2019年高考数学专题三三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形练习理.docx

第二篇专题三第2讲 三角恒等变换与解三角形限时训练素能提升(限时50分钟，满分76分)一、选择题(本题共6个小题，每小题5分，共30分)1(2018德州二模)若cos，则sin 2A.B. CD解析因为cos，sin 2cos2cos21.答案D2(2018全国卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，则ABA4 B. C. D2解析因为cos C2cos2121，所以由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C25125132，所以AB4，故选A.答案A3在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是A3 B. C. D3解析c2(ab)26，即c2a2b22ab6，C，由余弦定理得c2a2b2ab，由和得ab6，SABCabsin C6.答案C4(2018阜阳模拟)已知cos，则cossin2的值为A B. C. D解析cossin2cossin212cos21cos223cos2.答案C5(2018广东七校联考)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A，a2，SABC，则b的值为A. B. C2 D2解析因为ABC为锐角三角形，sin A，所以cos A.由SABCbcsin A，得bc3.由cos A得b2c26，联立，解得b，故选A.答案A6(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则CA. B. C. D.解析因为a2，c，所以由正弦定理可知，故sin Asin C.又B(AC)，故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C为ABC的内角，故sin C0，则sin Acos A0，即tan A1.又A(0，)，所以A.从而sin Csin A.由A知C为锐角，故C.答案B二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)7(2018北京)若ABC的面积为(a2c2b2)，且C为钝角，则B_；的取值范围是_解析ABC的面积Sacsin B(a2c2b2)2accos B，所以tan B，因为0B180，所以B60.因为C为钝角，所以0A30，所以0tan A2，故的取值范围为(2，)答案60(2，)8(2018福州综合质检)如图，小明在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_m/s(精确到0.1)参考数据：1.414，2.236.解析因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，所以BAD60，CAD45.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC14v，在RtADB中，AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos 135，所以v22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.答案22.6三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)9(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.解析(1)在ABD中，由正弦定理得.由题设知，所以sinADB.由题设知，ADB90，所以cosADB.(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225.所以BC5.10(2018巴蜀质检)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m(ccos C，1)，n(2，acos Bbcos A)，且mn.(1)若c27b2，SABC2，求a，b的值；(2)若sin Acos Asin Acos A，求实数的取值范围解析(1)mn，mn2ccos Cacos Bbcos A0，由正弦定理得2sin Ccos Csin Acos Bsin Bcos A0，2sin Ccos Csin(AB)sin C.又C(0，)，sin C0，cos C，C.由余弦定理得c2a2b22abcos C，又c27b2，a26b2ab0，a2b或a3b(舍去)，又SABCabsin C2，ab8，a4，b2.(2)由(1)得A为锐角，故sin Acos A0.又sin Acos Asin Acos A，设tsin Acos Asin，A，1t，在(1，上单调递减；2，实数的取值范围为2，)11(2018厦门模拟)如图，有一个码头P和三个岛屿A，B，C，PC30 n mile，PB90 n mile，AB30 n mile，PCB120，ABC90.(1)求B，C两个岛屿间的距离；(2)某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P.问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程解析(1)在PBC中，PB90，PC30，PCB120，解法一由正弦定理得，即，解得sinPBC，又因为在PBC中，0PBC60，所以PBC30，所以BPC30，从而BCPC30，即B，C两个岛屿间的距离为30 n mile.解法二由余弦定理得cos 120，BC230BC5 4000，解得BC30.(2)因为ABC90，PBC30，所以PBAABCPBC903060，在PAB中，PB90