1 + h ) 一y ) ) d f ( y ) d g ( w ) + i e ( 圣n ( “( 1 + h ) + c f l 一y ；h ) ) d f ( y ) d g ( w ) j o j u ( 1 + h ) + c ，- le ( 圣n ( 牡( 1 + h ) + l 一可；h ) d f ( y ) d g ( w ) j 0 j 0 ，i 。o e ( e x p - r ( u ( 1 + h ) + c l y ) ) d f ( y ) d g ( w ) ，o- ，0 = e ( e x p r y l ) e ( e x p 一r ( u ( 1 - i - a i o + 1 ) + c 1 ) ) ) 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 8 由归纳法可得 圣n ( u ；i o ) e ( e x p r y l ) e ( e x p - r ( u ( 1 + a i o + m ) + c 1 ) ) = e ( e x p - r u ( 1 + a i o + m ) ) ) 所以圣( u ；i o ) = l i i i k 一中n ( u ；i o ) 5e ( e x p - r u ( 1 + a i o + 胍) 】) 注 1 。定理( 2 3 2 ) 将指数型不等式推广到了带有随机利率的风险模型中， 贴近现实中较为复杂的带随机利率的风险模型，为保险公司提供了判断公司运营 状况的一个很好的依据 2 。根据圣( 让；i o ) e ( e x p - r ( u ( 1 + q i o + 肌) + l m ) ) ) = e ( e x p 一r 仉) ) ， 当第一阶段的盈余越大，破产概率的取值就会局限在更小的范围内，这与保险公 司的实际运营情况是相符合的 第三章利率为m a r k o v 链的风险模型 在第二章中讨论了具有线性自回归结构的随机利率模型，即将来利率的波动 依赖于现在及过去利率的情况，对各个时刻的利率有很强的依赖性在有些情况 下利率下一时刻的波动仅仅依赖于现在利率的状态，与历史利率毫无关系，我们 称这样的利率具有m a r k o v 性，它体现了已知现在条件下，将来利率的波动与过去 利率情况是独立的 本章在一般的离散型风险模型中加入了具有m a r k o v 性的随机利率因素，探 讨了破产前瞬时盈余和破产后瞬时盈余的联合分布，得到了该联合分布的积分方 程，并利用该方程推导出它们的边缘分布以及破产概率的表达式，最后对破产持 续时间进行了讨论 3 1 模型的概述 本章考虑的是离散时间风险模型 = 一1 ( 1 + 厶) 一磊，( 3 1 1 ) 其中v o = u 0 是初始盈余，( 磊) n 之1 是独立同分布于z 的随机变量序列，表示 第n 时间段的累计净损失，其分布函数g ( z ) = p r z z 】，为保证保险公司的正 常运作，通常要求e ( 磊) 0 ，v r 0 ，t o o i u o = u ，o = 以) ； 破产前瞬时盈余分布函数，f ( u ，i s ；p ) = 所 v r 一1 p ，t i u o = u ，i o = i 。) ； 破产后瞬时盈余分布函数ta ( u ，t 。；q ) = p r v r - q ，t p ，t = 礼i = ，i o = i s nn l 尸r ( u 一& ) n ( 1 + i k ) 一q ，( u 一& 一- ) i i ( i + 厶) p ， n = 1 品一2 u ， o o n = 1 = lk = l ，s x t l i u o = t ，而= i s ) p r 晶仳+ g 兀：1 ( 1 + 厶) 晶一2 t ，毋 n = l n ( u ，i s ；p ，q ) 。( u ，以；p ，q ) =