关于_材料力学_中主平面方位如何确的方法讨论.doc

关 于材 料 力 学 中主平面方位如何确的方法讨论 习会峰，穆建春，龙志勤，王志刚( 广东石油化工学院，广东茂名525000)摘 要: 在材料力学教学中，关于主平面方位的确定，存在不同教材求解方法不同。在 这 些 方 法 中，有 些 方 法 物 理意义不明确，有些方法学生不易理解。本 文 对 当 前 材 料 力学教材的六种方法进行了阐述，并对每种方法的原理进 行了命名、对比 和 论 证。最后归纳出了学生容易接受和 求 解最简单的方法。关键词: 材料力学; 主平面; 最优方法中图分类号: c45文献标识码: a文章编号: 1672 4011 ( 2012) 02 0262 03discussion of how to determine the main plane in“mechanics of materials”xi huifeng，mu jianchun，long zhiqin，wang zhigang( guangdong university of petrochemical technology， maoming525000，china)abstract: when teaching mechanics of materials，abouthow to determine the direction of main plan，there are many dif- ferent methods among of these methods， physics meaning of some methods are not illegibility，and the students couldnt un- derstand easily in this paper，six methods were described，at the same time，all the methods were named，compared and dem- onstrated in the end，the optimal method was found，which can be easily accepted by students and was very easy to solve应力圆上任意一点的坐标值与单元体内的一个截面的 应力值一一对应。应力圆与 x 轴的交点对应最大主应力 max和最小主应力 而且最大主应力 min 。所对应主平面方位max角为 0 ，范围为 2 。最小主应力 min 所对应主 02 平面方位角为 1 = 0 范围为 0 2 。222方法 1 不论 x 面对应哪一个象限，只需用量角器量出 20的大小，即可求出 0 。该方法简单明了、通俗易懂。但是要想 得到精确解并不容易。key words:methodmechanics of materials;main plane;optimal1. 2解析 回代核对法0前 言dxddx利用= 0，求极值。当 = 0 时， = 0，x 取得极d0材料力学是一门非常重要的专业基础课，大 部 分 工 科专业都开设了这 门 课。材料力学这门课学得好与坏直接影 响后续专业课程 的 学 习。该教材其中的一章是关于应力应 变状态分析的，应力应变状态分析是学习强度理论的基础。 在这一章中，关于主平面方位如何确定的问题，各 种 版 本 的教材存在所用求解方法不同，所 用 公 式 不 同，每 个 公 式 所适用的范围也不同等问题，导致老师不好讲解，学 生 不 好理解。本文对这一问题所有方法的优缺点进行 了 对 比， 并梳理归纳出了通俗易懂的最优方法。 2x ，解得相差 90 的两个角度分别为值。此时 tan20=x y 0 ， 0 ，它们分别确定两个相互垂直的主平面。2两个角度哪一个对应最大主应力 max 和 最 小 主 应 力x + ymin 需要重新代入斜截面正应力公式 a=+2x ycos2 x sin2 再次求出主应力，再来判断哪个角度21六种方法的基本原理对应主应力 1 ，来确定主平面的方位角。方法 2 数学意义明确，数学功底好的学生很容易理解，1. 1 应力圆法原始单元体如图 1 所示，在 平面内设与 x 面对应 的点位于 d( x ，x ) ，与 y 面对应的点位于 e( y ，y ) ，其中， x = y 。原始单元体的应力状态可以用应力圆来表示，应力只是计算麻烦，会浪费时间。1. 3解析 附加条件法 2x前面求方位角和方 法 二 相 同，利 用 tan20， =xy圆的圆心位于 ( x + y ，0) 处，根 据 d、e 点所在的象限不 解得相差 90 的两个角度分别为 0 ，0 2 ，它们分别确定2同可以分为四种情况，如图 1( a) ( b) ( c) ( d) 示。两个相互垂直的主平面。263附加条件为: 当 x y 时，对应图 2 中的( a) 和( b) ，|象限，有 20 = 40. 6，0 = 20. 3( 对应 max ) ，由于 min 和max 的方位角相互垂直，min 的方位角为 1 = 0 90 = 69. 7。方法 5 物理意义不明确，求解时需根据 sin20 、cos20 及 0 | ，0 取绝对值小的。当 x y 时，对0 +42应图 2 中的( c) 和( d) ， | | ，即为( 0042420 所在象限，找出主平面的方位角，tan20 的正负号来判断2 ) ， 取绝对值大的即可。计算比较复杂。或 00241. 6应力圆 几何三角形法此方法结合图形由几何三角形方法来确定，根据 d、e 所方法 3 如果直接死记硬背，学生不容易理解，如 果 教师讲清楚 应力圆四种情况下的物理意义，并 且 进 行 归 纳， 找出上述 规 律，就可以省去重新带入斜截面正 应 力 公 式， 求解简单。1. 4 解析 图解结合法在 不 同 象 限 分 为 四 种 情 况， 所 画 应 力 圆 如 图 4( a) ( b) ( c) ( d) 所示。 2x 求方位角和方法 2、3 相 同，利 用 tan0，解 =xy 得相差 90 的两个角度分别为 0 ，0 2 ，它们分别确定两个相互垂直的主平面，可以准确得出两个方位角 0 和 1图 4= ( 1)当 d 点对应第一象限，x y 时见图 4( a) :0 2 。 x x fd然后画出该单元体的应力圆，见 图 1 ( a) ( b) ( c) ( d) ，结合图和解析解来确定准确数值。方法 4 物理 意 义 明 确，也 不 容 易 出 错，难 度 是 要 求 熟 练掌握原始单元体所对应的的应力圆画法。tan0= = = x minmax ybf( 2)当 d 点对应第二象限，x y 时见图 4( b) :max x y minfb tan0= = xxfd1. 5三角函数法此方法根据三角函数所在象限来判断。首 先 根 据 公 式又因为在图 3( b) 中存在直角三角形见图 3( b) ，根据直角三角形公式可知: 2x2fd = cffbx = ( 2 )( ) = ( tan20 = ，求得 0 ，0 2 。可以按照 2xy ，x y ，max xxminmaxx y x ) ( 即 )max y 2x的正负号 来 分 别 判 定 sin2 ，cos2 ，tan2 的 正 负 000max xxx y=， max yx号，从而确定唯一的 0 值。下面举例说明:例: 试求图 3 平面应力状态单元体的主 应 力 及 其 主 应 力方向。解 由最大最小正应力公式可以求得y min x 同理=x xminxx所以 tan0 = 得到的结果一致。= 与第一种情况下x max minyx + y=2maxmin( x + y )2+ x槡22( 3) 0，x当 d 点对应第三象限 x y 时见图 4，( c) ，此时 0 0: = 50 + ( 20) 50 ( 20) 2+ ( 30) 2 槡22 max xfbymintan0= = 61. 1 mpa 31. 1fdxx=据在第二象限时的证明方法，同理可得: 2x 2 ( 30) 60xxtan20=50 ( 20) = 70= 0. 8571tan0= = x x minmax yy单元体主应力 1 = 61. 1，2 = 0，3= 31. 1( 4) 当 d 点位于第四象限，x y 时见图 4( d) ，此时 0 0，x 0:xxfdtan0= = = x minmax ybf总之，不论 d 点在哪个象限，四种情况可以统一由下面 公式来求得: x x tan0 = = x max ymin方法 6 物理意义明确，运用几何三角形法则推导出唯一求解 0 的公式，在给学生讲解清楚原理后，不用画图即可求 出，公式唯一，容易记忆，笔者推荐该种方法。图 3原始单元体2举例说明因 为 sin20 、cos20 及 tan20 均为正，可知 20 位于第一例: 从构件中取出一微单元体，见题图 1 试 确 定 主 应 力的大小及方位。判断方位角时，按照 2xy = 2 50 0，x y = 70 2x = 2 50 = 1. 43 0 的正负号来分别判 0 0，=x y 70 0定 sin20 0，cos20 0，tan20 0，从而确定 20 在第三 象限，详见题图 3，角的范围为 20，则 2 2 4 ，所以 0 = 62. 5。0图 5图 6解 1: 用应力圆法x 面所对应应力圆上点的坐标为 d( 70，50) ，y 面对应 应力圆上点的坐标为 e( 0， 50) 。圆心坐标为 o( 35，0) ，然后画出应力圆如题图 2 所示，由直尺量得。1 26mpa，2 = 0，3 = 96mpa。由量角器量 得 0 63。解 2: 用解析 -回代核对法x 与 y 截面的应力分别为 x = 70mpa，x = 50mpa，y= 0将其带入最大最小正应力公式中，得图 7解 6: 用几何三角形法x 与 y 截面的应力分别为 x = 70mpa，x = 50mpa，y= 0将其带入最大最小正应力公式中，得= 70 + 0 226mpa 96mpa( 70 0)max2+ 50 =槡min2226mpa 96mpa2maxmin= 70 + 0 ( 70 0 )+ 502=槡22x 500 = arctan( ) = arctan() = 62. 5所以主应力为 1 26mpa，2= 0，3 = 96mpamax y26 0 2x 由此可见，1 = 26mpa，2 = 0，3 = 96mpa 2 50确定方位角: tan20 = = 70 0 = 1. 43x 而主应力 1 的方位角 0= 62. 5。y对应两个角度: 27. 5 和 62. 5。3总 结x + yx y把 27. 5 代 回 公 式 =x sin2 = 96mpa+cos222在求解方位 角 时，不同教材给出 方 法 各 不 相 同，归 纳总结为: 应力圆法、解 析 回 代 核 对 法、解 析 附 加 条 件 法、解析 图解 结 合 法、解 析 三 角 函 数 法、几 何 三 角 形 法，共六种方法。这六种方法 各 有 优 缺 点，对 比 分 析 为: 其 中 应 力 圆 法 最为简单明 了，物 理 意 义 明 确，但 存 在 求 解 精 度 问 题; 解 析-回代核对法、解析-附加条件法、解 析-图 解 法、解 析-三 角函数法思路 大 致 相 同，先求出主应力和两个方位角，然x + y x y把 62. 5 代 回 公 式 x sin2 = 26mpa=+cos2 22所以，1 = 26mpa 所对应的方位角 0解 3: 用解析 -附加条件法= 62. 5前面求主应力和两个垂直角度和解 2 一样，判断方位角时按照附加条件来判断，附加条件为: 当 x y 时，对应图 2后用不同方法来确定哪一个方位角对应主应力，比较复杂， 中的( a) 和( b) ，| 0 | ，0 取绝对值小的。0 +涉及知识点较 多，学生掌握起来比较困难。最 为 简 单 的 方法为几何三角 形 法，该方法理论推证稍微复杂，需 分 四 种 情况进行讲解并找出统一的规律，但是该方法真正避免了再 次判断两个相互垂直的方位角哪个对应主平面的方位角，根 据求解结果可以唯一确定的方位角。笔者认为第六种方法 42当 x y 时，对应图 2 中的( c) 和( d) ， | 0 | ，即42为( 或 ) ， 取绝对值大的 0004即可。224物理意义明确，求解简单，是最优方法。id: 7256本题中 x = 70，y = 0，即 x y ，0 取 27. 5 和 参 考 文 献:62. 5 绝对值大的，即 0= 62. 5。解 4: 用解析 -图解结合法前面所求主应力和两个垂直角度和解 2、解 3 一样。判断 方位角时，快速画出应力圆草图，可 见 题 图 2，d 点 位 于 第 二12单辉祖，谢传锋 工程力学