高考风向标：数学文科一轮复习精编课件《直接证明与间接证明》ppt精编课件.ppt

第2讲 直接证明与间接证明 1 直接证明 综合法 1 是由原因推导到结果的证明方法 它是利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立的证明方法 分析法 2 是从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直到最后 把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件 已知条件 定义 公理 定理等 为止的证明方法 2 间接证明 反证法 是假设命题的结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 由此说明假设错误 从而证明了原命题成立的证明方法 它是一种间接的证明方法 用这种方法证明一个命题的一般步骤 假设命题的结论不成立 根据假设进行推理 直到推理中导出矛盾为止 断言假设不成立 肯定原命题的结论成立 A 2 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于 60 时 应假设 B A 三个内角都不大于60 B 三个内角都大于60 C 三个内角至多有一个大于60 D 三个内角至多有两个大于60 3 用反证法证明命题 若整系数一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 存在有理数根 那么a b c中至少有一个是偶数 下列 假设中正确的是 假设a b c都是偶数 假设a b c都不是偶数 假设a b c至多有一个偶数 假设a b c至多有两个偶数 4 某个命题与正整数n有关 若n k k N 时该命题成立 那么可推得n k 1时该命题也成立 现在已知当n 5时该命题 不成立 那么可推得 C A 当n 6时该命题不成立B 当n 6时该命题成立C 当n 4时该命题不成立D 当n 4时该命题成立 解析 用反证法 可证当n 4时 该命题不成立 考点1综合法 例1 已知a b c为正实数 a b c 1 a blga lgb 互动探究 1 证明 若a b 0 则lg 22 考点2分析法 互动探究 考点3反证法 反证法主要适用于以下两种情形 要证的条件和结论之间的联系不明显 直接由条件推出结论的线索不够清晰 如果从证明出发 需要分成多种情形进行分类讨论 而从反面证明 只要研究一种或很少几种情形 互动探究 考点4信息给予题中的推理与证明 例4 2011年湖南醴陵测试 对于给定数列 cn 如果存在实常数p q使得cn 1 pcn q对于任意n N 都成立 我们称数列 cn 是 M类数列 1 若an 2n bn 3 2n n N 数列 an bn 是否为 M类数列 若是 指出它对应的实常数p q 若不是 请说明理由 2 证明 若数列 an 是 M类数列 则数列 an an 1 也是 M类数列 解析 1 因为an 2n 则有an 1 an 2 n N 故数列是 an 是 M类数列 对应的实常数分别为1 2 因为bn 3 2n 则有bn 1 2bn n N 故数列 bn 是 M类数列 对应的实常数分别为2 0 2 证明 若数列 an 是 M类数列 则存在实常数p q 使得an 1 pan q对于任意n N 都成立 且有an 2 pan 1 q对于任意n N 都成立 因此 an 1 an 2 p an an 1 2q对于任意n N 都成立 故数列 an an 1 也是 M类数列 对应的实常数分别为p 2q 准确把握信息是解题的关键 本题 只要找到实常数p q使得cn 1 pcn q成立 则数列 cn 就是 M类数列 如an 2n an 1 2n 2 则有an 1 an 2 此时p 1 q 2 则称数列 cn 是 类数列 以此类推 互动探究 4 对于定义域为 0 1 的函数f x 如果同时满足以下三条 对任意的x 0 1 总有f x 0 f 1 1 若x1 0 x2 0 x1 x2 1 都有f x1 x2 f x1 f x2 成立 则称函数f x 为理想函数 1 若函数f x 为理想函数 求f 0 的值 2 判断函数g x 2x 1 x 0 1 是否为理想函数 并予以证明 解 1 取x1 x2 0可得f 0 f 0 f 0 f 0 0 又由条件 f 0 0 故f 0 0 2 显然g x 2x 1在 0 1 满足条件 g x 0 也满足条件 g 1 1 若x1 0 x2 0 x1 x2 1 则g x1 x2 g x1 g x2 2x1 x2 1 2x1 1 2x2 1 2x1 x2 2x1 2x2 1 2x2 1 2x1 1 0 即满足条件 故g x 是理想函数 1 综合法是一种由因导果的证明方法 又叫顺推法 它常见的书面表达形式是 或 利用综合法证明 若A则B 命题的综合法思考过程可用如图10 2 1的框图表示为 图10 2 1 2 分析法是一种执果索因的证明方法 又叫逆推法或执果索因法 它常见的书面表达形式是 要证 只需证 或 利用分析法证明 若A则B 命题的分析法思考过程可用如图10 2 2的框图表示为 图10 2 2 综合法的思维过程是由因导果的顺序 是从A推演到B的途径 但由A推演出的中间结论未必唯一 如B B1 B2等 可由B B1 B2能推演出的进一步的中间结论更多 如C1 C2 C3 C4等等 最终能有一个 或多个 可推演出结论B即可 3 反证法是一种间接的方法 常常是利用直接证法如综合法 分析法有困难时利用反证法来证明 即 正难则反 分析法的思考顺序是执果索因的顺序 是从B上溯寻其论据 如C C1 C2等 再寻求C C1 C2的论据 如B B1 B2 B3 B4等等 继而寻求B B1 B2 B3 B4的依据 如果其中之一B的论据恰为已知条件 于是命题得证 分析法和综合法是对立统一的两种方法 分析法的证明过程 恰好是综合法的分析 思考过程 即综合法是分析法的逆过程 混淆了它们间的区别与联系