线性微分方程解的结构ppt课件.ppt

第四节二阶常系数线性微分方程 一 高阶线性微分方程的一般理论 二 二阶常系数齐线性微分方程的解 三 二阶常系数非齐线性微分方程的解 高阶线性微分方程的一般理论 n阶线性方程的一般形式为 二阶线性微分方程的一般形式为 通常称第二式为第一式的相对应的齐方程 复习 一阶线性方程 通解 非齐次方程特解 齐次方程通解Y 这种解法叫常数变易法 1 二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构 1 叠加原理 则它们的线性组合 的解 则它们的线性组合 也是方程 2 的解 问题 例 设y1为 1 的解 则y2 2y1是方程 1 的解 但y C1y1 C2y2不为方程 1 的通解 又如 对于二阶常系数线性齐次微分方程 容易验证 但这个解中只含有一个任意常数C 显然它不是所给方程的通解 由定理知 都是它的解 也是它的解 在什么情况下 叠加所得可以成为方程 1 的通解 为解决通解的判别问题 下面引入函数的线性相关与线性无关概念 2 线性无关 线性相关 定义 是定义在区间I上的 n个函数 使得 则称这n个函数在I上线性相关 否则称为线性无关 若存在不全为0的常数 在区间I上线性相关 存在不全为0的 线性无关 常数 思考 中有一个恒为0 则 必线性 相关 两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件 例1 在 上都有 故它们在任何区间I上都线性相关 3 如 若在某区间I上 则根据二次多项式至多只有两个零点 必需全为0 可见 在任何区间I上都线性无关 由三角函数知识可知 这是不可能的 故 一 二阶齐线性微分方程解的结构 的两个线性无关的特解 则 是方程 1 的通解 例如 推论 是n阶线性齐次微分方程 的n个线性无关的特解 则方程的通解为 下面要用到的几个重要的结论 要记住 通过观察可得方程的一个特解 又容易看出 由叠加原理 原方程的通解为 代入方程 1 中 得 该问题的解决归功于数学家刘维尔 即 故有 两边积分 得 由刘维尔公式 故原方程的通解为 二 二阶非齐线性微分方程解的结构 的一个通解 则 证将 代入方程 2 的左端得 是非齐次方程的解 又y中含有两个独立任意常数 因而是通解 是对应齐次方程的n个线性 无关特解 推广 给定n阶非齐次线性方程 是非齐次方程的特解 则非齐次方程的通解为 齐次方程通解 非齐次方程特解 例1 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 是其对应的齐方程 的一个特解 则该方程的通解是 例4 设线性无关函数 都是二阶非齐次线性方程 的解 是任意常数 提示 都是对应齐次方程的解 且二者线性无关 反证法可证 由非齐线性微分方程解的结构定理可得 D 是正确的 例5 设是二阶线性非齐次方程的三个线性无关的解 试用表示二阶线性非齐次方程的通解 都是对应齐次方程的解 且二者线性无关 反证法可证 例6 已知微分方程 个解 求此方程满足初始条件 的特解 是对应齐次方程的解 且 常数 因而线性无关 故原方程通解为 代入初始条件 故所求特解为 有三 解 都是微分方程的解 是对应齐次方程的解 常数 对应齐次方程的通解 原方程的通解 例8 已知y x及y sinx为某二阶线性齐次方程的解 求该方程 解 解 1 由题设可得 解此方程组 得 2 原方程为 由解的结构定理得方程的通解为 非齐次方程之解的叠加原理 非齐次方程之解的叠加原理 下面介绍如何求方程 2 的特解 的通解 则 是方程 2 的通解 1 常数变易法 复习 常数变易法 对应齐次方程的通解 设非齐次方程的解为 代入原方程确定 对二阶非齐次方程 情形1 已知对应齐次方程通解 设 的解为 由于有两个待定函数 所以要建立两个方程 令 于是 将以上结果代入方程 得 故 的系数行列式 积分得 代入 即得非齐次方程的通解 于是得 说明 将 的解设为 只有一个必须满足的条件即 因此必需再附加 一个条件 方程 的引入是为了简化计算 方程 情形2 仅知 的齐次方程的一个非零特解 代入 化简得 设其通解为 积分得 一阶线性方程 由此得原方程 的通解 则有 这是以下推导的前提 1 常数变易法 于是 对上式两边关于x求导 得 即 联立 3 4 构成方程组 解此方程组 再积分 并取积分常数为零 即可得到 解 该方程所对应的齐方程为 它就是前面刚刚讲过的例题 由刘维尔公式得其通解为 由常数变易法 解方程组 两边积分 取积分常数为零 得 两边积分 取积分常数为零 得 故原方程有一特解 从而原方程的通解为 解 先将方程变形为 所以 对应的齐次的通解为 设原方程的解为 由常数变易法知 应有 解之得 所以 原方程的通解为 例3 的通解为 的通解 解 将所给方程化为 已知齐次方程 求 利用 建立方程组