高等气体动力学第6章－小扰动流动引论

高等气体动力学2008.3.02第六章 小扰动流动引论6 小扰动流动引论（4学时）6.1 平面声波的传播6.2 控制方程组6.3 小扰动线化理论6.4 沿波形壁的二维流动p 在小扰动条件下，对非线性流动控制方程组进行线性化；p 线性化的目的是简化求解。61平面声波的传播p 考虑平面声波在静止均匀气体中的传播；p 声波引起的扰动是微小压强扰动，它使流体的流动参数发生极微小的变化；p 由于小压强扰动传播的速度（声速）很快，使传热等热过程来不及进行或影响极小，故可认为扰动波的传播过程是绝热的。一、一维波动方程p 假设：静止均匀气体在扰动前的流动参数为，p，a，V=0扰动后的流动参数为， 符号上方“”表示合参数。气体无黏、不计彻体力、绝热。p 在以上假设下，流动是等熵的。p 扰动前后的流动参数关系是：，(6-1-1)式中，、p、a和u都是扰动量，即扰动波后流动参数的微小变化，都是微小量扰动只引起x方向的速度变化。p 流动控制方程组（见第五章）为连续方程 或 (6-1-2)动量方程(6-1-3)声速方程(6-1-4)p 将连续方程代入声速方程，可以消掉密度项，即(6-1-5)p 根据速度关系，有(6-1-6)(6-1-7)物质导数表示为(6-1-8)所以，各参数物质导数为(6-1-9)p 将上述各式代入式(6-1-3)和(6-1-5)，得控制方程组(6-1-10)p 将扰动前后的流动参数，式(6-1-1)代入上式，并忽略扰动量与导数的乘积，得(6-1-11)(6-1-12)p 设二阶导数连续，将式(6-1-11)对x求导、式(6-1-12)对t求导，然后联立两式消掉速度导数项，可得(6-1-13)这就是一维波动方程，它是一个线性方程，可以描述：平面声波的压强扰动传播、薄膜振动、长杆纵向振动、梁横向振动等现象。二、一维波动方程的达郎贝尔解p 一维波动方程(6-1-13)有如下形式的达郎贝尔通解(6-1-14)用直接代入法很容易验证它是方程(6-1-13)的解。p 通解(6-1-14)包含两个解，代表两类波，即，f型波，g型波在实际流动中，可能出现一类波，也可能两类波都出现。由于方程(6-1-13)是线性的，解具有叠加性，所以通解代表了所有可能情况。p 通解(6-1-14)表明：任何初始压强扰动都会原封不动地沿x轴传播。以f型波为例进行分析。p 设初始t0时刻有一个小压强扰动，其波形如图示。平面压力扰动的传播p 考虑初始t0时刻，某点x0处的压强扰动，其波幅为在此后的某时刻t1t0，只要位置x1满足 就有说明初始t0时刻某点x0处的压强扰动波幅，在时刻t1将出现在位置x1处。p 所以，在t1-t0时间内，x0处的初始压强扰动传播到x1处，传播距离为x1-x0，传播速度为传播方向是x轴的正方向，即向右传播。p 由于x0点是任意选择的，所以初始压强扰动向右以速度a传播，并保持波形、波幅不变。p 所以，f型波是一个右行波。同理，g型波代表左行波，传播速度也是a，也保持波形和波幅不变地向左传播。p 因此，达郎贝尔解(6-1-14)是一般压强扰动的左行波和右行波传播后的总和，这种波称为行波。p 如果传播的路径有限，则波将在边界上反射，反射波与原有波的叠加有可能导致驻波。p 波在边界上的反射服从前面章节所述的压缩波和膨胀波反射规律：固体边界（一端封闭的管）上反射出相同类型的波，定压边界（一端开口的管）上反射出相反类型的波。p 平面声波的传播和反射是声学的基础。p 在一般情况下，声波的传播方向和边界条件是各种各样的，传播过程要复杂得多（如能量的吸收、弥散、相移等）。62定常无旋流的小扰动控制方程p 设有一个未受扰动的可压缩流体均匀流场，它有平行于x轴的流动速度V，其它流动参数为：、p和a等如飞行器前的自由流流动。p 假设流动受到小扰动（例如，薄翼），如图示。扰动后的流动参数为均匀流和扰动流：(a)均匀流；(b)扰动流，(6-2-1)于是，(6-2-2)式中，u、v、w、p、a、均为扰动量。p 定常无旋流的动量方程(5-5-7)及其在笛卡尔坐标系中的展开(5-5-8)式，用新符号表示可以写成(6-2-3)(6-2-4)p 将速度表达式(6-2-2)代入上式，有(6-2-5)p 理想气体绝热流的能量方程为(6-2-6)将速度表达式(6-2-2)代入上式，有(6-2-7)p 将上式代入式动量方程(6-2-5)，并在方程两端同除以未扰声速的平方，得(6-2-8)p 该方程左端是线性的，而右端则是非线性的，需要进一步简化。63小扰动线性化理论一、动量方程的线性化p 对于小扰动，扰动量u、v、w比V小得多，因而所有二阶小量即扰动速度的乘积可以忽略，则式(6-2-8)简化为(6-3-1)p 该方程仍是高度非线性的，需进一步简化。p 式(6-3-1)的进一步简化必须区分不同的流动。1. 亚声速流动和超声速流动p 假设扰动速度与扰动速度偏导数的乘积很小，可以忽略，则有(6-3-2)p 该方程是线性的，称为小扰动方程。p 它适用于亚声速流动和超声速流动。2. 跨声速流动p 对于跨声速流动，Ma接近于1，于是式(6-3-1)右端第一项与左端第一项可能是同量级的，必须保留，而其它可以忽略的项同式(6-3-2)，即(6-3-3)p 这个方程称为跨声速流动小扰动方程。p 在二维情况下，扰动速度分量w=0，其导数也不再出现，则上述方程变成，亚声速和超声速流动(6-3-4)，跨声速流动(6-3-5)二、扰动速度势函数p 对于无旋流动，可以定义速度势函数，使得（只考虑二维），(6-3-6)p 可以将速度势函数定义为(6-3-7)式中，第二项是扰动速度势函数。容易证明，速度势函数满足无旋流动要求。p 利用速度势函数，可以将式(6-3-4)和(6-3-5)改写成，亚声速和超声速流动(6-3-8)，跨声速流动(6-3-9)p 上述方程的类型可以通过其系数进行分类：Ma1双曲型（存在影响区和依赖区）；Ma=1抛物型三、边界条件的线性化p 求解线性化控制方程时，必须对边界条件也线性化。p 在固体边界上，无黏流的边界条件是滑移条件，即速度矢量与物面相切。p 三维空间中的固体表面可以用如下的曲面方程表示，即(6-3-10)如图示。固壁边界条件p 边界条件表示为或用扰动速度表示，有(6-3-11)p 对二维流，上式变成或(6-3-12)p 由于是小扰动，uV，所以上式简化成(6-3-13)p 在二维条件下，物面方程为所以可得，物面斜率代入式(6-3-13)，得(6-3-14)这就是线性化的边界条件。p 上式还可以进一步简化。在物面附近将扰动速度v展成泰勒级数，有由于是小扰动，物面上的y坐标必须是很小的数，故上式除第一项外其余都可以忽略，即(6-3-15)代入式(6-3-14)，有(6-3-16)用扰动速度势表示，则为(6-3-17)64沿波形壁的二维流动p 波形壁的物面方程为(6-4-1)如图示。式中，h壁面波幅；l壁面波长。波形壁的几何形状p 边界条件有界性：当远离物面时，即y时，扰动速度(6-4-2)必须保持有限值。线性化边界条件式(6-3-17)变成(6-4-3)p 由于研究的是无黏流，因而波形壁上没有附面层，这与实际情况是不符的。所以，本节分析仅相当于附面层很薄时的情形，其结论也仅是定性的。p 跨声速流动包含了方程类型的变化，极为复杂。故本课程只考虑亚声速和超声速流动。一、亚声速流动p 亚声速流动的控制方程是式(6-3-8)，重新编号为(6-4-4)p 定义如下的新坐标(6-4-5)可以将式(6-4-4)化成(6-4-6)这是标准的二维拉普拉斯方程。p 假设式(6-4-4)有如下形式的解(6-4-7)代入式(6-4-4)，有(6-4-8)式中，上标分别表示对x和y的二阶导数。p 将上式改写成(6-4-9)可见，上式左端仅是x的函数，右端仅是y的函数，而且对任意的x、y都成立，这只有在上式等于常数时才有可能，即(6-4-10)式中，引入负号是由于壁面对x有周期性。p 由于X与Y是相互独立的，所以上式变成(6-4-11)其通解为p 根据有界性要求，当y时，u和v为有限值，所以上式中的系数D必须为零，即(6-4-12)p 应用物面边界条件(6-4-3)，有联立，可得可见，上式左端没有余弦函数，故右端中的系数B必须为零，B=0，所以上式中的正弦函数仅是x的函数，它们的系数均是常数，而且对任意的x都成立，这只有在它们的系数和角度都相等时才有可能，所以有解得(6-4-13)p 将B=0和上式代入式(6-4-12)，可得扰动速度势函数(6-4-14)p 通过求导可得扰动速度(6-4-15)p 为了获得一般性的流动规律，可以观察流线方程。流线方程为p 在小扰动和低亚声速条件下，故(6-4-16)将式(6-4-15)代入上式，有积分得(6-4-17)p 物面本身也是一条流线，所以当y0时，上式变成它应和物面方程(6-4-1)相同，由此得式中的Const=0。最终的流线方程为(6-4-18)p 上式表明，流线的波动与壁面是同相的，而其波幅则随着离开壁面距离的增加呈指数减小，在无穷远处y，流线完全平行于x轴，成为均匀流动，如图示。沿波形壁亚声速流动的流线形状p 因此，亚声速流动时，壁面扰动向所有方向传播，并连续依赖于所有边界条件。二、超声速流动p 对，线性化势函数方程(6-4-4)可写成(6-4-19)式中，系数为正值，所以该方程与一维波动方程(6-1-13)具有相同形式。p 因此，上式的通解是达郎贝尔解，即p 首先，只考虑f型波。此时有(6-4-20)在边界上，有即(6-4-21)将上式代入边界条件(6-4-3)，得积分得(6-4-22)p 为了得到解所需的f函数，可以将上式中的x换成于是有(6-4-23)用直接代入法可以验证上式是方程(6-4-19)的解，并且它满足有界性条件(6-4-2)。p 于是，扰动速度为(6-4-24)p 将上式代入流线方程，可得流线斜率为(6-4-25)p 从上式可以看出，在(6-4-26)的线上：所有流线具有同一斜率；从式(6-4-24)可以看出，在这种线上，f、u和v均是常数所有其它流动参数也是常数。所以，在波形壁上流动图形即扰动是沿式(6-4-26)指定