二次函数与几何图形结合题及答案.doc

1.如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C（1）求A、B、C三点的坐标;（2）过点A作APCB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积;解：（1）令，得 解得令，得 A B C 3分（2）OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB= 过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE=，则PE= P点P在抛物线上 解得，（不合题意，舍去） PE=5分四边形ACBP的面积=ABOC+ABPE=6分2.如图,在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求b,c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由. 解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）1分二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)2分解得：b=-2 c=-33分（2）如题图：直线AB经过点A（-1，0） B(4,5)直线AB的解析式为：y=x+14分二次函数设点E(t， t+1),则F（t，）5分EF= 6分 =当时，EF的最大值=点E的坐标为（，）7分（3）如题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形 可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4） S=S+S =题备用图 = 10分如题备用图：)过点E作aEF交抛物线于点P,设点P(m,)则有： 解得:, ,）过点F作bEF交抛物线于，设（n，）则有： 解得： ，（与点F重合，舍去）综上所述：所有点P的坐标：，（. 能使EFP组成以EF为直角边的直角三角形 13分3.如图,已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点P，顶点为C（1，2）.（1）求此函数的关系式；（2）作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（1）的顶点为C（1，2）， 2分（2）设直线PE对应的函数关系式为由题意，四边形ACBD是菱形. 故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M 3分由P(0，1)，M（1，0），得从而， 5分 设E(，)，代入，得 解之得，根据题意，得点E(3，2) 7分 4如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD轴，交AC于点D(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线的顶点为Q（2，1）设将C（0，3）代入上式，得， 即（3分）（2）分两种情况：当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)令=0, 得解之得, 点A在点B的右边, B(1,0), A(3,0)P1(1,0) （5分）解:当点A为APD2的直角顶点是(如图)OA=OC, AOC=, OAD2=当D2AP2=时, OAP2=, AO平分D2AP2又P2D2轴, P2D2AO, P2、D2关于轴对称设直线AC的函数关系式为将A(3,0), C(0,3)代入上式得, （7分）D2在上, P2在上,设D2(,), P2(,)()+()=0, , (舍)当=2时, =1 P2的坐标为P2(2,1)(即为抛物线顶点)P点坐标为P1(1,0), P2(2,1) （9分）(3)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形（10分）当点P的坐标为P2(2,1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形P(2,1), 可令F(,1)解之得: , F点有两点,即F1(,1), F2(,1) （13分）3. （2011江苏连云港，25，10分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点在直线y=2x上.(1)求a的值；(2)求A,B两点的坐标;(3)以AC,CB为一组邻边作ABCD,则点D关于x轴的对称点D是否在该抛物线上?请说明理由.考点：二次函数综合题。分析：（1）根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标，再代入一次函数即可求出a的值；（2）根据二次函数解析式求出与x轴的交点坐标即是A，B两点的坐标；（3）根据平行四边形的性质得出D点的坐标，即可得出D点的坐标，即可得出答案解答：解：（1）抛物线y=x2x+a其顶点在直线y=2x上抛物线y=x2x+a=（x22x）+a=（x1）2+a，顶点坐标为：（1，+a），y=2x，+a=2，a=；（2）二次函数解析式为：y=x2x，抛物线y=x2x与x轴交于点A，B，0=x2x，整理得：x22x3=0，解得：x=1或3， A（1，0），B（3，0）；（3）作出平行四边形ACBD，作DEAB，二次函数解析式为：y=x2x，图象与y轴交点坐标为：（0，），CO=，DE=，CAO=DBE，DEB=AOC，AOCBDE，AO=1，BE=1， D点的坐标为：（2，），点D关于x轴的对称点D坐标为：（2，），代入解析式y=x2x，左边=，右边=42=，D点在函数图象上5. （2011江苏宿迁，27，12）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t（0t2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QEAB于点E，过M作MFBC于点F（1）当t1时，求证：PEQNFM；（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值考点：正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。专题：代数几何综合题。分析：（1）由四边形ABCD是正方形得到A=B=D=90，AD=AB，又由EQP=FMN，而证得；（2）由点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t，又由勾股定理求得PQ，由PEQNFM得到PQ的值，又PQMN求得面积S，由t范围得到S的最小值解答：证明：（1）四边形ABCD是正方形，A=B=D=90，AD=AB，QEAB，MFBC，AEQ=MFB=90，四边形ABFM、AEQD都是矩形，MF=AB，QE=AD，MFQE，又PQMN，EQP=FMN，又QEP=MFN=90，PEQNFM；（2）点P是边AB的中点，AB2，DQAEtPA1，PE1t，QE2由勾股定理，得PQPEQNFMMNPQ又PQMNSt2t0t2当t1时，S最小值2综上：St2t，S的最小值为2点评：本题考查了正方形的性质，（1）由四边形ABCD是正方形得到A=B=D=90，AD=AB，又由EQP=FMN，而证得；（2）由勾股定理求得PQ，由PEQNFM得到PQ的值，又PQMN求得面积S，由t范围得到答案6.（2011江苏徐州，28，12）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，2）（1）求此函数的关系式；（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及PEF的面积；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）将顶点坐标C（1，2）代入y=x2+bx+c即可求得此二次函数的关系式；（2）先求出直线PM的解析式，然后与二次函数联立即可解得点E的坐标；（3）根据三角形相似的性质先求出GP=GF，求出F点的坐标，进而求得PEF的面积解答：解（1）y=x2+bx+c的顶点为（1，2）y=（x1）22，y=x22x1；（2）连结CD交AB于点M，根据轴对称性可知MA=MB,MC=MD,ABCD,所以四边形ACBD是菱形，过点M的任意一条直线都把菱形ACBD的面积平分，所以直线PM平分菱形ACBD的面积因为y=与y相交于点P（0,1）, 顶点为点C（1，2）所以点M的坐标为（1，0）设直线PM的解析式为y=kx+b则，解之得所以直线PM的解析式为y=x1解方程组，得或所以点E的坐标为（3，2）.（3）过点P作直线PQPM,则直线PQ的表达式为y=x1解方程组，得或所以直线PQ与抛物线的交点F是抛物线的顶点C（1，2）.所以PE= ,PC=所以PEF的面积为点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法及三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题7. （2011南昌，25，10分）如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a0，b0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C将抛物线m绕点B旋转180，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1（1）当a=1，b=1时，求抛物线n的解析式；（2）四边形AC1A1C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；（3）若四边形AC1A1C为矩形，请求出a，b应满足的关系式考点：二次函数综合题专题：代数几何综合题分析：（1）根据a=1，b=1得出抛物线m的解析式，再利用C与C1关于点B中心对称，得出二次函数的顶点坐标，即可得出答案；（2）利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明；（3）利用矩形性质得出要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB=BC，即可求出解答：解：（1）当a=1，b=1时，抛物线m的解析式为：y=x2+1令x=0，得：y=1C（0，1）令y=0，得：x=1A（1，0），B（1，0），C与C1关于点B中心对称，抛物线n的解析式为：y=（x