2019_2020学年高中数学第1章数列3.1等比数列第1课时等比数列的概念及其通项公式教案北师大版必修5.docx

第1课时等比数列的概念及其通项公式学 习 目 标核 心 素 养1.理解等比数列的定义(重点)2掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点)3熟练掌握等比数列的判定方法(重点)1.通过等比数列概念的学习培养学生的抽象素养2借助于等比数列通项公式的学习提升学生的数学运算素养.1等比数列的定义阅读教材P21P22“例1”以上部分，完成下列问题文字语言如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列就叫作等比数列这个常数叫作等比数列的公比，公比常用字母q表示(q0)符号语言若q(n2，q0)，则数列an为等比数列思考：(1)如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数，这个数列一定是等比数列吗？提示不一定，只有比值是同一个常数才是等比数列，如数列：2,2,3,3,4,4，就不是等比数列(2)0可以作为等比数列中的一项吗？提示不可以，由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比q也不能为0.2等比数列的通项公式阅读教材P22“例1”以下至P23“例2”以上部分，完成下列问题(1)等比数列通项公式首项为a1，公比是q的等比数列的通项公式是ana1qn1(a10，q0)(2)用函数的观点看等比数列的通项等比数列an的图像是函数yqx的图像上的一群孤立的点思考：(1)等比数列的通项公式一定是指数函数吗？提示不一定只有当a11，q0且q1时，其通项公式才是指数函数(2)若数列an的通项公式为an2n，那么an是等比数列吗？提示因为2，所以数列an是等比数列1下面各数列成等比数列的是()1，2，4，8，；1，3，3，；x，x，x，x，；，.ABCDC由等比数列的定义可知，对于中的x，若x0，则不是等比数列2已知数列an为等比数列，若a13，a512，则公比q()ABCDD由an为等比数列得a5a1q412，3q412，q.故选D3已知an为等比数列，a112，a224，则a3()A36B48C60D72B由a112，a224得q2.a3a2q24248.故选B4等比数列an的首项为2，公比为5，则数列an的通项公式为_an25n1(nN)数列an的通项公式为an25n1(nN)等比数列的通项公式及应用【例1】在等比数列an中(1)已知a24，a5，求an；(2)已知a3a636，a4a718，an，求n.解(1)法一：设等比数列的公比为q，则解得ana1qn1(8)n1n4.法二：设等比数列的公比为q，则q3，即q3，q.ana5qn5n5n4.(2)法一：设等比数列的公比为q，则解得从而a1128.由a1qn1，即n18，得n9.法二：设等比数列an的公比为q.a4a7a3qa6q(a3a6)q，q.a4a718，a4(1q3)18.a416，ana4qn416n4.由16n4，得n45，n9.等比数列通项公式的应用技巧(1)a1和q是等比数列的基本元素，只要求出这两个基本元素，其余的元素便可求出(2)等比数列的通项公式涉及四个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个(3)在等比数列的计算问题中，经常使用方程的思想和整体代换的思想1在等比数列an中(1)已知a32，a58，求a7；(2)已知a3a15，a5a115，求通项公式an.解(1)因为a32，a58，所以q24，所以a7a5q28432.(2)由a3a15，a5a115，得得q213，q24，a11，所以q2或2，当q2时，an2n1，当q2时，an(2)n1.等比数列的实际应用【例2】某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值(1)用一个式子表示第n(nN)年这辆车的价值；(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，an，由题意，得a110，a210(110%)，a310(110%)2，.由等比数列定义，知数列an是等比数列，首项a110，公比q110%0.9，所以ana1qn1100.9n1.所以第n年车的价值为an100.9n1万元(2)当他用满3年时，车的价值为a4100.9417.29(万元)所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元1等比数列应用题的两种常见类型(1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立数学模型，如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型(2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利用等比数列的通项公式解决2解决应用题的步骤是：2一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后_分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB210 KB)45由题意可得每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64 MB时自身复制了n次，即22n64210216，解得n15，从而复制的时间为15345分钟等比数列的判定与证明探究问题1数列an的前n项和Sn，an，Sn1有何关系？提示当n1时，a1S1，当n2时，anSnSn1.2若数列an满足an212(an11)，能够证明数列an1是等比数列吗？提示不能，首先an212(an11)只能说明a312(a21)，a412(a31)，即从第3项起，每一项与它前一项的比是同一个常数，所以还要看是不是有a212(a11)成立；其次，a110，a210，即a11，a21，an1才可能是等比数列【例3】已知数列an的前n项和为Sn，a11，且Sn22an1.(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列an是等比数列思路探究：利用anSnSn1(n2)消去Sn，得到关于an的递推式，证明为常数即可解(1)因为a11，且Sn22an1，所以a2，S2，a3.(2)证明：当n2时，Sn122an，所以anSnSn12an12an，所以(n2)，又，所以，故数列an是以1为首项，为公比的等比数列1(变条件)把例3中的条件“a11，且Sn22an1”换为“Sn2n1”，证明数列an是等比数列证明因为数列an的前n项和Sn2n1，所以，当n1时，a1S12111，当n2时，anSnSn1(2n1)(2n11)2n1，综上所述，an2n1.所以an12n，2(常数)，所以an是首项为1，公比为2的等比数列2(变结论)在例3的条件下，证明数列Sn2为等比数列证明因为an1Sn1Sn，Sn22an1，所以Sn22(Sn1Sn)，即Sn1Sn1，所以，又S12a123，所以数列Sn2是首项为3，公比为的等比数列 判断一个数列an是等比数列的方法(1)定义法：若数列an满足q(q为常数且不为零)或q(n2，q为常数且不为零)，则数列an是等比数列(2)通项公式法：若数列an的通项公式为ana1qn1(a10，q0)，则数列an是等比数列(3)构造法：在条件中出现an1kanb关系时，往往构造数列，方法是把an1xk(anx)与an1kanb对照，求出x即可提醒应用定义法判断或证明一个数列是等比数列，应特别注意应用q与q对n的取值要求不同1等比数列定义的理解(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零(2)均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列2由等比数列的概念可知，要判定一个数列是否为等比数列，只需看的值是否为不为零的常数即可3等比数列的通项公式ana1qn1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)数列a，a2，a3，an，是等比数列()(2)常数列既是等差数列，又是等比数列()(3)若数列an是等比数列，则2an也是等比数列()答案(1)(2)(3)提示(1)不正确，当a0时不是等比数列；(2)不正确，常数列0,0,0,0，是等差数列，但不是等比数列；(3)正确2若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为()A3B4C5D6B因为n1，所以n13，所以n4.3等比