直角三棱锥的几个性质.doc

Arouter直角三棱锥的几个性质有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。我们已经学习过的直角三角形的性质有：性质1：Rt的垂心就是直角顶点。性质2：Rt的两个锐角互余。性质3：Rt两直角边的平方和等于斜边的平方。性质4：Rt中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，Rt两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。性质5：Rt两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。性质6：Rt斜边上的中线等于斜边的一半。(所以Rt的外接圆半径Rc)。性质7：Rt的内切圆半径r(abc)。现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。如图所示，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，设PAa，PBb，PCc。性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。证明：PA、PB、PC两两垂直， PA面PBC，PB面PCA，PC面PAB， 面PAB、面PBC、面PCA两两垂直。作PH面ABC于H，连CH并延长并交AB于D，连PD，则PHAB，PHCD，面PCD面ABC；而PC面PABPCAB，所以AB面PCD，ABPD，ABCH。同理，AHBC，BHCA。 由AB面PCD知CDAB，而PDAB且APB90，ABC、CAB为锐角。同理，BCA也是锐角， 性质2：直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。证明：由ABCH，AHBC，BHCA易知，H是ABC的垂心，由此可得：性质3直角三棱锥顶点到底面的距离为h则。证明：在RtPAB中，PDABPAPBPD；在RtPCD中，CDPDPC()c；在RtPCD中，PHCD，PDPCCDPHPH，。性质4：直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1。（三条侧棱与底面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。）证明：因PH面ABC， 侧棱PC与底面ABC所成角为PCH，则有sinPCHsin。 同理,侧棱PB与底面ABC所成角为PBH,sinPBHsin，侧棱PA与底面ABC所成角为PAH，sinPBHsin，所以sinsinsin1。因此，性质5：直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1。由ABPD,ABCD，侧面PAB与底面ABC所成角为PDC,由PCPD知90,sinsin(90)cos。类似推理，由sinsinsin1。易得：sinsinsin1。 性质6：底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和。如图，Q为底面ABC内任一点，作点Q到面PAB的距离为RQd，到面PBC的距离为RTd，到面PCA的距离为RSd，容易得到：PQRQRPRQRTRSddd性质7：直角三棱锥底面三角形的面积S。证明：底面三角形的面积SABCD， 性质8：直角三棱锥三个侧面面积的平方和，等于底面面积的平方。证明把SSS；SSS；SSS；这三个式子相加，得SSSS。性质9：直角三棱锥外接球的半径R。证明：将直角三棱锥补成长方体，则直角三棱锥的外接球也是长方体的外接球，其球心是长方体的中心，半径为长方体对角线的一半。因此有性质10：直角三棱锥内切球的半径r。证明：