复合函数微分法与隐函数微分法ppt课件.ppt

1 复合函数微分法与隐函数微分法 复习 一元复合函数 求导法则 微分法则 一 复合函数微分法 要求 熟练掌握多元复合显函数求导的链式法则 注意 本节的知识点容易让人产生混乱 2 1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理 若函数u u t v v t 都在点t可导 函数z f u v 在点 u v 处偏导数连续 则复合函数z f u t v t 在点t可导 且有链式法则 z u v t t 1 z只有一个自变量 2 z有两个中间变量 3 两个中间变量u v都只一个自变量 证明略 显函数 3 推广 设z f u v w u u t v v t w w t 则z f u t v t w t 对t的导数为 z u v t t w t 全导数公式 4 定理 若函数u u x y v v x y 都在点 x y 处具有对x及y的偏导数 函数z f u v 在点 u v 处偏导数连续 则复合函数z f u x y v x y 在点 x y 处对x及y的偏导数都存在 且有 2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形 z u v x x y y 1 因变量z有两个自变量x y 2 在对应法则f下z有两个中间变量u v 3 两个中间变量u v都分别有两个自变量x y 5 公式记忆法 总原则 联线相乘 分线相加 z u v t t z u v x x y y 1 几条路线 就是几项的和 2 对于每一项 路线上有几步 就是几步的乘积 3 对于每一步 从前向后有分支 说明是多元函数 前面变量就对后面变量求偏导 没分支 说明是一元函数 前面变量就对后面变量求导数 6 3 复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形 函数 都具有可微条件时 由公式记忆法有 z f x v x y 注意 区别 和 1 因变量z有两个自变量x y 求时y为常数 2 函数z在对应法则f下有两个变量x v 求时v为常数 小结 三种多元复合显函数求偏导的方法 7 例1 设z eusinv 而u xy v x y 求和 z u v x x y y 8 例2 设z uv sint u et v cost 求全导数 z u v t t t 小结 使用复合函数求导的链式法则 要 弄清结构 选对公式 9 例3 设z f x2y y2 求 令u x2y v y2 z u v x y y 10 例4 设为可微函数 证明 z u x y 练习 P2201 2 3 4 5 6 11 二 隐函数的微分法 目的 掌握由方程所确定的隐函数的导数的求法 研究内容 1 方程在一定条件下能确定什么样的函数 2 在方程能确定隐函数时 研究求导方法 12 1 定理1 设函数F x y 在点P0 x0 y0 的某一邻域内满足 1 具有连续的偏导数 2 F x0 y0 0 3 Fy x0 y0 0 则方程F x y 0在点x0的某邻域内可唯一确定一个单值连续函数y f x 满足条件y0 f x0 并有连续导数 隐函数求导公式 Fx x0 y0 0 x f y 一元函数的求导 二元函数的偏导数 故使用公式时要注意确定一元函数的自变量和因变量 并构造二元函数 问题 加线的函数所表示的对应法则一样吗 13 推导 设y f x 为方程F x y 0所确定的隐函数 则 两边对x求偏导数 在 x0 y0 的某邻域内 14 定理1 设函数F x y 在点P0 x0 y0 的某一邻域内满足 1 具有连续的偏导数 2 F x0 y0 0 3 Fy x0 y0 0 则方程F x y 0在点x0的某邻域内可唯一确定一个单值连续函数y f x 满足条件y0 f x0 并有连续导数 Fx x0 y0 0 例1 验证方程siny ex xy 1 0在点 0 0 的某邻域可确定一个单值可导隐函数y f x 并求 15 例1 验证方程siny ex xy 1 0在点 0 0 的某邻域可确定一个单值可导隐函数y f x 并求 构造以x y为变量的二元函数 F x y siny ex xy 1 1 连续 2 3 所以 在x 0的某邻域内方程存在单值可导的隐函数y f x 且 问题 求方程的有多少种方法 求有什么方法 16 符号已说明y是x的函数运用复合函数求导数 法2 利用隐函数求导 17 2 定理2 若函数F x y z 满足 1 在点P0 x0 y0 z0 的某邻域内有连续偏导数 2 F x0 y0 z0 0 3 Fz x0 y0 z0 0 则方程F x y z 0在点 x0 y0 的某邻域内可唯一确定一个单值连续函数z f x y 满足条件z0 f x0 y0 并有连续导数 18 例1 设x2 y2 z2 4z 0 求 先求出 构造三元函数F x y z x2 y2 z2 4z 两边对x求偏导数 法1 运用定理 2 要先求出 3 求有多少种方法 分析 1 三元方程求高阶导数 19 例1 设x2 y2 z2 4z 0 求 法2 利用隐函数求导 再对x求偏导数 分析 函数z的两个自变量为x y y是常数 20 小结 隐函数求导方法 1 运用公式 或 2 利用复合函数求导法则直接计算 21 例2 综合题 设z f x y z xyz 求 分析式子构成 复合抽象显函数 z是x y的函数 x y z xyz为中间变量 利用复合函数求导法则直接计算 z有双重身份 既是因变量又是自变量 22 证明 设 请分析