2015年全国大学生数学建模竞赛A题全国二等奖优秀论文.doc

太阳影子定位摘要如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法，该技术的日益成熟将有利于对视频中的场景进行大致定位和推算出拍摄时间。可能会对部分案件的破解等事件产生极大的帮助。为了更精确的计算视频中的拍摄地点和摄影时间，本文主要基于 MATLAB 与 Excel处理软件，运用了遗传优化算法与模拟退火算法等，采用了视频数据化法、图片灰度化等处理手法，使计算更简便精确，使模型更完整可靠。针对问题一，根据权威文献给出的太阳高度角算法建立模型一，先计算出太阳时角和太阳赤纬角后得到太阳高度角，再经过三角函数转换得到直杆的影长。随后我们还考虑到因地球的大气状态并非真空状态会使到达地球的阳光折射，于是对太阳高度角进行了修正，使结果更加精确。针对问题二，可以把这个问题当做是第一问的逆过程。直杆影子的理论值与实际值的最小误差所对应的经纬度即为最优解。在模型一的基础上，建立模型二并利用遗传算法计算此优化模型。利用所给的 21 组坐标数据得到最优的直杆地点若干。针对问题三，相较于问题二多了一个未知参数，在问题二的模型中加入这个未知参数即可得到模型三，得到最优的直杆地点与日期若干。针对问题四，第一问中，利用 MATLAB 将视频每隔 1min 截取一张图片，把图片灰度化，测出影子、直杆底端与顶端的坐标，算得图中影长。再根据已知图中影长、直杆实际长度与图中直杆长度的比例算出影长，运用模型二并进行优化后得出结果。第二问中，运用模型三得到最优的视频的拍摄地点与日期若干，再进行优化得到最后结果关键词：遗传算法 太阳高度角 模拟退火算法 最小二乘拟合问题 粒子群算法1一、 问题重述如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析技术的一个重要方面。太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。现需通过数学建模解决以下四个问题。1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将建好的模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4已知一根直杆已通过某种方式估计出其高度为 2 米与其在太阳下的影子变化的视频，建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用此模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，分析能否根据视频确定出拍摄地点与日期。二、模型假设假设影子长度为物体最高点在地面的落点到物体底端的距离假设本文中影子顶点的坐标系的建立都是在地面上以正东方向为 x 轴正方向，正北方向为 y 轴正方向不考虑地球在一天中某一时间段的公转对太阳高度角产生的影响假设附件中的测量数据准确可靠假设题四中直杆高度的估计值刚好为真实值且杆垂直于地面忽略在题四中使用隔一段时间截图的方法采集的数据造成的误差2三、符号说明及名称解释符号意义h太阳高度角DE太阳赤纬角t时角EQ时差N按天数顺序排列的积日TT真太阳时DN积日订正值D观测点的经度f观测点的纬度l直杆的长度L1计算所得的直杆影子的长度L2测量所得的直杆影子的长度d太阳直射点纬度四、问题分析4.1 问题一分析题一要求建立影子长度变化的数学模型，并分析影子长度关于各个参数的变化规律。在忽略折射率的情况下，影子长度和太阳高度角相关，需要计算出太阳时角和太阳赤纬角，然后求出太阳高度角。但由于大气层中存在水蒸气、二氧化碳和尘埃等物质，其密度与外太空的真空并不相同，因此当太阳光从外太空的真空传入大气层时，必将发生偏折，为了使结果更加精确，我们随后也会讨论折射率对太阳高度角的修正。利用三角函数得出棒影长率（棒影长度与棒长之比）。即可求出直杆的太阳影子随时间的长度变化。34.2 问题二分析题二给出某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，可用勾股定理求出某时刻下直杆的实际测量影长。再在问题一建立的数学模型基础上，已知影子顶点坐标数据的测量日期，杆长和直杆所处位置的经纬度为未知变量，以多组理论计算出的影长和实际测量影长差的平方和为目标函数，建立优化模型。利用 MATLAB 的遗传算法工具箱寻找目标函数的最小值，即利用优化算法找到直杆所处地点的最优解。4.3 问题三分析题三要求在已知某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据的情况下，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。分析可知此问相较于题二多了一个未知参数太阳影子顶点坐标数据的测量日期，即在问题二的目标函数中增加一个未知变量来求某固定直杆所处位置与日期的最优解。4.4 问题四分析题四提供了一个一根直杆在太阳下的影子变化的视频，要求建立模型并且给出若干个可能的拍摄地点。最后提问如果拍摄日期未知，能否根据视频确定出拍摄地点与日期。我们首先考虑利用 MATLAB 编程把视频中每一帧的图片都读取出来，然后转化为灰度图片，利用 MATLAB 里的工具得到图中相应的坐标值，从而求得图中的影长与杆长。再利用图中杆长与估计得到的杆长之比得到影长。然后可以用题二建立的模型得出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，则可以用题三的模型得到若干个可能的拍摄时间和地点。拍摄时间与地点的确定则需要进一步分析。五、模型建立与求解5.1 问题一的模型建立与问题求解5.1.1 模型的建立问题一要求建立物体的太阳影子长度变化的数学模型。因对于物体本身，只有其自身的长度与太阳影子的长度有关，所以将物体看做直棒来建立模型。可采用较为科学精确的棒影日照图分析法，得到立棒的顶点在阳光下在地面上的影子全天的移动轨迹，即可知影子长度变化。依据下列两个公式：sinh = sinfsinDE + cosfcosDE costL1 = l coth可得：L1 = l cot( arc sinh) = l cot( arc sin(sin f sin DE + cos f cos DE cos t) 14由模型可知影子长度 L1 随着直杆长度 l 的增大而增大。5.1.2 参数的确定模型中所需的参数确定如下：（1）时间时差EQ 指真太阳时与地方平均太阳时之差，计算公式为：E Q = 0.0028 - 1.9857sinQ + 9.9059sin 2Q - 7.0924cosQ - 0.6882cos 2Q其中，Q = 2p * 57.3(N + DN - N 0 ) / 365.2422DN 为积日订正值，由观测地点与格林尼治经度差产生的时间差订正值 L 和观测时刻与格林尼治 0 时时间差订正值W 两项组成。 L = (D + M / 60) / 15 W = (S + F / 60)式中， D 为观测点的经度， M 为分值，换算成与格林尼治时间差 L ，东经取负号，西经取正号；S 为观测时刻的时值， F 为分值。最后两项时值再合并化为日的小数。我国处于东经， L 取负值，因此有：DN = (W - L) / 24N0= 79.6764 + 0.2422(Y - 1985)(Y -1985)- INT 0.25式中， Y 为年份， INT ( X )为BASIC 语言中求出不大于 X 的最大