第四章电磁波的传播.docx

第四章、电磁波的传播内容提要 1无界空间平面电磁波的传播特性； 2电磁波在介质界面上的反射和折射，光学折、反射定律，菲涅耳公式； 3导体内的电磁波传播问题； 4有界空间的电磁波传播，传输线、波导、谐振腔等边值问题的解。本章在研究无界空间中平面电磁波的波动方程的基础上，给出介质中的电磁波传播特性；从边值关系着手，研究电磁波在介质界面上的反射和折射问题，从电磁场理论导出光学中的反射和折射定律；通过引入导体的复介电系数，研究了有导体存在时的电磁波传播问题，推出导体中的电磁波传播特性；研究了有界空间的电磁波传播行为，以谐振腔和波导为例阐述了电磁波边值问题的解法。在静态情况下，电场、磁场各自独立，麦克斯韦方程退化为 ,，,在迅变情况下，电场、磁场不可分割，变化着的电场和磁场互相激发，并以波动的形式向空间传播。通常，把这种波动着的电磁场又称为电磁波。由于在广播通讯、光学和其他科学技术中的广泛应用，电磁波的传播、辐射和激发等问题已发展成为独立的科学，具有丰富的内容。 4.1平面电磁波虽然麦克斯韦方程在原理上能够描述一切电磁场的属性和场量的间关系，但对于描述电磁波的传播行为，却存在着一定的麻烦，至少存在计算困难。要描述电磁场的传播，需要用到场量构成的波动方程。这里论述两个波动方程，一个是真空中的波动方程，另一个则是介质中的波动方程即亥姆霍兹(Helmholtz)方程。一、电磁场的波动方程（麦克斯韦方程在自由空间的波动形式）电磁波的传播空间一般不存在相关的自由电荷及传导电流。将这类没有自由电荷和没有传导电流分布的空间称为“自由空间”。除导体外，电磁波的传播问题大都发生在自由空间里。1真空中的波动方程在一般情况下，电磁波仍然符合基本的麦克斯韦方程组 （4-1-1）在没有电荷电流分布的自由空间（或均匀介质）中，由于，因而只存在电场和磁场的互相激发，于是，电磁场的运动规律就用下面的麦克斯韦方程形式描述 （4-1-2）真空中场量的关系变为，对（4-1-2）第一式取旋度将（4-1-2）的第二式变为代入其中得对上式代入自由空间的，整理可得（4-1-3a）同理，对（4-1-2）的第二式取旋度，将（4-1-2）的第一式代入其中可得对上式代入自由空间的，整理可得（4-1-3b）考虑到，于是（4-1-3a）、（4-1-3b）式可以写为 （4-1-4）（4-1-4）即为真空中电磁波的波动方程，其解包括各种形式的电磁波，是电磁波在真空中的传播速度。在真空中，一切电磁波（包括各种频率范围的电磁波，如无线电波、光波、X射线和射线等）都以传播，是最基本的物理常量之一。2介质中的波动方程 时谐电磁波(1).介质对电磁波的色散在研究介质中的电磁波传播时，必须给出和的关系。当以一定角频率作正弦振荡的电磁波入射于介质时，介质内的束缚电荷受交变电场的作用，也以相同的频率作正弦振动。在这种情况下，由于介质束缚电荷对变化电场的迟滞以及这迟滞与电场变化频率的关联，导致其极化率、电容率都与频率关联，成为的函数。于是，在振荡的作用下，场量间不再有简单的关系，而呈现出较复杂的关系。在线性介质中这类关系可写为 （4-1-5a）同样，磁介质中的场量关系，在线性介质中可以写为 （4-1-5b）至于各向异性的非线性介质，这类关系更为复杂，介质的和都要用二阶张量才能得以描述。由介质的微观结构可以推论，对不同频率的电磁波，介质的电容率、磁导率是不同的，即和是的函数， （4-1-6）和随频率而变的现象称为“介质的色散”。由于色散的存在，对一般非正弦变化的电场，关系式不成立。因此在介质内，不能推出和的一般波动方程，即企图在（4-1-3a）和（4-1-3b）式中把换作而给出介质中的电磁场波动方程的做法是根本错误的。(2). 时谐电磁波在实际情况下，很多电磁波的激发源往往以大致确定的频率作正弦振荡，因而辐射出的电磁波也以相同的频率作正弦振荡，例如无线电广播或通讯的载波，激光器辐射出的光束等，都接近于正弦波。这种以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单色波）。这里只讨论频率一定的时谐电磁波在介质中的波动方程，能够做到这一步应该说还是令人满意的，因为从理论上讲，单色波、时谐波或定态波具有单一的频率，这是各种复杂波形的构成基础，任何复杂的波都可以视为单色波或时谐波的迭加。在一般情况下，即使电磁波不是单色波，也可以用傅里叶（Fourier）分析（频谱分析）方法将它分解为不同单一频率的正弦波。(3).时谐波情况下的麦克斯韦方程设某时谐波的角频率为，电磁场依赖于时间的关系是，可用复数形式表示这个单色波为 （4-1-7）在上式中，我们用同一个符号表示抽出时间因子后的电场强度。在频率固定（定态）的情况下，有,，把（4-1-7）式代入自由空间的麦克斯韦方程组，消去共同因子后得到定态时谐情况下的麦克斯韦方程 （4-1-8）注意，在的情形下，时谐电磁波的这组方程并不相互独立，取第一式的散度，由于，因而，即得第四式。同样，由第二式可导出第三式。因此，在一定频率下，只有第一、二式是独立的，其他两式可由一、二两式导出。(4).定态下介质中的电磁场波动方程亥姆霍兹方程对（4-1-8）的第一式取旋度并对它代入第二式运用二重矢积运算并对它代入第三式，得取上式的最后两项即可得到 （4-1-9）令则上式可表为（4-1-10）（4-1-10）就是自由介质空间中电场的波动方程，被称做亥姆霍兹(Helmholtz)方程，式中的叫做波数。由（4-1-10）解出后，可用定态时谐的麦克斯韦方（4-1-8）中的第一式，得到自由介质空间中的磁场，即 （4-1-11）同样，对（4-1-8）的第二式取旋度并对它代入第一式运用二重矢积运算并对它代入第四式，得取上式的最后两项即可得到（4-1-12）代入，上式同样可表为 （4-1-13a）上式也可以换为用表示的形式（4-1-13b）求得后，同样可由（4-1-8）得第二式解出来，即 （4-1-14）综合上面讨论的情况，介质自由空间中的电磁场波动方程亥姆霍兹方程为 和 如果整合它们的附加方程合关系，可以得到如下关于介质中电磁波的两套公式 （4-1-15）二、平面电磁波的亥姆霍兹方程的解平面电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式，一般非平面的电磁波可以看作一系列小的平面电磁波的迭加，距离波源很远的球面波实际已经接近平面波。所以，研究平面波是为解决其它复杂波阵面的问题奠定了基础。1平面电磁波(1).平面电磁波波振面为平面，且垂直于其传播方向的电磁波就是平面电磁波。在与波传播方向垂直的平面上，各点场量（或）的大小、方向、位相都相同的电磁波叫做平面电磁波。(2).研究平面电磁波的原因之所以强调平面电磁波的重要性，是由于存在以下三条理由：i数学处理简单；ii任何复杂的波型都可分解为平面电磁波的迭加；iii远离辐射天线区域的电磁波都可看作平面波。可见，清楚了平面电磁波的传播行为与特性，是解决其他电磁波传播问题的基础。 2平面电磁波的亥姆霍兹方程的解（一维）电磁波的场强可有不同的形式，每一种形式被称为一种模式或波型。广播电视天线辐射的球面波，传输线或波导传送的电磁波，激光器激发的狭细光束等，它们的场强都属于亥姆霍兹方程的解。存在于全空间里的平面电磁波就是一种最基本的解，由它可以迭加出一系列复杂的波型。(1).平面电磁波的一维波解亥姆霍兹方程的一般（三维）解可表示为如下复数形式 （4-1-16）而平面电磁波只需要一维的波解就可以描述场的波动状态。若选定平面电磁波的传播方向为轴方向，则描述它的亥姆霍兹方程从三维偏微分方程退化为一维常微分方程，即 （4-1-17）方程（4-1-17）的解应该为（4-1-18）把（4-1-18）代入一般的解（4-1-16）中，可得 （4-1-19）由于研究对象是沿一维方向传播的平面波，与无关，而三维的场点矢径退为一维的，所以，上述的（4-1-19）解又可写为取实部的三角函数形式 （4-1-20）式（4-1-20）就是平面电磁波的亥姆霍兹方程的一维解。(2).相位因子的意义 下表给出了不同时刻位相的具体情况时刻位相波峰的位置波峰在x=0的平面处波峰在即的平面处从不同时刻的位相可以看出，波解（4-1-19）或（4-1-20）描述了一个沿x方向传播的平面电磁波的行波状态。根据波动力学，该电磁波的相速度为 （4-1-21）在真空中，由于，所以（4-1-21）式表示的相速度变成了；在介质中，由于和，所以（4-1-21）式变为，这就是介质产生光学色散的原因。(3).对相速度v的讨论：(i).在一般情况下，光速是极限；(ii).等离子体内，可能存在（为等离子体折射率）；(iii).表明，时，取决于（折射率）。(4).的意义：从相速度公式和波速、波长及频率的关系，我们可以得到的算式 （4-1-22）图4-1该式表明，就是时间内通过的的周波数，所以将称为“波数”。如果将波的传播方向与整合，就产生了波矢，波矢的数量为，方向同波振面法向矢量的方向，且有。(5).向空间任意方向传播的波解如果波矢分别取x，y，z轴的方向，则分别有，如果取任意方向，则有 ，将一维解中的换作，就可得到向空间任意方向传播的波解（图4-1） （4-1-23）3平面单色电磁波在介质中的传播性质(1).平面单色电磁波是横波，即有，分别对和取散度，可得，即 ，即 (2).平面单色电磁波的场量有，由麦克斯韦方程（4-1-1）的第一式 （4-1-24）该式表明平面电磁波的电场与磁场的振动面相互垂直，即。通过上式还可以为计算磁场带来方便。如果解出了平面电磁波的电场，就可以直接用（4-1-24）式求解磁场，而不必再去解一遍关于的微分方程。(3).平面单色电磁波的、同位相，其振幅比为图4-2表明，、三量互相垂直且有数量关系, （4-1-25）在中，由于、均为实数，不含相位因子，所以、同位相。4电磁波对运动电荷的作用洛仑兹力公式可拆分为和，在一般情况下 电荷运动的速度总是小于光速的，即或者，而总有成立。做下述运算并代入，以及 ，可得到 （4-1-26）上式表明，电磁波对微小带电粒子的作用，电场的作用要大于磁场的作用。三、电磁波的能量密度和能流密度在第一章曾经推导了电磁场能量密度和能流密度的一般公式， （4-1-27）在上两式的基础上，可以进一步推出电磁波传输中具体的能量密度和能流密度公式。1电磁波的能量密度的推导由电磁波传输的相速度可得，两边平方即得 （4-1-28）把上面的结果代入到能量密度的一般式中，可以得到 （4-1-29）2电磁波的能流密度：的推导由平面电磁波的场量和之间的关系，其中 把它代入到能量流度的一般式中，可以得到 （4-1-30）或者由和及同样可得：3能量密度和能流密度的瞬时值和平均值 从上面的结论可以看出，电磁波的能量密度和能流密度是场强的二次式，而电磁波的场强又是与时间相关的正弦型函数，因而在计算它们的瞬时值和平均值时不能将场强的复数式代入运算中，只能代入场强的实数解。(1).瞬时值能量密度的瞬时值可以如下推算，即（4-1-31）将结果代入能流密度的公式中，得（4-1-32）(2).平均值能量密度和能流密度都是随时间迅速脉动的波，因而只用到它们的时间平均值。一般时谐函数的二次式，按照下面的方法计算。设函数和的复数表示为，是两波的位相差，则对一个周期的平均值为（4-1-33）式中是函数的共轭复数，注意复数取实部即为cos。应用上面的计算公式，并注意到平均值，于是可以得到能量密度和能流密度的平均值为 （4-1-34） （4-1-35） 四、例题已知：真空中电磁波的磁场为求：解：磁场量还可以表示为与已知式子相比，应用上述结果计算(1).(2).(3).；(4).电磁波的磁场同样有 ，其中 将它们代入中由上式可得，(5). 将=1代入中可得因为真空中有将代入中，得(6). 给能流密度公式代入上面解出的场量，并考虑到真空中的，(7).8).由和真空中【教学目的】通过本章教学，使学生了解平面电磁波的特点，平面电磁波在理想介质、导体、分层介质、波导中传播时的特点以及谐振腔的工作原理。【重点难点】电磁波在导体、分层介质、波导中传播过程的分析。第四章 电磁波的传播4.1 平面电磁波1电磁场波动方程麦克斯韦方程组，再加上物质方程构成了研究电磁波问题的基础，如电磁波的产生与传播等。在自由空间中（），麦克斯韦方程组化为，可以看出，电场与磁场相互激发，将会以波的形式传播。（1）在无源真空中，于是令则同理，有可以看出，电磁场满足波动方程，为电磁波在真空中的传播速度。（2）在无源介质中在介质中，物质方程通常并不成立。实验表明，与电磁波的频率有关，故有式中分别是的富里叶分量。2时谐电磁波（单色波）（1）时谐电磁波定义 以一定频率作正弦振荡的电磁波，称为时谐电磁波，如载波，激光束等（2）时谐电磁波的数学表示 式中，是复数，称为复振幅。由于与有一一对应的关系，故写成（已省除下标和“”）同理有，（3）时谐情形下的麦克斯韦方程组注意：（1） 上述方程组中场量表示复振幅，其瞬时表示，需乘以因子再取实部；（2） 当时，上述方程组只有两个是独立的。（4）亥姆霍兹方程 -亥姆霍兹方程 注意：上述亥姆霍兹方程的解只有满足才代表电磁波的解。电磁波的另一个场量可由下式得出 在无源空间中，时谐电磁波问题的分析由下式描述 同理有 3平面电磁波解（1）平面电磁波解 假定电磁场振幅仅与坐标有关，而与无关，即，则亥姆霍兹方程化为 其解为 ，为常矢量其瞬时表示式为上式中称为相位因子。根据前面的分析，这个平面波需满足条件这说明电磁波的振动方向与传播方向垂直，即电磁波为偏振波。（2）平面电磁波的相速与色散效应画出电磁波的波形，如图所示。在时刻，有在另一时刻，有我们发现相位的波峰移到处。因此，波峰传播速度为-电磁波的相速。在真空中，相速为在介质中，相速，与电磁波频率有关。容易看出两相邻的波峰之间的距离，即波长为式中称为波数。色散效应：在介质中，电磁波的相速与其频率有关，称为色散效应。（3）平面电磁波的一般表示式 电磁波的相位面：由相同的电磁波相位构成的面。若电磁波的相位面为平面，则称为平面波。显然，相平面与传播方向垂直。对于任意的传播方向，平面波如图示，其表示式为式中，指向传播方向，称为波 矢。由电磁波的横波条件得说明电磁波有两个独立的偏振方向。平面电磁波的磁场分量为或由此可以看出（4） 平面电磁波的特性（i）电磁波为横波（偏振波）， （ii） （iii），4电磁波的能量和能流电磁波的能量密度为对于在线性介质中时谐电磁波，有对于平面电磁波，有这说明平面电磁波的电场能量与磁场能量相等。于是平面电磁波的能流下面计算一个周期内电磁波的能量与能流的平均值同理，电磁场平均能流蜜度为下面给出一个正弦变化量的平均值的计算方法：若4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射1反射和折射定律研究电磁波在介质界面上的反射和折射的出发点是电场的边值关系。研究电磁波在无源介质中的传播，且上述四个边值关系中只有两个是独立的（因麦氏方程也只有两个是独立的），故取 （1） （2） 下面研究反射和折射现象假定入射波是平面波，反射波和折射波也是平面波，如图所示。介质1中的场强为介质2中的场强为根据边界条件（1），得两边的实部和虚部相等，得-称为相位边值关系-称为振幅边值关系同理对磁场分量也有类似的关系。-称为振幅边值关系而相位边值关系与电场分量相同。设分界面为面，由相位边值关系得假定入射波矢位于平面，即，则故反射波矢和折射波矢也位于平面。由图知，由得-反射定律由得（对非铁磁介质有）-折射定律这进一步说明光是一种电磁波。2振幅关系 菲涅尔公式下面利用振幅边值关系研究反射波和折射波与入射波的振幅关系。分两种情形讨论。（1）如图所示，振幅满足（已略除下标）当时，有 eq oac(,1)1 eq oac(,2)2注意到入，反，折射波均为平面波，有代入（2）得 eq oac(,3)3联立（1）和（3），并应用反射定律，可得上式为菲涅尔公式。（2）如图所示，利用振幅边值关系，可得与上同样推理，得菲涅尔公式（3）讨论（i）布儒斯特角。 当时，的反射光消失。反射光为完全偏振光。（ii）半波损失。 若，则。此时，对入射面的情形，有负数。这说明在分界面处反相。这种现象称为半波损失。（iii）其它形式的偏振可将场量分解为平行入射面和垂直入射面来加以讨论。2全反射现在讨论，即光从光密介质进入光疏介质的情形。则。当时，有进一步增大入射角，使，则此时光发生全反射，折射光消失。事实上，折射光仍存在。下面导出折射光的形式。利用相位边值关系设注意到所以，折射波的场强为这是一个衰减波。穿透深度为还可以算出折射波的能流。在情形下，有还可以求出反射波与入射波的振幅比4.3 有导体存在时电磁波的传播1导体内的自由电荷分布在导体中，对于时变场，存在这样几个基本方程利用上述方程，可以研究讯变场作用下导体内自由电荷分布。结论：自由电荷体分布随时间衰减。当时，说明导体内不存在自由电荷分布，电荷分布在导体表面上。定义特征时间为 对于电磁波，若小小于电磁波的一个周期，即 （1）导体内自由电荷分布在特征时间内，有我们把这样的导体称为良导体。良导体的条件为1导体内的电磁波（1）导体内的频域麦氏方程在导体内，有，对于时谐电磁波，有定义“复电容率”为于是这样电磁波在导体中传输问题可仿照介质方式处理。（2）复电容率的物理意义假定绝缘介质不存在损耗，即为实数。位移电流密度：传导电流密度：，这个量与复电容率的虚部有关。位移电流的平均损耗功率为传导电流的平均损耗功率为结论：复电容率的虚部代表损耗。（3）导体中亥姆霍兹方程的解 导体中亥姆霍兹方程为 其解为可以看出，电磁波在导体中传播存在率减。称为衰减系数，称为相位常数。下面求。比较两边的实虚部，得 （1） （2）通常的方向并不一致，由上两式还不能确定，还需利用相位边值关系。例如，考虑电磁波气中射入导体，如图所示。设入射面为平面，为入射波矢，为折射波矢，由相位边值关系得为实数，再由（1）和（2）确定。3穿透深度与趋肤效应考虑电磁波垂直入射导体情形，如图4-7所示。根据前面的分析，有，所以透射波为由 （3） （4）解得对于良导体，有定义穿透深度得以金属铜为例，当当这说明电磁波频率越高，穿透深度越小。电磁波在良导体中只存在在其表层中。这种现象称为趋肤效应。4良导体中电磁波的电场分量与磁场分量间的相位关系在良导体的情形下，有（在良导体中）（在介质中）结论：（i） 电磁波在良导体中传播时，的相位落后的相位；（ii） 导体中的电磁波，起主要作用。5导体表面上的反射下面只讨论垂直入射情形，如图所示。假定沿方向，即入射面。根据振幅边值关系，有 （1） （2）对于良导体，有将其代入（2），得 （3）解得定义反射系数对于良导体，有电磁波几乎被良导体反射，良导体可以作为电磁波的边界。6应用举例例1 试证明在良导体内，非垂直入射情形有 证：如图所示，由相位边值关系，得在良到体内，有由例2 计算高频下良导体的表面电阻。解：导体内的电流密度为设，电磁波沿z方向传播，如图所示。因为电流只分布在的薄层内，故可看作面电流分布。设为单位横截线的电流密度，则（因，很小，积分可以扩展到无限大）导体表面平均损耗功率密度为导体表面单位损耗功率为作业：P180,5,6,74.4 谐振腔1有界空间中的电磁波导体能约束电磁波，这是由于导体使电磁波不易穿透。因此可利用金属管道使电磁波定向传输，利用金属空腔产生高频电磁波振荡。分析这类问题时，通常导体的作用作为边值问题来处理。2理想导体的边界条件（1）两个介质界面的边界条件对电磁波而言，上述四个方程只有两个是独立的。通常取（2）一侧为导体另一侧为介质的边界条件若1侧位导体，导体内的场量可忽略，则边界条件为（3）以导体为边界的电磁波问题的解由于处处成立，在导体表面上亦成立，故有。（4）电磁波的模式（i）TEM模式 电磁波的电场，磁场均垂直于传播方向。（ii）TE模式 电磁波的电场垂直于传播方向，但磁场不垂直。（iii）TM