多变量经济模型

数理经济学第八章 再谈多变量模型第八章再谈多变量模型经济学是一门关于选择的科学，要实现一个特定的经济目标，譬如要实现一个特定水平的产出，通常有许多可供选择的方式。但在这诸多选择中，按照某一标准，会有一种方式比其他方式更好，根据所规定的标准，选择适宜的方式，这就是最优化问题的实质。在经济学中最常见的选择标准是最大目标（如厂商利润最大化、消费者效用最大化、厂商或一国增长率最大化等）或最小化目标（如在给定产出下使成本最低等）。在经济学中，这类最大化问题和最小化问题统归为最优化问题。在数学中，求最优化的问题就归为求极值的问题。在前面的讨论中，最优化问题一直限制在目标函数具有单一选择变量或至多两个选择变量的框架内。在上一章，我们将目标函数的形式进行了拓展，研究了指数目标函数和对数目标函数。现在我们继续扩展思路，研究具有多选择变量的目标函数的极值问题。第一节多变量极值的条件讨论当目标函数出现个选择变量时，尽管我们仍可以谈及(n+1)为空间中的超平面，但不可能绘出函数的图形。在这种不能图形化的超平面中，仍可能存在(n+1)维的类似的峰顶和谷底。我们如何认识他们呢？极值的一阶条件我们具体考察一个具有三个选择变量的函数：其一阶偏导数和二阶导数，。利用杨氏定理，我们有。我们前面的讨论表明，要得到的极大值或极小值，必须是对于不同时为零的任意值，。因为得知现在为：且因为是不同时为零的任意（无穷小）变化的自变量，所以确保的唯一方法是。因此，同两变量情形一样，极值的必要条件仍是所有一阶偏导数均为零。二阶条件假设在点及其邻域内有连续的一、二阶偏导数，由泰勒公式可以得到：由于在点满足一阶条件，一阶偏导数都为零，则 =这个括号里的表达式是三个变量、的二次型如果，即对任意邻近的组合，它所对应的函数值发都小于所对应的函数值，因此必为极大值。把上述二次型进行改写：利用行列式，还可以进一步改写为显然，上式是带有系数的三个平方和。如果这些系数全部为负，则必定为负。因此，如果有 则为负值。类似的，如果为正，则必为极小值。即如果有 则为正值。这里应该看到，我们推导出来的二阶条件为充分条件而非必要条件。因为三个数的和为负并不一定要求每一个都为负；同样三个数的和为正也不要求每一个数都为正。求微分可以得到的表达式。在微分过程中，我们应将导数作为变量，将微分作为常量对待。因此，我们有：在确定是正定或负定时，把视为可取任意值但不同时为零的变量，而把导数看作施加某些限制的系数。系数产生的海塞行列式其逐次主子式可表示为 因此，根据上面讨论的正定和负定的行列式判断标准，我们可将的极值的二阶充分条件表述如下：如果 为极大值： 为极小值： n-变量的情况 当存在个变量时，目标函数可以表示为全微分则为所以极值的必要条件(对任意)意味着务要求所有的一阶偏导数等于零。二阶微分还是一个二次形，其推导过程类似于(11.18)，并可以用一个阵列来表示。适当重排该矩阵的系数，可得到对称海塞行列式；其主子式的定义如前。同以前一样，极值的二阶充分条件是：对于的极小值，所有个主子式为正；对于的极大值，第一个主子式为负，其他主子式符号交替改变。总而言之，若我们集中于行列式检验，则我们把检验标准列于表中，对于有任意选择变量的目标函数，这些标准均是有效的。在特殊情况下，我们可能有或。当时，目标行数为，最大化条件，可简化为，类似的，当时，目标函数为，因而极大值的一阶条件为，而二阶条件变为 和 表. 相对极值的行列式检验：条 件 极大值 极小值一阶必要条件 二阶充分条件 第二节经济应用在上一节中，我们集中讨论了多变量求极值的方法以及推导过程。在前几章的求极值的讨论中，我们也是侧重于研究其数学计算的方法。有了适当的数学方法，我们就得到了解决现实问题的钥匙。下面，我们把目光转向具体的经济活动中来，总体地看一下这种方法在不同的经济条件下的运用。多产品厂商问题例1 完全竞争条件下的两产品厂商：因为是完全竞争市场，所以两商品的价格必然是外生的，在这里分别以和表示。据此，厂商的收益函数为 其中表示单位时间内产品的产出水平。假设厂商的成本函数为注意 （第一个产品的边际成本）不仅是的函数，而且是的函数。类似的，第二个产品的边际成本也与，都有关系。因此，在给定的成本函数中，这两个商品在生产上存在技术的相关性。现在可将此假定厂商的利润函数写成它是两个选择变量，以及两个价格参数的函数。现在，我们的任务是求出使最大化的产出水平和的组合。先来考察一阶条件： 令得到联立方程组解得以上，我们求得的是利润最大化的必要条件。二阶条件 海塞矩阵为负定，因此，为利润最大化的点。在此我们注意到二阶海塞矩阵是确定的，与何处计值无关，在本例中处处负定。因此只要求得满足一阶条件的，就必然是使得利润最大化的点。例2 接下来，我们把这个模型移植到垄断市场环境中，在这一新的市场结构假设中，收益函数需要做相应的改变：两产品价格将随其产出的变化而变化，即，不再是固定的常数，而是和的函数。假设对垄断厂商的需求函数如下：这个方程给我们传递了这样一个信息:这两种商品在消费中存在着某种联系。具体地说，他们是替代品。这是因为 它表明一种商品价格的提高将增大对另一种商品的需求。反过来说，也就是一种商品价格的降低将增大对本商品的需求而削弱对另一种商品的需求。这也就是市场上价格战的根源。新闻摘录中国彩电市场龙虎斗加入日期:2005-10-28 提起彩电市场，近几个月来可谓是热闹非凡，先是国内彩电行业龙头老大长虹电器公司作出惊人之举：从3月26日起，在全国范围内降低43厘米至74厘米规格长虹彩电的售价，降幅为8一18，单机降价额为100850元。一石激起干层浪，长虹大幅度降价的举动立即引起社会各界尤其是家电行业的巨大反响。紧随其后的是TCI公司，该公司宣布对社会实施“拥抱春天”大让利行动，每台彩电降价幅度为120300元不等；天津市彩电业亦作出相应举动，宣布北京牌彩电和长城画龙彩电的三种规格、十余种型号产品同时降价，每台彩电价格平均降幅为100元，新一轮彩电价格大战已是狼烟四起。 时过两个月，国产彩电业的另一“霸主”康佳集团亦宣布降价让利措施：从6月6日起，康佳彩电在全国范围内实行大幅让利销售，从37厘米至74厘米所有品种，全面让利，最高让利金额为1200元台，最大让利幅度达20。而且康佳作出承诺：所有康佳彩电，从出售三日起，实行三年免费保修，全天候服务快车，24小时售后热线电话等等。康佳的这一举措使得原本不平静的彩电市场变得更加动荡起来。两个多月来，原本处于淡季的彩电市场一路旺销，虽然部分品牌销售受阻怨声四起，但得实惠的消费者却笑逐颜开。资料来源：/WenZhang/Detail/Article_1474.html在这里，我们既可以把，表示成和的函数，也可以把，表示成和的函数。在这里，可以把，表示成和的函数要更方便一些。将,视为参数，我们可以应用克莱姆法则解：=因而，厂商的总收益函数可以写成=+ +70再假设成本为 +那么利润函数就成为+70一阶条件： 解得 （将此结果代入， 可以求得 二阶条件 海塞矩阵为， 海塞矩阵负定，因此此时为极大值，意味着在处，利润最大化达到。价格歧视（）即便在单一产品厂商中，也会涉及两个或多个选择变量的最优化问题。下面我们来考虑这样的情况：一个垄断厂商在两个或多个隔离的市场中销售同种产品，因此需要确定向每个市场分别供给的数量以使利润最大化。一般而言，这几个不同的市场会有不同的需求条件，如果在不同的市场中需球弹性不同，利润最大化就会涉及价格歧视问题。例3 假设存在三个隔离的市场，即这次我们选择三个变量。那么 其中这里符号表示第个市场的收益函数，每个收益函数的需求结构一般来说是不同的。而对于厂商而言，由于它销售的是同种产品，每个产品的成本是一样的，因此总成本可以看成是总产量的函数。利润函数为一阶条件令上述方程全等于零，就得到即这表示厂商所选择的在三个市场的各自供给水平、应使得每个市场的边际收益等于总产出的边际成本。每个市场的边际收益是第个市场的点弹性，通常为负。所以与之间的关系可以表示成由于厂商的为正，一阶条件要求厂商在为正的水平上经营，因此相应的要求厂商所选择的销售水平必须使该市场中相对应的点弹性大于一。即现在，一阶条件可以表示为=上式说明在某一特定市场中，在产出水平已经确定的情况下，厂商要获得最大利润，越小，在该市场收取的价格就会越高，这就是生活中普遍存在的价格歧视。价格歧视是利润最大化垄断者的理性战略。通过对不同的顾客收取不同的价格，垄断者可以增加利润。实际上，价格歧视垄断者向不同顾客收取不同的价格会比一种价格时更接近顾客的支付意愿，也就是夺取了部分或全部的消费者剩余。对厂商来说要进行价格歧视需要一些条件：1厂商必须面对向下倾斜的需求曲线。2两个或两个以上的购买集团必须能在某一个成本下区别开来，该成本不超过来自区别他们的货币收益。3必须阻止贱买贵卖的转卖。4两个或更多购买集团对产品的需求价格弹性必须不同，并且为厂商所知，至少从序数的角度看，它对第三级价格歧视是必要的。价格歧视可以分为一级、二级、三级价格歧视： 一级价格歧视MP如果厂商对每一单位产品都按照消费者所愿意支付的最高价格出售，这就是一级价格歧视，也称完全价格歧视。当厂商销售第一单位产品时，消费者愿意支付的最高价格为，于是厂商按照此价格出售第一单位产品。当厂商销售第二单位产品时，厂商按照消费者愿意支付的最高价格出售第二单位产品。依此类推，直到厂商销售量为为止。这时，垄断厂商得到的总收益相当于图中的面积。而如果厂商不实行价格歧视，都按同一个价格出售时，总收益仅为的面积。（）0在上面的右图中，垄断厂商根据原则确定的均衡价格为，均衡数量为。当存在价格歧视时，在产量小于的范围内，消费者为每一单位产品所愿意支付的最高价格均大于，所以厂商增加产量就可以增加利润。在产量达到后，消费者为每一单位产品所愿意支付的最高价格仍均大于，所以厂商增加产量还可以增加利润。因此，厂商始终有动力增加产量，一直增加到水平为止。厂商获得了最大利润，消费者剩余全部被垄断厂商所占有，转化为厂商收益的增加量。此外，在图中可以看出，在的产量上，有，说明此时的和竟然等于完全竞争时均衡价格和均衡产量。所以，一级价格歧视下的资源配置是有效率的，尽管此时垄断厂商剥夺了全部的消费者剩余。 二级价格歧视二级价格歧视只要求对不同的消费数量段规定不同的价格。实行二级价格歧视的垄断厂商利润会增加，部分消费者剩余被垄断者占有。此外，垄断者有可能达到的有效率的资源配置的产量。 三级价格歧视三级价格歧视就是垄断厂商对同一种产品在不同的市场上或对不同的消费群收取不同的价格。包括性别、年龄、就业岗位、地域差异等。本题的分析就是属于这种价格歧视。对价格变化反应不敏感的消费者制定较高的价格，而对价格变化反应敏感的消费者制定较低的价格。我国金融市场呈现明显的“寡头垄断”格局，尤其在银行信贷市场更是如此，市场集中度相当高。2001年，四大国有商业银行的存款、贷款、资产所占市场份额分别为72.51%，66.28%，78.82%。 在这种寡头垄断的市场中，作为销售者的金融企业有条件通过对客户和市场的细分来施行价格歧视，以获取最大利润。施行价格歧视的方法是多种多样的，比如： （一）客户细分定价法 企业按照不同的价格，把同一种产品或劳务卖给不同的顾客，这一点在银行对不同客户提供的贷款利率上表现尤为突出。 （二）产品细分定价法 企业对不同型号或形式的产品分别制定不同的价格，但价格之间的差额和成本费用之间的差额并不成比例。例如，银行发放的信用卡，分金卡、银卡、普通卡和借记卡，成本相差无几，只是形式不同，银行对它们的收费差别却很大。 （三）地点细分定价法 企业对于处在不同位置的产品或服务分别制定不同的价格，即使这些产品或服务的成本费用没有任何差异。 （四）时间细分定价法 企业对于不同季节、不同时期甚至不同钟点的产品或服务也分别制定不同的价格。比如随着对银行服务收费管制的放松，银行在不同的开业时间所提供的服务收费不同，节假日或非正常开业时间收费提高，以满足那些对提供服务的时间有特殊需求的顾客。 总之，银行应依据客户和市场特点，实行灵活的多层次定价机制。通过对市场的细分，有效隔离用户，提高产品的差别化，降低顾客对产品的需求价格弹性，借助于用户支付习惯和用户体验等让顾客心甘情愿地买单。例如，对银企关系密切的客户，以客户为对象考虑其对银行的综合贡献，可就部分产品或服务给予其较大幅度的优惠；对有高层次服务需求的潜在客户，通过对一般服务的让利和优惠来吸引其购买高附加值服务；对中低端客户，注重客户的承受能力，以保本和薄利为定价依据来扩大客户规模；对处于市场引入期的服务品种，将通过较低的价格来增加对客户的吸引力；对处于市场成熟期的服务品种，应注重对服务质量的保证以赢得客户的忠诚，并针对客户需求及时推出新的业务。新闻摘录顾客越胖越便宜与“价格歧视”2005年07月17日00:21 近日，在南京瑞金路一家大型超市，一兔肉商家为了吸引人气，竟然根据购买者的肥胖程度来确定是否打折。据悉，男性体重须达80公斤、女性67公斤、儿童50公斤，购兔肉可享受7折优惠。若超过100公斤，不论何人，均可按5折购买，此外，当日体重最重的购买者，还能吃一个月免费兔肉。（7月16日南京晨报）二阶条件的检验因此若要二阶条件完全满足，需要：1.即的斜率要小于的斜率。再根据对称性，可以知道和 2.3.显然，后两个条件的经济意义并不明了。但是，如果我们假设一般的函数为凹函数，函数为凸函数，那么 为凹函数，从而海塞矩阵一定负定，避免了检验而阶条件的必要性。厂商的投入决策例4 假定：1. 厂商运用生产要素和生产单一产品2. 投入的要素价格 和以及商品的价格都是外生变量，不由厂商控制，我们将其表示为，3. 生产过程要年才能完成，所以在将销售收益与现在发生的投入成本进行比较之前，需要将其完全贴现为现值。在连续的基础上，假定贴现率为。由上面的假设我们可以得到一组方程于是 是关于的方程一阶条件 令为零，得到 这表示投入要素的边际产出（VMP）的现值应该等于投入要素的价格。注意：由于，以及均为正值，要满足上式，边际物质产品和必须同时为正。按照等产量曲线，它具有非常重要的经济学解释。等产量线是能获得同样产出水平的投入组合的轨迹，在平面图形上是一组平行的凸向原点的曲线，由于每一等量线代表一个固定的产出水平，在任一等量曲线上，就有 由此可以得到 等产量线的斜率要使和均为正，必须把厂商的投入选择限定在等产量曲线斜率为负的弧段内。等量线脊线N在图中，经营的相关领域是由两条“脊线”所确定的阴影区域。在阴影区域之外，等产量曲线的斜率为正，一种投入要素的边际产品必定为负。例如，由投入组合M移至N，表明投入保持不变时增加投入，会使我们达到更低的等产量线，即产出减少，为负。类似地，移至表明为负。在阴影区域面积内，每一个等产量曲线可以视为的函数，因为在这一区域内对于每一个等产量线和是一一对应的，即对于每一个可接受的值，等产量线确定了一个唯一的值。二阶条件 从上式可以看出 ， 表明当厂商固定一种投入要素而改变另一种要素的投入量时，MPP（边际产品）在选定的投入水平是递减的。然而要注意和的递减并不足以确保二阶条件的满足，还要考虑的大小，它度量当一种投入的数量变化时，另一种投入的MPP的变化率。进一步考察，等产量曲线的曲率与二阶导数的符号有关。将再对求导 这里 得到 代入第二行括号中的表达式是两个变量和的二次型。如果二阶充分条件得到满足，那么 0则上述二次型必然为负定，为正。因此二阶充分条件的满足意味着相关的（斜率为负）等产量线在选定的投入组合中为严格凸。 在这里要特别注意区分等产量曲线 与生产函数的凹凸性。是在二维平面中绘出来的，而则在三维空间中绘出来的。为了满足二阶条件，适当的规定是在三维空间中为严格凹，而规定相关的等产量曲线在二维空间中为严格凸（呈U形或U形的一部分）。例5 假设利息按季度计算复利，已知每季度利率为，还假设生产过程恰好需要一季度完成。利润函数：一阶条件 二阶条件与前面的推导类似，这里不再赘述。作为一个具体的实例分析，我们来看一下柯布-道格拉斯生产函数。例6 同样假定投入的要素价格 和以及商品的价格都是外生变量，不由厂商控制，我们将其表示为，这里生产函数变为 成本函数为总利润 一阶条件 得到 两式相除可以进一步得到 是产出对劳动力的弹性参数 是产出对资本的弹性参数 由此我们可以看出，在使厂商利润最大化的点处，与的比例是各自要素价格之比和各要素对产出弹性之比的积的倒数。要素的价格越高，对产出的弹性越大，那么这种生产要素的投入量就会越小。同时我们看到，当都确定时，也是确定的，是一个与本身无关的值。当我们给定了一个生产函数和成本函数，就给定了与的最优比例。二阶条件 由于 因此如果 则海塞矩阵负定，处取得极大值，能够实现利润最大化。如果 则不是极值。如果 则为零，还需要进一步判定。从上面的分析中可以看到，一阶必要条件要求要使厂商获得最大利润，劳动力和资本的投入必须遵循同一比率。如果，表示规模报酬递减(diseconomies of scale)，当厂商以相同比例增加劳动力和资本的投入时，产出增加不到倍，即生产弹性是小于的，那么满足一阶条件的即为使厂商利润最大化的点。如果，表示规模报酬递增（economies of scale），当厂商以相同比例增加劳动力和资本的投入时，产出增加 大于倍，说明增加投入对厂商是有利可图的，在这里由于我们没有考虑其他的一些限制条件，譬如扩大规模增加的管理协调费用等等，所以没有利润的极大值。在新的经济增长理论中，我们看到促进产出增长的不仅有劳动力和资本，还有技术的进步。传统的新古典经济增长理论把技术进步假定为不受经济系统内任何变量影响的外生变量，好像技术进步是从天上掉下来的。而新增长理论则建立了一个理论框架，认为支配生产过程的内部体系可以比外部体系对经济的持续增长发挥更重要的作用，试图从经济体系内部因素解释技术进步，并结合当前世界各国经济发展的现实提出了技术内生化的思路：即先把技术进步具体化为人力资本积累。由于人力资源积累的外部效应，即全社会平均的人力资本水平提高使生产要素的收益和规模收益递增，从而使经济保持长期增长。全国专业技术人员*按职称系列分类(19982003)千人 1998 1999 2000 2001 2002 2003 合计 Total 20913 21430 21651 21698 21860 21740 工程技术人员 Eng. Personnel 5657 5655 5551 5316 5289 4993 农业技术人员 Agri. Personnel 636 654 670 675 667 683 卫生技术人员 Medical personnel 3255 3330 3372 3390 3402 3441 科学研究人员 Sci. researchers 291 284 275 266 263 275 教学人员 Teachers 11075 11508 11783 12051 12239 12347 资料来源：中国科技统计数据（）例7 下面我们来看一个三个生产要素的生产函数：是资本， 是劳动（工人数目）， 是人力资本（大学毕业生人数）那么，该厂商的利润函数即为：利润最大化的一阶条件：可以解得 从上式我们可以看到，各个生产要素在生产函数和要素价格给定的情况下投入比例是固定的，即要使厂商利润最大化，各个生产要素必须按已定的比例进行投入。二阶条件从上式可以看出，要满足二阶条件达到厂商利润的最大化，还需要 即根据对称性我们还可以得出 以及 这说明，在三个投入要素的柯布-道格拉斯生产函数情况下，厂商要实现利润最大化，除了一阶的必要条件，还要满足任意两个要素的规模报酬递减，三个要素的整体生产函数规模报酬也递减。我们把结论总结如下：在以 柯布-道格拉斯生产函数和我们假设的成本函数为模型的生产厂商情况下一阶条件要求各个生产要素的投入必须满足一个特定的比例，这个数值和它们各自的要素价格以及各要素对总产出的贡献率有关。二阶条件当生产函数满足对任意个投入要素组合的规模报酬递减时，厂商利润达到最大。当生产函数满足对某个投入要素组合中规模报酬递增时，厂商利润没有极值。当生产函数满足对某个投入要素组合的规模报酬不变时，是否达到利润最大化还需要进一步判别。我们看下面的一个具体的例子：例8 假设厂商的成本函数为 那么，该厂商的利润函数即为：利润最大化的一阶条件：可以解得 二阶条件 我们可以看出，因为这里的柯布-道格拉斯生产函数是规模报酬不变的，所以第三个顺序主子式是等于零的。那么满足一阶必要条件的生产要素组合（按一定比例）能否使厂商利润最大化就需要用其他办法进一步判别。在这里，我们需要说明：以上我们讨论的求极值的方法，一阶必要条件和二阶充分条件并不能解决所有的求极值的问题。当函数不可导或者海塞矩阵为零的时候，上述方法就无能为力了。第三节最优化的比较静态最优化作为一种特殊类型的比较静态分析，自然也可以用于研究比较静态方面的问题。其思想仍然是求出任意参数的变化将如何影响模型的均衡状态；在这里模型的均衡状态是指选择变量的最优值，从而目标函数的最优值。我们在这里研究的变化是从一个均衡状态到另一个均衡状态的改变，是在满足均衡状态的条件下的比较静态。简化型解在上节例1中，包含两个参数（或外生变量）和，因此这个两产品厂商的最优产出水平可严格得按照这两个参数表示： 和 这两个是简化型解，可以直接求出模型的比较静态性质： 要获得最大利润，当某产品的价格上升或另一种产品的价格下降时，厂商应扩大该产品的产量。 这些结论仅在所研究模型的特定假设下才成立，变化对的影响、变化对的影响是假设两产品在生产方面存在技术相关性的结果。当不存在这种技术相关性时，我们有：一般函数模型应用隐函数定理，在目标均衡中，我们利用最优化的一阶条件：假设函数和拥有连续导数，如果此方程对内生变量的雅可比行列式在初始均衡时不为零，则可以应用隐函数定理。因此，若我们假设利润最大化的二阶充分条件得到满足，则在初始均衡或极值处，必定为正，也为正。所以，根据隐函数定理，我们可以写相互以下两个隐函数以及以下两个恒等式 为研究此模型的比较静态性质，首先取每个恒等式的全微分。暂时我们允许外生变量变化，所以全微分的结果将包含，以及，和。如果我们将等号左边仅放置那些包含和的项，则结果为我们应该注意到，和左边的系数正好是雅可比行列式的元素。并且我们可以看到这里比较静态导数一共有十个，分别为： 要导出具体的比较静态导数，每次仅允许一个外生变量发生变化。譬如，假设只有变化，则，但 我们可以解得矩阵方程由克莱姆法则，可以求得下面我们来分析比较静态导数的符号。一阶条件可以推出： 二阶条件可以推出： 又因为一定为正，因此，若 ，即增加一种投入要素将提高另一种投入要素的MPP，我们就可以得到 和 均为正，这意味着产品价格的提高，会导致均衡时两种投入要素使用量的增加。若 导数的符号还要取决于各个偏导的具体值。一阶和二阶条件的符号限制在计算比较静态导数时仍然是有用的。因为它可以告诉我们、的符号以及在初始均衡最优值处雅可比行列式的符号。习题：1. 求下列函数的极值，运用行列式检验判定它们是极大值还是极小值。2. 一个两产品的厂商的需求函数和成本函数如下： （a） 求满足利润最大化一阶条件的产出水平。（结果用分数表示）（b） 检验二阶充分条件。你能断定此题只有一个绝对极大值吗？ （c） 最大利润为多少？ 3. 在第二节例3均衡价格和均衡利润的基础上，计算需求的点弹性。哪个市场的需求弹性最高？哪个市场上的需求弹性最低？4. 设某国对