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东北大学硕士学位论文摘要 x 射线摄影医疗系统的运动学计算 摘要 机械臂的运动规划问题是机器人领域中的重要课题之一，属于路径规划问题 的范畴。本文立足于关节水平，从研究c 空间入手，介绍了c 空间的概念及其建 立方法，建立了剐体平面位移的虚空间表示方法。用可达流形反映机器人在工作 空间中所有可达位置所对应的虚空间点集，用接触流形表示机器人进行平面运动 并与障碍物接触时所对应的虚空间点集，则两个虚空间点集的交即为机器人对应 的c 空间障碍物的边界构形，从而以此建立了机器人c 空间障碍物边界求取算法， 解决了c 臂与导管床的碰撞问题。 论文主要分两部分：第一部分是方法和理论，包括第二章、第三章、第四章。 其中，第三章是重点：第二部分是实验仿真程序，包括第五章。第一章主要介绍 了路径规划问题的一些基础知识与解决机器人运动规划问题的基本步骤，在列举 这类问题常用算法时引入了c 空间法，提出了本文的工作目标。第二章通过介绍 刚体运动与克里福特代数引入虚空间的概念，基于可达流形和接触流形建立机器 人c 空间障碍物边界，提出机器人实时无碰撞运动规划算法。第三章主要是根据 现有材料c 臂与导管床示意图计算出运动学方程，包括正向运动学与反向运动学 两部分，进行运动分析与运动综合。第四章利用c 空间障碍物的建立方法，求出 c 臂的可达流形与c 臂与导管床的接触流形，并得到机器人c 空间障碍物的边界 构形，建立机器人c 空间障碍物边界求取算法。第五章利用上一章得到的c 空间 求取算法用m a t l a b 进行了算法理论的仿真实验。最后，对全文工作进行总结， 并对将来工作进行展望。 关键字：c 臂；可达流形；接触流形；c 空间 一i i 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t k i n e m a t i cc o m p u t a t i o no fxr a d i a lp h o t o g r a p h y i nm e d i c a ls y s t e m a bs t r a c t m a n i p u l a t o rm o t i o np l a n n i n g ，w h i c hi s o n eo ft h em o s ti m p o r t a n tp r o b l e m sf o r r o b o t i c sb e l o n g st ot h es c o p eo fp a t hp l a n n i n g t h i st h e s i sp r e s e n t st h em e t h o d o l o g y a n d a l g o r i t h m f o rc o l l i s i o n c h e c k i n ga n di n t e r f e r e n c es p a c ef o r r o b o t su n d e r c o o r d i n a t i v eo p e r a t i o nt h r o u g hs t u d y i n gc o n f i g u r a t i o ns p a c e t h er e a c h a b l em a n i f o l d i sa ni m a g es p a c et h a tt h ec a r mc a nr e a c ha n dt h ec o n t a c tm a n i f o l di sa ni m a g es p a c e t h a tt h ec a r mc o n t a c t st h et r a c h e a lb a d t h ei n t e r s e c t i o no ft h e s ei m a g es p a c e si st h e c - s p a c eb o u n d a r ya n ds e t t l e sc o l l i s i o np r o b l e mi nc a r ma n dt r a c h e a lb a d t h i st h e s i sm a i n l yi n c l u d e st w op a r t s ：t h ef i r s tp a r ti sa b o u tt h et h e o r ya n d m e t h o d ，i n c l u d i n gc h a p t e r2 ，c h a p t e r3a n dc h a p t e r5 ，a m o n gw h i c hc h a p t e r3i sk e y c h a p t e r s ；t h es e c o n dp a r ti st h ee x p e r i m e n t a t i o nw i t hp r o g r a m m i n g ，i n c l u d i n gc h a p t e r 5 i nc h a p t e r1o ft h i st h e s i s ，i ti n t r o d u c e ss o m eb a s i ck n o w l e d g eo np a t hp l a n n i n g p r o b l e m s t h ec s p a c ea l g o r i t h mi si n t r o d u c e da so n eo ft h ea l g o r i t h m si nc o m m o n u s ei np a t hp l a n n i n gp r o b l e m s c h a p t e r2i n t r o d u c e sc o n c e p t i o no fi m a g es p a c ea n d c o n s t r u c t st h er o b o tc s p a c eo b s t a c l eb o u n d a r yb a s e do nt h er e a c h a b l em a n i f o l da n d t h ec o n t a c tm a n i f o l d a n di tt h e np r e s e n t st h ea l g o r i t h mo ft h er o b o tr e a lt i m e c o l l i s i o nf r e em o t i o np l a n m o t i o na n a l y s i so fc a r ma n dt r a c h e a lb a da r ea n a l y z e d s e p a r a t e l yi nc h a p t e r3 c h a p t e r4g i v e sm o t i o np l a n n i n go fc a r ma n dt r a c h e a lb a d a n de s t a b l i s ht h ec s p a c eb o u n d a r y c h a p t e r5a p p l i e st h et h e o r i e sa n dm e t h o d si n p r o g r a m m i n gb yu s i n gm a t l a b l a s t l y ，t h ec o n c l u s i o na n dp r o s p e c to ft h ew o r ka r e g i v e n k e y w o r d s ：c a r m ；r e a c h a b l em a n i f o l d ；c o n t a c tm a n i f o l d ；c s p a c e i 一 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中 取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：互研鼻 。 日 期：珈铒硐2 3 母 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学 位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 东北大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 本课题研究的目的和意义 自5 0 年代末世界上第l 台机器人问世以来，经过4 0 多年的发展，机器人技 术已发生许多革命性的变化，各国为了占领机器人这一技术制高点，都投入了大 量人力物力，并在远景规划中放在了重要位置。从5 0 年代末工业机器人开始应用 到1 9 9 8 年底，世界各地累计销售机器人数约为1 0 2 0 0 0 0 台，由于许多早期装备的 机器人已经退役，据联合国欧洲经济委员会( e c e ) 及国际机器人联合会( i f r ) 的统 计，在1 9 9 8 年末全世晃实际装备机器人的数量为7 2 万台，而1 9 9 7 年为近7 0 万 台，增长率为3 【。目前，制造技术在激烈市场竞争的带动下正以前所未有的速 度迅猛向前发展，生产方式也随之发生巨大变革，敏捷制造将成为2 1 世纪主要的 生产模式，新的生产方式为机器人技术和机器人产业的进一步发展提供了极大的 机遇【2 1 ，为了适应制造业不断发展的需要，未来工业机器人将朝着系统化、智能 化的方向发展，多个机器人的协同操作更趋紧密，机器人结构也将越加简捷，控 制系统性能将得以进一步提高，编程语言也将进一步智能化。 同时，随着机器人技术的不断发展，人们对机器人的要求不再局限于单个机 器人，不仅是因为有些工作单个机器人无法承担，而且越来越多的事例表明、对 于一些动态性强而且复杂的任务，开发单个机器人远比开发多个机器人系统复杂 和昂贵。同时，随着机器人生产线的出现及柔性加工工厂的需要，使多机器人系 统进行协调作业的愿望越来越强烈。2 0 世纪7 0 年代，一些机器人学的研究者将 人工智能中的多智能体理论应用到多机器人系统的研究中，由此开始了机器人领 域的多机器人技术的研究【3 1 。很显然多机器人系统具有许多单个机器人无法比拟 的优越性，通过与其他机器人合作，可以开发新的规划或求解方法来处理不完全 或不确定的知识；并可以改善每个机器人的基本能力，而且为机器人的协调工作提 供进一步智能行为。在工业应用领域中，通过两个或多个机器人系统的柔性会较 大地提高企业生产效率，并可实现单个机器人无法实现的操作任务。由于s c a r 型机器人在工程实际中具有相当广泛的应用，本文选取一种新型的双臂装配机器 人一双臂s c a r a t e s 机器人作为研究对象，研究在无干涉的前提下如何实现操作 臂间的高速、高精度的协调运动并最大的提高机器人的利用率。 双臂机器人为了适应电子、电器行业中精密装配和检测的需要，通常具有优 】 东北大学硕士学位论文 第章绪论 良的机械性能和控制结构，如日本t e s c o n 公司生产双臂s c a r a t e s 机器入1 4 j ， 其末端执行器最大操作速度可达7 7 0 0 m m s ，熏复定位精度为a ：0 0 2 m m 。双臂机器 入较之于单臂机器入，具有以下几个显著特点：( 1 ) 可完成更为复杂的装配、检测任 务；( 2 ) 具有更高的性能价格比；( 3 ) 更能提高机器人和工作空间的利用率。双臂机器 人协调是提高机器人系统操作能力、负载能力、可靠性以及扩展操作空间的有效 途径。经过多年的研究开发在理论与技术上均取得了不少成果，这些理论与技术 在一些场合也得到了应用，但在研究与应用中依然存在一些问题。其中最为关键 的是双臂机器人两个操作臂间的无碰撞运动规划问题。即双臂机器人在规划左右 两个操作臂的运动路径和轨迹时，不仅要考虑左、右臂各自任务的需要，同时还 要解决两个高速操作臂间相互碰撞的问题。 目前，机器人界对双臂机器人控制中固有的理论问题的研究还很不成熟，即 使是已推出商品化双臂机器人的日本t e s c o n 公司在其双臂机器人控制系统的 设计中，也还沿袭着示教再现和动作级语言相结合的编程方式。由于示教时的速 度不可能很快，且当机器人工作点较多时，示教工作将更加繁杂。此外，一些离 线规划方法所得到的机器人无碰撞路径由于不能完全反映工作环境的实际变化， 因此离线无碰撞运动路径在实际应用中也存在碰撞的可能，从而也在一定程度上 制约了双臂机器人的实际应用。从双臂机器人研究的现有成果看，其重点己不仅 仅是对机器入机构和控制器硬件性能的研究，更为重要的是商性能控制算法的研 究，即如何进行上层运动规划，实现双臂机器人无碰撞路径的自动生成。本课题 正是在此种背景下，结合工程实际的需要，在双臂s c a r a t e s 机器入的基础上， 就s c a r a 型双臂机器人无碰撞运动规划理论作一深入研究，以期提出一具有实 际意义的实时无碰撞运动规划算法。针对双臂机器人两个高速运动的操作臂彼此 互为障碍物的特点，算法展终实现：在给定双臂机器人左、右臂末端各自起始和目 标位姿时，自动规划出机器人左、右臂无碰撞运动路径，以实现机器人两个操作 臂之间的相互协调。 1 2 无碰撞运动规划研究综述 机械臂的运动规划问题，是机器人运动规划问题( p a t h p l a n n i n g ，简称p p 问 题) 的一个重要方向。机器人运动规划问题可以简单描述为： 机器人的手爪、臂或本体穿行于存在障碍物的外部世界，去达到某个目标位 置时，需要在空间确定一条不发生碰撞的优化的穿行路径。从上面的描述中我们 可以看到，衡量一个规划过程的好坏主要参考两个因素：安全性和高效性。具体 2 东北大学硕士学位论文第一章绪论 叙述如下： 安全性( c o l l i s i o nf r e e 或c o l l i s i o na v o i d a n c e ) ：主要考虑的是避免碰撞问 题，也叫避碰问题、无碰路径规划。 高效性：主要考虑的是路径的优化问题。尽量使得机器人的手爪、臂或本体 在最短的时间沿着最短的路径到达目标位置。 在实际应用中，根据具体问题的不同，可能在这两个因素中有不同的强调侧 重点。 运动规划问题按照机器人的种类，可以分为点机器人、刚体机器人、连接体 ( 可形变的、如机械臂) 和多机器人( 同时避免障碍物的碰撞和相互的碰撞) ；按 照空间维度，可以分为二维空间路径规划，三维空间路径规划和高维空间路径规 划；按照环境信息，可以分为固定障碍物环境，移动障碍物环境和可形变障碍物 环境。当然，考虑目标位置的情况，还可以分为目标位置固定的规划问题和目标 位置运动的规划问题。 对于连接体的规划，还涉及到自由度( d e g r e eo f f r e e d o m ) 的概念。自由度是 指连接体( 如机械臂) 的关节数，简称d o f 。固定在基座上的关节，称为第一个 自由度，沿着机械臂向顶端方向，依次为第二个自由度、第三个自由度，依次类 推。 1 2 1 机器人运动规划问题的特性 根据机器人自身结构特点以及工作环境的不同，机器人运动规划问题可分为 不同的类型，为更清楚说明机器人运动规划的特征，下面分几个部分进行详细介 绍。 1 2 1 1 机器人运动规划术语定义 笛卡尔空f 司( c a r t e s i a ns p a c e ) 【5 l ：即任务空间( t a s ks p a c e ) 或操作空f 司( w o r l do r o p e r a t i o n a ls p a c e ) ，指机器人和障碍物所处的三维物理空间，其坐标一般用( x , y ，z ) 表示。在该空间中较易指定机器人或机器人末端执行器所处的位置和姿态以及所 需要确定的任务，但对于关节机器人来说，用笛卡儿空间描述不能用于控制机器 人操作臂，而必须采用反向运动学的方法导出机器人的各个关节变量，因此在应 用时会存在奇异点等问题。 构形( c o n f i g u r a t i o n ) ：用以表示具有确定形状物体位置和姿态的一组独立的参 数，对于三维空间中的刚体，其构形由三个位置参数和三个方位参数描述：对于操 作臂机器人，其构形由其所具有的关节变量确定。 3 东北大学硕士学位论文第一章绪论 工作空间( w o r k s p a c e ) ：是笛卡儿空间的子集，对于操作臂机器人来讲，工作 空间是指假定在没有障碍物的情况下，操作臂的末端执行器在机器人结构约束条 件下所能到达的所有点的集合。 工作空间包迹( w o r k s p a c ee n v e l o p e ) ：指操作臂机器人工作空间的表面，即机 器人操作臂所能到达的最大极限。 可达空间( r e a c h a b l es p a c e ) ：机器人与工作空间中的障碍物不接触时末端执行 器可以到达的点的集合，该集合是工作空间的子集。 自由空间( f r e es p a c e ) ：指操作空间中没有障碍物的区域。 障碍物( o b s t a c l e ) ：在工作环境中能限制机器人运动的任何物体。 安全边缘( s a f e t y m a r g i n ) ：为了安全操作，在障碍物周围机器人操作臂应该避 免的区域，该区域考虑了机器人操作臂的位置精度。 伪障碍物( p s e u d oo b s t a c l e ) ：考虑安全边缘时的障碍物，即伪障碍物是障碍物 和安全边缘集合的并。 构形空间( c o n f i g u r a t i o ns p a c e ) ：又称关节空间或c 空间，是指以物体构形参 数作为坐标变量的广义空间，对于操作臂是指其关节空闻，构形空间的维数即是 机器人操作臂的自由度，随着机器人自由度的增加，构形空间将相当复杂，障碍 物可以在构形空间中描述为不可达点的集合，机器人的每一个构形唯一对应了构 形空间中的一个点。 规划空间( ( p l a n n i n gs p a c e ) ：运动规划所在的空间，可以为工作空间或构形空 间。 自由度( d e g r e e so f f r e e d o m ) ：物体构形中包含的独立参数的个数。 路径( p a t h ) ：指描述机器人运动的一条曲线，它可以数学方式表述，也可是一 系列的点，对于在构形空间中描述的操作臂机器人的路径，它不考虑时间或速度， 而只考虑操作臂的关节角的变化。 轨迹( t r a j e c t o r y ) ：指规划空间中赋有时间信息的路径，该时间信息用以指定 机器人沿给定路径运动至各点处的时间。 可行路径( f e a s i b l ep a t h ) ：即无碰撞路径。 无碰撞路径规划( c o l l i s i o n f r e ep a t hp l a n n i n g ) ：在规划空间中，规划出一条连 接机器人起始点与目标点的无碰撞路径。 无碰撞轨迹规：怠t ( c o l l i s i o n f r e et r a j e e t o r yp l a n n i n g ) ：在规划空间中，不仅规 划出无碰撞路径，同时还规划出机器人沿该路径运动至各点处的时间，即进行速 度规划。 - 4 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 无碰撞运动规划( c o l l i s i o n - f r e em o t i o np l a n n i n g ) ：通用术语，是无碰撞路径规 划和无碰撞轨迹规划的统称。 1 2 1 2 机器人运动规划问题分类 根据操作臂机器人本身的结构特点以及所处的物理环境和获得环境信息的能 力机器人运动规划问题可以分为如图1 1 中的几类【6 1 。 机器人类型 环境 运动规划问题 静态时变一致性可移动物体 可操作约束多机器人 图1 1 操作臂机器人运动规划问题分类 f i 9 1 1c l a s so ft h em o t i o np l a no fm a n i p u l a t o rr o b o t s 当机器人工作环境是结构化或非结构化时，运动规划可以是静态( s t a t i o n a r y ) 或时变( t i m e v a r y i n g ) 规划，在静态环境中，所有的物体是静止的，并且他们的形 状也是同定的，且障碍物的所有信息己知，然后机器人根据这些信息进行规划。 而在时变规划中，只有障碍物的部分信息可以获取，为了到达目标构形，机器人 的路径规划是在该信息的基础上进行的，随着机器人的运动，机器人将获得更多 的障碍物信息，系统通过对环境描述的不断更新来实现机器人的运动路径不断调 整，直到机器人到达目标状态为止。由于时变规划问题的复杂性，目前运动规划 的许多论述大都是针对静态规划进行的。此外，若环境中的物体可以改变形状， 则运动规划问题可称为是适合性或一致性( c o n f o r m a b l e ) 。若机器人可以通过移动 工作环境中的物体来到达目标，则该规划问题称为可移动物体问题 ( m o v a b l e o b j e c tp r o b l e m ) ，此时不可移动的物体称为障碍物，由于机器人可以清 除运动路径中的物体，因此该问题比静态障碍物运动规划问题容易解决。 5 东北大学硕士学位论文第一章绪论 此外，根据操作臂机器人本身特点，机器人可以分为单操作臂机器人运动规 划、约束运动规划以及多操作臂机器人运动规划。在工作环境中有两个或两个以 上的机器人运动时的运动规划称为多机器人运动规划问题( m u l t i p l er o b o t so r m u l t i m o v e r sp r o b l e m ) ；根据机器人运动过程中内部自身约束( 如极限角速度、驱 动力矩：0 约束) ，机器人的运动规划也可以是约束( c o n s t r a i n e d ) 或非约束性 ( u n c o n s t r a i n e d ) 的，例如操作臂机器人运送一杯咖啡问题就是一个典型的约束运 动规划问题。 1 2 1 3 机器人运动规划算法 可以从完备性( c o m p l e t e n e s s ) 和范围性( s c o p e ) 两个方面对机器人运动规划算 法进行分类【”。算法的完备性是指算法获得结果的能力，它分为四种类型： ( 1 ) 精确性( ( e x a c t ) 精确性算法可以保证可以获得解或证明没有解存在，这种算 法由于要得到确切的答案，所以计算量通常较大。 ( 2 ) 分解完备性( ( r e s o l u t i o nc o m p l e t e ) 该算法与离散化有关，目前许多算法都对 机器人的工作空间进行了离散化描述，随着对工作空间离散数的增加，算法的精 度可以任意的提高，从而算法将转化为精确性算法。 ( 3 ) 概率完备性( ( p r o b a b i l i s t i cc o m p l e t e ) 若算法得到解的概率接近1 ，则该算法 称为概率完备算法，利用随机性搜索是该算法的典型特征，例如模拟退火算法等。 ( 4 ) 启发式( h e u r i s t i c ) 发式算法的目标是在较短的时间内获得解，对于复杂 问题，即使问题的解存在，该算法也不能保证得到结果：即便是得到了问题的解， 也不能保证所得到的解是最优解。启发式算法通常可以在给定的误差范围内获得 解，且算法的执行效率较上述三种算法快得多。 从运动规划的范围性来讲，算法一般分为全局( g l o b a l ) 算法和局部( l o c a l ) 算 法，全局算法考虑环境中的所有信息，并从起始构形到目标构形进行相应的运动 规划，由于该算法计算量较大，算法一般是在离线状态下执行。局部算法被用来 设计为机器人邻近障碍物的避免，仅仅利用了附近障碍物的信息，可用于随时的 对机器人的当前运动状态进行调整，较适用于机器人在线运动规划，该算法也可 被用来作为机器人全局运动规划的一个组件，以实现全局规划条件下的局部规划。 在非结构化环境中，机器人通常需要通过闭环控制回路对所处的环境进行感 知和规划，以便调整机器人的运动行为。实现智能化和自主化的机器人运动方法 之一是将规划算法集成到机器人控制回路中，然而，由于规划算法一般都比较复 杂，且需要很长的执行时间，因此，也有许多研究者为了实现减少规划时间，采 用了并行处理的计算结构，通过并行计算实现机器人的运动规划。 6 东北大学硕士学位论文第一章绪论 l 。2 。2 机器人运动规划基本步骤 在进行运动规划时，一般要考虑以下几个步骤【8 】：( 1 ) 确定机器人运动规划的 规划空间；( 2 ) 机器人和物体的描述；( 3 ) 选择合适的运动规划方法，目前主要有四 种运动规划方法，不同的运动规划问题需要不同的规划方法：( 4 ) 选择一定的搜索 策略以寻找路径解，搜索策略的选择取决于所要求解的最优解以及系统的计算能 力；( 5 ) 局部优化所产生的路径解，以形成平滑的路径。下面将对以上各个步骤进 行简要论述。 避碰规划的研究，从研究对象上可分为关节式机械臂、移动式机器人。一般 来讲，前者具有更多的自由度数，而后者的作业范围要更大一些，应该说，这两 类对象具有不同的特点，因而，在方法上略有不同。 从空间描述方式来看，我们认为只有两类：( 1 ) 基于c 空间的自由空间法，( 2 ) 基于直角坐标空间的人工势场法。前者一般称为全局方法，后者一般称为局部方 法。 在避碰研究之初，主要采用基于直角坐标空间的假设和检验方法。首先假设 存在一条连接初始点和目标点的路径，然后，对该路径离散化，再对每一个离散 单元，检验它是否属于自由路径( 不与障碍干涉) 。如果是，则完成避碰路径规划， 否则，对干涉的单元进行修改和调整，直到满足避碰为止。这种方法比较简单， 但实时性差，无法按指标优化路径。 之后，出现了基于直角坐标空间的碰撞罚函数方法，这种方法对障碍定义一 个罚函数，随着与障碍之间距离的增大，罚函数值很快下降。把对每个障碍的罚 函数值加在一起，而且，对偏离最短路径还要加罚项，便可计算出总的罚函数值。 在任意的末端位姿，我们都可计算出罚函数的值，并可得到它对位姿变量的偏导 数，在这种局部信息引导下，沿着最小梯度的方向运动，最终可能到达目标位姿。 这种方法的好处是引入了与障碍的距离和最短路径的概念，得到优化的路径，但 只能用于移动式机器人的避碰规划。 k h a t i b 在罚函数的基础上引入了人工势场( a r t i f i c i a lp o t e n t i a lf i e l d ) 1 9 1 的概 念，对障碍定义一个排斥势场，此势场在机器人上一点的梯度定义为排斥力：对 目标定义一个吸引势场，机器人的运动是由两种力的互相作用引起的，且受到运 动学的约束。利用在机器入上选择多个点( 而不是一个点) ，将这些点对障碍的合 成作用力转化为关节驱动力矩，去冬机械臂避开障碍，并最终可能运动到目标位 姿。 7 东北大学硕士学位论文第一章绪论 l a z o n a p e r z e 提出了基于c 空间的自由空间法 10 1 。以机械臂的关节轴为坐标 系建立c 空间( c o n f i g u r a t i o ns p a c e ) ，将障碍物映射到c 空间，形成c 空间障碍， 那么，在c 空间内c 空间障碍内的点代表与障碍干涉的机器人构形。应用启发式 探索算法，避碰规划就转化为在自由空间内寻找连接初始点和目标点的路径问题。 目前避碰规划方法主要还是基于上述方法展开的。当然，还有许多其他的方 法，如：v o r o n o i 图 1 1j 、虚拟接触力 1 2 】、速度c 空间1 1 3 、内能函数14 1 、基于运动 学和动力学约束的避碰规划【15 1 、基于0 m 图的启发式搜索方法1 1 6 1 、n 对象树1 17 1 、 w a l l f o l l o w i n g 擂】等。但从文献的数量上看，主要还是自由空间法和人工势场法 较多，本文所采用的是前一种方法，因此下面主要介绍c 空间的国内外发展状况。 1 2 2 。l 全局方法存在的优势和问题 避碰路径规划 1 9 1 问题不仅要考虑末端是否与障碍碰撞，还要考虑机械臂的各 个连杆是否与障碍碰撞，因此，仅考虑直角坐标空间中末端与障碍的空间关系是 不够的。 如果用c 空间描述机器人的运动，此时，机器人的状态与c 空间形成一一对 应的关系如果将障碍也用c 空间来描述，并将所有的障碍都映射到c 空间，那么， 无碰路径规划问题就转化为在c 空间中寻找一条连接起始点和目标点的自由区 域，当机器人沿该路径运动时，能保证不与障碍发生碰撞。 基于c 空间避碰规划的自由空间法的一般步骤是：首先，要建立c 空间；其 次，确定单元的连通性，建立搜索树：然后，确定搜索办法：最后，进行路径优 化。 自由空间法的优势是：通过求解整个c 空间，使得自由空间、障碍空间一目 了然，因此，可以按任何性能指标搜索路径，且具有完备解。那么，它存在的主 要问题是什么呢? ( 1 ) 如何快速建立c 空间? 在直角坐标空间中，障碍物的形状、大小是不变的， 而在c 空间中，随障碍物的运动，c 空间障碍的形状、大小是变化的。因而，对 于运动的障碍物，需要在线建立c 空间，而这要花费大量的时间，这是自由空间 法最大的限制因素。 ( 2 ) 障碍的c 空间只能通过离散化求得，而难以获得c 空间障碍的解析表达式， 因而，为了提高精度，要占用大量的内存。 ( 3 ) 对于关节数较多的机械臂，c 空间自由路径的搜索也将花费较多的时间。 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 2 2 2 建立c 空间的主要方法 l o z a n o p e r e z 提出c 空间障碍( c o n f i g u r a t i o ns p a c eo b s t a c l e ) 的概念，对于 姿态固定的移动对象，将之缩为一个点，同时根据移动对象将障碍扩张，得到扩 展的障碍( g r o w n o b s t a e l e ) ，这种方法将平面内刚体的评议问题转化为点的移动， 简化了问题的复杂性，但这种方法难以求解关节式机械臂以及对象是旋转的情况。 对于多关节机械臂，l o z a n o p e r e z 提出求解极限关节角来建立c 空间。方法 是：以关节轴为坐标，求解机械臂连杆与各障碍发生干涉的极限关节角，则干涉 区域就是障碍物在c 空间的映射。与前述方法的区别在于：该方法不是根据移动 对象将障碍扩张，而是将障碍从直角坐标空间映射到关节空间。这种方法的问题 是：( 1 ) 难以得到c 空间障碍的解析解，而只能通过离散化关节空间，因而，基于 这种方法获得的数值解仅是在设定的精度下满足避碰需求的精确解；( 2 ) 随障碍的 运动。需要重新求解c 空间障碍，因而，难以用于动态环境的实时避碰规划；( 3 ) 这种方法求解c 空间障碍计算复杂，随关节数的增加，计算量将呈指数上升。 n e w m a n1 2 0 1 将障碍物分解为一些特征点、线、面等的组合，解析求解这些特 征单元的c 空间，求解他们的并集得到障碍物的c 空间。他们分析了主体为2 、 3 关节的常用机器人结构的c 空间障碍求解，建立了点、线、线段、面的极限关 节角解析表达式。显然，这种方法适合范围有限，难以应用于关节数较多的c 空 间障碍求解。 k a v r a k i 提出利用卷积求解二维空间多变形障碍边界【2 1 1 。在静态环境下，当 移动对象只作平移时，对象移动后的c 空间障碍是在直角坐标空间内障碍所占区 域与对象初始位置所占区域的卷积，应用快速傅立叶变换法，求得c 空间障碍。 这种方法只适合于二维、三维刚体平移、且障碍静止的c 空间障碍边界求解，难 以推广到具有旋转自由度和多关节机械臂问题。 1 2 2 3 基于c 空间的路径搜索方法 在早期c 空间方法的研究中，通过建立整个c 空间，然后，将c 空间进行单 元切分，采用图搜索技术在自由空间搜索避碰路径；或采用其他方法，如广义锥 法、投影法、可视图法等。这些方法适于刚体式移动机器人的避碰规划。 之后，我国学者张钹在8 0 年代初提出用状态空间的连通性分析来解决避碰规 划问题。他根据环境和几何物体的几何特征，将组成空间划分为若干拓扑特征一 致的子区域，根据彼此的连通性建立一个拓扑网，在该拓扑网中搜索一条拓扑路 径。这种方法的优点在于利用拓扑特征大大缩小了搜索空间；缺点在于表示的复 o 东北大学硕士学位论文第一章绪论 杂性、特殊性，建立拓扑网的过程相当复杂而费时，比较难以实现。 f a v e r j o n 提出采用八叉树( o c t r e e ) 【2 2 l 的方法求解三维避碰规划问题( 对于 关节数大于3 的情况，设法将机械臂用3 关节近似表示) 。将三维c 空问切分成 立方块，通过运动学确定每一个立方块( l ，n z ，n 3 ) 的属性，即自由区域( e m p t y ) ， 混合区域( m i x e d ) ，障碍区域( o c c u p y ) ，然后，建立八叉树，采用搜索算法 确定路径，这种方法的搜索效率和精度直接取决于层数和切割方法。为减少内存， 提高搜索速度，z h u 等提出利用“约束重构”( c o n s t r a i n tr e f o r m u l a t i o n ) 来切割c 空间，使e m p t y 和m i x e d 的数量尽可能地少，从而减小内存，提高搜索效率。y a h j a 等提出框架四叉树( f r a m e dq u a r d - t r e e ) 的方法，该方法是将四方块的边离散化， 在确定路径时，不是连接e m p t y 四方块的中心，而是选择穿过四方块边上恰当的 点，这样得到最短路径，搜索速度快。 b a r b e h e n n 等提出动态的保持单元最短路径树【2 3 1 的方法，主要特点是在搜索 路径上，保留了从当前节点到任意节点的最短路径。当为了进一步搜索最短路径 或还未找到路径需要进一步切分m i x e d 单元时，只需要搜索局部变化的路径树就 可很快得到新的最短路径树，减少了搜索时间，但较适合静态环境。 而在近期的研究中，人们试图避开求解整个c 空间，产生了一些新的思路和 方法如： m a c i j e w s k i 等提出基于c 空间拓扑 2 4 】的路径规划方法。考虑障碍的一些特殊 点和线在c 空间的映射，这些点和线能代表障碍与机械臂的干涉关系，检查这些 点和线的c 空间障碍，将自由空间分为子空间集，并建立这些子空间的连接关系。 避碰路径规划问题转化为在连通图上寻找连接初始位置子空间和目标位置子空间 的连接通道。 k o n d o 提出双向启发式搜索方法【2 5 1 。特点是直接在c 空间中分别从初始点和 目标点采用图搜索技术，双向搜索自由连通路径，因此，不事先求解整个c 空间。 但在节点扩展时，要对所有被扩展的节点检查该扩展单元的属性。这种方法在扩 展节点时，必须要有较高的精度，否则难以判断c 空间单元的属性。从计算复杂 性看，虽然避免了求解整个c 空间，但每扩展一个单元就要检查其属性，而且， 在搜索过程中缺乏全局信息引导。这种方法也难以用于动态环境的避碰问题。 g u p t a 等提出顺序解法【2 6 1 。特点是在避碰规划中，将n 维连杆的避碰问题转 化为一个一维和n 1 个二维连杆的避碰问题，但这种方法不具备完备解。其思想 是这样的：首先，离散化关节角1 ，并求取连杆1 从当前关节角到目标关节角无 碰的运动区域；离散化关节角2 ，当连杆2 的参考点( 取连杆2 上关节2 转轴与 】o 东北大学硕士学位论文第一章绪论 连杆1 的交点为参考点) 在其自由区域运动( 在关节l 的无碰运动区域) 时，确 定连杆2 从当前关节角运动到目标关节角的无碰轨迹，并修改连杆1 的无碰轨迹； 离散化关节角3 ，当连杆3 的参考点( 取连杆3 上关节3 转轴和连杆2 的交点为 参考点) 在一自由区域运动( 在关节2 的无碰运动区域) 时，确定连杆3 从当前 关节角运动到目标关节角无碰轨迹，并修改连杆1 和连杆2 的无碰轨迹；， 如此顺序求解各个连杆的无碰轨迹，并对当前连杆以前的关节角无碰轨迹进行修 改，最后得到连接初始点与目标点各个连杆关节角的无碰区域，从中选取最佳的 路径。 k a v r a k i 等、c h e n 等、a h u a c t z i n 等研究了全局规划器和局部规划器相结合的 予目标法【2 ”。这些方法共同的特点是：通过全局规划器建立不与障碍碰撞且从当 前位姿可达到的子目标( 或r o a d m a p ) ，然后通过局部规划器搜索与目标位姿最 近的子目标，最后对路径进行适当优化。k a v r a k i 等提出随机构造r o a d m a p ，然 后基于r o a d m a p ，建立将运动起始点和目标点都连接到r o a d m a p 的路径。c h e n 等提出基于粗搜索的全局规划器建立子目标，然后采用局部规划器检查是否存在 可行路径。如果找不到，则返回全局规划器，提高搜索精度，建立子目标，然后， 再检查可行路径。这与k a v r a k i 方法的区别在于子目标是渐增的产生直到路径被 找到，而k a v r a k i 的方法是在搜索前就采用随机的方法构造r o a d m a p 。a h u a c t z i n 定义了一种新的距离概念，并基于这种距离，启发式地建立从起始点出发的连通 子目标，直至找到与目标位姿连通的子目标。 这些方法都不需要建立整个c 空间，因而从理论上讲，不会因关节数的增多 使计算量呈指数上升。但这些方法不具备解的完备性( 而是概率完备解或精度完 备解) ，并且需要对求得的路径进行优化，因此较适于静态环境。 本文将可达流形与接触流形引入机器人c 空间的计算中，通过计算可达流形 与接触流形的交集求取c 空间障碍物的边界，并根据c 空间最优离散化的标准，建 立机器人的c 空间离散数据库，实现了c 空间的快速计算。 1 3 本课题的主要内容 课题研究的内容分为四个部分： 第一部分：x 射线摄影系统( c 臂) 的运动学计算。这部分主要是根据现有 材料c 部分示意图计算出c 臂的运动学方程，包括正向运动学与反向运动学两部 分，进行运动分析与运动综合。 第二部分：导管床的运动学计算。根据现有材料导管床部分示意图计算出导 1 】 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 管的运动学方程，包括正向运动学与反向运动学两部分，进行运动分析与运动综 合。 第三部分：运动系统的干涉判别规则的确定。导管床载人后向前深入到达一 定位置，根据病人的情况，c 臂做出适当的旋转来进行相应的介入治疗，这时就 需要考虑c 臂与导管床的干涉问题，要求选择一条从起始点到目标点的路径，使 c 臂能够安全无碰撞地通过所有的障碍，涉及到避碰规划问题。根据国内外相关 的论文，利用c 空间障碍物的建立方法，求出可达流形与接触流形，并得到机器 人c 空间障碍物的边界构形，建立机器人c 空间障碍物边界求取算法。 第四部分：x 射线系统干涉的运动学仿真。利用第三步所选择的干涉判别规 则，对c 臂与导管床进行干涉判别后，用m a t l a b 对其进行仿真，达到清晰明 了的效果，能准确地反映出c 臂与导管床的避碰路径。 一1 2 东北大学硕士学位论文第二章机器人c 空间快速建立方法 第二章机器人c 空间快速建立方法 c 空间【2 8 】又称构形空间( c o n f i g u r a t i o ns p a c e ) ，首先由l o z a n o p c r e z 提出。c 空间本质为一广义空间，该广义空间以一组用以确定一运动刚体位置和姿态的参 数或一组用以确定一操作臂构形的关节变量作为坐标变量。c 空间的引入将笛卡 儿空间中一具有确定大小、形状的运动刚体或操作臂转化为c 空间中的一点，则 该点的运动间接反映了刚体或操作臂的运动状态，从而大大降低了机器入无碰撞 运动规划的复杂程度。c 空间法既可以用于刚体无碰撞运动规划，又可以用于操 作臂无碰撞运动规划，目前机器人运动规划的方法基本是基于c 空间表示法的。 在进行机器人运动规划过程中，需要保证机器人自由c 空间中运动。因此，对机 器人c 空间障碍物的建立方法直接影响着机器人运动规划的性能，而机器人c 空 间障碍物可以通过c 空间障碍物边界来描述。 本章将首先以凸多面体为例，从刚体无碰撞运动规划的角度简要介绍c 空间的 基本概念和应用方法，然后利用克里福特代数推导出描述刚体平面位移的虚空间表 示方法，在此基础上引出可达流形和接触流形的概念，并得到s c a r a 型机器人c 空间障碍物的边界构形，建立了s c a r a 型机器人c 空间障碍物边界求取算法。 2 1c 空间定义及其建立 为描述笛卡儿空间中任一凸多面体日的位姿，可用构形( c o n f i g u r a t i o n ) 表述该 凸多面体的平动或转动的。定义笛卡儿空间中一凸多面体的构形为一组相互独立 的、用以表示该凸多面体在各自由度下位移或角度的参数。每个凸多面体都具有 一初始构形，且凸多面体的其它构形都是相对于该初始构形来确定其数值的大小。 同时假定凸多面体位于其初始构形时，其上有一个顶点位于全局坐标系的原点， 称该顶点为凸多面体的参考顶点，记作n ，。 假定日为k 维笛卡儿空间中一凸多边形或凸多面体，k = 2 ，3 ，则用于确定日的 构形的参数的个数为d = j j + 矽，其中当k = 2 时，七r - 1 ，当k = 3 时，= 3 。这d 个 参数中，k 个用于确定参考顶点厂v 。在r2 空间中的位置，另k 个用于确定日在r 2 空间中的姿态。故而日的具有某个确定数值的构形可被看作r 。广义空间中一个确 定的点啦r 。) 。定义上述d 维空间为日的c 空间，或构形空间，并以c s p a c e 。表 示。且当日具有x 构形，则以日。表示；当日具有初始构形，则以h 0 表示。 若h 为二维平面中的凸多边形，则可