北京市第二十四中学高一数学教案：《椭圆的几何性质》（新人教A版选修11） .doc

北京市第二十四中学教案课题：椭圆的简单几何性质 教材分析：解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。如果说根据曲线的条件求出方程是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的几何性质、画图就是解析几何的目的。本节课通过对椭圆方程的讨论，使学生了解如何用代数方法研究曲线的性质。正如引言中提出的，圆锥曲线的性质可以从纯几何的角度讨论，但需要较多的知识准备，而且要有较强的逻辑推理能力。用坐标法研究圆锥曲线的性质，将复杂的几何关系的研究转化为对曲线方程特点的考察。代数方法可以程序化的进行运算，用坐标法研究曲线的性质有较强的规律性。本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，这也对将来研究双曲线、抛物线的几何性质有着重要的指导作用。学情分析：学生在高一必修阶段，学习了必修2中的直线与方程，圆与方程，已接触过研究解析几何问题的主要方法坐标法，本节课是在学习了椭圆标准方程的基础上，探究椭圆的简单性质的第一节课。教学目标知识与技能： 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质；掌握标准方程中a,b,c,e的几何意义，以及a,b,c,e之间的相互关系初步学习利用方程研究曲线性质的方法。过程与方法：通过利用曲线的方程来研究曲线性质的方法的初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更要重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。情感态度与价值观： 通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯；通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气； 使学生充分认识到数与形的联系，体会数与形的辨证统一。教学重点：探究并初步掌握椭圆的简单几何性质；教学难点：探究并初步掌握椭圆的简单几何性质；教学方法： (1)教学策略：本节课依据“观察，归纳，猜想，证明”及“从特殊到一般”的思想方法，先由学生画图、折纸，观察去发现椭圆的几何性质，接着引导学生用代数方法进行推证。本设计力求更好地符合学生的认知规律，加强知识发生过程的教学，培养学生的直觉思维能力与逻辑思维能力.(2)学法指导：通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气。根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。教学过程：教学环节教师活动学生活动设计意图引入创设情境、导入课题：（多媒体展示图片国家大剧院）为什么设计师选择这种椭圆形设计呢？椭圆到底美在何处？它具有哪些特质？这就是我们今天要研究的课题椭圆的简单几何性质观察思考激起探究欲望创设情境，导入课题，明确学习目标通过多媒体展示，让学生体会椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯。开门见山，激起学生对椭圆性质探究的欲望。提出问题探究活动：请同学们拿出课前剪好的椭圆纸片，在小组内交流椭圆纸片的制作过程，从中发现椭圆有哪些性质？问1.你能找到椭圆纸片的中心吗？问2.给你一张矩形纸能不能剪出比矩形纸大的椭圆？问3.有谁剪的椭圆纸板是不对称的？问4. 同学们彼此看看各自的椭圆纸片的扁平程度一样吗?问5. 能不能说任意椭圆都有上述性质呢用什么表示任意一个椭圆？组内交流、发现探究活动，提出问题，明确学习方向引导学生观察椭圆（几何直观），让学生先从整体上把握几何图形，这就是范围、对称性、扁平程度等新课程强调以学生为主体，创造机会让学生自己去发现、去归纳，让学生体验知识的发生、发展过程，体现学生学习知识过程中的主体地位。解决问题下面我们就利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质。1 范围：椭圆位于直线和所围成的矩形框里-axa, -byb2对称性：椭圆关于 x轴、y轴和原点都对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。3.顶点：椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫椭圆的顶点其中a1（-a,0）,a2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点；b1（0,-b）,b2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点线段a1 a2和b1 b2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长4离心率：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率说明因为所以e越接近，则c越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于，c越接近于，从而b越接近于a，这时椭圆就接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两焦点重合，图形变为圆x2+y2=a2（看来椭圆的扁平程度是由离心率的大小决定的）研究曲线的几何性质能从整体上把握曲线的形状、大小和位置。观察、思考、交流组内交流代表发言新课题的问题解决在探究活动中，由观察、猜想、归纳出的椭圆的一些简单几何性质，利用方程的各种特征研究椭圆的简单几何性质，本节课的难点是从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。把从具体实物中的发现上升到理论证明，由感性认识到理性思考，这是进行科学研究的必经之路，同时也体现了解析几何的本质利用代数方法解决几何问题。应用反馈创设情境能力提升应用反馈例求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) （1）经过点p(3, 0)、q(0, 2); (2) （2）长轴长是20，离心率是（请同桌的同学互相出题评判:一名同学写一个焦点在y轴上的椭圆标准方程，另一名同学写出它的焦点、顶点坐标，长轴长、短轴长和焦距）（类比得出焦点在y轴上的椭圆的简单几何性质 ）再思考：前面提到的国家大剧院，舞台安在椭圆的一个焦点处，贵宾席安在另一个焦点处，这是为什么？课堂练习；见学案师生互动联系后实物投影展示深入理解，巩固应用知识只有在应用中才能得到升华，才能加深对知识的理解，才能达到熟练掌握的程度。例1是为巩固椭圆的简单几何性质设置；例2是由椭圆曲线的几何性质特征，定位定量得出椭圆的标准方程，由例1、例2的设置进一步明确解析几何研究的主要问题（1）据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线方程，研究曲线的性质。互助学习、协同研究，制作焦点在坐标轴上的椭圆的简单几何性质的表