2019_2020学年高中数学第2章数列章末复习课学案新人教B版必修5.docx

第2章 数列求数列的通项公式【例1】已知数列an中，an0，Sn是数列an的前n项和，且an2Sn，求an.解将an2Sn变形为a12Snan.将anSnSn1(n2)代入并化简，得SS1.由已知可求得S1a11.数列S是等差数列，公差为1，首项为1.S1(n1)1n.an0，Sn0.Sn.n2时，an.而n1时，a11也适合上式数列an的通项公式为an，nN.1定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目2已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式an求解3由递推公式求数列通项法(1)已知形如“an1cand”的递推公式，一般利用待定系数法把关系式转化为等比数列求an.(2)已知形如“an1panpn1q”的递推公式，一般转化为q，利用为等差数列求an.(3)已知形如“an1anf(n)”的递推公式，可考虑叠加法求an.(4)已知形如“an1f(n)an”的递推公式，则可考虑累乘法求an.1已知数列an中，a11，且an1an3nn，求数列an的通项公式解由an1an3nn，得anan13n1(n1)，an1an23n2(n2)，a3a2322，a2a131.当n2时，以上n1个等式两边分别相加，得(anan1)(an1an2)(a2a1)3n13n23(n1)(n2)1，即ana1.又a11，an3n.显然a11也适合上式，an的通项公式为an3n.等差、等比数列的判断【例2】已知数列an、bn满足：a11，a2a(a为常数)，且bnanan1，其中n1,2,3，.(1)若an是等比数列，试求数列bn的前n项和Sn的公式；(2)当bn是等比数列时，甲同学说：an一定是等比数列；乙同学说：an一定不是等比数列你认为他们的说法是否正确？为什么？解(1)因为an是等比数列，a11，a2a，所以a0，anan1.又bnanan1，则b1a1a2a，a2，即bn是以a为首项，a2为公比的等比数列所以Sn(2)甲、乙两个同学说法都不正确，理由如下：法一：设bn的公比为q，则q，且a0，又a11，a2a，a1，a3，a5，a2n1，是以1为首项，q为公比的等比数列；a2，a4，a6，a2n，是以a为首项，q为公比的等比数列即an为：1，a，q，aq，q2，aq2，当qa2时，an是等比数列；当qa2时，an不是等比数列法二：an可能是等比数列，也可能不是等比数列，举例说明如下：设bn的公比为q.取aq1时，an1(nN)，此时bnanan11，an、bn都是等比数列取a2，q1时，anbn2(nN)此时bn是等比数列，而an不是等比数列判定一个数列是等差或等比数列的常用方法：(1)定义法an1and(d为常数，nN)an是等差数列q(q为非零常数，nN)an是等比数列(2)中项法2an1anan2(nN)an是等差数列aanan2(anan1an20，nN)an为等比数列(3)通项公式法anpnq(p，q为常数，nN)an是等差数列ancqn(c，q均为非零常数，nN)an是等比数列(4)前n项和公式法SnAn2Bn(A，B均为常数，nN)an是等差数列Snkqnk(k为常数，q1且q0，nN)an是等比数列2已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)求证：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解(1)证明：由题意知anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)存在4满足题意理由如下：由题设知a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31，令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n32(2n1)1，a2n是首项为3，公差为4的等差数列a2n4n12(2n)1.所以对于任意的nN，an2n1.因为an1an2.所以数列an是首项为1，公差为2的等差数列因此假设成立，存在4使得数列an为等差数列.数列求和【例3】(1)已知等比数列an中，a13，a481，若数列bn满足bnlog3an，则数列的前n项和Sn_.(2)设数列an满足a12，an1an322n1.求数列an的通项公式；令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设等比数列an的公比为q，则q327，解得q3.所以ana1qn133n13n，故bnlog3ann，所以.则Sn11.(2)由已知，当n1时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12，符合上式，所以数列an的通项公式为an22n1.由bnnann22n1知Sn12223325n22n1，()从而22Sn123225327n22n1，()()()得(122)Sn2232522n1n22n1，即Sn(3n1)22n12数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解一般常见的求和方法有：(1)公式法(直接利用等差或等比数列的前n项和公式)；(2)分组求和法；(3)错位相减法；(4)倒序相加法；(5)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解3已知正项数列an中，a11，点(，an1)(nN)在函数yx21的图象上，数列bn的前n项和Sn2bn.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cn，求cn的前n项和Tn.解(1)点(nN)在函数yx21的图象上，an1an1，数列an是公差为1的等差数列a11，an1(n1)n，Sn2bn，Sn12bn1，两式相减得：bn1bn1bn，即，由S12b1，即b12b1，得b11.数列bn是首项为1，公比为的等比数列，bnn1.(2)log2bn1log2nn，cn，Tnc1c2cn1.函数与方程思想在数列中的应用【例4】(1)已知数列an的首项为a121，前n项和为Snan2bn，等比数列bn的前n项和Tn2n1a，则Sn的最大值为_；(2)若等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，则通项公式an_.解析(1)由Tn22na，可求得a2，所以Sn2n2bn，所以数列an为等差数列，又因为a121，Sn2n2bn，故b21(2)23，所以Sn2n223n22，当n6时，Sn取得最大值66.(2)因为a1a72a4a2a6，所以a1a4a73a415，所以a45，所以a2a610且a2a69，所以a2，a6是方程x210x90的两根，解得或若a21，a69，则d2，所以an2n3；若a29，a61，则d2，所以an132n.故an2n3或an132n.答案(1)66(2)2n3或132n1在等差(比)数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量a1，d(或q)，n，an及Sn，已知这5个量中任意3个量的值，就可以运用方程思想，解方程(或方程组)求出另外2个量的值2数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集)的特殊函数运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列前n项和公式与二次函数有密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题4已知数列an中，a1，anan12an11(n2，nN)，数列bn满足bn(nN)(1)求证：bn是等差数列；(2)求数列a