通信原理第3章-随机过程.ppt

通信原理 北京邮电大学yanghong 3 1引言3 2随机过程的统计 概率 特性3 3平稳随机过程3 4高斯随机过程 正态 3 5平稳随机过程通过线性系统3 6高斯白噪声3 7窄带平稳随机过程3 8余弦波加窄带平稳高斯随机过程3 9匹配滤波器3 10循环平稳随机过程 第三章随机过程 通信系统中存在各种干扰和噪声 这些干扰和噪声的波形更是随机的 不可预测的 称其为随机干扰和随机噪声 虽然随机信号和随机噪声是不可预测的 随机的 但它们具有一定的统计规律性 3 1引言 随机过程X t 在每个时刻t是一个随机变量 不同的时刻对应不同的随机变量 它们的分布函数可能不同 记为t的函数 F x t P X t x 称作随机过程X t 的一维分布函数 如果对应的概率密度p x t 存在 称为X t 的一维概率密度 1 随机过程的分布函数和概率密度 3 2随机过程的统计 概率 特性 对于t时刻的随机变量X X t 有如下数字特征 1 数学期望 统计平均值 E X 2 二阶矩 E X2 3 方差 扣除均值后的二阶矩就一般随机过程而言 以上数字特征都是t的函数 2 随机过程X t 的数字特征 对于t1和t2时刻的两个随机变量X1 X t1 X2 X t2 1 相关值E X1X2 一般是t1和t2的二元函数 称为自相关函数 记为RX t1 t2 2 自协方差函数 扣除均值后的自相关函数 3 归一化协方差函数 相关系数 扣除均值 再使方差归一化为后的自相关函数 对X t 在n个时间点t1 t2 tn上采样将得到n个随机变量 也即一个随机向量 其联合分布函数为 随机过程的多维分布函数 联合密度 对随机过程X t 在n个时间点t1 t2 tn上采样 对随机过程Y t 在m个时间点t1 t2 tm上采样 将得到n m个随机变量 X t1 X t2 X tn Y t1 Y tm 其联合分布函数定义为 3 两个随机过程的联合分布 独立性 称两个随机事件A和B独立 若其联合概率可分解为各自概率之积 P A B P A P B 称两个随机变量X和Y独立 若其联合分布函数可分解为各自的分布函数之积 FXY x y FX x FY y 称两个随机过程X t 和Y t 独立 若其联合分布函数可分解为各自的联合分布函数之积 FXY x y FX x FY y 互相关函数 对任意时间t1和t2 随机变量X t1 和Y t2 的相关值是二元函数 R t1 t2 E X t1 Y t2 互协方差函数 扣除均值后的互相关函数 两个随机过程的相关性 如果对于任意n和t1 t2 tn以及t有 3 3平稳随机过程 则称X t 为严平稳随机过程 宽平稳随机过程 若对于随机过程X t 一元函数E X t 与t无关 且二元函数E X t1 X t2 可以化成一元函数R t2 t1 则称X t 为宽平稳随机过程 广义平稳 也即 均值是常数 自相关函数只与时间差有关 宽平稳与严平稳的关系 宽平稳不一定是严平稳 宽平稳只涉及二维分布 不包含多维分布的信息 严平稳一定是宽平稳 除非该随机过程的均值或自相关函数不存在 联合宽平稳随机过程 若X t Y t 都是宽平稳随机过程 且互相关函数RXY t1 t2 E X t1 Y t2 可化为一元函数RXY t2 t1 则称X t Y t 为联合宽平稳随机过程 复平稳过程 复随机过程X t 在任意时刻t是一个复随机变量自相关函数定义为RX t1 t2 E X t1 Y t2 若E X t E X t X t t 与t无关 则为宽平稳若还有E X t X t t 与t无关 则其实部Xc t 与虚部Xs t 是实平稳过程 各态历经性 遍历性 令x t 是X t 的某一个样本函数 若X t 的某个数字特征可以通过x t 的对应时间平均得 则称该随机过程的该数字特征具有遍历性 一个样本函数可以代表全体样本函数 概率平均等价于时间平均 均值遍历 X t 的样函数x t 的时间平均值以概率1等于E X t 自相关遍历 样函数x t 的时间自相关函数以概率1等于随机过程X t 的自相关函数 宽遍历过程 均值和自相关都具有遍历性严遍历过程 所有数字特征都遍历遍历过程默认指宽遍历过程 遍历过程一定是平稳过程 说明E X t 与t无关 说明E X t X t t 与t无关 若X t 是平稳随机过程 且则X t 是遍历过程 无直流分量的平稳过程是遍历过程 其中FT f 是X t 截短到T之后的傅氏变换 随机过程X t 的功率谱密度PX f 是所有样本x t 的功率谱密度Px f 的数学期望 随机过程的功率谱密度是平均自相关函数的傅立叶变换 维纳 辛钦定理 遍历过程的功率谱密度是一个样本的功率谱 平稳随机过程的功率谱密度 随机过程功率谱密度的性质 非负性 功率是电压平方的平均值 是0时刻的自相关值 也是功率谱密度的面积 随机过程功率谱密度的性质 实随机过程的平均自相关函数及功率谱密度都是实偶函数 实偶函数的傅氏变换是实偶函数 若从随机过程X t 中任意采n个点 所得n个随机变量总是服从联合高斯分布 则称X t 为高斯随机过程 3 4高斯随机过程 正态 对于高斯过程 宽平稳 严平稳 对于宽平稳高斯过程 两个随机变量之间的协方差只与时间差有关 将式 3 4 1 左边的t1 t2 tn统一偏移t时 协方差矩阵B不变 即 3 4 1 右边不变对于正态随机过程的任何两个时刻的随机变量 不相关也就是统计独立 在式 3 4 1 中代入n 2和b21 b12 0 右边可分解为两个一维概率密度函数的乘积 一维正态概率密度表示式为 图3 4 1正态概率密度曲线 erfc函数和Q函数 若X t 是高斯过程 则联合高斯随机变量的线性组合还是高斯 高斯过程通过线性系统还是高斯过程 若X t 是高斯过程 则g t Y t 也是高斯过程 高斯过程乘以确定函数g t 还是高斯过程 对任意n 若X1 Xn服从联合高斯分布 则g1X1 gnXn也服从联合高斯分布 图3 5 1平稳随机过程通过线性系统 3 5平稳随机过程通过线性系统 1 随机过程Y t 的均值 统计平均 与t无关 冲激响应的面积就是直流增益 2 随机过程Y t 的自相关函数 与t无关 平稳过程通过线性系统还是平稳过程 3 X t 和Y t 的互相关函数与互功率谱密度 X t 和Y t 的互功率谱密度 4 Y t 的功率谱密度 样本x t 和y t 的功率谱密度关系 随机过程X t 和Y t 的功率谱密度关系 平稳过程通过希尔伯特变换器 H f jsign f 希尔伯特变换不改变功率谱和自相关函数 希尔伯特反变换是jsign f 平稳高斯过程的解析信号 等价于X t 通过传递函数为1 j jsgn f 的线性系统 因此Z t 是平稳高斯过程 令nw t 为高斯随机过程 其功率谱密度 3 6高斯白噪声 则称nw t 为高斯白噪声 nw t 与能量信号g t 的内积 卷积都是均值为0 方差为N0Eg 2的高斯随机变量 高斯白噪声性质 白高斯噪声在正交基上的投影相互独立 则 若j1 t 与j2 t 正交则X1与X2统计独立 若 3 限带高斯白噪声 功率谱密度 3 7窄带平稳高斯过程 窄带平稳高斯过程就是白高斯噪声nw t 通过窄带带通滤波器的输出X t X t 的解析信号Z t 是0均值复高斯平稳过程 此外 X t 的复包络XL t 是0均值的复高斯平稳过程 复包络的功率谱是窄带过程功率谱的正频率部分向下搬移 注 当ffc时 因为是窄带信号 所以PX f fc 0 此外 因此 XL t 的实部 同相分量 Xc t 及虚部 正交分量 Xs t 都是0均值高斯平稳过程 因此 X t 的同相分量Xc t 及正交分量Xs t 具有相同的自相关函数 因而也具有相同的功率谱密度 由此得到 X t 的功率 其同相分量Xc t 的功率 其正交分量Xs t 的功率 三者有相同的一维概率密度函数 另外 给定t时 Xc t 及Xs t 具是两个独立同分布的零均值高斯随机变量 对自相关函数做傅氏变换 注 当ffc时 u fc f 0 PX f fc 0 当PX f 对称于fc时 XL t 的功率谱是偶函数 其自相关函数是实函数 于是 窄带平稳高斯过程的一维概率分布 Xc t Xs t 的概率密度 将Xc jXs转换为极坐标 aexp j a 的联合概率密度 瑞利分布 均匀分布 令X t Acos2pfct n t 其中n t 为窄带平稳高斯过程 则 X t 是高斯过程X t 不是平稳过程 而是循环平稳过程X t 的包络服从莱斯分布 3 8余弦波加窄带平稳高斯随机过程 图3 9 1匹配滤波器 3 9匹配滤波器 X t s t nw t 给定s t 求h t 使得t0时刻的输出信噪比最大 输出噪声功率是 输出信号功率是 信噪比是 令 问题成为 求能量为1的信号g t 其与s t 的内积 相关值 最大 因此 其能量为1 即 此滤波器称为对s t 匹配的匹配滤波器 t0时刻的输出信噪比为 一般随机过程 均值和自相关