求极限的计算方法与技巧.doc

淮北煤炭师范学院 论文分类号：O172.22008届学士学位论文 求极限的计算方法与技巧系别、专业 信息学院、数学与应用数学 研 究 方 向 数学分析 学 生 姓 名 郑福梅 学 号 200418440094 指导教师姓名 王信松 指导教师职称 教授 2008年5月3日求极限的计算方法与技巧郑福梅淮北煤炭师范学院信息学院摘要极限概念是高等数学中很重要的概念之一，其它所有的重要的数学概念如导数定积分 都是建立在极限概念的基础上的。因此极限运算是高等数学的基本运算。由于极限概念的高度抽象，致使我们很难用极限定义本身去求极限；又由于极限运算分布于整个高等数学的始终，许多重要的概念是由极限定义的，所以掌握极限的方法非常重要。反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以极限的方法是十分繁多的.针对这种情况，本文通过例题总结归纳了常见的求极限的方法及一些技巧。有关命题与结论在文中有详细地说明。关键词：极限，计算方法，技巧 Skills and methods of computing limitZheng FumeiSchool of information, Huaibei Coal Industry Teachers CollegeAbstract The limiting concept is one of the very important concepts in advanced mathematics. The other important mathematical concepts, such as derivative, definite integral are based on this concept. Therefore limit is the basic operation in advanced mathematics. Because of most abstractness of limit, it is difficult to obtain limit by the concept of limit. Since the concept of limit exists in the whole advanced mathematics, and many important concepts are derived from the definition of limit, it is important to grasp the method of limit. On the other hand, we can also use these concepts to obtain some limits; therefore there are various ways to obtain limits. From above descriptions, Common methods and some skills of obtaining limit are generalized through examples in this thesis. Some relevant propositions and conclusions are also extensively illustrated in this thesis.Keywords: limit，computing method，skill 目 录一、引言 1二相关定义与定理 1三、极限的几个重要性质 3 1、收敛数列的一些性质 4 2、函数极限的相关性质 4 四、极限的计算方法与技巧及举例说明 51、利用极限定义验证极限52、利用等价无穷小求极限63、利用两个重要极限求极限74、利用数列与级数的关系求极限85、利用定积分概念求极限86、利用泰勒展开式求极限97、递推关系法98、拆项相消法 109、利用不等式 1010、洛必达法则1111、中值定理法1212、单调有界定理1313、利用极限的四则运算法则求极限1414、利用加权平均值定理求极限1415、拟和法1516、利用函数导数、连续的定义1617、化积为商法1718、构造新数列1719、Euler常数法18五、总结18致谢 18参考文献 19一、引言在高等数学领域中极限是一个重要概念，求数列与函数的极限是数学分析的基本运算。如函数的连续导数定积分及级数的收敛等都是在极限理论的基础上建立的。求极限的主要方法有：定义法四则运算两边夹法则实数连续性公理数列的求和公式利用两个重要极限等。除这些常规方法外还有很多技巧，这些技巧隐含在函数的相关理论中，对这些技巧进行归纳探讨并就应用范围进行分析。求极限是大学理科学生必须练好的一门的基本功，然而面对错综复杂的极限计算题许多学生感到茫然不知所措，为了帮助学生学好极限，本文对其方法进行了简略地归纳和总结. 二、相关定义与定理定义1 设为定数。若对任意的正数，总存在正整数，使得当时有则称数列 收敛于,定数称为数列的极限,并记作或读作“当趋于无穷大时,的极限等于或趋于”.若数列没有极限,则称不收敛,或称为发散数列.定义2 设为定义在上的函数,为定数.若对任意的,存在正数,使得当时有则称函数当趋于时以为极限,记作,或.定义3 设函数在点的某空心邻域内有定义,是一个确定常数.若,总存在,满足,且，则称当时,以为极限,记为.定义4 设函数在内有定义,是一个确定的常数，若，,使当时,都有,则称函数在趋于时右极限存在,并以为右极限记作.有时也记.定理 1单调有界定理在实系数中，有界的单调数列必有极限. 定理 2柯西收敛准则数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数，使得当时有.这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。定理 3致密性定理有界数列必存在收敛子列。 定理 4施笃兹定理 设数列单调递增趋于，（可以为无穷），则 .定理5有界变差数列收敛定理若数列满足条件：则称为有界变差数列，且有界变差数列一定收敛。定理 6柯西准则设函数在内有定义.存在的充要条件是:任给,存在正数,使得对任何有.定理 7 设为定义在上的单调有界函数,则右极限存在.定理 8拉格朗日中值定理设函数满足如下条件:（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导,则在()内至少存在一点,使.定理 9积分第一中值定理设函数在闭区间上连续,则至少存在使得.定理10推广的积分第一中值定理若与都在上连续,且在上不变号, 则至少存在一点使得. (当时,既为定理9).定理 11欧拉定理序列收敛.因此有公式式中称为欧拉常数,且当时，定理 12级数收敛定理若级数收敛,则 定理13归结原则设函数在内有定义. 存在的充要条件是:对任何含于且以为极限的数列,极限都存在且相等.注1 归结原则也可简叙为: 对任何有. 注2 归结原则是联系数列与函数的桥梁. 三、极限的几个重要性质1收敛数列的一些性质（1）唯一性 若数列收敛,则它只有一个极限.（2）有界性 若数列收敛，则为有界数列，即存在正数，使得对一切正数有. （3）保号性 若（或）任何（或）存在正数,使得当时有（或）. （4）保不等式性 设 均为收敛数列.若存在正数,使得当时有，则（5）两边夹 设数列都以为极限，且，若数列满足:存在正数,当时有,则数列收敛，且.（6）四则运算法则 若与为收敛数列,则且有.特别当为常数时有若再假设及，则也是收敛数列,且有.2函数极限的相关性质（1）唯一性 若极限存在,则此极限是唯一的. （2）局部有界性 若极限存在,则在的某空心邻域内有界 .（3）局部保号性 若极限,则对任意正数，存在的某空心邻域,使对，恒有.（4）不等式性 若 ,有，成立,则,即.（5）迫敛性 设,在空心邻域内有，则.（6）若 注 极限的性质是在某一邻域内研究的而数列极限的性质是在实数范围内研究的.四极限的计算方法与技巧及举例说明在上面我们讲了极限的定义定理及相关性质，我们可以利用一些性质来归纳极限的计算方法及所隐含的技巧。 1、利用极限定义验证极限前提：知道数列（函数）的极限值；关键：寻找.基本方法：（1）求最小的：从不等式直接解出；（2）适当放大法：不等式较为复杂，无法直接解出，或求解的过程较繁，为此先将表达式进行化简，并适当放大，使之成为关于的简单函数（仍为无穷小量），即. 于是，要使，只要，解此不等式便得所求.（3）分步法：不对作限制（尤其是函数极限），便无法化简和放大，为此先限定，然后按（2）求得，于是所求的.例 已知（有限，或），用定义证明：.解 当为有限数时，有.由知，从而当时，有.注意到为常数，因而，当时，有.取，则当时，有，即.当时，则时，有.于是当时，有注意到为常数，因而，当时，有.取，则当时，有，即.同理可证情形.注 （1）当时结论不成立。如数列. （2）若不限制方法，用Studs定理最简单.2利用等价无穷小求极限若与都是无穷小量,且时称与是等价无穷小量表示为 ,因为当时可写为是无穷小量从而,这时这些可将复杂函数的极限用简单函数的极限代替简化其计算.注意,在乘积或相除时可以随意替换,但在和差时,不可以使用. 例 设函数 在区间上连续，计算极限解 当时，, 所以由连续得注 这种方法中一般将一个函数形式的等价无穷小找出来.3、利用两个重要极限求极限重要极限:此种方法主要利用类似于两个重要极限中的函数形式的特点来求极限的.如第一个极限结构的特点为第二个重要极限结构的特点为.在每一个极限中处变量形式是一致的.例（1）求解 设，则=（2）求解 原式4利用数列与级数的关系求极限对于数列对应一个级数如果能判断此级数是收敛的,由级数收敛的柯西准则可以知道,此方法的关键是求出的极限为.换句话说,若一个数列的极限不是0就不能用此方法.例 计算解 因为当充分大时，于是，故由收敛可知收敛，所以5利用定积分概念求极限定积分黎曼和的极限即若一个数列的通项是某一函数在某一区间上的特定取法,特定分发下的黎曼和则只要此函数可积且积分能求出来,则数列极限就是该函数在某一区间上的定积分.例 求的极限解 由于，而 ，同理右端极限也为，由两边夹定理得6利用泰勒展开式求极限若一个函数的表达式比较复杂时,我们将它展成泰勒展试,若能展成,这样将一个表达式很复杂的函数化成一个多项式和一个无穷小量的和,而多项式的计算是较简单的,从而此法能简化求极限的运算.例 求解 应用的展式有因此于是.7递推关系法递推关系中最常见的方法法是利用单调有界定理，但也有一部分并不满足单调性，从而不能使用单调有界定理，其相应的难度有所加大，其方法也有所不同.例 设.考察极限.解 若极限存在，设极限值为，在递推关系中令得，解之得（另一负根舍去）.下证确实是其极限值. 事实上，由此递推关系立得.8拆项相消法若要求极限当可以拆成两项之差时，可以采用此法先求出和的简单形式再取极限。例 设，求.解 因为所以 所以。9利用不等式严格地说，此法应属于两边夹方法，但由于所用不等式较为特殊，而使问题解决的中心在于不等式的应用，因而单列为一种方法.例 设. 证明极限存在，并由此计算：.证 由于，两边取对数得由此立得，即数列单减. 此外，.即有下界. 由单调有界定理知其收敛，其极限值称为欧拉常数，常用表示. 由此易得注 也可用定积分法求之.例 证明：.证 ，当分别为时，将所得个不等式相乘得 ，.化简上式得 ，两边开次方得，由此立得所求极限为（也可用定积分法）.10洛必达法则洛必达法则是求解不定式极限的强有力工具. 数列极限也可转化为相应的函数极限，然后利用洛必达法则求之. 洛必达法则只有直接适用于未定式，而型未定式通过恒等变形可化作型。而型未定式则通过取对数化作型。因此在使用洛必达法则时每步都要检查是否符合洛必达法则条件。此外，还应注意及时化简算式，把定式部分分离出来并求出极限，再对未定式部分使用洛必达法则。例 求解 先分子有理化再使用等价无穷小替换，然后使用洛必达法则可得注 在使用洛必达法则时，往往先对等式进行初等变换，然后在不同阶段使用等价无穷小替换，并时刻注意将非零因子从极限式中分离出来，以简化求导过程。11中值定理法在求函数的极限时，若能根据的特点寻得一个新的可微函数再借助中值定理则往往得到巧妙的解法。例 求.解 对函数在以和为端点的闭区间上用微分中值定理有,即 （在与之间）因为当时，有所以例 计算，其中连续，且.解 由积分中值定理：，使得.12、单调有界定理通常根据所求极限式的特征，估计其上下界，然后用数学归纳法等方法证明其单调性和有界性，并注意上下界在证明单调性中的应用，最后往往通过方程求解极限值，注意根的取舍.例 设，.试证明：（1）极限存在，并求之；（2）级数收敛.证 （1）.即数列有下界. 又因为，即数列是单减的，由单调有界定理知其极限存在. 设，则由极限的保序性和（1）知. 在递推公式两边取极限得，解得（舍去)，即.（2）由（1）知此是正项级数，且，于是，由此得，即部分和有界，故级数收敛.13利用极限的四则运算法则求极限 对和差积商形式的函数求极限自然会想到极限的四则运算法则,但是为了能自然使用这些法则,往往需要先对函数作某些恒等变形或化简,采用怎样的变形与化简要根据具体的算式来确定,常用的有分式的约分或通分,分式的分解,分子或分母的有理化,三角函数的恒等变形, 某些求和公式与求积公式及适当变量替换等.（1）有理分式函数的极限均是关于的多项式，则有对于其他类型的极限，可利用函数的连续性和洛必达法则求解.（2）无理根式的极限通常采用分子有理化或分母有理化方式进行求解.例 计算.解 原式例 计算极限解 .14、利用加权平均值定理求极限定理（加权平均值定理）设数列满足：（1）（2） （3）该定理指出，在定理的条件下，数列有相同的极限，但要简单得多，因此，若能将某个待定式表示为加权平均值，则可将其转化为简单数列的极限。例 求极限解 令再令由上面定理知原式=15、拟和法在证明能任意小的过程中，有时需将改写成与结构相类似的形式，从而达到解题的目的.例 设时，. 试证明：. 其中是大于零的常数.证 由于，从而有.若能证明：，当充分大时，有，则命题成立。要证上式成立，只要证明：当充分大时，有.事实上，因为，因此，当时，有.于是令，当时，有从而所证之式成立.注 （1）拟合法的实质就是将实数1作适当分解. 数学中采用拟合法解决了不少重大问题；（2）本例极限中的函数可替换成与等价的无穷小量，从而得到不同形式的极限，应予以注意.16、 利用函数导数、连续的定义例 设，求.解法一 令，则，于是有.解法二 原式. 17化积为商法 在计算的极限时，若能将各乘积的因子化成商的形式，使得某些公式交错出现在分子分母上，则直接约去公因式就可得到的简单形式