特殊与一般的思想.docVIP

、特殊与一般的思想和其它方法对比解析1什么是特殊化思想对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.2什么是一般化思想当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想.【例1】设三棱柱的体积为分别是侧棱上的点，且，则四棱锥的体积为（）（）（）（）【分析及解】本题考查棱柱、棱锥的概念与计算.方法一常规方法如图2-18,因为，所以将三棱柱的侧面分成面积相等的两个梯形，从而.又，且三棱柱被分成两个四棱锥与以及三棱锥三部分，所以.方法二特殊化的方法.仔细分析题目的已知条件会发现，三棱柱的形态没给出具体限制，是一般的三棱柱；侧棱上的两点只有的要求，而没有具体位置的限制.从选项来看，所求四棱锥的体积是确定的.由此可以断定，用特殊化方法求解本题可以体现出快捷的特点.首先可以把三棱柱特殊化为直三棱柱，其次还可以将点分别为的中点；也可以使点趋近于点，点趋近于点，即使，使四棱锥特殊化为三棱锥，实际上，这种处理方法也包含有极限的思想.经过特殊化处理后，再求解几何体的体积就要简单得多.除常规方法外的这两种特殊化方法所体现的正是特殊与一般的思想，用特殊的方法来解决一般的问题.【例2】已知函数，若，则（）（）（）（）【分析及解】为了说明本题所体现的出来的数学思想方法，我们先来看解决本题的三种方法.方法一常规方法本题所研究的函数是确定的，其函数解析式已知且不含有参数.如果把看成是两个用字母表示的数，则它们也是确定的，已知的.于是由，得.又，那么为求得的值，实际上就是求怎样用关于的解析式来表示，就是求与的关系.到此，不难发现，有，于是.方法二一般化方法如果我们探究与的关系，产生猜想：如果是奇函数或偶函数，那么由的值求的值就会变得相当简单.具有奇偶性吗？的定义域为，关于原点对称.在定义域内任取和有.所以是定义域内的奇函数，于是.方法三特殊化方法考虑到是选择题，是用字母表示的数，那么不妨取特殊值来进行研究.令，则，那么.比较四个选项后，便可得出，只有（）成立.对于这样一个求函数值的常规问题，其解法中蕴涵着特殊与一般的思维方法.如果将方法一与方法二相比较，方法一是对具体函数、具体函数值的研究，可以认为是对特殊问题的特殊研究.而方法二则是研究这个具体函数的一个一般性质，只要函数是奇函数，无论其解析式是否为，都有.这种研究问题的方法体现出的恰是由特殊到一般的思维方法.由特殊函数，研究它的一个性质，再由一般函数的性质，得出一般的结论.不过最终还要回到这个特殊函数上来，得出所求结果，又由一般回到了特殊.这种特殊一般特殊的研究过程是特殊与一般思想方法的一种思维模式.如果将方法一与方法三相比较，由于方法一中含有字母已知数，而方法三中则是将字母具体化、特殊化，研究它的一咱特殊情况.这种研究问题的方法体现出的恰是由一般到特殊的思维方法.将用字母表示的一般函数值的研究，转化为某个特殊数值的特殊函数值的研究.不过最终还要回到一般上来，利用“特殊情况下命题不成立，那么在含有这个特殊情况的一般情况下这个命题必定不成立”得出一般结论.这种一般特殊一般的研究过程是特殊与一般思想方法的又一种思维模式.可以认为，本例是体现特殊与一般思想方法的一个典型范例.二、特殊与一般的思想应用举例【例3】设是等差数列的前项和，若，则（A） （B） （C） （D）分析：确定一个等差数列需要两个独立条件，而题设中只给出了一个条件，因此不能确定这个等差数列，也就不能求出它的各项，自然也就求不出的值.可以另辟蹊径，构造一个符合条件的特殊数列解此问题.解：由已知条件，令，得公差，求出，所以，选（A）.评析：符合条件的等差数列有无穷多个，虽然的值不确定，但是由选择项可知，的值是确定的，即不因的变化而变化，因此可以通过构造符合条件的特殊数列得出结果，也就是一般性结果，体现了由特殊到一般的“先退后进”的数学思想.【例4】定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ ）A0B1C3D5（提示：取）【例5】在中，为坐标原点，则当的面积达到最大值时，（A） （B） （C） （D）DBAyxCoE分析：由已知，可以把放在平面直角坐标系中边长为的一个正方形的内部（如图），即构造一个特殊的正方形，使它与之间建立关于面积大小的一种关系，在此思路下寻求题目中所求的值.解：在正方形中，得，所以 ， 由可知，当取最小值时，取最大值，此时，选（D）.评析：本题解法的特殊化思想体现了特殊情境的构造，即通过条件，把放在一个正方形的内部，在新的特殊情境之中发现解题思路并求出问题的解.【例6】若，则下列命题正确的是（）（提示：取，可排除A、D；取，可排除C）【例7】已知是上的减函数，那么的取值范围是（A） （B） （C） （D）1oyx分析：已知函数是一个分段函数，从形的方面看，的图象由一条直线的一部分和对数曲线的一部分组成，由条件，图象从左到右应呈下降趋势，若采用由特殊到一般的思想求解，可以对赋特殊值，并检验是否符合题意.解：取，得 如图，显然，在上不是减函数，可排除选项（A），（D）；1oyx再取，得 如图，即在上不是减函数，可排除选项（B），综上，选（C）.评析：求参数取值范围的选择题一般可考虑用特殊值方法求解，根据选择项对参数赋予适当的特殊值，再根据题设条件进行检验.究竟对参数赋予哪些特殊值，通常要结合参数所在的数学式中的位置及相应的数学概念等来考虑，这种特殊化的思想在解此类问题时往往是行之有效的. 【例8】在数列中，且， ，则_.分析：可以考虑先求或，再求，这里采用先求的方法.解：由，得，两式相加得，而，得，所以，.评析：本题的解法采用的是一般化的思想，即把待求的这一特殊值放在一般的中加以研究，正是因为一般性中蕴涵着特殊性，能使我们从该数列的本质特征入手，“先进后退”的解决了问题.【例9】将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 【例10】若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD（提示：取）【例11】两个相同的正四棱锥组成如图（1）所示的几何体，可放入棱长为1的正方体图（2）内，使正四棱锥的底面与正方体的某一个面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）无穷多个图（2）图（1）分析：由已知，图（1）所示的几何体体积由正四棱锥的底面正方形的面积决定，根据该底面与正方体的位置关系，可考虑用一个特殊的平面衬托该底面，以此分析它与正方体的面的关系及该底面的面积情况.图（3）解：把图（1）所示的几何体放入棱长为1的正方体图（2）内，沿正四棱锥的底面所在平面将正方体切开，截面如图（3）所示，由平面几何知识可知，一个正方形有无穷多个边长各不相等的内接小正方形，设其面积为，则图（1）所示的几何体体积等于，选（D）.评析：本题解法的特殊化思想体现在选取一个特殊的位置，即特殊的截面，使正四棱锥的底面和正方体的面可以依托在此截面内，从而将空间问题转化为易于研究的平面问题，这里的特殊化起到了寻找转化途径的作用.【例12】在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（）在区间上是增函数，在区间上是增函数在区间上是增函数，在区间上是减函数在区间上是减函数，在区间上是增函数在区间上是减函数，在区间上是减函数【分析及解】由条件知是以2为周期的周期函数，取，求单调区间.令，解得增函数区间为，取，得增区间；令，解得减函数区间为，取，得减区间；从而选C.【例13】（07上海）已知和是两个不相等的正整数，且，则（ ）A0B1CD【分析及解】取，得从而选C.【例14】（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则_ ；_（答案用表示）. 分析：通过观察与计算，得出 ，然后归纳探求其内在的变化规律，猜想出结论的一般形式，并给出证明. 解：，下一堆球的个数等于其第一层球的个数与上一堆球的个数之和，而各堆第一层球的个数分别是，于是可得， ，猜想：，此命题可用数学归纳法证明（略）.评析：归纳是通过对某类事物中的若干特殊情形分析得出一般结论的思维方法，本题的核心就是由特殊的得到一般的，其主要意义是它的猜测发现，其重要作用是启发解决问题的思路.【例15】（2006年浙江卷）如图，正四面体的棱长为1，棱平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是_.DCBA分析：为了解决此问题，可考虑平面几何中与此类同的问题：求边长为1的正三角形上的所有点在一条直线上的射影构成的线段长的取值范围.从解决平面问题的方法中得到解决立体问题的思路.1ab解：在上述平面几何问题中，让正三角形绕其一个顶点旋转，如图，当正三角形的一条边平行于直线a时，在直线a上的射影为正三角形的边，是最大射影长为；当正三角形的一条边垂直于直线a时（图中），在直线a上的射影为正三角形的高，是最小射影长为（证明略），得射影的取值范围是.有了平面几何问题的结论和已知棱平面，可类比得到立体几何问题的结论：当正四面体的棱时，可得正四面体在内的射影最大面积，是对角线长为（正四面体的棱长）的正方形的面积等于，当时，可得正四面体在内的射影最小面积，是底边长为（正四面体的棱长）且对应高为（对棱间的距离）的三角形的面积等于，由此可得所求射影图形面积的取值范围是（射影图及证明略）.评析：本题的解法采用了由特殊（平面）到一般（空间）的类比方法，关键是从联想的角度先考虑平面几何中的类似问题（相对容易一些），从中挖掘出立体几何中相关问题的突破点，也为充分发挥空间想象能力提供重要线索.四、复习建议1明确特殊化思想的特点特殊情形相对一般情形而言是比较简单、直观和具体的，因而常常易于找出特殊情形的解答，而且普遍性存在于特殊性之中，一些特殊情形的解答过程常常蕴含着一般问题的解法途径或思路，因此，特殊化思想是探索一般性问题的解题途径的重要思想之一.2明确一般化思想的特点 从一般性问题入手，可以使我们的视野更为广阔，避免在枝节问题上纠缠，容易触及问题的本质.同时，由于限制条件减少，涉及范围增大，更容易引起联想，发现各种条件与结论之间的内在联系.因此，