必修四3.2 简单的三角恒等变换(教案).doc

人教版新课标普通高中数学 必修3.2 简单的三角恒等变换教案 A教学目标 一、知识与技能 1理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式2会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用二、过程与方法 通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力 三、情感、态度与价值观 通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力教学重点、难点教学重点：1半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练2三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力教学关键：三角变换思路的引导教学突破方法：引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形教法与学法导航教学方法：启发诱导，讲练结合.学习方法：自主探究，合作交流.教学准备教师准备：多媒体，尺规.学生准备：练习本，尺规.教学过程一、创设情境，导入新课我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换二、主题探究，合作交流提出问题：与有什么关系？如何建立cos与sin2之间的关系？ 师生互动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos=1-2sin2，将公式中的用代替，解出sin2即可教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：是的二倍角在倍角公式cos2=1-2sin2中，以代替2，以代替，即得cos=1-2sin2，所以sin2= 在倍角公式cos2=2cos2-1中，以代替2，以代替，即得cos=2cos2-1，所以cos2= 将两个等式的左右两边分别相除，即得tan2= 教师引导学生观察上面的式，可让学生总结出下列特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的)三、拓展创新，应用提高例1 试以表示解：我们可以通过二倍角和来做此题因为，可以得到；因为，可以得到又因为思考：代数式变换与三角变换有什么不同？活动：教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换例2求证：（）；（）证明：（）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手；两式相加得；即；（）由（）得； 设，那么把的值代入式中得点评：例证明中用到换元思想，（）式是积化和差的形式，（）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式例 求函数的周期，最大值和最小值解：这种形式我们在前面见过，所以，所求的周期，最大值为，最小值为点评：例是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用例4 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形记COP=，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积活动：要求当角取何值时，矩形ABCD的面积S最大，先找出S与之间的函数关系，再求函数的最值找S与之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S=ABBC=(cossin)sin=sincos-sin2求这种y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(x+)型的三角函数求最值教师引导学生思考：要求当角取何值时，矩形ABCD的面积S最大，可分两步进行：(1)找出S与之间的函数关系；(2)由得出的函数关系，求S的最大值解：在RtOBC中，BC=cos，BC=sin，在RtOAD中，=tan60=，所以OA=DA=BC=sin所以AB=OB-OA=cossin设矩形ABCD的面积为S，则S=ABBC=(cossin)sin=sincossin2=sin2+cos2-=(sin2+cos2)-=sin(2+)-由于0+-=-=DBABABACBBBAABBBAAABC故不合题意舍去这时可得中在解Q.三、解答题6556135)54(131253)sin()cos()cos()sin()()sin(2sin54)cos(,135)sin(23,40432:.18-=-+-=-+-+=-+=-=+=-+-babababababaababababaaQ解b，.19.证明：左边=.4321713417134tan)22tan(1tan)22tan()22tan()2tan