浙江大学历年微积分(1)试卷解答-极限与连续.pdf

浙江大学微积分 浙江大学微积分 1 历年试题分类解答 极限与连续 历年试题分类解答 极限与连续 1 浙江大学 微积分浙江大学 微积分 1 历年期末考试试题 历年期末考试试题 一一 极限与连续极限与连续 函数极限计算的一般方法 函数极限计算的一般方法 1 先确定极限的类型 特别要注意在哪一点求极限 2 经过初等变换和无穷小量的等价无穷小量的等价 化简函数表达式 使求导计算尽可能简单 3 分母若为低阶 2 3 阶 无穷小量 可用l hosptial 法则 若为高阶无穷小量 可考虑用taylor 展开 不过在应用taylor 展开时 要求 对有关展开式比较熟悉 否则还是 慎用 常见的等价无穷小量 常见的等价无穷小量 2 0 1 sin 2 tan 3 ln 1 4 1 5 arctan 6 arcsin 7 1cos 8 1 1 2 x x xxxxxxex x xxxxxxx 当时 常见的等价无穷小量 常见函数的常见函数的maclaurin展开式 展开式 5 2335 35 243 455 335 555 1 1 2 sin 2 3 3 5 2 3 cos1 4 tan 2 4 315 3 5 arcsin 6 arctan 64035 7 ln 1 x maclaurinx xxxx exo xxxo x xxx xo xxxxo x xxx xxxo xxxo x xx 常见函数的展开式 最高展开到 23 322 1 8 1 1 232 xx o xxxxo x 两个重要极限 两个重要极限 1 00 sin1 1 lim1 2 lim 1 lim 1 x x xxx x ex xx 浙江大学微积分 浙江大学微积分 1 历年试题分类解答 极限与连续 历年试题分类解答 极限与连续 2 关于关于 1 型极限的计算 型极限的计算 1 lim 0 lim lim lim 1 ln 1 limln 1 lim lim 1 lim 1 lim1 g x a xaxaxaxa g x xaxa g x a xa g x f x xaxa f xg xf x g xaf xe f x f xf x g xa f x f xe f xf x 设 且 则 由于 根据连续函数的性质 此类极限计算的说明 f x g x a e 一些常见函数的极限 一些常见函数的极限 1 000 1 1 limlimlim0 1 0 ln1ln 2 0limlim0 lim0 1 ln 3 0limlnlimlim k xxx xxx xxx xxx xxk x eee kl hosptialk xx xxx x x xx xx l l 注 运用此法则后 可以使 当时 特别的 当时 1 0 111 0 00 lim0 limlimlim0 lim2lim 2lim 20 x xxx xxx xxx x xx x eee 注 极限并不存在 因为 同样 极限也不存在 因为 对于一些复杂的数列极限 一般利用函数极限的 归结原理 化为函对于一些复杂的数列极限 一般利用函数极限的 归结原理 化为函 数极限进行计算数极限进行计算 函数极限的 归结原理 函数极限的 归结原理 0 0 00 lim lim lim xx nnnn nn f xxf xa xx xxxf xa 设在的某领域内有定义 则 对任意满足 的数列均有 浙江大学微积分 浙江大学微积分 1 历年试题分类解答 极限与连续 历年试题分类解答 极限与连续 3 1 2 lim 2sin 2 x xxxx 求 22 22 11 121 2 2sin 2 2sin4 limlim 2sin 2 2sin 2 2sin4 lim1 12sin 12 lim 25 2 xx x x xxxxxx i xxxxxxxx xxx xxxx xxuu xxx xu 注 计算时的极限 一般宜通过变量代换化为的极限 例如 令 22 2 2 2 25 2 lim 25 2 lim 25 2 21 lim1 25 2 uu u uuu iuuu uuu u uuu 则 2 0 11 lim 1 x x xe 求 2 000 22 2 00 1111 limlimlim 1 22 1 1 1 11 2 limlim 1 2 xxx x xxx x x xx exexe i x exx xxo xx ex i x ex 方法一 方法二 3 2 sin lim ln x xxx xx 求 2 2 sin 11 sin limlim2 ln ln 1 ln1 limlim0 xu uu l hosptial uu u uuu u i u uu u u uu 法则 其中 4 0 sintan lim tan 1 ln 1 x x xx x ex 求 2 33 00 1 tan cos1 1 2 limlim 2 xx xx xx i xx 5 3 0 12cos lim 1 3 x x x x 求 cos1 2 ln 1 3 3322 0000 cos11 ln 1 1cos11 32 limlimlimlim 336 x x xxxx x xx ex i xxxx 浙江大学微积分 浙江大学微积分 1 历年试题分类解答 极限与连续 历年试题分类解答 极限与连续 4 6 32 0 ln 1 sin lim 11 x xx x 求 00 2 2 0 3 223 0 2 1 cos ln 1 sin 1 lim3lim 1 2 3 1 sin 3 1 3lim 22 1 3 26 lim 1 2 3 xx x x x xx x i x x x x x xxo xxo x i x 方法一 方法二 7 2 1 0 lim x x x ex 求 2 2 2 111 2 1 0 2 00 1 2 0000 1 1 2 0 lim 1 1 111 limlim 22 ln 11 limlnlimlimlim 2 2 2 lim x x ex x exx x xx xx x x xx xx xxxx x x x iexe exe xx yex exex y xx exx ex exe 方法一 其中 方法二 记 则 因此 对数求极限法 8 2 2 411 lim sin x xxx xx 求 2 2 2 2 111 41 41 1 limlim1 sin sin 1 xu uu uuu uuu i u uu u 9 2 1 sin 0 lim cos x x x 求 2 1 1cos1 2 cos1sin 0 2 22 00 lim 1 cos1 1 cos11 2 limlim sin2 x x x x xx ixe x x x 其中 浙江大学微积分 浙江大学微积分 1 历年试题分类解答 极限与连续 历年试题分类解答 极限与连续 5 10 2 1 0 sin lim x x x x 求 3 sin 1 sin 6 0 32 00 sin lim 1 sincos11 limlim 36 xx x x x x x xx xx ie x xxx xx 其中 11 2 1 0 lim sincos x x xxx 求 2 1 1sincos1 2 sincos1 0 22 000 lim 1 sincos1 sincos1sincos111 limlimlim1 22 xxx xxx x x xxx ixxxe xxxxx xxx 其中 12 2 1 2 0 lim sincos x x xx 求 2 22 11sincos1 2 2 sincos1 0 22 222 000 lim 1 sincos1 sincos1sincos111 limlimlim1 22 xx xxx x xxx ixxe xxxx xxx 其中 13 2 1 0 2cos lim 3 x x x 求 2 2 3cos1 1 cos1 3 6 2 00 1 1 6 2 000 cos1cos11 1 lim 1 lim 336 2cos 2 3 ln 2cos ln3sin1 limlnlimlim 2 2cos 6 x x x xx x xxx xx ie x x y xx yie xxx 其中 令 则 故 14 2 0 111 lim 2 x x x 若 求 的值 2 2 2 000 2 2 200 1 1111 2 limlimlim2 22 11 limlim2 22 11 a xxx xx x x x xx x ix xx 方法一 由于 则 方法二 则 浙江大学微积分 浙江大学微积分 1 历年试题分类解答 极限与连续 历年试题分类解答 极限与连续 6 15 1 12 1 1 1 lim n nn n n uu nnn l设 求 11 1 0 00 1 1 0 1 1 limlnlimln 1 ln 1 ln 1 1 ln2ln 1 ln2 1ln2 2ln21 lim4 n n nn k n n kx ux dxxxdx nnx xx ue 因此 16 f xu xv xg xu xv x 设 并设 0 lim x u x 与 0 lim x v x 均不存在 下列结论正确的是 a 若 0 lim x f x 不存在 则 0 lim x g x 必存在 b 若 0 lim x f x 不存在 则 0 lim x g x 必不存在 c 若 0 lim x f x 存在 则 0 lim x g x 必不存在 d 若 0 lim x f x 存在 则 0 lim x g x 必存在 00 00 0 00 21 1 lim lim 11 2 1 lim lim 1 3 lim 22 lim lim 4 xx xx x xx u xv xf xg x xx u xv xf xg x xx f xg xf xg x u xv xg x u xv xc d 设 则 不存在 也不存在 设 则 不存在 但 由于 若也存在 则 均存在 故 是正确的 若正 0000 lim lim lim lim xxxx f xg xu xv x 确 即 均存在 则 均存在 17 1 lim 1 nx nx n xe xf xf x e 设 定义 试讨论的连续性 00 1 1 01 lim0 12 1 0 limlim1 11 2 lim 0 lim 10 1 0 nx nx nx n nxe nxnx nn xx xex xf xxxf x e xex xf x ee f xf xxf x xxf x 当时 当时 当时 由于 故 为的第一类间断点 对 且 函数均连续 浙江大学微积分 浙江大学微积分 1 历年试题分类解答 极限与连续 历年试题分类解答 极限与连续 7 18 3 2 62 00 arcsin 1 xx t tt dtedt 设 则0 x 时 a 与是同阶但不等价无穷小 b 与是等价无穷小 c 是的高价无穷小 d 是的高价无穷小 3 2 2 3 2 2 322 623 32 0 32 32 000 0 32 00 2 62 0 000 0 1 arctan arcsin 1arctan1 3 limlimlim 399 1 11 limlim 33 ar arcsin limlimlim 1 x xxx x t x xx x x xxxt xxx tt dt x xx x edt e xx x tt dt edt 方法一 故 与是同阶而不等价的无穷小量 方法二 2 22 33 2 2 3 2 0 2 3 1 csin 3 1 1arcsin1 lim 33 x x xx e xx xx a 因此 是与同阶但不等价的无穷小量 故 选 19 1 0 0 x xex f xf xf t dt xx 设 0f xx 则 在处 a 极限不存在 b 极限存在 但不连续 c 连续但不可导 d 可 导 1 1 2 0 1 10 11 00 11 0 0 0 1 0 0 1 2 2 00 lim lim 1 00 lim 1lim 1 0 0 3 0 lim x tx x t x xx x x x xf xe dtee x xf xe dttdte ff xeee ff xef xef f xx f x f 当时 当时 由此可得 故 因此 在处连续 11 0 2 11 00 0 1 lim1 1 1 0 2 0 limlim0 0 0 x x xx feee xx x ee f xf f xx f xxc xf xf x 因此 在处不可导 故 选 注 实际上 为的第一类间断点 因此 不存在原函数 浙江大学微积分 浙江大学微积分 1 历年试题分类解答 极限与连续 历年试题分类解答 极限与连续 8 20 设 fa 存在 0fa 求 11 lim xa fa xaf xf a 00 0 0 11 limlim 1 lim 1 lim xxxx xx xx f xf afa xa fa xaf xf afa xaf xf a fxfa l hoaptial faf xf axa fx fxfa xa f xf a fa fx xa 注 不能再用法则 2 2 fa fa 21 设 f x 在 a 内可导 且 lim x fxa 证明 lim x f x a x limlim 1 1 000 2 2 22 2 000 2 xx f xfx l hosptiala x axxxfx xxf xf xfxxxx f xf xf xf xxf xx f xx xgxg g 因此 当时 故 若 令 则 由上可得 所以 浙江大学微积分 浙江大学微积分 1 历年试题分类解答 极限与连续 历年试题分类解答 极限与连续 9 22 设 212 2 lim 1 n n n xxx f x x 则 f x 的不连续点的个数为 a 0 个 b 1 个 c 2 个 d 多于 2 个 2 212 2 1 3 1 2 lim 1 1 1 2 1 1 10 2 10 1 10 1 10 0 211 n n n xxx x xxx f x x x x x ffff f xxx 由于 而 故 的不连续点共有个 和 23 设 f x 连续 且 f x 在0 x 处存在一阶导数 且 0 0f 0 1 f 并 设 2 0 x f xf u du 已知当0 x 时 f x 与 n ax 为等价无穷小 求 a与 n的值 22 22 00 00 222 00 11 00 222 235 000 d d 1 limlim 2 d 2 limlim 22 2 0 limlimlim 1 1 1 xx nn xx xx nn xx nnn xxx xf uuu f uu f x axax xf xxf uux f xxf u du anxanx f xxf xf xf an nxan nxan nxx 2 2 2 00 2 52 0 2 52 0 2 52 0 0 2 lim1lim 0 1 2 0 5lim 1 2 0 5lim0 1 5 2 0 1 5lim1 1 10 n xx n x n x n x f xf xf f axx f xf n an nxx f x