一类带有食饵避难捕食竞争扩散模型的定性分析_硕士学位论文（pdf格式可编辑）.pdf

崎 1 童 h q l 摘要 本文主要是研究一类带有食饵避难的捕食 竞争反应扩散系统 本文一共分为七个部分 第一部分是 引言 接下来我们在第二部分应用特征方程的方法得到了相应的反应扩散系统平衡解的局部渐近稳定性 第三部分主要通过对正稳态的上 下界的确立做了一个先验估计 第四部分通过构造适当的V 函数得到 了反应扩散系统平衡解的全局渐近稳定性 第五部分是在特殊参数范围内 得到了非常值正稳态的不存 在性 第六部分运用拓扑度理论得出了非常值正稳态的存在性 第七部分是展望 关键词 食饵避难 V 函数 扩散 拓扑度 非常值正稳态 A b s t r a c t T h i sp a p e ri sp u r p o r t e dt os t u d yq u a l i t a t i v ep r o p e r t i e so fs o l u t i o n st ot h ep r e d a t i o n c o m p e t i t i o nr e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e mw i t ht h ep r e yr e f u g e T h ef u l lt e x ti sd i v i d e di n t os e v e nc h a p t e r s T h ef i r s tc h a p t e r o u t l i n e st h eb a c k g r o u n d I nt h es e c o n dc h a p t e r w ec a no b t a i nl o c a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h eu n i q u ep o s i t i v ec o n s t a n tt os y s t e m I 7 b yt h ee i g e n v a l u ef u n c t i o n C h a p t e rI I I ap r i 嘶u p p e ra n dl o w e rb o u n d sf o r p o s i t i v es t e a d ys t a t e so ft h es y s t e ma r ee s t a b l i s h e d C h a p t e rI V w ec a no b t a i nt h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l 时o f c o n s t a n ts o l u t i o n st os y s t e m 1 7 b yc o n s t r u c t i n gs o m es u i t a b l eL y a p u n o vf u n c t i o n C h a p t e rV T h e n o n e x i s t e n c er e s u l t so fn o n t r i v i a ls o l u t i o na r ed e r i v e d C h a p t e rV I T h ee x i s t e n c er e s u l t so fn o n t r i v i a l s o l u t i o na r ed e r i v e d C h a p t e rV I I C o n c l u s i o n K e yW o r d s p r e yr e f u g e Vf u n c t i o n D i f f u s i o n t o p o l o g i c a ld e g r e e n o n t r i v i a ls o l u t i o n I I 埘 目录 中文摘要 I 英文摘要 二 I I 目 录 一 I I I 1 引言 1 2 反应扩散系统平衡点的局部稳定性 4 3 正稳态解的有界性 7 4 反应扩散系统平衡点的全局稳定性 1 0 5 非常值正稳态解的不存在性 1 2 6 非常值正稳态解的存在性 1 5 7 展望 2 0 参考文献 2 l 致谢 2 3 I p 加 囔 东北师范大学硕士学位论文 1 引言 为了保持自然界生物种群的多样性 我们不希望某一生物种群由于竞争而灭亡 为防止 这种现象发生 一个有效的方法就是在该系统中引入一个捕食者 使 个竞争的系统变为一 个捕食竞争系统 在一个捕食者 食饵系统中 食饵可能会由于捕食者的捕食而灭亡 然而在 一个捕食 竞争的系统中 捕食者就有可能成为使所有种群共存的有利因素 G a u s e s 法则与竞争排斥原理 c o m p e t i t i v ee x c l u s i o np r i n c i p l e 11 都指出 两种竞争的种群 只有在它们开发利用的环境不同的条件下才有可能会共存 4 历史上 很多的生态学家认 为这种竞争性共存产生的必要条件是在资源的种群利用方面有所不同 在几个自然界和实 验室对捕食者的研究似乎表明 竞争性共存能够由于捕食者的存在而产生 因为捕食者对一 种食饵的捕食可以防止这种食饵由于种群数量过大而在竞争上处于明显的优势地位 这样 捕食者就能使所有的种群共存 竞争种群的共存对它们共同的生态环境和种群自身特有的资 源利用方式都有或多或少的依赖 程度的大小主要依靠捕食者在系统中的重要性 例如文献 5 6 1 2 1 9 2 0 2 4 2 8 2 9 在如下的L o t k a V o l t e r r a 系统 r l 2 l p 一素 l 一云 2 一b P 趣 N 2 r 一知一K N 2 一b p 户 P c b N l c b 2 一奶 文献 4 指出 如果两食饵的各参数r K b c 都相同 那么系统自身就不会出现稳定的平 衡点或极限环 所以最终必有一个种群会灭亡 文献 4 考虑的食饵之间的不同有三种 食饵 避难的不同 捕食的频率依赖的不同 食饵对直接捕食它们的捕食者的防御机制不同 在以 上三种情况中 两种食饵所利用的资源仍是相同的 这种资源当捕食者不存在的时候就会成 为限制 一组种群能共存当且仅当种群之间的相互作用包含防止任意种群灭亡的作用力 众 所周知 食饵的环境最大容纳量 捕食率随着食饵种群密度构成的增长是使系统趋于稳定的 作用力 进而考虑引入函数八忉用来表示所谓的捕食者功能反应项 1 2 7 1 3 1 6 2 2 2 3 也就 是由于捕食者的满足 随着食饵密度的增加 捕食率下降这种捕食率变化的一个特殊的例 子就是 考虑有这样一个环境 使得有一种食饵有R 规模的种群在其中避难 使得捕食者只 能捕食这个种群R 以外的食饵 所以 八 一尺 f 三羔 捕食者对两食饵的捕食率不同 则系统 1 1 就修改为以下形式 1 2 东北师范大学硕士学位论文 1 r l p 一主 l 一夏rN 2 一g A N l N z P 觑 2 p 一主 l 一夏r 2 一b f 2 N 1 N z P 1 3 P P c b f i M N 2 N c b f 2 N N 2 N 2 一胡 在文献 4 中已求出了该系统的平衡解 并且得到了使该系统局部稳定的条件 其它方面都相同的竞争的两食饵主要在防御机制上有所不同 一种食饵主要集中于分泌 一种化学物质或者是逐渐形成一种行为模式或增长模式以减少另外一种食饵的增长率 防 止另外一种食饵的增长率高于自身 另外一种食饵则是比第一种食饵能更好的逃避捕食者 的捕食 所以一个捕食者 两个食饵的L o t k a V o l t e r r a 系统 1 1 就修改为如下形式 l2 l p 一云 1 一云 2 6 尸 也 2 r K a N l 一K N 2 一 6 一彦 P 尸 P c b N l c 6 一s 2 一明 1 4 在这里口 1 表示在竞争过程中 r l 比 2 有优势且0 s b 表示逃避捕食者的能力 2 更强于 1 在文献 4 中求出了该系统的八个平衡解 并分析了它们的局部稳定性 如果第一个食饵带有避难项 则系统 1 4 就变为如下形式 l N I 一云 l 一主 2 一b f N 1 P N 2 9 2 一 a 1 一 2 一 6 一s v 1 5 一素州一乏 2 一 6 一s 网 1 5 户 P c b f N 1 N l c b 一每 r 2 一明 这里f N 1 由 1 2 给出 这个模型就体现在我们在前面所提到的食饵之间的三种不同 本文分析是一种特殊的情况 在这种情况下第二个食饵对捕食者有免疫 即 b 并且令 甜1 N 1 U 2 N 2 U 3 P 则系统 1 5 具有如下形式 办 j r 主z 一云 z 一6 u l 材 R s 幻 z J r 扣 一扣 i t 3 u 3 c b u l R 一明 1 6 文献 4 中求出了该系统的唯一的正平衡解 并且得到了该平衡解局部稳定的条件 我 们将在本文的第二部分给出 2 舻 f 东北师范大学硕士学位论文 众所周知 扩散现象对于捕食者 食饵模型的动力学行为同样起着非常重要的作用 因 为种群的密度常常是空间不均匀分布的 并且捕食者和食饵会在逐渐进化的过程中形成相 对于成存环境的自然的繁殖增长策略 扩散过程就能够刻画捕食者及食饵在不同的种群密度 下种群数量流动是不同的这一复杂性 这个种群流动是由同一种群密度所决定的 如今 在 系统中加入扩散已经得到了广泛的研究 我们在一个确定的光滑域Q 的空间下考虑在不同的空间下种群的非均匀分布 其中对 于任意给定的时间t 有 Q 1 那么我们考虑的系统模型就变成了下面的反应扩散 模型 P D E 甜l r 一砘 1 l r 云甜1 一夏r 2 6 U l R 3 2 r 一以 22 z f 2 p 一云a 1 一云甜2 x Q o 3 f d 3 A U 3 u 3 c b u l R 一c O 1 7 掣 豢 掣 0 工 施 f 0 U l 工 0 U 2 X O U 3 X 0 0 X Q 在这里 是拉普拉斯算子 Q 是 中有界的光滑域 y 是Q 边界上的单位外法向 量 d l d 2 d 3 是正常数 代表扩散系数 初始值u i x o f l 2 3 是连续函数 由方程组 1 5 我 们得到了 1 6 文献 4 给出了唯一的正常值解E 甜i 其中 R 瓦d 材 K 一删 钙 i 2 E 4 存在当且仅当K 口陴 甓 这篇文章的另一个目的是通过先验估计研究系统 1 7 的解的正稳态 也就是研究下面 这个椭圆系统的有界性 一矾 l l r 夏r l 一夏r 2 u l 材 1 R 3 一醍 眈 时一主伽 一壶吼 工以 o 1 8 一d 3 A u 3 u 3 c b U l R 一明 掣 娑 i 8 U 3 0 x c g f f z 一 一 一 T d d Vd V 现将该篇文章的结构介绍如下 在第二部分 通过特征方程的方法得到系统 1 7 的局部 稳定性 在第三部分 通过先验估计得到系统 1 8 的正稳态解的上下界 在第四部分 通过构 造适当的V 函数得到系统 1 7 的唯一正解在一定的条件下是全局渐进稳定的 在第五部分 简单的介绍非常值正稳态解的不存在性 最后在第六部分将对系统 1 8 的非常值正稳态解的 存在性进行研究 3 东北师范大学硕士学位论文 2 反应扩散系统平衡点的局部稳定性 这部分 我们来讨论反应扩散系统 1 7 的正平衡解 U 2 的局部稳定性 在文献 4 已给出了系统 1 6 的局部稳定性如下 口1 2 口1 3 1 I a 2 2 晚3I I a 3 2 a 3 3 口 t 一r 要c 学 口 一r 要 口 一 d U 啦l2 一a r 意 a 2 22 一r 二K a 2 32a 3 22a 3 320 a 3 1 幻 并且相应的特征方的系数分别为 且 彳 乏r 阱 a 了1 一R b c 甜 如与芋 1 郴n 力 嘲 彳 云6 哦 州 呐 却等俾6 c 一曲地渺地圳6 c 这里彳l 0 且爿3 0 进一步 如果R 大于一个比爱稍小的数 就有彳1 4 2 一A 3 0 接下来我们将讨论反应扩散系统 1 7 的正平衡解 z 孓1 1 2 的局部稳定性 令o t l 1 2 P 3 口僻 舞 时 系统 矽的唯一正平衡解 却 U 2 是一致渐近稳定的 证明 系统 1 7 在 甜孓U 2 z 下的线性化系统是 嘶 z 睦i 圣i 注意到 V f 1 在算子 下是不变的 这就意味着A 是L 在置上的特征根 当且仅当A 是矩阵叫p G 材 U 2 的特征值 叫f D G 0 U 2 的特征多项式由下式给出 V f A 五3 B A 2 B 2 f A B 3 f 在这里 B l i p f d l 以 如 A 1 B 2 i H 2 d l d 2 d i d 3 d 2 d 3 一l t i d l a 2 2 d 3 a l I a 2 2 d 2 a 1 1 彳2 B 3 i d d l d 2 d 3 2 d 2 d 3 a 1 1 d l d 3 a 2 2 t l i d 3 a 1 1 a 2 2 一a 1 2 a 2 1 一d 2 a 1 3 a 3 1 1 3 其中4 1 4 2 4 3 由第二部分给出 因为a l l o a 2 2 0 通过直接计算 B 1 i B 2 i B 3 i M l l a 龟p M 3 1 a i A 1 A 2 彳3 其中M l d l 以 d 3 d l 如 d l 3 如以 一面破如 M 2 A j d l d 2 以西 d l 如 一 d l d 2 d 3 a 2 2 d l a 1 1 2 a 1 1 a 2 2 d 3 d l 3 a 2 2 以如a 1 1 M 3 A 2 d l 也 d 3 一A 1 a 2 2 d l a l l 如 a l l a 2 2 d 3 一 a 1 1 a 2 2 一a 1 2 a 2 1 d 3 一a 1 3 a 3 1 d 2 又A i2 a l I 一石1a 2 1 且a l l 0 a 2 1 0 a 2 2 0 尬 看 去口1 1 a 2 1 么2 一b d u d 看 石1 口 l 啦2 A 2 d 1 看 三蚴 蛇 靴蚴 纠以 因为a l l 0 a 2 2 0 a 2 1 0 a 2 2 a 2 1 0 a 1 2 a 2 1 0 叫Jl 们 以 彩 东北师范大学硕士学位论文 又 a 1 3 a 3 l 一d b c u 一6 幽 如譬巾 R b c 印 6 d u 则 彳 否1 口 口 么 一b d u 看 壶口t t 口2 竺 1 R b c 力 o 综上尬 0 又由第二部分我们知道彳1 A 2 一A 3 0 于是我们能得到这样的结果 对于所有的i 0 均有 B 1 f B 2 i B 3 f 0 根据R o u t h H u r w i t z 判别法 得出 对每一个i l l f 五 0 的三个根五m 如 五f 3 都有负实部 接下来我们将证明 存在一个正常数6 使得 R e A 1J R e I A f 2 1 R e I A f 3 1 反对任意的i 1 2 1 所以由特征根组成的上的普都满足l 尺醐 一6 矗的局部稳定性接下来将应用 3 3 P 9 8 中的定 理5 1 1 得到 现在我们将证明 3 1 令 f f 则 驴f B 1 B 2 i l l f f B 3 f 皇乒 f 因为当i o o 时 f o o 则有下式 l i m 乒f O u l 矾 d 2 以 d l 兄 d i d 3 d 2 d 3 d l d 2 d 3 圭欢f 应用R o u t h H u r w i t z 判据 得到沙 0 的三个特征根f l 彘 白都具有负实部 因此 存在一个正 常数云使得R e t lJ R e 参2 i 尺P 白J 一茇由连续性 我们得到 存在i o 使得五 f 0 的三个特征根 蠡l 如 如满足 R e f i l l 尺P 溉2 g e f g 3 t 一6 2 对任意的i i o 所以 R e l f 1 R e l l f 2 l R e l l f 3 1 I x 6 1 2 一6 2 对任意的i 1 令 一艿 m a x R e I A t l R e A i 2J R e l i 3 l 1 i 0 并且对于6 m i n i s 6 2 1 2 1 成立 定理证毕 6 p f I 东北师范大学硕士学位论文 3 正稳态解的有界性 接下来我们在证明中所涉及的常数c o C 2 c C 1 都是依赖于区域Q 然而 因为Q 是固定 的 我们在证明过程中将不再提到这种依赖性 这段的目的是通过先验估计给出正解的上下界 为了以后的证明 我们先引证下面已经 知道的结果 引理3 1 H a r n a c ei n e q u a l i t Y l i ne fd f 2 4 1 令甜 C 2 Q nC 1 Q 是a w x 曲叫 功 0 的解 其中c c Q 0 2 满足N e u m a n n 边界条件 则存在c 口 当 I c l k a 时有m a x o C 蛹M 1 i 2 引理3 2 M a x i m u m p r i n c i p l e L o u a n d N i 口刚 令双五叫 C f 2 x R l 乃 x c Q J l 2 f 如果叫 x 砂 C 2 Q nc 1 Q 在Q 上时满足a w x b i x W x j g x 山 功 0 在a Q 时满 2 1 足O w a v 0 且w x o m a x w 则g x o 山 0 S 2 佃如果w x w C 2 Q nC 1 Q 在Q 上时满足a w x b y x w 而 g x ju 功 0 在a Q 时满 J 2 1 足c g w c g v 0 且W X o m j n w 则烈X O u 劫 0 为了下面的证明方便 定义常数 函 比 a 3 吐 识b l b 2 d 1 d 2 k m 人 系统 1 8 的正 稳态解的有界性的结果将在下面给出证明 定理3 1 设D 1 D 2 D 3 是任意给定的正常数 则存在一个常数C c 吐Q 人 满足当 K C a 且西 D l 2 3 时 对系统 矽的任意解 U l U 2 u 3 满足 C 一1 U j Ci 1 2 3 证明 第一步 证 U l t 2 U 3 有上界 即U i c i 1 2 3 甜z r 一口云 一云 r r U 2 夏 u z z f 2 r 一口乏 1 一夏 s 2 扩一 直接应用最大值原理 得U 2 K 7 东北师范大学硕士学位论文 下证U 1 U 3 有上界 设 c d l l 击U 3 那么 整理得 由引理3 2 一詈 砌州3 c b R u 3 c b u l u 3 c b z 3 c b R u 3 一c b u j u 3 一幽3 c r 2吠 一c d l U l 2 1 一i 嵋一 j 一 d 2 一夏u d 一 叫 如 蟊嘶 警h K c d d l d 3 c r 2 u 一番山 墨垒警4 c c r f 拦 一扣警E OjwS 警 我们取C 充分大 则 f C i 1 2 3 根据系统 1 7 的第一个方程 我们知道 1 0 所以 我们只需要考虑U 2 三0 或U 3 三0 的情况 解 甜1 f U 2 U 3 满足当i 一 时 有U 一U l z 3 一材3 m i n u 2 f 一0 则 扣一却一却 警 令 则 c c 加去c 卜却一和 c n o o 班警 其中C l 满足m i n u l C 1 由系统的第二个方程 由引理3 1 有 一薏 一云口甜 一云 U 2 c 力j 地 c 工 z o m x 蚴 功 C o 嚷彻2 舡 8 l 砰砰彳 一K盯一K 一K 一 一 一 们 叭 m 力 似 嗵c 证 们我先 皿 h 这里岛与D 2 k L b l 有关 与吨f 无关 因此 则 令 则远 满足 当i O O 时 我们有 m Q a x u 2 i x 一O f 一0 0 u 2 i x 0 i o U 2 i2 2 i m Q a x 2 一吨 瓦 玩 一云a 甜 一云 z x Q O U 2 i 0 工 讹 d V 一西 碗 i f 2 一云a 孥 0 工 讹 d V X Q 这意味着当 云口 l 即K c 口时 迈 0 我们取I l u 2 l l n 材2 最大值范数 则N I I l 这 与玩 o 矛盾 1 比m Q i n u 2 C 2 o 下证m j n u 3 0 n 应用反证法 先假设m j n u 3 f 一0 由H a r n a c k 不等式有u 3 i x 一o f o o n 对系统 1 8 的前两个方程进行积分得 因为口 1 所以这是一个矛盾 故 定理得证 9 O O 出 出 i 甜 甜 r K r K 一 一 r K 够 r 一 又 r 甜 上 32 一 C 嘶有们我时 大分充 C 当以所 O 的 晷l c 4 反应扩散系统平衡点的全局稳定性 在这部分我们研究系统 1 7 令U 甜l U 2 u 3 是系统 1 7 的一个正解 且甜 0 i 1 2 3 并且我们在第三部分已经证得U l r u 2 t U 3 f 是有界的 这一部我们的主要目的是证明如下结论 定理4 1 当c 一1 型b R系统 刁正常解 U 2 是全局渐近稳定的 证明 我们首先构造V 函数 吃 f p j l u l u i 一材洳等 出 j 沁一 2 4 一z 狮薏 g j 一甜 一嵋h 毒 出 其中p 2a g2 彘 c 一1 同第三部分 则 K t c 力 p j c 一筹 出 上c 一筹应出 9 j c 一筹 远 由G r e e n 公式 j c p U 1 U 讪 忡t 叫 r 一 r 一乏地砌 警肭 L L U 2 U U 2 凼 甜z 地一 一主a 一云 出J 2 K五 9 f 型啦 3 幻 的一嵋 甜l 一 7 d x J QU 3 U l U l 甜2 一 1 2 3 一 拙 胁而L 一d 吨A u 2 d x d 2L c U l 一 U l 2 一 斋肛矾J 甜u 1 D u l 出 斋炉吨上 和础 叫上争z 陬 蛐 胁如L 甜3 一 U 3啄O U 3 妒蟊j 扣础 一f 善 v 0 3 2 d x 1 0 出 材V 斫了听 飞 东北师范大学硕士学位论文 所以 原微分式就变为 咿训j 蓦 肛p 妻 邶凹 等 p d I J Q 小昙 j 笺 W u 2 1 2 a x 一峨 1 毒t v u 3 2 d x 等 叫妒 r 旷囝2 一乏r p 扣 叫钗旷虻 b p u 3 一z z l 一甜 出 州正笺 W u 2 1 2 蛔如上扣陋 一等 t 谢 云 地埘一乏r 圳 堋旷蝴 等却 旷固 l 嵋 出 叫l 萼I v 州2 出一比 善l v 蚓2 出一g 吨 二要l v 蚓2 出 J Q 圻J Q 崂J Q 一正p 如等 一扩一瓦r 地叫 2 云 一拟旷囝 6 凹 等 6 施叫执旷螂 出 一p 西r州2 出一如f 善I v 地2 出一g 以 善l v 矧2 出 J Q 笺1 I V J Q 甜 J Q 一j 敝旷 D 2 缸叫 2 2 知 叫 u 2 u d x 训上扣陬一以上 囊I V u 2 1 2 蛔以艏 I 出 J Q J Qz J Q 峨 一 云M 一神 u 2 u 猢2 出 O 显然 除去正平衡点 甜 U 2 因为此时一 o 对V U l U 2 U 3 0 1 1 均严格小于 因 此 满足渐近稳定性定理 从而系统 1 7 的正平衡点是全局渐近稳定的 1 1 吨 一出 2 V 吨 一 出 2 V 一砰 东北师范大学硕士学位论文 5 非常值正稳态解的不存在性 在这部分我们讨论系统 1 8 的非常值正解的不存在性 定理5 1 令 哎 是固定的常数 满足 西p 2 r 一 p 2 一 云 2 c 一C 1 三玩 一b C 1 c b C 丁 b R b f f l 扣一兰 C 1 a 扣 硼 2 c 6 玩一c b R d c b C b R 一6 玩 2 则当a 砟 bl 2 3 时 系统 矽没有非常值正解 其中 证明 因为 又 玩 i d 嚣 1 f z f d x i d x l 2 3 聊2l 豇上聊 1 2 f M f 一玩 f 一玩 甜f 一面 一I V u f 一玩 1 2 一I A z x u f 一蟊 2 一 f 2 一I V 材f 1 2 上G j 历 一面胁 G f 磊 正 础一G 厩 玩j 出 G f 面 上蜥出一G 厩 志正配i d x I 剑 则我们在系统 1 8 的两端同时乘以 一面 且在Q 上积分有 喜上西陬 出 善3 正G 和以 一面 出 喜上c G 舡 一G 膈顶 一面 出 1 2 I 东北师范大学硕士学位论文 由 6 1 我们直接计算有 3 厂 G f f 一G 玩 嘶一历 出 J Q 正 咖一玩 一i r 矾 玩 一如旷1 1 1 1 2 2 6 啪一 一 1 3 b R 旷硼 旷玩 出 j 三 2 一疋 一乏r 嘶1 蚴一u l u 2 一夏r 地一啾眈 硼 旷迈 出 f c b u l l l 3 一石l f f 3 u 3 一面 一 c b R c O u 3 一瓦 2 a x J Q 止咖一a 1 2 一乏r 玩 o l 一秆一K U l U 2 U l U 2 玩 叫 1 3 函矾 玩 b R 旷矾旷a 3 a x 且咖一珊一乏r 嘶他 c 6 1 甜3 一玩瓦 甜3 一a 3 一 c b R 力 3 一a 3 2 厦 J Q 正 毗一珊一砂r 1 矾现面 2 一砂r 叫2 面蚶玩地面酬m m d x b f 材1 3 一而 3 十玩甜3 一u l u 一3 u l 一玩 出 b Rf z l 一玩 3 一a 3 a x J QJ n 正M 旷珊一主 时硪旷珊 加上云口 1 2 确 确一玩硪旷石2 a x f c b u 1 1 1 3 一玩甜3 瓦甜3 一u l u 一3 u 3 一玩 一 c b R e u 3 一瓦 2 如 J Q 上 甜 一玩 2 出一云正 甜t 玩 一玩 2 出一妻上以甜 一玩 2 出 一 K b R 玩 l 一玩 2 一a 2 a x bf 甜3 甜1 J Q 一玩 2 d x 一6 玩f 1 一玩 甜3 一历 出 J n 上 跗 一玩 s 一石3 d x r 上 一无 2 出一夏r 口上以 一玩胁 去口玩j 三 t 一玩 甜z 一玩 出一妻上 远 一死 2 出 半加 2 忡s a 3 2 出 1 3 斛 一 一 一 户 以 掰 胁 胁 讹 旷 弘 酣 司 舯 饷 扣等 篡 s m Q 一铆 胁 一 簟一 加肛施 驴小 乇 出 一 出 旧 一 胁 陬 r山r r 如动 一 二 t訇 嘧 砌 蚓 u 刚 厩r r r 睁嘛讹吼川讹 淞 订 卅 厕 孙 卅 一砒 n 一 艮 一咱 一 舭 排 舡三K r r 斟 r 一f 一f 叱肛肛小肛扣 东北师范大学硕士学位论文 外1 r 乱 1 一p 弩 b C l 半 小 2 出 r 一扣一笋1m 一扣嘲 l 上 匍2 出 c b f f 一c b R d c b C b R 一6 玩 2 小一i f 3 2 出 由P o i c a r b 不等式 2 厶u 一乃2 d x 厶I V 刀2 d x 又由式子 6 1 及上式 我们有 善3j 撕胁外7 r 儿 1 一p 知坷 我们选取s 足够小 满足 则定理证毕 c b C b R 一6 玩 2 一妻 1 一j o t c l 缸一三 玩 a l jf 甜 一况 2 出 c 6 玩一c b R d c b C b R 一6 罚 2 小匐2 出 斫 z 一i r t 乩 1 一C I 三玩 一6 c 一1 c b C j b R 一 b 玩 d 2 P 2 r 乏r 1 一呈 c 1 a 三 而 硼 p 2 c 6 玩一c b R d c b C b R 一6 玩 1 4 2 r 甜1 一玩 2 出 J Q 1 东北师范大学硕士学位论文 6 非常值正稳态解的存在性 在这部分 我们来讨论系统 1 8 当扩散系数a 3 变化并且系数人 矾 以固定时 非常值正 古典解的存在性 定理4 1 表明 系统 1 8 当C 一1 型b R 时不存在非常值正古典解 所以我 们的讨论限制在相反的条件下进行 首先我们先来研究系统 1 8 在U 处的线性化 令X 同第四部分的定义 并且定义 x U X l u f 0 在Q 上 i I 2 3 l 双C U X l c 1 U f 0 和1 J d i m E 姐f x j 在D F u 下是不变的 且 l 是D F u 在x f 上的特征根当且仅当它是如下矩阵的特征根 I 一南 G 加wI 南 z i l 9 l G u 因此 D F u 是可逆的 当且仅当对所有的i 0 矩阵卜南 勿 G u 4 I 是非奇异的 记 j r 彳 u 圭d e t t l 一切一1 G u l j 广d e t 徊一G u 6 2 d l d d 3 1 5 A 一 东北师范大学硕士学位论文 进一步 我们记 如果龇f 0 那么对任意1 J d i m E p A D F u 在X q 上的负的特 征根的个数是奇数当且仅当H U i 0 由此 我们可以得到如下结论 这个结论也可在文献 1 4 1 5 中找到 引理6 1 假设 对任意的f 0 矩阵 f I 一切一1 G u 是非奇异的 则 i n d e x F u 1 这里 非桃彘泳 妇E 隆O H f O 这个命题表明 旷和 在此奇偶性是相同的 为了计算 F u 的指数 我们将要仔细考虑 日 f 的符号 直接计算得到 其中 d e t L 9 一G u A 3 d 3 f 1 3 A d 3 u 2 A 1 3 1 一d e tG u 圭贝 以 p 6 3 A 3 如 d l d 2 d 3 A 2 d 3 a l I 2 3 一a 2 2 d l 西 A 1 d 3 a 1 1 G 2 2 d 3 一a 1 3 a 3 1 以一0 1 2 a 2 1 3 这里的a f 由第二部分给出 我们考虑贸是依赖于蟊 令豇1 砖 丘2 如 丘3 d 3 是 n d 3 u 三个特征根 则 P 1 d 3 塘2 如塘3 d 3 d e t G u 直接计算得d e t G u l 0 因此乒1 以 丘2 以 豇3 d 3 中的两个是 实数且是负的 并且另外一个是正的 考虑下面的极限 熙掣叫吨 熙掣 a 1 1 咖z 九熙掣锄他 咱 蚴 l i m 墨婴 d i d 2 3 一 a l i d 2 眈2 d 1 U 2 1 1 眈2 一口1 2 砚1 m 幽 d t U d l 以 2 一 口l l d 2 a 2 2 d 1 U 口1 l a 2 2 一Q 1 2 a 2 1 如果参数A d l 以满足口1 1 d 2 a 2 2 d l 0 我们能得到以下命题 1 6 一 飞 一 东北师范大学硕士学位论文 引理6 2 假设c l 型b R 则存在着一个正常数D 3 使得当蟊 D 3 时 贸 如 的三个 根卢l 慨 丘2 d 3 豇3 d 3 是实根 并且满足 l i m 矗i d 3 亟鱼丝堕 二巫雩季丝业 鳖 o d 3 Z a ld l i m 豇2 吨 a l l d 2 a 2 2 d l a j l l d F 2 j a 2 2 d l 2 4 d l d 2 a 1 2 一a 2 1 圭口 6 4 3 o o Z d fd 2 1 i m 3 a 3 0 圭豇 4 1 进一步 如果a l l a 2 2 一a 1 2 2 2 1 0 则 一 丘l 扔 0 丘2 d 3 豇3 以 贝 吨 O p 啦 d 3 豇2 d 3 u 位3 以 如果a l I a 2 2 一a 1 2 a 2 1 0 则 一o o 豇1 d 3 豇2 d 3 0 豇3 a 3 舅 如 0 p 1 d 3 2 如 u 3 3 o o 6 5 6 6 现在我们来证明当如足够大时 对于一些A 以 i 1 2 系统 1 8 存在非常值正稳态解 定理6 1 假设参数A 西 i 1 2 是固定的 a 1 1 0 成立 且满足下面的条件之一 0a l I a 2 2 一a 1 2 a 2 1 o 丘 x 川 当厅 l 且 名ld i I n E m f 是 争数 则存在一个正数D 3 使得当击 D 3 系统 1 8 至少存在一个非常值正解 证明 如果口1 1 a 2 2 一a 1 2 a 2 1 0 由引理 6 2 存在一个正常数D 3 使得以 D 3 当时成立且 0 a 0 豇2 如 a l 豇3 a 3 m 肿1 6 7 我们将会证明 对任意的以 D 3 1 8 到少存在一个非常值正解 证明是通过反证法来 完成的 理论基础是拓扑度的同伦不变性 先假设存在着一些d 3 磊 D 3 使得结论不成立 在这一列数中 我们固定d 3 磊 z 量 童塑 2 1 7 苡 堕 竺 1 2 一 东北师范大学硕士学位论文 根据 6 6 和 6 1 2 及 6 9 可得 因此 对任意i 0 0 不是矩阵卢f I 一切 G u 的特征根 且 由于引理6 2 我们有 同样的方法我们得到 p 龇I d i m E 2 善妇眦 砜是奇数 i n d e x F 1 u 1 7 一1 1 i n d e x F O u 一1 o I 6 1 3 6 1 4 由定理3 1 存在一个正常数C 使得对任意的0 t 1 6 8 的正解满足C 一 U l U 2 U 3 C 因此在够 c 上对任意的C 一1 U 1 2 3 C F f u 0 由拓扑度的同伦不变性得 d e g F 1 0 甄c d e g F O 0 c 6 1 5 另一方面 由我们的假设 方程F 1 u o 和F o u 0 在双c 上有唯一的正解 因此由 6 1 1 和 6 1 4 d e g F O 0 召 c i n d e x F O u 一1 o 1 d e g F 1 O 男 c i n d e x F 1 u 一1 o 1 这与 6 1 5 矛盾 定理证毕 以 曲 0 啦 啦 H H 东北师范大学硕士学位论文 7 展望 本文研究的是一个反应扩散系统 相应的常微分系统是在文献 4 中提出来的 文献 4 只分析了常微分系统的正常值解的局部稳定性 并没有做其它方面的研究 本文对反应扩散 系统进行了定性分析 包括唯一正常值解的局部稳定性及全局稳定性 相应椭圆系统的正稳 态解的有界性及非常值正稳态解的不存在性与存在性 该系统还存在着一个U 2 0 的边界平 衡点 本文之所以没有对它进行分析原因有两个 一是因为该边界平衡点的分析的方法与正 平衡点非常类似 二是因为在引言的开始就表明我们目的是寻找使得两个竞争种群能够共存 的条件 该边界平衡点不符合我们的初裹 在文献 4 中共提出四个可供研究的系统 1 3 1 4 1 5 1 6 并且作者已经分析了这 四个常微分系统的平衡解的局部稳定性 本文研究的系统 1 6 是系统 1 5 的一种特殊的情 况 即第二个食饵对捕食者的捕食免疫的情况 系统 1 5 考虑的情况是虽然第二个食饵能够 比第一个食饵更好的逃脱捕食者的捕食 但并不具有对捕食者免疫的能力 所以系统 1 5 虽 然与系统 1 6 在其它方面相同 但却比系统 1 6 更加复杂 由于本人的时间和学识有限 并没 有得到关于系统 1 6 相应的反应扩散系统的性态分析的结论 相信这是能够进行并且有价值 的工作 k 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 l M T P r e d a t o r p r e yi n t e r a t i o ni nat r o p i c a ll a c u s t r i n ee c o s y s t e m E c o l o g y5 3 19 7 2 a 2 4 8 2 5 7 2 L L i C o e x i s t e n c et h e o r e m s o fs t e a d y s t a t e so fp r e d a t o r p r e yi n t e r a c t i n gs y s t e m s T r a n s A m e r M a t h S o c 3 0 5 1 9 8 8 1 4 3 1 6 6 3 R u iP e n g M i n g x i nW a n g P o s i t i v es t e a d ys t a t e so ft h eH o l l i n g T a n n e rp r e y p r e d a t o rm o d e lw i t hd i f f u s i o n P r o c R o y S o c E d i n b u r g hS e c t A1 3 5 2 0 0 5 1 4 9 一1 6 4 4 R V a n g e R i c h a r d P r e d a t i o na n dr e s o u r c ep a r t i t i o n i n gi no n ep r e d a t o r t w op r e ym o d l ec o m m u n i t i e s T h eA m e r i c a nN a t u r a l i s t V 0 1 1 12 N o 9 8 7 19 7 8 7 9 7 813 5 P K D a y t o n C o m p e t i t i o n d i s t u r b a n c e a n dc o m m u n i t yo r g a n i z a t i o n t h ep r o v i s i o na n ds u b s e q u e n tu t i l i z a t i o no f s p a c ei nar o c k yi n t e r t i d a lc o m m u n i t y E c 0 1 M o n g r 4 1 1 9 7 1 3 5 1 3 8 9 6 E K D a y t o n R o b i l l i a r dR T P a i n e a n dD a y t o nL B B i o l o g i c a la c c o m m o d a t i o ni nt h eb e n t h i cc o m m u n i t ya tM e M u r d oS o u n d A n t a r c t i c a E c 0 1 M o n o g r 4 4 1 9 7 4 1 0 5 1 2 8 7 D L D eA n g e l i s G o l d s t e i nR A a n dR V O N e i l Am o d e lf o r t r o p h i ci n t e r a c t i o n E c o l o g y5 6 1 9 7 5 8 8 1 8 9 2 8 L i J u nH e i Y i n gY u N o n c o n s t a n tp o s i t i v es t e a d ys t a t eo fo n er e s o u r c ea n d t W Oc o n s u m e r sm o d e lw i t hd i f f u s i o n J M a t h A n a l A p p l 3 3 9 2 0 0 8 5 6 6 5 81 9 K o W R y u K Q u a l i t a t v ea n a l y s i so f ap r e d a t o r p r e ym o d e lw i t hH o l l i n gt y p e l If u n c t i o n a lr e s p o n s ei n c o r p o r a t i n g ap r e yr e f u g e J D i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s2 31 2 0 0 6 5 3 4 5 5 0 10 S B H s u T w H w a n g Y K u a n g G l o b a la n a l y s i so ft h eM i c h a e l i s M e n t e nr a t i o d e p e n d e n tp r e d a t o r p r e y s y s t e m J M a t h B i 0 1 4 2 2 0 0I 4 8 9 5 0 6 1 1 G H a r d i n T h ec o m p e t i t i v ee x c l u s i o np r i n c i p l e S c i e n c e1 3 1 1 9 6 0 1 2 9 2 1 2 9 8 1 2 J L H a r p e r 1 9 6 9 T h e r o l eo f p r e d a t i o n i n v e g e t a t i o nd i v e r s t i y P a g e s 4 8 6 2 i n W o o d w e l l G Ma n d S m i t h H H e d s D i v e r s i t ya n ds t a b i l i t yi ne c o l o g i c a ls y s t e m B r o o k h a v e nN a t i o n a lL a b o r a t o r y U p t o n N Y 1 3 C S H o l l i n g T h ef u n c t i o n a lr e s p o n s eo f p r e d a t o r s t Op r e yd e n s i t ya n di t sr o l ei nm i m i c r ya n dp o p u l a t i o nr e g u l a t i o n M e m E n t o m 0 1 S o c C a n 4 5 19 6 5 6 0 p p 1 4 P a n g P Y H M X W a n g N o n c o n s t a n t p o s i t i V es t e a d y s t a t e so f ap r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t h n o n m o n o t o n i cf u n c t i o n a lr e s p o n s ea n dd i f f u s i o n P r o c L o n d o nM a t h S o c 8 8 3 2 0 0 4 13 5 15 7