高中数学变式教学研究.pdf

苏州大学 硕士学位论文 高中数学变式教学研究 姓名 侯斌 申请学位级别 硕士 专业 教育硕士 指导教师 倪劲松 201110 高中数学变式教学研究 中文摘要 高中数学变式教学研究 中文摘要 随着越来越多的学者对高中数学课堂研究的深入 数学变式教学作为一种应用广 泛的教学手段和教学思想已日益受到专家学者的关注 在中国的数学课堂上 变式教 学已经经历了很长时间的发展 被广大的教师频繁运用 变式教学的成功经验 能够 体现中国式的教学有效性 很多人认为变式教学集成了中国数学教学的主要特征 也 是中国学生具有良好的基础知识和熟练的基本技能的根本原因之一 因此对变式教学进行探讨和研究有重要的理论和实践意义 首先我们能够建立扎 根于中国数学教学实践 发展具有中国特色的数学变式教学理论 其次可以指导高中 数学教学实践 提高课堂教学效率 从而促进学生发展 文章分六大部分 第一部分 论述了关于数学变式教学的背景 阐述了自己的研究方法和研究内容 第二部分 论述了变式教学的概念和理论基础 以及变式教学的研究现状 第三部分 阐述了变式教学的教学原则和授课基本模式 第四部分 从概念与命题 问题解决等角度研究变式教学的课堂实施形式 第五部分 通过案例分析变式教学在高中数学课堂的作用和意义 第六部分 有关变式教学的课例 关键词 变式教学 问题解决 马登理论 变式 作者 侯斌 指导教师 倪劲松 a b s t r a c t r e s e a r c h0 1 im a t h e m a t i c sv a r i a t i o nt e a c h i n gi nh i g hs c h o o l r e s e a r c ho nm a t h e m a t i c sv a r i a t i o n t e a c h i n gi nh i g hs c h o o l a b s t r a c t w i t hm o r ea n dm o r es c h o l a r s f u r t h e ri n v e s t i g a t i o no nt h em a t h e m a t i c sc l a s s r o o m t e a c h i n gi nh i g hs c h o o l v a r i a t i o nt e a c h i n gi nm a t h e m a t i c s w h i c hi sb r o a d l yu s e da sa t e a c h i n gm e t h o da n dt h i n k i n g h a sa t t r a c t e dg r o w i n ga t t e n t i o no ft h ee x p e r t sa n ds c h o l a r s v a r i a t i o nt e a c h i n g w i t hal o n gh i s t o r y i su s e dv e r yo f t e nb ym o s tt e a c h e r sc o n s c i o u s l yo r u n c o n s c i o u s l yi t se x p e r i m e n t a lp r o c e d u r ei sr e g a r d e d a st h ec h i n e s ee x p e r i e n c ei n e f f e c t i v et e a c h i n g i no t h e rw o r d s v a r i a t i o nt e a c h i n gs u m m a r i z e sm a i nf e a t u r e so fc h i n e s e m a t h e m a t i c sp e d a g o g yi ta l s op r o v i d e sw i t hr a d i c a lr e a s o n sw h yo u rs t u d e n t sh a v eb e t t e r r e c o r d so nb a s i ck n o w l e d g ea n ds k i l l sc o m p a r e dt os t u d e n t si nw e s t e r nc o u n t r i e s t h e r e f o r e p r o b i n ga n di n v e s t i g a t i n go nv a r i a t i o nt e a c h i n gh a v eg r e a ts i g n i f i c a n c eo n t h e o r ya n dp r a c t i c e o nt h eo n eh a n d r o o t e di nc h i n e s em a t h e m a t i c st e a c h i n gp r a c t i c e w e c o u l dd e v e l o pv a r i a t i o nt e a c h i n gt h e o r yi nm a t h e m a t i c sw i t hc h i n e s ec h a r a c t e r i s t i c s o n t h eo t h e rh a n d i tc o u l dp u th i g hs c h o o l s m a t h e m a t i c st e a c h i n gi n t op r a c t i c ea n dp r o m o t e t h ee f f e c t i v e n e s so fc l a s s r o o mt e a c h i n g a n dt h e na c h i e v et h es t u d e n t s g r o w t h t h i sa r t i c l ei n c l u d e st h ef o l l o w i n gs i xp a r t s p a r to n e t h ef o c u si so nt h eb a c k g r o u n do fm a t h e m a t i c sv a r i a t i o nt e a c h i n g r e s e a r c h m e t h o d se m p l o y e da n dr e s e a r c hc o n t e n td i s c u s s e di nt h i sa r t i c l ea l es t a t e d p a r tt w o t h ec o n c e p ta sw e l la st h e o r yb a s i so fv a r i a t i o nt e a c h i n ga r ed i s c u s s e d r e l a t e dr e s e a r c h e si nv a r i a t i o nt e a c h i n ga r ei n t r o d u c e d p a r tt h r e e t h ep e d a g o g i cp r i n c i p l e so fv a r i a t i o nt e a c h i n ga n dt h ef u n d a m e n t a l l e c t u r ep a t t e r n sa l ea r t i c u l a t e d p a r tf o u r r e s e a r c h e so nv a r i a t i o nt e a c h i n gm o d e l sa r ec a t e g o r i z e di n t ot w o t h e c o n c e p t u a lv a r i a t i o na n d t h ef o r m a t i v ev a r i a t i o n p a r tf i v e t h ee f f e c ta n ds i g n i f i c a n c eo fu s i n gv a r i a t i o nt e a c h i n gi nh i g hs c h o o l s m a t h e m a t i c sc l a s s r o o ma r es t u d i e dt h r o u g ha n a l y z i n gr e l e v a n tc a s e s p a r ts i x l e c t u r e so nt h ev a r i a t i o nt e a c h i n ga r ep r e s e n t e d k e y w o r d s v a r i a t i o nt e a c h i n g p r o b l e ms o l v i n g m a r t o nt h e o r y v a r i a t i o n w r i t t e n b y h o u b i n s u p e r v i s e db yn i j i n s o n g 高中数学变式教学研究第一章绪论 第一章绪论帚一早瑁下匕 1 1 数学变式教学发展的背景 1 1 1 中国学习者 悖论 长久以来 在有关中国数学教学和学生数学学业成就的国际研究中 出现了一个 引人注目的相互矛盾的结果 1 1 9 5 9 年 首次数学跨国比较研究由国际教育成就评估学会举办 第一次国际 数学研究 f m s 历时较长 从1 9 6 1 年直到1 9 6 7 年 后来又进行了第二次国际数 学研究 s i m s 直到第三次的国际数学比较研究 t i m s s 人们从这些比较大型 的研究所揭示的结果中可以得到最为明显的一个结论就是华人学生 包括中国大陆 香港和台湾学生 他们的数学成就在所有参评国家的同龄学生中名列前茅 虽然人们 对于以上的大型跨国研究仍然存在着种种批评与怀疑 但是国际数学教育界的许多专 家仍试图探索这一现象的原因所在 为什么在这类比较中中国学生在数学方面能取得 如此优异的表现 2 一方面 通过大量的研究表明这样一个事实 不管是国际数学教育成就调查还是 国际奥林匹克数学竞赛 中国中学生的成绩明显比其他国家的同龄生更好 但是另一 方面 在中国绝大多数学生现有学习环境下 由集中性学习 大班授课 由教师精 心策划 定时提问及相关的活动和讲练结合这些中国韵味十足的课堂要素构成的景 象 在西方人看来却是重复和以教师为主导的 许多西方专家甚至认为 中国学习 者 在学习方面的环境存在着许多不足 尤其在数学教学学习方式上 是典型的 强 灌 和 填鸭式训练 在西方专家们看来中国的数学教学取得这样的效果是不可思 议的 第三次国际数学及科学录像研究提出并研究 东方 数学课堂的特性 奥苏贝 尔 a u s u b e l 1 9 6 8 提出中国数学课堂的一个极大的特征是 以教师为主导但以学 生为中心 w a t k i n s b i g g s 2 0 0 1 也提出 以学习为中心 1 e a r n i n gc e n t e r e d 1 b i g g s j b 1 9 9 4 h a ta r ee f f e c t i v es c h o o l s l e s s o n sf r o me a s ta n dw e s t t h er a d f o r dm e m o r i a ll e c t u r e a u s t r a l i a n e d u c a t i o n a lr e s e a r c h e r 2 1 2 郑毓信 中国学习者的悖论 阴 数学教育学报2 0 0 1 l 第一章绪论绪论高中数学变式教学研究 的国内课堂教学的特性 而这一点 有别于与西方人所倡导的 以学习者为中心 3 所谓的 中国学习者悖论 就由这两种相互矛盾的现象构成 国际比较教育及心 理学研究的热点之一就是对这个现象的研究与解释 郑毓信教授明确指出 上述问 题应当被看成中国教育工作者所面临的一个重要任务 因为 作为中国人 我们当然 应对自己的情况有较好的了解 另外 还应强调的是 从数学教育的角度 这直接关 系到中国数学教学的一个重要特色 双基训练 更为一般地说 这也就是指 我们 究竟应当如何去看待过去的工作 特别是 我们应从理论的高度对一些行之有效的教 学方法作出深入的分析 从而较好地实现由不自觉状态向理论指导下的自觉实践的重 要转变 以及清楚地认识并很好地克服所存在的各个不足之处或局限性 4 事实上 在中国的数学课堂特别是高中数学课堂上 学生看似被动但积极投入 教师主导但同时关注学生的学习 并作出适时的调整 以大班教学但在课后处理个别 差异 包括个人辅导 w o n g 2 0 0 4 这也许在某个程度来说描述了中国数学课堂学 习的现况 为了更好实现由被动灌输和机械训练向主动学习的转变 也为了克服国内 数学教育的不足与局限 广大数学教育工作者对中国数学教育进行了重新审视 认为 中国学习者悖论 产生的重要原因之一正是数学变式教学aw o n g 2 0 0 6 更结合 中国的书法 武术 篆刻这三个传统 观察到它们从 入法 到 出法 的教学安排 反观数学变式课堂教学 要在有规范的课堂常规内进行基本功的训练 再利用各种启 发 引导开拓性思维等高层次思维能力 在 入法 之後 透过各种 变 打开 出 法 之门的这个想法 对如何构建由基础到高层次能力之路有所启示 马登 m a r t o n 在研究了 青浦模式 后提出了 现象图式学 这一著名的教学理论 一方面 数学 变式教学为这一理论的产生提供了可能 并结合这一理论进行了新一轮的实践 另一 方面 现象图式学 又为数学变式教学奠定了扎实的理论基础 从此 数学变式教 学寻找到了强有力的理论支撑点 从而脱离了 经验之谈 5 而在中国的数学课堂上 在概念教学方面 教师通过变式训练 使学生排除非本 质属性及其他无关因素的干扰 进而形成正确的数学概念 在习题方面 教师关注学 生的基本运算和数学技巧 更重视在学生解题过程中的严密性和准确性 编制习题时 兼顾目的性 典型性 针对性 层次性 多样性和趣味性永远是教师追求的主旋律 3 舒卫军 三种版奉高中数学新教材结构比较 学位论文 2 0 0 7 年 浙江师范大学 4 韦芳 中英两围高中数学课程中函数内容的比较研究 学位论文 2 0 0 9 年 苏州大学 5 香港黄毅英 林智中等 数学课程变式设计一以小学三个课题为例 m 教育学报 2 0 0 7 2 2 高中数学变式教学研究第一章绪论 教师多采用 一题多解 一题多用 一题多变 多题归一 的方法 加深学生 的理解 促进学生解题技能 技巧的提高 最终提高学生的数学素养和能力 6 1 1 2 数学变式教学发展的时代需求 2 0 世纪8 0 年代 美国数学教育界提出了 问题解决 的教育理念 这一口号得 到了许多国家数学教育界的认同 而我国数学教育的现状是 烧鱼的中段 即注重 数学学科内部的理论框架结构及其之间的逻辑关系 过度强调训练学生的计算能力和 逻辑思维能力 一味地进行填鸭 数学课堂教学失去生机和活力 忽视了数学思维的 训练与培养 很多学生学习数学的目的就是为了应付高考 为了有效遏制 机械学习 题海战术 近几年的高考命题导向由 知识立意 转向 能力立意 明显地加强 了能力与素质的考查 研读近两年的高考数学试题可以发现试题更加重视知识性 思 辨性 灵活性和美感 充分体现考素质 考潜能的考试功能 而全面考查各种能力的同 时 又以逻辑思维能力为核心 以数学基础知识 数学思想和方法为基础 加强思维 品质的考查 强调探究性 综合性 应用性 切合考生的实际 单靠搞 题海战术 犹如搭建 空中楼阁 难以奏效 这就要求数学教育工作着沉下心来思考对策 成功 的教学不仅需要热情 更需要 智慧 要以先进教育理念和学习心理为指导 深入 了解学生原有的认知结构 并运用科学的手段和方法 不断地加以调整和完善 新一轮基础课程改革实验正在全国范围内顺利推进 新课程走进了师生的生活 中学数学课在教与学方式转变中 实施自主 合作 探究的教与学的方式 对于帮助 教师重新树立新的教学理念 实施教与学方式的转变有着非常明显的促进作用 新课 程背景下 研究怎样的课堂教学 能促进学生数学地思考问题 达到深刻地 本质地 理解 有着极为重要的意义 什么样的课堂才是一个好的课堂 什么样的教学方式才是最有效 什么样的教 学氛围最能培养人 首先是能够为学生的学习提供一个丰富的智力生活的背景 就是 创造一个相互支持 互相欣赏 彼此接纳的和谐氛围 学生可以率真地袒露自己的心 扉 展现自己的思维过程 表现出最本真的一面 这样的教学氛围当然更加有利于培 养学生的多元智力 而变式教学作为连接双基与创新 知识与思维的纽带 在数学课堂中被广泛应用 6 谢景力 数学变式教学的认识与实践研究 学位论文1 2 0 0 6 年 湖南师范人学 3 第一章绪论绪论高中数学变式教学研究 新课程背景下充分运用变式教学 可拓展学生的思维 促使学生自觉将数学学习技术 内化为主体需要 使教学过程成为有利于学生积极探究的过程 提高学生的学习效能 1 2 研究内容和方法 1 2 1 研究内容 1 在已有的研究基础上 从学习论 教学论方面给出了数学变式教学的理论 指导 总结了数学变式教学原则 2 结合高中数学教学实践 对数学变式教学的几种课堂实施形式以及以及变 式教学在数学课堂中的作用结合案例进行了探讨 3 针对问题解决的数学变式教学提出了数学课的变式教学模式并结合案例加 以说明 4 进行数学变式教学相关调查问卷 1 2 2 研究的创新点 通过文献的阅读 笔者了解到目前以变式教学理论的研究正进行的如火如荼 而 作为中国数学教学的优秀传统的变式教学在数学课堂上也能够被大多数老师运用 但 多数是停留在不自觉的零散状态 对变式教学的系统实践和理论研究仍然比较稀少 本文致力于数学变式教学的实践研究 力图能够有所突破 在理论方面 作者从 马登理论 建构主义理论中学到了很多 在实践方面 对数学变式教学的基本教学原 则 在课堂教学中变式教学的整体教学模式进行较为系统的实践研究 关注教师 对 变式教学和探究教学的认识与行动 关注变式 发展数学变式教学的实践智慧 关注 探究 铺设适当的潜在距离 关注体验 构建适当的学习空间 关注学生 达到更 精彩的学习体验 7 1 2 3 研究的难点 从理论角度看 已有的变式教学理论研究 没有多角度较为系统的研究 离高 中课堂较远 有待进一步挖掘 这就需要笔者结合更多的理论去完善之 但笔者水平 有限 力争有所突破 从实践层面看 尽管大多数教师在课堂教学中能够自觉或不自 7 刘文军 创设探究性的数学课堂变式教学序列研究 学位论文 2 0 0 7 年 首都师范大学 4 高中数学变式教学研究第一章绪论 觉的运用变式教学 但缺乏对经验的提炼和总结 8 1 2 4 主要研究方法 从搜集相关文献入手 通过对文献的调研和对案例的分析来研究信数学变式教 学 主要研究方法如下所示 1 文献调研 查阅有关变式教学 建构主义 情境认知 现象图示学 智慧 层级理论等教学 学习理论多方面的文献资料 分析 研究 借鉴已有的理论成果与 实践经验 并进行分类整理 归纳 结合自己的教学实践加以体悟 2 理论分析 变式学习的起源可以归于教育心理学 同时又与马登理论等许 多教学理论密切相关 而所有的教学理论都具有核心要素 例如马登理论的核心要素 是变异与鉴别等 研究者需要对这些要素进行深入分析 寻找变式教学与这些理论或 者说这些理论的核心要素之间的关系 以便研究者从理论层面上对变式学习形成更全 面的认识 3 案例研究 本文所研究的案例 有笔者在教学实践过程中所设计实施的教 学案例 教学片段 教学设计 课堂教学实录等 也借鉴了已有的具有代表性的教学 案例 通过对这些案例的分析 探讨变式教学设计方法 4 行动研究 在日常教育教学实践中发现问题 思考问题并研究问题 教师 结合在开展课堂变式教学实践的过程中所遇到的问题 并对自己的实践做出反思 边 反思边实践 尝试建立促进高中生数学思维品质发展的变式教学模式 5 经验总结 重视资料积累 对研究活动中取得的经验 体会及时进行总结 归纳 形成研究的规律及方法 8 吴普林 高三数学复习课变式教学的实践研究 学位论文1 2 0 0 8 年 东北师范大学 5 第二章研究综述绪论高中数学变式教学研究 2 1 概念界定 第二章研究综述 笔者查阅了很多资料 多认为变式就是指对象正例的变化 文献 教育心理学 9 指出变式是指概念的正例的变化 而变式是指提供多个正例 所谓正例 是指这些例子的本质特征不变 无关特征要发生变化 文献 学与教的心理学 1 0 指出 所谓变式练习 就是指在其它的教学条件不变 的情况下 概念和规则的正例的变化 文献 数学学习论与学习指导 1 1 指出 所谓变式是指变更对象的非本质属性 突出那些隐蔽的本质要素 所以变式是指事物的肯定例证在无关特征方面的变化 进 而让学生在变化中思维 可以使学生更好地把握事物的本质和规律 从这些有关论述中可以发现 对变式的相关叙述主要集中在 变式变的是什么 是针对事物的本质属性 非本质属性 还是两者兼而有之 从以上的文献可以看出 变换的仅仅是事物 概念的非本质属性 而本质属性并不改变 也就是说这正例变式 和原有的事物仅仅是表现形式的不同 其本质完全是一样 但在实际的教学中 变换对象的本质属性而保持某些非本质属性的不变所得的事 例 即所谓的反例变式 对深化原有知识的认识 实现对知识的多角度的理解以及概 念的辨析也有着重要的功能和价值 因此从实践的角度来看 有必要对变式的内涵进 行拓展和延伸 变式的作用在于分化概念 变式不充分或不正确 往往会产生概念内涵的混淆 外延扩大或缩小的错误 当然 变式不应是无休止的 而应选择适当的 典型的方式 进行 1 2 本文在已有研究的基础给出如下的变式意义 变式的定义 变式是教学中使学生确切掌握概念的方法之一 即从不同方面 不 9 张承芬 教育心理学 m 山东教育j 版社 2 0 0 0 2 0 3 1 0 邵瑞珍 教育心理学 修订本 m 海教育 j j 版社 1 9 9 7 p 5 8 1 0 2 9 3 章建跃 数学学习论与学习指导 m 人民教育出版社 2 0 0 1 p 7 4 8 7 9 8 9 9 1 5 6 控刘式良 高三数学变式教学实验研究 学位论文 2 0 0 6 年 云南师范大学 6 高中数学变式教学研究第二章研究综述 同角度和不同情况来说明某一事物 从而概括出事物的一般属性 在概念教学中 最 常用的是 非本质属性变式 即提供给学生的各种事例在本质方面保持不变 而在 非本质方面不断变化 正确运用这种变式 可使学生确切掌握概念 有时也使用 本 质属性变式 即提供给学生的各种事例在非本质方面相同或相似 而在本质方面却 不同 正确使用这种变式有助于防止概念之间的混淆和不合理地扩大概念的外延 1 3 1 4 而变式教学就是将变式用于教学 变式教学既是一种教学手段 也是一种教学思想 数学教学包括两种类型的活动 一种是教陈述性知识 即概念 另一种是教程 序性知识 即过程 由于程序性知识是动态的 采用静止的概念性变式不能促进其 学习过程 因此顾泠沅提出了 过程性变式 概念 推广了变式的概念来解决程序 性知识的教学 过程性变式 是指为解决问题而采用的一系列不同步骤和策略 采 用过程性变式 学生能够解决问题 并形成不同概念之间的层次关系或获得多种解 题方法 1 5 2 2 变式教学的学习理论 教学理论 基础 在中国 变式教学早已开始实践 广大一线数学教师一直在课堂上使用着变式教 学同时也取得了一定的效果 至于对变式教学从理论角度进行必要的研究 为变式教 学提供必要的理论依据 则很少有人关注 下面是本研究在已有研究的基础上 从学 习理论和教学理论的角度对变式教学的研究和思考 2 2 1 有意义的学习理论与变式教学 由于中国的传统数学教学偏重于学科知识的传授 以构造完善的数学知识结构为 基本的取向 所以我们以奥苏贝尔的有意义学习理论为出发点 奥苏贝尔认为 有意 义的学习有三个必备条件 1 学习材料本身具有逻辑意义 2 学生具有意义 学习的心向 即表现出一种在新学内容和已有知识之间建立联系的倾向 3 学习的 内容对学生具有潜在意义 即学生的认知结构中具备与新知识相联系的知识准备 这 样 新旧知识才能建立起非人为性和实质性的联系 据此 奥苏贝尔把有意义学习的 实质概括为 语言文字符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立 扫赵肇 实施数学变式教学提高初中生认知成绩 学位论文1 2 0 0 8 年 天津师范大学 1 4 j 焕勋 实用教育人辞典 m i 北京师范人学j i 版社 1 9 9 5 1 5 周燕伟 女中数学变式教学特点的研究与实践 学位论文 2 0 0 9 年苏州大学 7 第二章研究综述绪论高中数学变式教学研究 非人为性和实质性的联系 即同化 这种实质性的联系指的是学生已有的认知结构中的知识可以和新知识联系起来 1 6 要使有意义学习真正的发生 关键在于新知和已有的认知结构建立实质的联系 教 师如何帮助学生建立这种非人为的实质的联系呢 教师又是如何判定这种实质联系的 真正建立呢 教学中 必须以基础性为前提发挥学生主动性的作用 以主动性为指导 发挥学生基础性的作用 这样 学生才能既学得主动 又学得扎实 实践证明 建立 在同化机制上的有意义学习能使学生获得真正的知识 这种知识是有心理意义的 它 融进了学生的知识结构 是自己的知识 学生可以自由提取 灵活运用 这种知识有 机地镶嵌进学生业已形成的认知序列之中 使学生的认知结构像滚雪球似地不断的重 新组织 变式教学能够促使有意义的学习的发生 通过变式的设置 变换知识的各项特征 包括本质和非本质特征 让新知与学生认知结构中已有知识之间建立联系 在变换的 过程中突出了知识的本质属性 从而实现了对新知识的多角度 全方位的理解 进而 促进了知识的正迁移 由此可以看出 变式教学有利于各种知识之间的相互联系 帮 助学生形成融汇贯通的 不断精细分化的数学认知结构 通过变式的设置也可以检验 学生对新知识的理解程度 比如我们可以围绕某一新知识设计一系列的变式 这些变 式既有本质属性的变化又有非本质属性的变化 如果新知识是不清晰可辨的 不稳定 的 那么在解决变式时必然会受到那些非本质属性的干扰 变式条件下的有意义学习 才是科学的 生动活泼的 积极思维的 高质高效的学习 教学最终必须落实到学生 的有意义学习上 检验教学是不是科学 其实际标准就在于看它是否使学生产生了有 意义的学习 这一点 我们在教学方法改革中必须予以重视 2 2 2 变异教学理论 与变式教学 马登提出的 现象图式学 又被称为 马登理论 1 7 现象图式学的核心概念是 鉴别和差异 而马登的 变异教学理论 正是基于以上两个核心概念构建而成 根据 变异教学理论可知 学习发生的前提是有效的分辨 而有效的分辨的前提是变异的存 在 因此变异构成了学习的重要前提条件 1 6 施良方 学习论 m 人民教育出版社 1 9 9 4 1 7 徐汝成 马登理论及其对数学教学的启示 j 数学教育学报 2 0 0 2 2 1 4 8 5 0 8 高中数学变式教学研究第二章研究综述 如何让变异发生 变式教学正是通过变式题来进行教学的一种教学方式 通过一 系列的变式刚好构成一个变异的空间 从 马登理论 的角度来看 只有通过对差异 的认识才能产生鉴别 也就是产生了学习 我们把比较变式教学与变异教学理论做一个比较 可以发现 变异教学理论是一 种学习论 变异教学理论阐述了学习的必要前提是对适当变异的体验 而变式教学是 一种实践和具体的操作 变式教学从实践层面提出变异对于学习的重要性 这样变异 教学理论可为扎根于实践经验的变式教学提供 定的理论支撑 2 2 3 加涅的智慧技能层级理论与变式教学 美国教育心理学家加涅对知识与技能作了系统的研究 加涅对知识与技能的区分 作了系统研究 加涅的智慧技能层次论把智慧技能分为五个亚类 1 辨别 区分事物之间的不同点 如区分字母b d p q 2 具体概念 识别具有共同特征的同类物体 如把大小 厚薄 封面颜色 和图案不同的书 都看作是 书 这个类别的实例 3 定义性概念 运用概念的定义特征对事物分类 如把2 3 7 1 1 1 7 1 9 2 3 等数分成质数 把4 6 9 1 0 1 2 1 4 1 5 1 6 1 8 2 0 2 1 等数分为合数 4 规则 运用单一规则办事 如用公式s 舯2 计算圆的面积 5 高级规则 同时运用几条规则办事 加涅进一步指出五种智慧技能的习得存在着如下的层次关系 知觉的辨别是具体 概念学习的先决条件 具体概念学习又是定义性概念学习的先决条件 定义性概念学 习又是规则学习的先决条件 而简单的规则学习又是高级规则的学习的先决条件 这 就是加涅智慧技能层级理论的核心思想 1 8 由此可以看出 教师在课堂教学中 在安排课堂教学任务时 应注意复杂内容的 学习应以简单内容为基础 学习应循序渐进 一步一个台阶 跨度不能太大 否则会 造成学生认知准备不足 产生学习上的困难 从变式教学的角度来看 这时可以从一 个比较简单的问题入手 构造一系列的变式指向最终待解决的问题 通过解决这一系 列的变式 逐步过渡到所要解决的问题 这一系列的变式为解决困难 复杂问题作好 必要的铺垫 从而有层次的推进问题的解决 同时 学生做好了认知上的准备 减小 1 8 邵瑞珍 教育心理学 修订本 m 上海教育出版社 1 9 9 7 p5 8 1 0 2 9 3 9 第二章研究综述绪论高中数学变式教学研究 解题的跨度 更容易获得成功的体验 2 2 4 随机通达教学理论与变式教学 随机通达教学 也称随机进入教学 是斯皮罗等人在建构主义理论的指导下提出 的针对高级学习的一种教学方式 一方面 由于知识的复杂性和实例的差异性 在解 决实际问题时 任何对事物的简单理解都会漏掉对象的某些方面的特征 而这些方面 在另一个情境中或从另一个角度看时可就是非常重要 另一方面 由于学习知识背景 认知方式的差异对知识意义的表征不同 对对象的意义建构可以从不同的角度入手 从而就可能获得不同的理解 随机通达教学的原则 1 教学活动必须为学习者提供知识的多元表征方式 2 教学设计应注意构建由概念与案例交叉 复杂知识的理解要经过多个实例的旁证 这 样才能揭示抽象概念的细微变化 以保证知识的高度概括性与具体性的结合 3 教 学材料应避免内容过于简单化 4 教学应基于情景 基于案例 基于问题解决 强 调学习者对知识的建构 而不是信息的传递与接受 5 作为学习材料的教学内容应 该是高度联系的知识整体 而不是孤立的 分割的 随机通达教学要求同一内容的学习应在不同的时间多次的进行 但每次的情境都 是经过改造的 而且目的不同 分别着眼于不同侧面 但它决不是简单的重复 它要 求每个概念要注意充分的变式 这些具体的变式要充分涉及到其它的概念原理 也就 是新课程标准中多次提到的 螺旋式上升 它可以使学习知识达到新的理解 事实 上变式教学正是利用了各种变式 而这些变式涉及到多种的变化情况促进了学生对知 识的全方位 多角度的理解和意义建构 2 2 5 最近发展区理论与变式教学 维果斯基提出了 最近发展区 的概念 维果斯基的研究表明 儿童发展的两 种水平 一种是已经达到的发展水平 另一种是儿童可能达到的发展水平 这 两种水平之间的距离 就是 最近发展区 1 9 它可以看作为学生自己能达到的水 平与教学目标 教学要求之间的距离 教学活动就是在最近发展区中进行的活动 这 个活动是教师与学生之间的交往活动 2 0 1 9 张乃达 反思比发现更重要 j 中学数学 2 0 0 3 5 l 2 0 覃雷瑛 高中函数概念的变式教学研究 学位论文 2 0 0 7 年 广西师范大学 1 0 高中数学变式教学研究第二章研究综述 从变式教学的角度来看 当学生需要独立解决问题而面临较大的困难时 教师应 该以学生的已有认知水平为起点 在学生的最近发展区内设计一系列逐步递进的变式 充作引领学生解决问题的脚手架 这些变式以学生熟悉的问题为起点 以需要解决的 问题为指向 作为一种教学中的铺垫 设计在学生的最近发展区内的一系列变式帮助 学生实现了从已有水平向潜在水平的跨越 在问题解决的过程中让学生看到成功的 希望 明确努力的目标 获得前进的动力 一步一步地发展自己 一点一滴地 完善自己 2 3 国内外数学变式教学研究现状 2 3 1 数学变式教学的相关研究文献 顾泠沅先生在 学会教学 1 9 9 1 年 一书中率先对变式教学加以研究 曹才翰先生总结青浦经验时曾说 变式教学摆脱了 教师示范例题 学生模仿例 题 的模式 给开放教学提供了条件 在变式教学中 可放开手脚让学生自由地去想 象 去琢磨 这对锻炼学生的思维是有重要作用的 并对发展学生的创造性思维创造 了条件 2 1 李士绮先生说 对数学来说 熟能生巧 巧的实质应是理解 变式训练不是简 单的重复 每一次变式都可能有助于学生关注问题或概念的不同的方面 都可能让他 们有新的收获 也可能让他们从不同的角度看问题 因而加深他们的理解 进而使学 生形成良好的认知结构 鲍建生 黄荣金 易凌峰 顾泠沅等人合作研究 所写的 变式教学研究 一文 连载在 数学教学 杂志 2 0 0 3 年第1 2 3 期 对数学变式教学的研究产生了 深远的影响 鲍建生等根据数学学习对象的两重性 按照过程操作和对象结构 将数 学变式分为概念性变式和过程性变式 刘长春 张文娣在 中学数学变式教学与能力培养 2 0 0 1 年 教育部师范教育 司组织评审 一文中系统地介绍了数学变式教学的教学原则 基本内容和理论指导 详细地论述了数学变式的方法以及数学变式的途径 总结出数学变式教学的五种课堂 教学模式 聂必凯在 数学变式教学的探索性研究 2 0 0 4 年 博士学位论文 华东师范大 2 1 曹才翰 谈谈上海市青浦县的数学课题教学结构 j 1 中学数学教学 1 9 9 2 年0 3 期 l l 第二章研究综述绪论高中数学变式教学研究 学 一文中从五个研究课例和一个测试出发 研究了过程性数学变式的教学形式与 教学意义 祖惠泊在 变式在初中数学中的应用 2 0 0 4 年 硕士学位论文 首都师大 一 文中对初中代数概念 几何概念 例题和习题的变式教学作了实践研究 谢景力在 数学变式教学的认识与实践研究 2 0 0 6 年 硕士学位论文 湖南师 范大学 一文中阐述了数学变式教学的有关理论及提出在教学中的操作思路 调查 和分析了中学数学教师对变式教学理论认识的不足 并提出改善对策 程慧在 高中数学变式教学的研究与实践 2 0 0 7 年 硕士学位论文 华中师范 大学 一文中从学习论 教学论方面给出了数学变式教学的理论指导 针对问题解 决的数学变式教学提出了复习课的变式教学模式并结合案例加以说明 陶贵斌在 数学变式题教学的实践与探索 2 0 0 4 年 硕士学位论文 南京师范 大学 文中给出了变式题以及变式题教学的内涵及其特征 并且对变式题作了分类 2 3 2 变式教学的有关实验研究 早在2 0 世纪8 0 年代顾泠沅等就在上海青浦进行了长期的变式教学实验 马登 m a r t o n 与顾泠沅於2 0 0 1 年会面 自此 马登的 现象图示学 理论与顾泠沅的 实验相互促进 使得理论与实践之间得到结合 马登理论对概念形成有较强的基础 而顾泠沅的做法对解决数学问题技巧的提升很有成效 但两者的基础都在于通过有系 统地引入变化 学生学生不仅仅可以逐步解决某个具体的问题 在解题过程中学生的 数学能力更是得到了提高 自2 0 世纪9 0 年代中期起 马登等人 包括b o w d e n b o o t h r u n e s s o n 开始重 新审视现象图式学的以往研究成果成果 首先认定变异是提高识辨能力的要素 而由 识辨再发展到不同层次的理解 通过在学生以往经验中引入变异 学生的理解会更加 丰富 所以马登又提出了 变异教学理论 p e d a g o g y o f v a r i a t i o n 2 0 0 0 年 黄毅英 林智中 黄家鸣的研究小组得到了马登的参与 进行了 通 过有系统地引入变异促进学生数学问题解决能力 的研究 得出了有用的结论 总 的来说 通过引入变式题 不只是学生的数学观开阔了 他们解决数学开放题的能 力亦有所提高 研究进一步发现 引入变异的成效视乎变式题的 剂量 及学生的 水平而定 简单来说 中 高水平的学生受惠于高剂量的变式题 而学习成绩稍逊 1 2 高中数学变式教学研究第二章研究综述 的学生只能接受低剂量的变式题 而且 过量的开放题会引起学生的恐惧 从这次 研究经验中可以看到 老师不能只是一般地通过引进开放题而试图拓展学生的经验 空间 藉以提升他们的高层次思维能力 更需要更细致地安排适当的脚手架 循序 渐进地引入变化 2 2 上海市顾冷沅等的 青浦教改实验小组 经过大范围的调查研究 认真筛选变式 教学中的成功经验 并进行试验推广 青浦教改实验小组探索的 潜在距离 实验有 助于加深广大师生对变式教学的理解 即在有层次推进的变式教学中 可以通过增设 适当铺垫 调整前后知识之间的 潜在距离 来决定变式教学的取向 聂必凯等人进行研究 通过相关的问卷调查及测试 调查了当前广大数学教师对 数学变式教学的认识和变式教学在数学课堂上的运用情况 并从五个研究课例和一个 测试出发 探讨了过程性变式的教学实施形式与教学意义 黄荣金等通过对香港和上海数学课堂的深入比较研究 比较两地数学教学所研究 的变式模式 同时深入研究了所谓的 中国学习者悖论 建议在探究中国数学教学 的同时 对内在的文化差异应该加以考虑 2 4 已有的研究局限 从理论的角度来看待数学变式教学和数学变式教学课堂实施形式 数学变式教学 原则和数学变式教学实践 应该说已有的研究已取得了一定成果 但还有些不足之处 1 数学变式教学多为教师自发的教学行为 没有形成一整套完善的教学理论 其理论与实践 没有多角度较为系统的研究 多流于形式大而空 有待进一步挖掘 教师要在相关的教学理论指导下把自发运用数学变式教学上升到自觉运用 还有一段 路要走 2 数学变式教学不等同于变式训练 也不仅仅是教师的变式 任何形式的教 学方法 教学手段 教学模式都需要以培养学生问题解决的能力 提升学生数学思维 为终极目标 当前的实践对变式教学没有进行深入探究 挖掘更深层面的问题 或者 说变式教学更应该从学生的角度出发 以如何发展学生的数学能力和提高学生的数学 素养为发展目标 3 即使教师运用了变式教学手段 也很少对课堂实践的结果作系统的分析 评价 反思 2 2 香港黄毅英 林智中等 数学课程变式设计一以小学三个课题为例叨 教育学报 2 0 0 7 2 1 3 第二章研究综述 绪论高中数学变式教学研究 关于高中教师对变式教学在数学教学中实效性认识情况的调查 为了了解当前教师对变式教学的了解程度 心理接受程度 以及日常变式教学状 态 笔者针对数学教师设计了一份调查问卷 见附录 对本校的4 0 位数学教师进行 了问卷调查 回收有效问卷3 7 份 下面对此次调查做简要分析 3 7 位教师中 教龄在5 年及5 年以下的有5 人 6 年到1 0 年的有1 4 人 1 1 年 到2 5 年的有1 3 人 2 5 年以上的有5 人 教龄分布比较均匀 对于 高中数学教学 是现实的 有趣的 富有挑战性的 这个观点持赞成和非常赞成的共有1 7 人 有3 人不赞成 认为变式在数学教学中的地位重要与非常重要的教师共有3 0 人 其中认 为非常重要的1 7 位教师大都集中在教龄在6 年到2 5 年的中青年教师里 对于教材中 出现的操作性内容 一半以上的教师会按照操作活动需要的物质条件 如果有就进行 设计 对于概念教学的几个需要进行变式辨析阶段 有9 位教师认为在概念获得阶段 有1 2 位教师认为在形成概念表征阶段 有9 位教师认为两个都需要 在这个调查中 可能有教师对 概念表征 不甚理解 对于 数学概念教学中的变式教学就是问题情 境的改变 这种说法表示赞成与非常赞成的共有1 8 位老师 持这种观点的主要集中 在教龄比较大的教师里 另有9 位教师说不清 l o 位教师不赞成 在变式教学过程 中 如果学生对某一问题产生了不同的想法 大部分教师会顺着他的思路展开 期望 能有意外收获或者在不影响课堂教学的进度的情况下展开讲述 有4 位教师认为如果 无法预测就打断或回避 以免影响进度 这两位教师都是任教1 1 年到2 5 年的教师 对于教学设计中的变式的来源 大部分教师来源于课本或参考书以及网络 部分教师 靠自己想 各年龄层都有 但教龄大的偏向于自己想 对于教科书上给出的习题大部 分教师认为还可以 有些习题可以适当增加变式 有2 人认为差 有9 人认为好 很 实用 在设计变式时 有1 7 位教师最偏爱一题多解 1 2 人最偏爱一题多变 其余人 喜爱多题归一或是一题多用 这个调查若能够让教师排序则更能看出问题来 从问卷中可以看出大部分教师在教学设计时 能够有意识的运用变式 且随着教 龄的增加 越来越觉得变式教学在数学教学中的地位非常重要 但超过2 5 年后反而 有所减弱 这可能与变式教学这一教学手段在应用时需要教师投入相当多的精力有 关 关于概念教学中的变式教学与问题情境的改变的区别 教龄大的教师认为是一样 的 反而年轻的教师对此持怀疑态度 对于概念教学中的变式教学思考更多一些 思 维更广阔些 从教师最偏爱的变式看一题多解和一题多变占多数 但对更深层次的多 题归一相对选择的教师少些 有可能是需要教师有更强的学科知识综合能力 此外大 1 4 高中数学变式教学研究第二章研究综述 部分教师觉得多媒体技术在变式教学中有一定作用 并且在一堂课结束后 大部分教 师会反思自己变式教学中的得失 但经常反思的只占三分之一 由于问卷中对最后一题发表自己的看法的教师不多 为了更具体地了解数学教师 对变式教学的想法 笔者又对本校3 位教师进行了关于变式教学的访谈对话 3 位教 师教龄分别为1 5 年 1 0 年 3 年 现将访谈内容总结如下 首先 这些老师都肯定了变式在高中数学课堂教学中的价值 好的变式教学绝 对能够调动起学生的积极性 不管是概念性变式还是过程性变式 精心设计的变式尤 其能够激发学生的投入感 从而产生求知的冲动和欲望 变式教学如果能把学生顺 利带入探究的空间 在良好的教学氛围中促进学生的思考 就能够促进学生结合自己 的经验与教学提供的各种材料对接 当然 他们都就自己的教学实践从不同层面指出了目前高中数学课堂教学的实施 中存在问题和缺