2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.1.1任意角讲义新人教A版必修第一册.docx

5.1.1任意角学 习 目 标核 心 素 养1.理解任意角的概念2掌握终边相同角的含义及其表示(重点、难点)3掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法(难点、易混点)1.通过终边相同角的计算，培养数学运算素养2借助任意角的终边位置的确定，提升逻辑推理素养.1角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形2角的表示如图，(1)始边：射线的起始位置OA，(2)终边：射线的终止位置OB，(3)顶点：射线的端点O.这时，图中的角可记为“角”或“”或简记为“”3任意角的分类(1)按旋转方向分(2)按角的终边位置分前提：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合分类：4终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和思考：终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360的整数倍；相等的角，终边相同1下列说法正确的是()A三角形的内角是第一象限角或第二象限角B第四象限的角一定是负角C60角与600角是终边相同的角D将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60DA错误，90角既不是第一象限角也不是第二象限角；B错误，280角是第四象限角，但它不是负角；C错误，60060540不是360的倍数；D正确，分针转一周为60分钟，转过的角度为360，将分针拨慢是逆时针旋转，拨慢10分钟转过的角为36060.250角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是_670由题意知，所得角是502360670.3已知0360，且与600角终边相同，则_，它是第_象限角240三因为600360240，所以240角与600角终边相同，且0240360，故240，它是第三象限角角的有关概念的判断【例1】(1)给出下列说法：锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；小于180的角是钝角、直角或锐角；始边和终边重合的角是零角其中正确说法的序号为_(把正确说法的序号都写上)(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角420.855.510.(1)锐角是大于0且小于90的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以正确；350角是第一象限角，但它是负角，所以错误；0角是小于180的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以错误；360角的始边与终边重合，但它不是零角，所以错误(2)解作出各角的终边，如图所示：由图可知：420是第一象限角855是第二象限角510是第三象限角1理解角的概念的关键与技巧：(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可2象限角的判定方法：(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限(2)第一步，将写成k360(kZ,0360)的形式；第二步，判断的终边所在的象限；第三步，根据的终边所在的象限，即可确定的终边所在的象限提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”1已知集合A第一象限角，B锐角，C小于90的角，则下面关系正确的是()AABCBACCACB DBCCD由已知得BC，所以BCC，故D正确2给出下列四个命题：75是第四象限角；225是第三象限角；475是第二象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()A1个B2个 C3个D4个D90750，180225270，36090475360180，360315270.所以这四个命题都是正确的终边相同的角的表示及应用【例2】(1)将885化为k360(0360，kZ)的形式是_(2)写出与1 910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来思路点拨(1)根据885与k360，kZ的关系确定k.(2)先写出与终边相同的角k360，kZ，再由已知不等式确定k的可能取值(1)(3)3601958851 080195(3)360195.(2)解与1 910终边相同的角的集合为|k3601 910，kZ720360，即720k3601 910360(kZ)，3k6(kZ)，故取k4,5,6.k4时，43601 910470；k5时，53601 910110；k6时，63601 910250.1在0到360范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角化成k360的形式(其中0360，kZ)，其中的就是所求的角(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360的方式；当所给角是正角时，采用连续减360的方式，直到所得结果达到要求为止2运用终边相同的角的注意点所有与角终边相同的角，连同角在内可以用式子k360，kZ表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉(2)是任意角(3)k360与之间用“”连接，如k36030应看成k360(30)，kZ.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍提醒：表示终边相同的角，kZ这一条件不能少3下面与85012终边相同的角是()A23012B22948C12948 D13012B与85012终边相同的角可表示为85012k360(kZ)，当k3时，850121 08022948.4在360360之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限790；20.解7902360703360290，在360360之间与它终边相同的角是70和290，它们都是第一象限的角20360340，在360360之间与它终边相同的角是20和340，它们都是第四象限的角任意角终边位置的确定和表示探究问题1若射线OA的位置是k36010，kZ，射线OA绕点O逆时针旋转90经过的区域为D，则终边落在区域D(包括边界)的角的集合应如何表示？提示：终边落在区域D包括边界的角的集合可表示为|k36010k360100，kZ2若角与的终边关于x轴、y轴、原点、直线yx对称，则角与分别具有怎样的关系？提示：(1)关于x轴对称：若角与的终边关于x轴对称，则角与的关系是k360，kZ.(2)关于y轴对称：若角与的终边关于y轴对称，则角与的关系是180k360，kZ.(3)关于原点对称：若角与的终边关于原点对称，则角与的关系是180k360，kZ.(4)关于直线yx对称：若角与的终边关于直线yx对称，则角与的关系是90k360，kZ.【例3】(1)若是第一象限角，则是()A第一象限角 B第一、四象限角C第二象限角 D第二、四象限角(2)已知，如图所示分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合思路点拨(1)(2)(1)D因为是第一象限角，所以k360k36090，kZ，所以k180k18045，kZ，所以是第一、三象限角，又因为与的终边关于x轴对称，所以是第二、四象限角(2)解终边落在OA位置上的角的集合为|9045k360，kZ|135k360，kZ；终边落在OB位置上的角的集合为|30k360，kZ由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于30，135之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为|30k360135k360，kZ1若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？解在0360范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60105与240285，所以所有满足题意的角为|k36060k360105，kZ|k360240k360285，kZ|2k180602k180105，kZ|(2k1)18060(2k1)180105，kZ|n18060n180105，nZ故角的取值集合为|n18060n180105，nZ2若将本例(2)改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？解在0360范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150225，则所有满足条件的角为|k360150k360225，kZ1表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间x|x，其中360；第三步：起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区间角集合2n或所在象限的判断方法：(1)用不等式表示出角n或的范围；(2)用旋转的观点确定角n或所在象限例如：k120k12030，kZ.由030，每次逆时针旋转120可得终边的位置提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异1角的旋转定义给出后，就将原来0360间的角扩展为任意的正角、负角和零角，从而为角和实数之间建立对应关系奠定了基础2明确象限角的概念，是判断一个角是第几象限角或轴线角的保证3理解终边相同角的含义，做到会用集合表示终边相同的角，会求符合某种条件的角1思考辨析(1)第二象限角大于第一象限角()(2)第二象限角是钝角()(3)终边相同的角一定相等()(4)终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍()提示(1)错误如第二象限角100小于第一象限角361.(2)错误如第二象限角181不是钝角(3)错误终边相同的角可表示为k360，kZ，即与不一定相等(4)都正确答案(1)(2)(3)(4)2下列各个角中与2 019终边相同的是()A149B679C319 D219D因为2 0193605219，所以与2 019终边相同的角是219.3已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是_|k36045k360150，kZ观察图形可知，角的集合是|k36045k360