2020版高考数学一轮复习第三章第四节第1课时利用导数解决不等式问题精练文.docx

第1课时利用导数解决不等式问题1.(2018课标全国,21,12分)已知函数f(x)=ax2+x-1ex.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a1时, f(x)+e0.解析本题考查导数的几何意义、导数的综合应用.(1)f (x)=-ax2+(2a-1)x+2ex, f (0)=2.因此曲线y=f(x)在(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.(2)证明:当a1时, f(x)+e(x2+x-1+ex+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+ex+1,则g(x)=2x+1+ex+1.当x-1时,g(x)-1时,g(x)0,g(x)单调递增.所以g(x)g(-1)=0.因此f(x)+e0.2.(2018河北石家庄模拟)已知函数f(x)=ex-3x+3a(e为自然对数的底数,aR).(1)求f(x)的单调区间与极值;(2)求证:当aln3e,且x0时,exx32x+1x-3a.解析(1)由f(x)=ex-3x+3a知, f (x)=ex-3.令f (x)=0,得x=ln 3,于是当x变化时, f (x)和f(x)的变化情况如下表:x(-,ln 3)ln 3(ln 3,+)f (x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增故f(x)的单调递减区间是(-,ln 3),单调递增区间是(ln 3,+),f(x)在x=ln 3处取得极小值,极小值为f(ln 3)=eln3-3ln 3+3a=3(1-ln 3+a).(2)证明:待证不等式等价于ex-32x2+3ax-10,设g(x)=ex-32x2+3ax-1,x0,则g(x)=ex-3x+3a,x0.由(1)及aln3e=ln 3-1知,g(x)的最小值为g(ln 3)=3(1-ln 3+a)0.g(x)在(0,+)上为增函数,g(0)=0,当x0时,g(x)0,即ex-32x2+3ax-10,即exx32x+1x-3a.3.(2019贵州适应性考试)已知函数f(x)=xln x+ax,aR,函数f(x)的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直.(1)求a的值和函数f(x)的单调区间;(2)求证:exf (x).解析(1)由题易知, f (x)=ln x+1+a,x0,因为f(x)的图象在x=1处的切线的斜率k=2,所以f (1)=ln 1+1+a=2,所以a=1.所以f (x)=ln x+2,当xe-2时, f (x)0,当0xe-2时, f (x)0,因为g(x)=ex-1x在(0,+)上单调递增,且g(1)=e-10,g12=e12-20,所以g(x)在12,1上存在唯一的零点t,使得g(t)=et-1t=0,即et=1t12t1.当0xt时,g(x)t时,g(x)g(t)=0,所以g(x)在(0,t)上单调递减,在(t,+)上单调递增,所以x0时,g(x)g(t)=et-ln t-2=1t-ln 1et-2=t+1t-22-2=0,又12t0,即exf (x).4.已知函数f(x)=aln x+b(x+1)x,曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=2.(1)求a,b的值;(2)当x0且x1时,求证: f(x)(x+1)lnxx-1.解析(1)函数f(x)=aln x+b(x+1)x的导数为f (x)=ax-bx2,由曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=2,可得f(1)=2b=2, f (1)=a-b=0,解得a=b=1.(2)证明:当x1时,f(x)(x+1)lnxx-1即为ln x+1+1xln x+2lnxx-1,即x-1x-2ln x0,当0x(x+1)lnxx-1即为x-1x-2ln x1时,g(x)