高等气体动力学第6章-小扰动流动引论_第1页
高等气体动力学第6章-小扰动流动引论_第2页
高等气体动力学第6章-小扰动流动引论_第3页
高等气体动力学第6章-小扰动流动引论_第4页
高等气体动力学第6章-小扰动流动引论_第5页
已阅读5页,还剩9页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

高等气体动力学2008.3.02第六章 小扰动流动引论6 小扰动流动引论(4学时)6.1 平面声波的传播6.2 控制方程组6.3 小扰动线化理论6.4 沿波形壁的二维流动p 在小扰动条件下,对非线性流动控制方程组进行线性化;p 线性化的目的是简化求解。61平面声波的传播p 考虑平面声波在静止均匀气体中的传播;p 声波引起的扰动是微小压强扰动,它使流体的流动参数发生极微小的变化;p 由于小压强扰动传播的速度(声速)很快,使传热等热过程来不及进行或影响极小,故可认为扰动波的传播过程是绝热的。一、一维波动方程p 假设:静止均匀气体在扰动前的流动参数为,p,a,V=0扰动后的流动参数为, 符号上方“”表示合参数。气体无黏、不计彻体力、绝热。p 在以上假设下,流动是等熵的。p 扰动前后的流动参数关系是:,(6-1-1)式中,、p、a和u都是扰动量,即扰动波后流动参数的微小变化,都是微小量扰动只引起x方向的速度变化。p 流动控制方程组(见第五章)为连续方程 或 (6-1-2)动量方程(6-1-3)声速方程(6-1-4)p 将连续方程代入声速方程,可以消掉密度项,即(6-1-5)p 根据速度关系,有(6-1-6)(6-1-7)物质导数表示为(6-1-8)所以,各参数物质导数为(6-1-9)p 将上述各式代入式(6-1-3)和(6-1-5),得控制方程组(6-1-10)p 将扰动前后的流动参数,式(6-1-1)代入上式,并忽略扰动量与导数的乘积,得(6-1-11)(6-1-12)p 设二阶导数连续,将式(6-1-11)对x求导、式(6-1-12)对t求导,然后联立两式消掉速度导数项,可得(6-1-13)这就是一维波动方程,它是一个线性方程,可以描述:平面声波的压强扰动传播、薄膜振动、长杆纵向振动、梁横向振动等现象。二、一维波动方程的达郎贝尔解p 一维波动方程(6-1-13)有如下形式的达郎贝尔通解(6-1-14)用直接代入法很容易验证它是方程(6-1-13)的解。p 通解(6-1-14)包含两个解,代表两类波,即,f型波,g型波在实际流动中,可能出现一类波,也可能两类波都出现。由于方程(6-1-13)是线性的,解具有叠加性,所以通解代表了所有可能情况。p 通解(6-1-14)表明:任何初始压强扰动都会原封不动地沿x轴传播。以f型波为例进行分析。p 设初始t0时刻有一个小压强扰动,其波形如图示。平面压力扰动的传播p 考虑初始t0时刻,某点x0处的压强扰动,其波幅为在此后的某时刻t1t0,只要位置x1满足 就有说明初始t0时刻某点x0处的压强扰动波幅,在时刻t1将出现在位置x1处。p 所以,在t1-t0时间内,x0处的初始压强扰动传播到x1处,传播距离为x1-x0,传播速度为传播方向是x轴的正方向,即向右传播。p 由于x0点是任意选择的,所以初始压强扰动向右以速度a传播,并保持波形、波幅不变。p 所以,f型波是一个右行波。同理,g型波代表左行波,传播速度也是a,也保持波形和波幅不变地向左传播。p 因此,达郎贝尔解(6-1-14)是一般压强扰动的左行波和右行波传播后的总和,这种波称为行波。p 如果传播的路径有限,则波将在边界上反射,反射波与原有波的叠加有可能导致驻波。p 波在边界上的反射服从前面章节所述的压缩波和膨胀波反射规律:固体边界(一端封闭的管)上反射出相同类型的波,定压边界(一端开口的管)上反射出相反类型的波。p 平面声波的传播和反射是声学的基础。p 在一般情况下,声波的传播方向和边界条件是各种各样的,传播过程要复杂得多(如能量的吸收、弥散、相移等)。62定常无旋流的小扰动控制方程p 设有一个未受扰动的可压缩流体均匀流场,它有平行于x轴的流动速度V,其它流动参数为:、p和a等如飞行器前的自由流流动。p 假设流动受到小扰动(例如,薄翼),如图示。扰动后的流动参数为均匀流和扰动流:(a)均匀流;(b)扰动流,(6-2-1)于是,(6-2-2)式中,u、v、w、p、a、均为扰动量。p 定常无旋流的动量方程(5-5-7)及其在笛卡尔坐标系中的展开(5-5-8)式,用新符号表示可以写成(6-2-3)(6-2-4)p 将速度表达式(6-2-2)代入上式,有(6-2-5)p 理想气体绝热流的能量方程为(6-2-6)将速度表达式(6-2-2)代入上式,有(6-2-7)p 将上式代入式动量方程(6-2-5),并在方程两端同除以未扰声速的平方,得(6-2-8)p 该方程左端是线性的,而右端则是非线性的,需要进一步简化。63小扰动线性化理论一、动量方程的线性化p 对于小扰动,扰动量u、v、w比V小得多,因而所有二阶小量即扰动速度的乘积可以忽略,则式(6-2-8)简化为(6-3-1)p 该方程仍是高度非线性的,需进一步简化。p 式(6-3-1)的进一步简化必须区分不同的流动。1. 亚声速流动和超声速流动p 假设扰动速度与扰动速度偏导数的乘积很小,可以忽略,则有(6-3-2)p 该方程是线性的,称为小扰动方程。p 它适用于亚声速流动和超声速流动。2. 跨声速流动p 对于跨声速流动,Ma接近于1,于是式(6-3-1)右端第一项与左端第一项可能是同量级的,必须保留,而其它可以忽略的项同式(6-3-2),即(6-3-3)p 这个方程称为跨声速流动小扰动方程。p 在二维情况下,扰动速度分量w=0,其导数也不再出现,则上述方程变成,亚声速和超声速流动(6-3-4),跨声速流动(6-3-5)二、扰动速度势函数p 对于无旋流动,可以定义速度势函数,使得(只考虑二维),(6-3-6)p 可以将速度势函数定义为(6-3-7)式中,第二项是扰动速度势函数。容易证明,速度势函数满足无旋流动要求。p 利用速度势函数,可以将式(6-3-4)和(6-3-5)改写成,亚声速和超声速流动(6-3-8),跨声速流动(6-3-9)p 上述方程的类型可以通过其系数进行分类:Ma1双曲型(存在影响区和依赖区);Ma=1抛物型三、边界条件的线性化p 求解线性化控制方程时,必须对边界条件也线性化。p 在固体边界上,无黏流的边界条件是滑移条件,即速度矢量与物面相切。p 三维空间中的固体表面可以用如下的曲面方程表示,即(6-3-10)如图示。固壁边界条件p 边界条件表示为或用扰动速度表示,有(6-3-11)p 对二维流,上式变成或(6-3-12)p 由于是小扰动,uV,所以上式简化成(6-3-13)p 在二维条件下,物面方程为所以可得,物面斜率代入式(6-3-13),得(6-3-14)这就是线性化的边界条件。p 上式还可以进一步简化。在物面附近将扰动速度v展成泰勒级数,有由于是小扰动,物面上的y坐标必须是很小的数,故上式除第一项外其余都可以忽略,即(6-3-15)代入式(6-3-14),有(6-3-16)用扰动速度势表示,则为(6-3-17)64沿波形壁的二维流动p 波形壁的物面方程为(6-4-1)如图示。式中,h壁面波幅;l壁面波长。波形壁的几何形状p 边界条件有界性:当远离物面时,即y时,扰动速度(6-4-2)必须保持有限值。线性化边界条件式(6-3-17)变成(6-4-3)p 由于研究的是无黏流,因而波形壁上没有附面层,这与实际情况是不符的。所以,本节分析仅相当于附面层很薄时的情形,其结论也仅是定性的。p 跨声速流动包含了方程类型的变化,极为复杂。故本课程只考虑亚声速和超声速流动。一、亚声速流动p 亚声速流动的控制方程是式(6-3-8),重新编号为(6-4-4)p 定义如下的新坐标(6-4-5)可以将式(6-4-4)化成(6-4-6)这是标准的二维拉普拉斯方程。p 假设式(6-4-4)有如下形式的解(6-4-7)代入式(6-4-4),有(6-4-8)式中,上标分别表示对x和y的二阶导数。p 将上式改写成(6-4-9)可见,上式左端仅是x的函数,右端仅是y的函数,而且对任意的x、y都成立,这只有在上式等于常数时才有可能,即(6-4-10)式中,引入负号是由于壁面对x有周期性。p 由于X与Y是相互独立的,所以上式变成(6-4-11)其通解为p 根据有界性要求,当y时,u和v为有限值,所以上式中的系数D必须为零,即(6-4-12)p 应用物面边界条件(6-4-3),有联立,可得可见,上式左端没有余弦函数,故右端中的系数B必须为零,B=0,所以上式中的正弦函数仅是x的函数,它们的系数均是常数,而且对任意的x都成立,这只有在它们的系数和角度都相等时才有可能,所以有解得(6-4-13)p 将B=0和上式代入式(6-4-12),可得扰动速度势函数(6-4-14)p 通过求导可得扰动速度(6-4-15)p 为了获得一般性的流动规律,可以观察流线方程。流线方程为p 在小扰动和低亚声速条件下,故(6-4-16)将式(6-4-15)代入上式,有积分得(6-4-17)p 物面本身也是一条流线,所以当y0时,上式变成它应和物面方程(6-4-1)相同,由此得式中的Const=0。最终的流线方程为(6-4-18)p 上式表明,流线的波动与壁面是同相的,而其波幅则随着离开壁面距离的增加呈指数减小,在无穷远处y,流线完全平行于x轴,成为均匀流动,如图示。沿波形壁亚声速流动的流线形状p 因此,亚声速流动时,壁面扰动向所有方向传播,并连续依赖于所有边界条件。二、超声速流动p 对,线性化势函数方程(6-4-4)可写成(6-4-19)式中,系数为正值,所以该方程与一维波动方程(6-1-13)具有相同形式。p 因此,上式的通解是达郎贝尔解,即p 首先,只考虑f型波。此时有(6-4-20)在边界上,有即(6-4-21)将上式代入边界条件(6-4-3),得积分得(6-4-22)p 为了得到解所需的f函数,可以将上式中的x换成于是有(6-4-23)用直接代入法可以验证上式是方程(6-4-19)的解,并且它满足有界性条件(6-4-2)。p 于是,扰动速度为(6-4-24)p 将上式代入流线方程,可得流线斜率为(6-4-25)p 从上式可以看出,在(6-4-26)的线上:所有流线具有同一斜率;从式(6-4-24)可以看出,在这种线上,f、u和v均是常数所有其它流动参数也是常数。所以,在波形壁上流动图形即扰动是沿式(6-4-26)指定

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论