通信原理--随机过程.ppt

1 第2章随机信号分析 3 1引言3 2随机过程一般描述3 3平稳随机过程3 4平稳随机过程的相关函数与功率谱 3 5高斯过程 3 6窄带随机过程3 7正弦波加窄带高斯噪声3 8随机过程通过线性系统 2 3 1引言 自然界中事物的变化过程 确定性过程 变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述 随机过程 变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述 随机信号和随机噪声的基本概念 随机信号 实际通信系统中由信源发出的信息是随机的 或者说是不可预知的 因而携带信息的信号也是随机的 这种具有随机性的信号称为随机信号 随机噪声 携带了信息的信号在传输过程中将受到噪声的污染 而噪声也是随机的 称为随机噪声 3 3 2随机过程的一般描述 描述随机信号的数学工具是随机过程 随机过程的数学定义 设随机试验E的可能结果为 t 试验的样本空间S为 x1 t x2 t xn t xi t 是第i次试验的样本函数或实现 每次试验得到一个样本函数 所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程 记作 t 两层含义 随机过程 t 在任一时刻都是随机变量 随机过程 t 是大量样本函数的集合 4 随机过程 无穷多个随机函数的总体在统计学中称作一个随机函数的总集 又称随机过程 5 其一 它是一个时间函数 其二 在固定的某一观察时刻t1 t1 是随机变量 随机过程具有随机变量和时间函数的特点 随机过程 t 在任一时刻都是随机变量 随机过程 t 是大量样本函数的集合 3 2 1随机过程基本特征 当随机变量x的取值个数是有限的或可数无穷个时 则称它为离散随机变量 否则 就称它为连续随机变量 即可能的取值充满某一有限或无限区间 6 3 2 2随机过程的统计描述 1 随机变量的概率分布函数和概率密度函数 设 t 表示一个随机过程 在任意给定的时刻t1 T 其取值 t1 是一个一维随机变量 一维分布函数 随机变量 t1 小于或等于某一数值x1的概率 即 F1 x1 t1 P t1 x1 为随机过程 t 的一维分布函数 一维概率密度函数 随机过程的一维分布函数 或一维概率密度函数 仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性 7 任给两个时刻t1 t2 T 则随机变量 t1 和 t2 构成一个二元随机变量 t1 t2 把两个事件 t1 x1 和 t2 x2 同时出现的概率定义为二维随机变量 t 的二维分布函数 F2 x1 x2 t1 t2 P t1 x1 t2 x2 二维概率密度函数 二维分布函数 n维分布函数 Fn x1 xn t1 tn P t1 x1 tn xn n维概率密度函数 8 2 随机过程的数字特征 随机过程的一维数字特征 数学期望 设P xi i 1 2 K 是离散随机变量 t 的取值xi的概率 则其数学期望为 对于连续随机变量X 设f x 为其概率密度函数 则其数学期望为 它本该在t1时刻求得 但t1是任意的 所以它是时间t的函数 反映了随机变量取值的集中位置 均值 9 方差 随机过程的二维数字特征 自协方差函数用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性 自相关函数 反映了随机变量的集中程度 10 二者关系为 如果B t1 t2 和R t1 t2 是衡量同一随机过程不同时刻的相关程度的 称为自协方差函数和自相关函数 如果是两个或多个随机过程 用互协方差函数和互相关函数描述不同随机过程在不同时刻的相关程度 引入时间间隔 自相关函数定义 11 试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差 例1 自相关函数的性质 互相关函数的性质 如果 表示两个随机过程是不相关 正交的随机过程 12 3 3平稳随机过程 3 3 1定义 对于任意的正整数n和任意实数t1 t2 tn 随机过程 t 的n维概率密度函数满足 则称 t 为平稳随机过程 严平稳随机过程或狭义平稳随机过程 一维分布函数 二维分布函数 平稳随机过程的数学期望 2 3 2平稳随机过程的特点 13 平稳随机过程的方差 平稳随机过程的一维概率密度与时间无关 二维概率密度只与时间间隔 有关 数学期望和方差均与时间无关 它的自相关函数只与时间间隔 有关 推论 自相关函数 14 3 3 3广义平稳随机过程 定义 若随机过程 t 的数学期望和方差与时间无关 自相关函数仅是 的函数 则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程 各态历经性 假设是一个平稳随机过程 该随机过程统计平均 数学期望 可用时间平均代替 15 该随机过程统计自相关函数可用时间自相关函数代替 称该平稳随机过程具有各态历经性 遍历性 各态历经 的含义 随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态 该随机过程的统计方差可用时间方差代替 16 试证明随相信号是广义平稳随机过程 其中 是常数 相位是在上均匀分布的随机变量 例2 17 3 4平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 3 4 1自相关函数的意义 平稳随机过程的统计特性 如数字特征等 可通过自相关函数来描述 自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系 3 4 2自相关函数主要性质 R 0 为 t 的平均功率 R 为偶函数 R 0 为R 的上界 R 为 t 的直流功率 R 0 R 为 t 的交流功率 方差 18 3 4 3平稳随机过程的频谱特性 确定信号f t 的自相关函数与其功率谱密度之间有确定的傅立叶变换关系 平稳随机过程 t 的自相关函数与其功率谱密度之间也互为傅立叶变换关系 上式也称之为维纳 辛钦定理 具体推倒过程详见P17 18 19 例3 某随机过程自相关函数为R 求功率谱密度 解 20 求随机相位正弦波的自相关函数与功率谱密度 常数 在 0 2 均匀分布 例4 1 先考察 t 是否广义平稳 解 2 计算 t 的功率谱密度 21 3 5高斯过程 3 3 1高斯分布概率密度函数及其特点 一维高斯分布概率密度函数 一维高斯分布概率密度函数的特点 对称于均值a a表示分布中心 表示集中程度 当a 0 1时 称f x 为标准正态分布的密度函数 在 a 单调上升 a 单调下降 22 正态分布函数 概率积分函数 误差函数 互补误差函数 与概率积分函数的关系 误差函数的定义式 互补误差函数 23 与概率积分函数的关系 x a P47 x a 24 3 5 1高斯过程的定义 若随机过程 t 的任意n维 n 1 2 分布都是正态分布 则称它为高斯随机过程或正态过程 其n维正态概率密度函数表示如下 其中 详细叙述见P19 25 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望 方差和两两之间的归一化协方差函数所决定 因此对于高斯过程 只要研究它的数字特征就可以了 如果过程是宽平稳的 即其均值与时间无关 协方差函数只与时间间隔有关 而与时间起点无关 则它的n维分布也与时间起点无关 故它也是严平稳的 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的 则即对所有j k 有bjk 0 于是 3 5 2高斯过程的特点 统计独立 26 例5 解 2 27 3 6窄带随机过程 3 6 1窄带随机过程的定义 通信系统示意图 窄带条件 中心频率为fc 带宽为 f 当 f fc时 就可认为满足窄带条件 窄带随机过程 当随机过程的功率谱满足窄带条件 窄带滤波器 带通滤波器的传输函数满足窄带条件 28 一个频率近似为fc 包络和相位随机缓变的正弦波 29 3 6 2窄带过程的数学表示 用包络和相位的变化表示 用同相分量和正交分量表示 同相分量 正交分量 30 3 6 3零均值平稳高斯窄带随机过程的统计特性 数学期望 自相关函数 互相关性 即同一时刻和互不相关或统计独立 31 方差 一个均值为零的窄带平稳高斯过程 t 它的同相分量 c t 和正交分量 s t 也是平稳高斯过程 c t 与 s t 互不相关 若为高斯过程则统计独立 具有相同的平均功率 均方值 重要结论 32 3 6 4包络和相位的统计特性 分布函数 服从瑞利分布 服从均匀分布 瑞利分布的特点 a 概率分布的用途 在数据通信系统中用来求解误码率 最大值发生在a 处 一维分布而言 a t 与 t 是统计独立的 即有下式成立 33 3 6 5白噪声 白噪声的定义 功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声 称之为白噪声 白噪声的自相关函数 维纳 辛钦定理 白噪声的相关函数与功率谱密度 34 带限白噪声 白噪声被限制在 f1 f2 之内 常见的限带白噪声有两种 a 理想低通型白噪声 b 理想带通型白噪声 理想低通白噪声 35 理想带通白噪声 36 高斯白噪声 概率论的中心极限定理 N个统计独立的随机变量之和的分布 在N 的极限情况下 趋于高斯分布 而不考虑每个随机变量的具体分布如何 热噪声和散粒噪声瞬时振幅的概率密度是高斯分布 热噪声和散粒噪声是高斯型白噪声 如果白噪声服从高斯分布 则称之为高斯白噪声 高斯白噪声在任意两个不同的时刻的取值不仅是不相关的 而且还是统计独立的 37 3 7正弦波加窄带高斯过程 设信号 窄带高斯噪声 混合波形 同相分量 正交分量 均值为零的窄带高斯过程 3 7 1用同相分量 正交分量描述 正弦波 在 0 2 均匀分布 38 3 7 2用信号r t 的包络和相位描述 随机包络 随机相位 r t 的包络的概率密度函数为 具体推导见P26 28 广义瑞利分布 莱斯 Rice 密度函数 瑞利分布 两种极限情况 小信号 39 高斯分布 大信号 r t 的相位的概率密度函数 小信噪比时f 接近于均匀分布 大信噪比时f 主要集中在有用信号相位附近 40 3 8随机过程通过线性系统 3 8 1经典系统分析的回顾 时域 确定性信号通过线性系统 频域 谱密度之间的关系 2 6 2输入是平稳随机过程 随机过程通过线性系统 需要解决两个问题 a 输入平稳 输出平稳否 b 输入 输出功率谱密度之间的关系 41 3 6 3输出随机过程的统计特性 的数学期望 条件假设 i t 平稳 E i t 为已知 h t 为已知 根据平稳性假定 输出过程的数学期望与t无关 42 的自相关函数 根据平稳性假定 输出过程是广义平稳的 平稳随机过程经线性系统传输后 输出仍然为平稳随机过程 输入是各态历经的随机过程 输出也是各态历经的随机过程 输入是高斯过程 输出也是高斯过程 只是均值和方差发生了变化 结论 推论 43 的功率谱密度 维纳 欣辛定理 任何时候其自相关函数和功率谱密度都是一对付氏变换 变量代换 和确定信号的结论相同 44 输出过程 o t 的概率分布 从原理上