基于幂法的自适应特征值计算方法研究毕业论文.doc

基于幂法的自适应特征值计算方法研究摘要本论文主要讨论运用幂法和逆幂法求解矩阵的特征向量和特征值问题，在一些工程中,需要我们求矩阵的按模最大的特征值(称为的主特征值)和对应的特征向量.幂法是通过求矩阵特征向量来求出特征值的一种迭代法。它最大优点是方法简单,适合于计算大型稀疏矩阵的主特征值。但是其收敛速度慢，可用加速方法来加速收敛，包括平移加速和瑞利商加速。其基本思想是:若我们求某个阶方阵的特征值和特征向量,先任取一个初始向量构造如下序列: 当k增大时,序列的收敛情况与绝对值最大的特征值有密切关系,分析这一序列的极限,即可求出按模最大的特征值和特征向量。关键字：矩阵, 幂法, 特征向量, 特征值, 迭代, QR-算法Research on Adaptive Computation of Eigenvalues Based on Power Method Abstract In this thesis，using the method of inverse power and power method is used to solve the matrix characteristic vector and the eigenvalue problem. In some engineering，we need to solve the maximum matrix eigenvalues and the corresponding eigenvector，and using rayleigh quotient to speed up power method for symmetric matrix eigenvalues and main characteristics of the vector. Power method is through for matrix to seek the characteristic vector characteristic value of a kind of iterative method. Its biggest advantage is simple. It is very suitable for large sparse matrix calculation of the dominant eigenvalue. The Basic idea is that, if we ask the n order of A phalanx of eigenvalues and eigenvectors. At first, take initial vector X (0).Tectonic sequences are as follows： When k increases，the convergence of the series with the largest absolute value characteristic value has close relationship.Key Words：matrix， Power method， eigenvector ，eigenvalue， iteration， Rayleigh， QR-algorithm目 录摘要IAbstractII1 幂法的简介11.1 矩阵的特征值特征向量11.1.1 矩阵11.1.2 特征值与特征向量21.2 幂法的基本思想41.3 幂法的计算公式41.4 幂法程序算法61.5 反幂法72 矩阵的分解102.1 矩阵的三角（）分解102.2 常用的三角分解公式152.2.1 杜利特分解152.2.2 克劳特分解162.2.3 乔累斯基(Cholesky)分解162.3 矩阵的QR分解182.3.1 矩阵的QR分解基本概念和定理182.3.2 QR方法的实际计算步骤20结论21参考文献22致谢231 幂法的简介1.1 矩阵的特征值特征向量1.1.1 矩阵矩阵是研究数学中一类重要的工具之一, 有着非常广泛的应用, 矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键作用。而特征值对于矩阵而言也是十分的重要，对此我们给出特征值的相关定义：设为的特征值且，其中，则 （1）为的特征值（为常数且）；（2）为的特征值，即；（3）为的特征值；（4）设A为非奇异矩阵，那么且为的特征值，即。实际上，对于特征值的基本问题可以陈述为：给定一个维的矩阵A，确定标量的值，使得线性代数方程 具有非零解。这样的标量称之为矩阵A的特征值，向量称为与对应的特征向量。式有时也被称作特征值特征向量方程式。由于特征值和特征向量经常成对出现，因此常将称之为矩阵A的特征对。虽然特征值可以取零值，但是特征向量不可以是零向量。一个线性变换若能够表示为，则称A是线性变换的标准矩阵。显然，如果A是线性变换的标准矩阵，则线性变换的特征值问题的表达式可以写成。由此可以得出以下结论：（1） 标量是线性变换T的特征值，当且仅当时该线性变换的标准矩阵A的特征值。（2） 向量是线性变换T与特征值对应的特征向量，当且仅当是该线性变换的标准矩阵A与特征值的特征向量。因此，特征值问题的求解有以下两步组成：（1）求出所有使矩阵奇异的标量（特征值）。（2）给出一个使矩阵奇异的特征值，求出所有满足的非零向量，它既是与对应的特征向量。1.1.2 特征值与特征向量我们熟知单个的矩阵的标准特征值分解及其应用。但是对于两个矩阵的特征值分解，我们习惯称之为广义特征值的分解。事实上，单个矩阵的标准特征值分解师广义特征值分解师广义特征值分解的一种特例。 1. 广义特征值分解及其性质：令A和B是两个正方矩阵，他们组成一矩阵束或矩阵对，记作（A,B）。现在考虑广义特征值问题：求所有的标量使得方程 （1.1）具有非零解。这样的标量和非零向量分别称之为矩阵束（A,B）的广义特征值和广义特征向量。一个广义特征值和与之对应的广义特征向量合称广义特征对，记作。式（1）即为广义特征方程。仔细对比我们发现，特征值问题就是当矩阵束取做（A,I）时广义特征值问题的一个特例。虽然广义特征值与广义特征向量总是同时出现的，但是与特征值可以单独求出一样，广义特征值也是可以单独求出来的。我们将广义特征值的公式稍加改写，便可以单独的求出广义特征值，其公式改写为： （1.2）倘若式（2）括号内的矩阵是非奇异的，则广义特征方程只有唯一的零解。但是这种解明显没有任何意义。而如果存在逆矩阵，那么我们就可以得到有用的非零解，因此，它们的行列式必等于零，即 (1.3)鉴于此，矩阵束（A,B）又常表示为。对于维的矩阵束（A,B），式（3）是一个n阶多项式，称为广义特征多项式。因此，矩阵束（A,B）的广义特征值是满足广义特征值多项式 （1.4）的所有解x(包括零值在内)。显然，若矩阵B为单位矩阵，则广义特征多项式退化为即特征多项式。因此，我们可以说广义特征多项式是特征多项式的推广，而特征多项式是广义特征值记作的一个特例。若将矩阵束的广义特征值记作，则广义特征值定义为 (1.5)2.广义特征值分解算法一个简单的事实是：若A和B均为Hermitian矩阵，并且B正定（即非奇异）时，广义特征值分解公式（1）可等价改写为 v （1.6）即广义特征值分解变为Hermitian矩阵的标准特征值分解。下对于计算实对称矩阵束的广义特征对我们可以使用压缩映射来计算，即广义特征值分解Lanczos算法：步骤1 初始化选择范数满足的向量，并令。步骤2 对i=1,2,n,计算 广义特征值问题也可以写作： （1.7）此时广义特征值定义为。1.2 幂法的基本思想 幂法是计算矩阵主特征值（矩阵按模最大的特征值）以及对应特征向量的一种迭代方法，非常适合用于大型稀疏矩阵计算。它的基本思想是，先取任一个非零初始向量，然后作迭代序列再根据k增大时， 各分量的变化规律，求出方阵A 的按模最大的特征值及相应的特征向量 。示例：设矩阵利用特征方程很方便就能求出的两个特征值是。下面我们用幂法来计算，任取初始向量，计算向量序列 具体计算列表如下：考虑两个相邻向量相应分量之比： 由上面计算看出，两个相邻向量相应分量之比值， 随着的增大而趋向于一个固定值，并且此值恰好就是方阵 的按模最大的特征值。1.3 幂法的计算公式设矩阵A的个特征值按模的大小排列为：12n它相对应的特征向量为e1, e2, en且它们是线性无关的。先任取一个非零初始向量，作迭代序列先将表示为：,，.所以 为了得到 和 的计算公式，下面我们分为三种情况进行讨论 ：1，为实根，且，当不为0，充分大时，则有所以 （1.8） 2， 为 实根，当不为0，充分大时，则有于是得到，从而有 (1.9) 3，且。当充分大时，则有 (1.10)应用幂法时，可根据迭代向量个分量的变化情况判断属于那种情况;若迭代向量各分量单调变化，且有关系式,则属于第1种情况;若迭代向量各分量不是单调变化，但关系式,则属于第2种情况;若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式,则属于第3种情况；为了不让它溢出，我们可以利用迭代公式： （1.11）示例：用幂法计算的主特征值和它对应的特征向量，如下计算过程是：结果如下：表1-1的结果是用8位浮点数字进行运算得到的，的分量值是舍入值.于是得到：，及其对应的特征向量和相应的特征向量的真值（8位数字）为，1.4 幂法程序算法unctionm,u,index=pow(A,ep,N)%A为矩阵；ep为精度要求；N为最大迭代次数；m为绝对值最大的特征值；u为对应最大特征值的特征向量。N=100;ep=1e-6；n=length(A)；u=ones(n,1)；index=0；k=0;m1=0；while k=N v=A*u；vmax,i=max(abs(v)； m=v(i)；u=v/m； if abs(m-m1)ep index=1;break；end m1=m;k=k+1；end1.5 反幂法反幂法是用以计算矩阵按模最小的特征值和特征向量，也可以用来计算特征向量（对应于一个给定近似特征值的）。设，是一个非奇异矩阵，的特征值顺序为：相应的特征向量为：则的特征值为：对应的特征向量为：，因此算出的按摸最小的特征值的问题也就是计算的按摸最大的特征值问题，对于应用幂法迭代（称为反幂法），可求出的主特征值，从而求的的按摸最小特征值，反幂法迭代公式如下所示：任取一个初始向量，建立出一个向量序列，迭代向量我们就可以通过求解方程组求得。定理1.1. 设为非奇异矩阵并且有个线性无关的特征向量，其对应的特征值满足，则对任何初始非零向量，由反幂法构造的向量序列满足：收敛速度的比值为。反幂法中也可以用原点平移法来加速迭代过程或求其他特征值及特征向量，如果矩阵存在，其特征值为对应的特征向量仍然是，对矩阵应用幂法，得到反幂法的迭代公式。 （1.12）如果是的特征值的一个近似值，且设与其他特征值是分离的，即 就是说是的主特征值，这时我们就可以用反幂法来计算矩阵的特征值和特征向量。设，有个线性无关的特征向量，则： 其中同理可得下面定理。定理1.2. 设有个线性无关的特征向量，的特征值及对应的特征向量分别记为 及，而为的近似值，存在，且 则对任意的非零初始向量，由反幂法迭代公式（1.4.1）构造的向量序列满足 即 当 且收敛速度由比值确定；由该定理知道：对（其中）应用反幂法，可用来计算特征向量，只要选择的是的一个较好的近似且特征值分离情况较好，一般很小，常常只要迭代一二次就可完成特征向量的计算。反幂法迭代公式中的是通过解方程组求得的，为了节省工作量，可以先将进行三角分解，其中是某个排列阵，于是求相当于两个三角形方程组，和。选择时可按下述方法选择：选使用回代求解这个公式，可得到，然后在按公式（1.4.1）进行迭代。反幂法的计算公式1分解计算，且保存以及的信息2反幂法迭代 1）解求， 2）（1）解求，解求，（2），（3）计算示例：用反幂法求的对应于计算特征值（精确特征值为）的特征向量（用5位浮点数进行运算）。解：用分解将分解为其中 由得到： 由得到： 对应的特征向量是由此看出是的相当好的近似，特征值，的真值为2 矩阵的分解2.1 矩阵的三角（）分解矩阵的三角分解基本概念和定理定义1.1. 设,如果存在下三角矩阵和上三角矩阵, 使得, 则称可作三角分解或分解.定义1.2. 设为对称正定矩阵, 为行列式不为零的任意对角矩阵,则, 为一个单位上三角矩阵, 且有成立：1) 如果是单位下三角矩阵, 是对角矩阵, 是单位上三角矩阵, 则称分解为分解.2) 如果是下三角矩阵, 而是单位上三角矩阵, 则称三角分解为克劳特分解;3) 如果是单位下三角矩阵, 为上三角矩阵, 则称三角分解为杜利特分解;4) 如果, 称为不带平方根的乔累斯基分解;5) 如果, , 则, 由于, 则, 称为带平方根的乔累斯基分解.定理1.1. 阶非奇异矩阵可作三角分解的充要条件是,这里为的阶顺序主子阵, 以下同. 证明 必要性. 设非奇异矩阵有三角分解, 将其写成分块形式 这里, 和分别为, 和的阶顺序主子阵. 首先由知, , 从而,; 因此. 充分性. 对阶数作数学归纳法. 当n=1时, =（）=（1）（）,结论成立. 设对结论成立, 即, 其中和分别是下三角矩阵和上三角矩阵. 若,则由=易知和可逆. 现证当时结论也成立, 事实上. 由归纳法原理知A可作三角分解. 定理 1.2. 给出了非奇异矩阵可作三角分解的充要条件, 由于不满足定理1.1的条件, 所以它不能作三角分解. 当. 上例表明对于奇异矩阵,它还能作三角分解未必要满足定理1.1的条件. 首先指出,一个方阵的三角分解不是唯一的, 从上面定义来看,杜利特分解与克劳特分解就是两种不同的三角分解,其实,方阵的三角分解有无穷多, 这是因为如果是行列式不为零的任意对角矩阵, 有,其中也分别是下、上三角矩阵, 从而也使A的一个三角分解. 因的任意性, 所以三角分解不唯一. 这就是的分解式不唯一性问题, 需规范化三角分解.定理 1.3. （基本定理）设为阶方阵,则可以唯一地分解为 (2.1)的充分必要条件是的前个顺序主子式. 其中,分别是单位下、上三角矩阵, 是对角矩阵, .证明: 充分性. 若, 则由定理1.1, 即实现一个杜利特分解, 其中为单位下三角矩阵, 为上三角矩阵,记=,因为. 下面分两种情况讨论：1) 若非奇异,由式(1)有=, 所以, 这时令, 则. 于是有 (2.2)是的一个分解. 2)若奇异,则,此时令, , =,则=,因此不论哪种情况, 只要, 总存在一个分解式(2.1), ,. 再证这个分解是唯一的, 仍分两种情况讨论：1) 当非奇异时,有, , , , 所以、均非奇异. 若还存在另一个分解, 这里, , 也非奇异, 于是有 (2.3)上式两端左乘以以及右乘以和, 得 , (2.4)但式(1.4)左端是单位下三角矩阵, 右端是单位上三角矩阵, 所以都应该是单位阵, 因此, ,即,. 由后一个等式类似地可得, ,即有, . 2) 若奇异, 则式(1.3)可写成分块形式,其中, 是阶单位下三角阵; , 是阶上三角阵; , 是阶对角阵; , , , 是维列向量. 由此得出,其中, , 和, , 均非奇异, 类似于前面的推理, 可得, , , , .必要性. 假定有一个唯一的分解, 写成分块的形式便是 , (2.5)其中, , , 分别是, , , 的阶顺序主子矩阵; , , , 为维列向量. 由式(1.5)有下面的矩阵方程: , (2.6), (2.7) , (2.8). (2.9)否则, 若, 则由式(1.6)有. 于是有, 即奇异. 那么对于非其次线性方程组(1.8)有无穷多非零解, 不妨设有, 使, 而=. 同理, 因奇异, 也奇异, 故有, 使, 或. 取, 则有,这与的分解的唯一性矛盾, 因此. 考察阶顺序主子矩阵由式(1.6)写成分块形式, 同样有. 由于, 所以, 可得,从而. 依此类推可得. 综上所述, 定理证明完毕.推论 1. 设是阶方阵, 则可惟一进行杜利特分解的充分必要条件是的前个顺序主子式,其中为单位上三角矩阵, 即有并且若为非奇异矩阵, 则充要条件可换为: 的各阶顺序主子式全不为零, 即:,. 推论 2. 阶方阵可惟一地进行克劳特分解的充要条件为, . 若为奇异矩阵, 则, 若为非奇异矩阵, 则充要条件也可换为, .定理 1.4. 设为对称正定矩阵, 则可惟一地分解为,其中为下三角矩阵, 为对角矩阵, 且对角元素是对角线元素的倒数. 即, . 其中, , . 2.2 常用的三角分解公式2.2.1 杜利特分解设为阶方阵, 如何确定和这两个三角矩阵呢, 设, 其中, 按矩阵的乘法, 有,由于, 所以有, . 故得,. 同理, ，即得到三角矩阵和。2.2.2 克劳特分解设为阶方阵（不一定对称）, 有分解式,即当时（下三角位置）, 有, 得, , ;当时（上三角位置）, 有, , ;得, , . 这样即可得到三角矩阵和.2.2.3 乔累斯基(Cholesky)分解设为对称正定矩阵, 存在一个实的非奇异下三角矩阵, 且的对角元素为正时, 有惟一的分解式. 即,当时, 有, 也即, . 特别地, 当时, 有,=1,2,.示例：求矩阵的的分解和分解解：对作矩阵，所以计算得到；对作矩阵，计算得到；对作矩阵，计算得到；令，可得到的分解为，的分解为，2.3 矩阵的QR分解：对任意一个非奇异矩阵（可逆矩阵）A，可以把它分解为一个正交阵Q和一个上三角阵R的乘积，称为对矩阵A的QR分解，即A=QR。如果规定R的对角元取正实数，这种分解是唯一的，若A是奇异的，则A有零特征值，任取一个不等于A的特征值的实数u，则A-u|是非奇异的，只要求出A-u|的特征值和特征向量就容易求出A的特征值和特征向量，所以假设A是非奇异的，不是一般性。设,对进行QR分解，得,交换乘积的次序得，由于正交矩阵，到的变化为正交相似变换，于是和有相同的特征值，一般的令，对于 这样，可以得到一个迭代序列，这就是QR方法的基本过程。2.3.1 矩阵的QR分解基本概念和定理定义1.1. 设是单位列向量,即, 称矩阵为矩阵. 由矩阵确定的上的现线性变换称为变换. 若不是单位向量, 则定义为矩阵, 对应的变换成为变换. 矩阵具有如下性质:1)（对称矩阵）;2)（正交矩阵）;3)（对合矩阵）;4)（自逆矩阵）;5)是阶矩阵;6).定义1.2. 如果实（复）非奇异矩阵能够转化成正交（酉）矩阵与实（复）非奇异上三角矩阵R的乘积, 即,则称上式为的分解. 定理 1.1. 任何实的非奇异阶矩阵可分解为正交矩阵和上三角矩阵的乘积,且除去相差一个对角线元素之绝对值全等于一定对角矩阵因子外, 分解式是惟一的. 定理1.2. 设为复矩阵, 且个列向量线性无关, 则有分解式,其中是复矩阵, 且满足, 是阶复非奇异上三角矩阵, 且除去相差一个对角线元素的矩阵行列式全为1的对角矩阵因子外, 分解式是惟一的. 推论 1. 设为实（复）矩阵, 且其个列向量线性无关, 则存在阶正交（酉）矩阵和阶非奇异实（复）上三角矩阵, 使得定理 1.3 如果在非奇异矩阵的分解中规定上三角阵的各个对角元素的符号, 则的分解式惟一的. 定理1.4. 设为任意的矩阵, 且, 则存在阶正交矩阵与阶正交矩阵, 使得或， 这里为矩阵, 他可以表示为一个准对角矩阵形式:其中是阶的下三角非奇异方阵,或又称为的正交三角分解. 定理1.5. 设, 则存在酉矩阵, 使得, 其中是阶梯型矩阵. 2.3.2 QR方法的实际计算步骤第一步Householder变换，如果v给出单位向量而l是单位矩阵，则描述上述变换的是豪斯霍尔德矩阵（表示向量v的共轭转置）.第二步结论 本文主要研究了幂法以及逆幂法求解矩阵的按摸最大最小特征值以及相对应的特征向量，在一些工程运用中也会应到，需要我们求矩阵的按模最大的特征值(称为的主特征值)和对应的特征向量，比如最小特征值常常被用做分析一些自然过程的临界状态,如器件承受的最大临界压力,临界共振频率等等。参考文献1 沈忱，矩阵的三角分解及其应用研究，2010年22期，湖南农机学术版2 梅立泉，中子输运问题源项反演的反幂法，2007年4期，西安交通大学学报3 王焕庭，矩阵的三角分解及其应用，2010年3期 4 刘叶玲， 实对称矩阵特征值和特征向量的数值算法 2007年2期，西安科技大学学报5 向以华，矩阵的特征值与特征向量的研究，2009年3期，重庆三峡学校学报6 侯风波，求实方阵全部模最大的特征值及相应特征向量的规范化幂法，1991年1期，承德石油高等专科学校学报7 李建东，矩阵QR分解的三种方法，2009年1期，吕梁高等专科学校学报8 邵丽丽，矩阵的特征值和特征向量的应用研究，菏泽学院学报 2001年 1期9 张文华，幂法求解实非对称矩阵特征值问题的注记，2002年4月出版 10 陈国军，由Pad逼近求对称三对角矩阵特征值的迭代解法，1997年2期致谢通过较长时间对幂法的学习研究，以及对该论文的编写，我已经对发生幂法求矩阵的特征值和特征向量的相关知识有了深刻的了解和认知，并对其在数学运用上更有较深的理解。论文期间，我得到了指导老师悉心的指导和热情的帮助，老师教我的不仅仅是论文相关的理论知识，更重要的是在工作和学习中的勤勤恳恳和乐此不疲的态度和精神。 在此，我衷心的感谢指导和关心我的刘力军老师，感谢他长期对我的谆谆教诲，感谢他对我论文编写的耐心指导。没有刘老师的帮助，论文进展就不会这么顺利，很多复杂的问题也会使我进退维谷。这里，还要感谢答辩评委的所有老师和评阅老师，有了老师们的帮助，我的论文才能顺利完成。袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀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