（计算数学专业论文）对含参量的实对称矩阵特征值反问题的研究.pdf

摘要 所谓代数特征值反问题就是在一定的限制条件下，根据给定的特征值或特征 向量决定矩阵的元素，它是在研究物理化学中研究分子结构时发现的。矩阵特征 值反问题在数学物理反问题的离散系统、结构振动系统的设计、校正与控制、粒 子物理的核光谱学、线性多变量控制系统的极点配置等许多领域都具有重要的应 用。 本文主要讨论含参变量的实对称矩阵特征值反问题数值解法。包括常义特征 值反问题和广义征值反问题，这类问题包括加法和乘法经典代数特征值反问题。 本文研究了这类问题的数值解法和一般代数特征值反问题给定部分条件时， 问题提法的等价性，它也实用于给定全部特征值的情况。对于数值算法，将l p 迭代和一般的n e w t o n 迭代法结合起来求解含参变量的实对称矩阵特征值反问 题，l p 迭代预处理了n e w t o n 迭代法的初始值，拓宽了n e w t o n 迭代法初始值的 选取范围，数值例子也说明l p n e w t o n 法具有较高的效率和实用性。 根据工程实际背景，给出结构动力学设计中一类广义特征值反问题的数值解 法。 关键字：数值代数矩阵实对称特征值反问题l p 迭代n e w t o n 法 a b s t r a c t t h ec h a r a c t e r i s t i cv a l u eo ft h es o c a l l e di n v e r s ea l g e b r a i ce i g e n v a l u ep r o b l e mi s t i l a tu n d e rc e r t a i nr e s t r i c tc o n d i t i o n s a g a i n s tt h eq u e s t i o n e l e m e n t s o fm a t r i xa r e d e t e r m i n e d a c c o r d i n gt oe i g e n v a l u e o r e i g e n v e c t o r t h ep r a c t i c a ii n v e r s e a l e b r a i c e i g e n v a l u ep r o b l e ma r o s ei np h i s i c a lc h e m i s t r yi nt i l es t u d yo fm o l e c u l a rs t r u c t u r e si t a r i s e si nv a r i o u sa r e a so f a p p l i c a t i o ni na1 0 to ff i l e l d s s u c ha sd i s p e r s e ds y s t e mo f p h y s i c a lm a t h e m a t i c ，d e s i g n o fv i b r a t i o n s y s t e m o ft h e s t r u c t u r e ，c o r r e c t a n d c o n t r o l ，p a r t i c l en u c l e a rs p e c t r o s c o p y , l i n e a rv a r i a b l ec o n t r o ls y s t e ma n ds oo n t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e st h ef o r m u l a t i o na n dt h en u m e r i c a lm e t h o d so fr e a l s y m m e t r i c a l m a t r i xi n v e r s e a l g e b r a i ce i g e n v a l u e t h i s i n c l u d e sn o r m a la n d g e n e r a l i z e di n v e r s ee i g e n v a i u ep r o b l e mw h i c hi n c l u d e st h e a d d i t i v e ，m u l t i p l i c a t i v e c l a s s i c a li n v e r s e e i g e n v a l u ep r o b l e m sa ss p e c i a lc a s e s t h i s p a p e rr e s e a r c h t h en u m e r i c a ls o l u t i o n sa n d g e i v e np a r i t a ic o n d i o n s t h i s f o u r m a t i o no ns o m et e r m si se q u i v a l e n tt oa n t h o rf o r m u a t i o n a n di ti s p r a c t i c a lt oa l l c o n & i o n sg ei ve d a sf o r t h en u m e r i c i a lm t h o d sw e p r e s e n tam e t h o du s i n gn e w t o n i t e r a t i o na n dl p ( l i f i - p r o j e c t i o n ) i t e r a t i o nt os l o v ei n v e r s er e a ls y m m e t r i ce i g e n v n u e p r o b l e m s t h e nw oc a nc h o o s ea n ys t a r t i n g p o i n t s ，t h e nw oc a r lg e t9 0 0 c i s t a r t i n g v a l u ef o rt h e p u r p o s eo ft h ep r e c o n d i t i o n i n gt h en u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h e m e t h o di se f f i c i e n ta n da v a i l a b l e k e yw o r d s ：n u m e r i c a la l g r b r am a t r i c e sr e a l s y m m e t r i cm a t r i xi n v e r s e e i g e n v a l u ep r o b l e m l pi t e r a t i o nn e w t o nm e t h o d c “ c 霄 胄 震” d e t ( a ) r a n k ( a ) a ( 月) p ( 爿) ， ： ， 符号表 所有复 维列向量的全体 所有复数的全体 所有实数的全体 所有r n 月实元素矩阵的全体 表示实疗维列向量的全体 表示单位矩阵 表示矩阵a 的行列式 表示矩阵a 的秩 表示矩阵a 的所有特征值的全体 表示矩阵彳的谱半径 表示向量x 的e u c l i d 范数 表示矩阵么的谱范数 表示矩阵a 的f r o b e n i u s 范数 表示元素的属于 查室堕至堕菱丕堂堡主堂堡垒壅 第一章绪论 1 1 研究背景和选题依据 在工程设计中，都要考虑结构的振动问题，如：航空航天中的飞行器、航海 中的船舶、土木界的桥梁与房屋、机械行业的机床与刀具、各种交通工具以及动 力机械等。改善、控制和利用结构振动对于国防建设、航空航天技术研究以及工 业技术的进一步发展都有重大的意义。 在结构动力学设计中，结构的有限元模型需要依据结构的模态试验数据进行 修改，使得结构的理论模型能有效地模拟实际结构。近年来，由于模态测试仪器 的功能日益完善，精度也越来越高。随着工程结构的日益复杂，模态试验结果是 工程结构动力学设计中对结构模型设计参数进行修改的重要依据之一。 在结构动力学设计中，对大型复杂工程结构进行有限元分析，预测和改进结 构的动态特性，实现对结构系统的动态最优设计，避免可能出现的有害振动。在 结构振动特性设计，就数学而言实际是参变量的特征值反问题，按事先实验测定 的结构的固有频率和固有振型及附加条件，反构结构的刚度、质量矩阵，这类问 题可以归结为一类含参变量的广义特征值反问题。 例如：1 0 0 根杆的平面桁架f 如下图1 图1 0 0 根杆平面桁架 设结构的弹性模量e = 7 o 1 0 1 。n ，m 2 ，) 赌锻p = 2 7 7 0 k g m 3 。每个结点有非 结构质量4 5 0 k g 。杆单元截面尺寸的上、下界：5 s i s1 5 0 c m 2 0 = 1 ，1 0 0 ) 。要求最叭 设计频率达到：= o 2 6 ，f 2 = 1 4 1 ，f 3 + = 3 5 0 ，f 4 5 0 ，f s = 6 5 0 ，f 6 + = 9 3 2 ， f 7 1 3 0 1 ( h z ) 。 这是一个含参变量的广义特征值反问题。由给定的耳= ( 2 z a ) 2 ( 江l ，p ) ， 确定结构的设计变量c 五“，使得 足0 ) 蛾= 耳 ，( c ) 够，i = 1 ，p 成立。其中k ( c ) = k o + c 。墨，吖( c ) = 如+ q j ，h = 1 夸o ，m = t o o ，p = 7 。 在有限元分析中，实对称矩阵足( c ) 、m ( c ) 分别是结构的总刚度矩阵和总质量矩 阵，实对称矩阵k 、m 1 ( i = 0 ，m ) 分别是结构的单元刚度矩阵和单元质量 对含参变量的实对称矩阵特征值反问题的研究 矩阵，c = ( c t - ，c m ) 7 r ”是有限元模型中待修改的结构设计变量。 1 2 本论文研究的内容 设c = ( 。1 - ，c 。) 7 “，a ( c ) = ( 口。( c ) ) 和b ( c ) = ( 6 。( c ) ) 是实数域r 上的h 阶矩阵值 函数，其所有元素口。( c ) 和b 。( c ) 是c 的二阶可微函数。由实际工程背景，给出如 下一类含参变量的广义特征值反问题，一般提法如下。 问题g 给定n 个实数耳，和n 阶矩阵值函数a ( c ) 、b ( c ) r ”“，求参 数向量c r ”，使得广义特征值问题一( c ) 妒= 2 b ( 0 妒具有给定的特征值耳，硝。 本文只考虑a ( c ) 和b ( c ) 是c 的线性函数情形，即 一( c ) = 爿+ c j a 。，口( c ) = b + c ，b i ( 1 2 1 ) 。l= 1 其中a 、b 、4 、旦r ”“( f _ 1 ，玎) 均为给定的常数矩阵。 当b = ，置= o ( i = 1 ，以) 时，问题g 就是含参变量的实对称矩阵常义特征值 反问题。如果此时同时有a 。= 气e ；( 七= 1 ，蚪) ，气是n 阶单位矩阵的第k 列，则 问题就是经典的代数特征值反问题的加法问题。如果4 = 0 ，b = 0 ，旦= e , e r ( i = i , - - - , n ) ，则问题g 就退化为经典的代数特征值反问题乘法问题。 本文分别研究如下几类含参变量的实对称矩阵特征值反问题的数值解法。 问题g 1 给定珂阶实对称矩阵a ， ，a 。和h 个实数耳，疋，求参数向量 c = ( c i ，q ) 7 r ”，使得 一( c ) = a + c f a i ( 1 2 2 ) i - i 有给定的特征值耳，露。 问题g 2 给定n 阶实对称矩阵丘4 ，a 。和啪个实数0 ，疋( 晰 - - 0 ，l i ，n i - s f 一 则称s 为双随机阵。 定义2 3 设t = ( ) c ，如果万( 1 ) ，万( 力是1 ，疗的任一排列，则称集 合 r l 硝) ，矗一( 一) 是r 酌一个正则组。 引理2 4 m 】( f r o b e n i u s - k 6 n i g 定理) 设丁= ) e c 。如果f 的每个正则 组都含有零元素，则r 必有一子矩阵瓦c ”9 为零矩阵，并i ；tp + q = n + l 。 引理2 5 t 2 ”( b i r k h o f f 定理) 所有, r 阶双随机阵的集合，是所有开阶排列方 阵的凸包。即任一玎阶双随机阵s ，必可表示成h 阶排列阵只( k 1 ，州) 的凸组 合； n l i s = d 。只，1 7 = l ，盯o ，i = l ，蹦 以下是定理2 1 的证明： 首先对正规阵彳，曰进行酉对角分解： 。 4 = u a u ”b = 地v ” 其中u 与矿为酉阵，a = 硪昭( a ， ) ，q = a i a g ( 】i 一，以) 。则有 卜4 ；= 加陋y ”一u a u ”) 呻y ”一u a u “广j 月 一一 、 = l 1 2 + i ，1 2 - t r ( a u ”qy ”【，+ 人【，”m 矿”u ) i - li i l ：宝蚶+ 主2 一g ( ) ( 2 1 1 3 ) 一lj t i 其中 对含参变量的实对称矩阵特征值反问题的研究 w = u “v = ( 吼) 为酉阵， ) = 毫咖。1 2l 汜。， 吼= 五，+ 五，l f ，n j 令 k f 2 = ，1 f ，h ( 2 2 1 5 ) 则s = ( 仃。) 显然是双随机矩阵，并且有( 2 1 1 4 ) 可以写成 g ( 矽) = ，( s ) = 巳 ( 2 1 1 6 ) 用3 。表示珂阶双随机矩阵的全体，用k 。表示珂阶酉阵的全体，于是可得 m 。a x g ( 矽) 避厂( s ) ( 2 1 1 7 ) 由于厂( s ) 是s 。上的线性函数，并且根据引理2 5 ，s 可以表示成n 阶排列方阵只 的凸组合，将其代如f ( s ) ，便得到 ( s ) = ，( 仃。忍) = 盯。f ( p k ) 其中吒o , k = l ，川，吼= 1 。设排列方阵 吲城= 溅； 使得 m a x f ( 只) = f ( p ) 则有 厂( s ) - x c r a f ( p ) = ，( p ) ( 2 1 。1 8 ) 代入( 2 1 1 6 ) 和( 2 1 1 7 ) ，得到 g ( ) ) 其中筇( 1 ) ，石( 以) 是l ，月的某一个排列。 另一方面，取w = p ，有 g ( p ) = ) 所以 南京航空航天大学硕士学位论文 定理2 1 得证。 m a x g ( 吟酗州， 便得出 = ( ，) + 五一) ) l b 一4 | i ；n 五，一。，j 2 。 对于l p 迭代有如下的性质。 性质2 6l p 迭代法是下降的方法，即 0 一( c + 1 ) - z + 1 j l ：! ；以( c + 1 ) z i l ：0 一( c c ，) z 。：( 2 1 1 9 ) 证明对于第二个不等式由a ( c “1 ) 是z 在一( c ) 上的投影立即可证。对于 第一个不等式利用w i l e l a n d t h o f f m a n 定理有 愀c ( “1 1 ) 一z 弘愀c m l ) 一q ( c ( ”) 掘g ( k ，a 万( c ) ) 州叫： 愀) 一刚) 出g ( k ，人莉( c m i ) ) “州： = 0 爿( c + 1 ) 一z + i i ： 即( 2 1 1 9 ) 式成立，性质2 6 得证。 l p 迭代法的下降的性质，保证了l p 迭代法的收敛性。 将l p 迭代法与算法2 1 结合得到如下的算法。 算法2 3 1 ) 选取一个初始值c ( ”。 2 ) 对k = 1 , 2 ，做l p 迭代 2 1 ) 对a ( c ) 进行正交分解a ( c ) = q ( c 2 ) 7 a q ( c ( 。) ，其中a 是对角 阵。 2 2 ) 根据( 2 1 1 2 ) 计算z ( “。 2 3 ) 解线性方程组( 2 1 1 1 ) ，得到c “”。 2 4 ) 如果p “”一c ”l j ，小于特定的值q 则停止。 3 ) 设c o 为l p 迭代所得满足2 4 ) 步中的c ( “。 4 ) 以c ( o 为n e w t o n 法的初始值，以下同算法2 1 。 再将l p 迭代法与算法2 2 结合起来，可得到如下的算法2 4 。 算法2 4 1 ) 选取一个初始值c ( “。 2 ) 对k = 1 , 2 ，做l p 迭代 对含参变量的实对称矩阵特征值反问题的研究 阵。 2 1 ) 对a ( c ) 进q ? i e 交分解a ( c 。) = o ( c ) 7 a q ( e 。) ，其中a 是对角 2 2 ) 根据( 2 1 1 2 ) 计算z 忙) 。 2 3 ) 解线性方程组( 2 1 1 1 ) ，得到c ( “”。 2 4 ) 如果惨“”一c ”n 小于特定的值毛则停止。 3 ) 设c o 为l p 迭代所得到满足2 4 ) 步中的c ( “。 4 ) 以c ( o 为n e w t o n 法的初始值，以下同算法2 2 。 2 1 4 数值试验 本节用数值例子说明，结合l p 迭代和n e w t o n 法求解含参变量的实对称矩阵 特征值反问题，可以增加初始值的选取的范围，并且减少了迭代的次数，加快了 收敛的速度，提高了算法的效率和实用性。 例1 首先给一个加法特征值反问题的例子。 设 a = 0 3o 11 32 11 34 对称 0 10 一llo 567o a = e k e ：，k = l ，2 ，8 3 一( c ) = 一+ q 4 一l 给定的特征值向量为= ( 1 0 ，2 0 ，3 0 ，4 0 ，5 0 ，6 0 ，7 0 ，8 0 ) 7 ，求c = ( 。l ，1 c 8 ) 7 使爿( c ) 具 有特征值向量旯。 设初始值为c o = ( 1 ，l ，1 1 1 1 ，1 ，1 ) 7 ，利用算法2 1 解该问题，得到的解为 才= ( 7 8 8 1 5 3 ，11 7 4 7 3 ，4 0 0 9 1 5 ，6 7 3 6 9 4 ， 5 2 0 5 8 3 ，2 0 8 7 0 6 ，3 1 8 7 8 5 ，5 7 1 6 9 0 ) 7 利用算法2 3 ，先用l p 迭代法得到 # = ( 5 0 8 6 6 2 ，3 0 9 0 7 0 ，4 0 4 6 1 7 ，2 1 0 7 8 2 ， 1 0 5 3 2 4 ，6 5 1 3 5 9 ，6 8 9 0 9 2 ，7 2 1 0 9 3 ) 7 得到的结果5 作为n e w t o n 迭代法的初始值，得到如下的解 c ( 5 0 8 7 3 1 ，3 0 9 0 7 3 ，4 0 4 6 2 5 ，2 1 0 7 8 2 ， 024 o 2 o 4一5 o 南京航空航天大学硕士学位论文 1 0 5 3 2 5 ，6 5 0 6 8 5 ，6 8 9 8 4 6 ，7 2 0 9 3 3 ) 7 表1利用算法2 1 和算法2 3 解例1 算法迭代次数c p u 时间 l 算法2 1 70 0 6 0 0 算法2 3( l p ) 1 7 0 4 2 1 0 2 ( = o 0 1 ) ( n e w t o n ) 4 0 0 3 0 0 算法2 3( l p ) 1 3 o 3 2 0 0 3 ( b = o 0 5 ) ( n e w t o n ) 4 0 0 3 0 0 比较5 和c ；可以看出，经过l p 迭代后得到的5 比较靠近解，达到了预处理 初始值的目的，从而使得下面的n e w t o n 法可以很快的收敛。见表1 。 因为例子的给定的特征值分离的很好，还不能明显的看出l p 的时间效率， 下面的例子将比较清楚说明结合l p 迭代后的n e w t o n 算法的优越性。 例2 设v v = 一56 51 7 51 8 20 o1 01 0 50 6 o 50 8 定义b = ( ) = ，+ 7 ，对于含参变量的实对称矩阵特征值反问题矩阵的取法为 a = 0 = 1 ，8 8 爿( c ) = a + c 1 4 i - i 设给定的特征值向量为五+ = ( - 4 ，- 2 ，1 ，2 ，9 ，1 7 ，3 5 ，7 2 2 ) 7 ，求c = ( 。1 ，岛) 7 使4 ( c ) 具 有特征值向量。 这里分别选取不同的初始值的情况来说明算法2 1 和算法2 3 。 情况i 取初始值迭代向量为c o = ( 1 ，l i11 1 11 ) ，利用算法2 1 得到 = ( o 8 7 3 1 ，1 0 3 0 8 ，0 9 4 4 6 ，0 3 2 2 4 ，4 1 8 9 0 ，一0 1 2 8 3 ，1 0 2 0 8 ，1 0 8 2 6 ) 7 o屯o。：，吣吣。，。一。她们 。，。拍2 r p i p 聃 6+ 、， r i p ， p+ r ， e p ，l 川 i l i 4 型宣童銮量笪塞型整堑堕鲎堑堕垦囹壑墼堕壅 如果用算法2 3 则得到如下的解 e = ( 0 8 8 6 5 ，0 9 4 6 2 ，0 9 7 6 2 ，i 4 4 2 4 ，4 0 7 9 5 ，0 3 3 9 0 ，l 。0 7 8 9 ，1 t 3 2 6 ) 7 表2 利用算法2 1 和算法2 3 解例2 算法迭代次数 c p u 时间 1 算法2 1 1 0 i 1 0 4 1 0 算法2 3 ( l p ) 1 2 0 3 0 1 0 2 ( = o 0 1 ) ( n e w t o l q ) 9 0 0 8 0 0 从表2 可以看出，利用算法2 1 迭代次数很多，而算法2 3 的迭代次数比较少，从 而节约了c p u 时间，故结合l p 迭代后的n e w t o n 的法比仅仅用n e w t o n 具有更 高的效率。 情况i i ： 如果取初始值为c o = ( 1 0 0 0 ，1 0 0 0 ，1 0 0 0 ，1 0 0 0 ，1 0 0 0 ，1 0 0 0 ，1 0 0 0 ，1 0 0 0 ) 7 利用算 法2 1 得 五+ = ( 1 0 5 9 6 ，1 0 5 1 6 ，0 9 7 9 7 ，一0 ，1 5 9 9 ，0 3 4 0 6 ，0 4 8 3 1 , 1 2 9 2 2 ，一0 2 9 2 0 ) 7 同样利用算法2 - 3 则有 乏+ = ( o 8 3 1 3 ，0 9 7 5 9 ，1 0 0 2 9 ，1 2 1 9 4 ，1 1 1 7 6 ，1 0 6 9 2 ，1 1 4 7 7 ，1 2 0 6 9 ) 7 详细的过程如表3 。 表3取不同初始值的情况 算法迭代次数c p u 时间l l 算法2 1 1 3 81 3 8 2 0i 算法2 3( l p ) 1 4 0 4 4 1 0 1 2 ( ；0 0 1 ) ( n e w t o n ) 7 0 1 1 0 0l 从表3 中同样看出剥用l p 迭代的优势。 1 例3 给定的已知条件同例1 ，这里用算法2 2 和算法2 4 求解该代数特征 值反问题加法问题。 取初始值为 c 仰= ( 0 ，0 ，0 ，0 ，0 ，0 ，0 ，o ) 7 利用算法2 2 可以看到j a c o b i 矩阵几乎奇异的，算法终止。这是因为初始值不在 其收敛区间内，算法不收敛；用算法2 4 ，经过l p 迭代后得到 i = ( 6 2 6 2 0 1 ，4 0 9 4 6 8 ，2 9 8 7 7 8 ，2 1 3 6 0 0 ，1 0 5 3 9 8 ，7 0 2 5 6 9 ，5 2 1 9 8 5 ，7 2 2 0 0 0 ) 1 再以五为n e w t o n 法的初始值。得到 c l + ( 5 8 3 7 1 7 ，4 1 3 7 9 7 ，l1 2 6 4 2 ，1 9 8 0 1 5 ，3 0 7 1 4 3 ，5 4 3 2 6 0 ，7 3 5 3 0 0 ，7 0 6 1 2 7 ) 若取l p 迭代的收敛范围为晶= o 0 5 ，经过l p 迭代后得到 乏= ( 6 3 2 5 6 5 ，4 0 9 4 3 3 ，2 9 8 7 8 3 ，2 1 3 5 7 8 ，1 0 5 3 5 8 ，6 9 0 7 2 6 ，5 2 1 6 0 0 ，7 2 7 9 5 7 ) 7 2 宣壅堕窒堕丕盔堂堕主堂垫丝塞 再以弓为n e w t o n 法的初始值，得到 c ( 6 1 1 0 8 1 ，4 1 0 3 2 0 ，3 0 1 8 2 0 ，2 1 4 4 6 0 ，1 0 7 0 7 4 ，7 5 8 4 2 7 ，6 7 2 1 1 6 ，5 2 4 7 0 3 ) 。 详细的过程如表4 。 表4利用算法2 2 和算法2 4 解例3 算法迭代次数 c p u 时间 l 算法2 2因为j a e o b i 矩阵几乎奇异算法终止。 算法2 4( l p ) 8 1 2 0 7 3 0 2 ( = 0 0 1 ) 0 9 3 2 0 ( n e w t o n ) 1 7 算法2 4 ( l p ) 1 l 0 2 8 1 0 3 ( = 0 0 5 ) ( n e w t o l l ) 8 0 4 0 0 0 例4同例3 ，用算法2 2 和算法2 4 解该特征值反问题加法问题。 取初始值为 c 【d ) = ( 1 0 0 ，2 0 0 ，3 0 0 ，4 0 0 ，5 0 0 ，6 0 0 ，7 0 0 ，8 0 0 ) 7 用算法2 2 得到值为 c 。= ( 2 0 6 5 9 9 ，7 6 7 3 1 3 ，1 0 9 3 2 3 ，3 0 5 5 3 6 ，5 0 6 4 8 0 ，6 4 0 6 2 5 ，4 2 5 4 3 l ，6 3 8 6 9 5 ) 1 同理利用算法2 4 得到解为 c 2 = ( 1 1 9 0 7 9 ，1 9 7 0 5 5 ，3 0 5 4 5 5 ，4 0 0 6 2 7 ，5 1 5 8 7 1 ，6 4 7 0 2 1 ，7 0 1 7 0 7 ，7 1 3 1 8 5 ) 1 发现利用算法2 2 计算的过程中，j a c o b i 矩阵几乎奇异的它的条件数比较的大 而用算法2 4 则没有这种情况发生。同样的，给出l p 迭代后的值 f = ( 1 1 9 0 8 3 ，1 9 7 1 0 8 ，3 0 5 4 4 8 ，4 0 0 6 0 4 ，5 1 5 7 9 5 ，6 4 4 3 7 9 ，7 0 3 6 9 1 ，7 1 3 8 9 2 ) 1 孑比较接近解岛。详细的迭代过程如表5 。 表5 利用算法2 2 和算法2 4 解例4 算法迭代次数c p u 时间 ln e w t o n4 64 7 2 6 0 l p - n e w t o n( l p ) 2 70 6 8 1 0 2 ( = 0 0 1 ) ( n e w t o n ) 4 o 1 8 l o 乙p n e w t o v ( l p ) 1 5 0 4 3 0 0 3 ( = 0 0 5 ) ( n e w t o n ) 5 0 2 3 1 0 从以上的例子，发现利用l p 迭代后不仅加快了收敛的速度，提高了效率， 而且使得初始值的选取的范围扩大了。下面给出的例子阶数比较小，是常义的含 参变量的实对称矩阵矩阵特征值反问题，但可以说明很多问题。 塑鱼查銮量笪塞墅整堑堕堑堑堕星旦星盟堑塞 例5 设 爿= ( ：； ，爿= ( 0 1 ：警 ，爿：= ( ? 。o i l 使得问题有给定的特征值刀= ( 一2 ，3 ) 。 给定的初始值为 c ( o ) = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 ) 7 利用算法2 2 得到解为 c ? = ( - 2 5 3 9 3 ，0 4 6 0 7 ) 1 利用算法2 4 得到的解为 c 2 = ( 1 2 1 2 6 ，- 4 2 1 2 6 ) 1 同样给出l p 迭代后得到的极限值为 石= ( 1 2 1 0 4 ，- 4 2 0 8 4 ) 7 详纽的迭代过程如表6 。 表6利用算法2 2 和算法2 4 解例5 算法迭代次数c p u 时间 1 算法2 21 90 0 3 0 0 2 ( l p ) l l 算法2 4 o 0 2 l o ( = o 0 5 ) ( n e w t o n ) 5 3 ( l p ) 1 4 算法2 4 0 0 2 5 0 ( = 0 0 1 )( n e w t o n ) 4 通过计算，解方程组( 2 1 8 ) 的n e w t o n 法对于初始值的选取有很大的依赖 性，如果初始值选取的不好。则迭代次数大的惊人，甚至可能产生奇异而不能收 敛。而结合l p 迭代后，用n e w t o n 法解非线性方程组( 2 1 8 ) 可以很快的收敛， 提高了效率，并且扩大了初始值的选取的范围，经过l p 迭代后，优化了n e w t o n 法的初始值。 2 2 给定部分特征值含参变量的实对称矩阵特征值反问题 以上讨论的问题均是给定的特征值、设计参数的个数及矩阵的维数均相同的 情形。然而在实际情况中给定的特征值的个数远远小于矩阵的维数。本节讨论给 定部分特征值情况下的特征值反问题。 7 一 一。一一二一，：拖，= 。 问题g 2 假设a ，4 ，a 。是给定的r t + 1 个实对称矩阵，耳，龙( 肌 胛) 且 耳 以是给定m 个实数，求参数c = ( q ，厶) 7 使雉降 1 4 宣室堕窒堕玉丕堂堡主兰焦笙塞 4 ( c ) = a + c 4 有特征值矸，正。 求解问题g 2 等价于求解如下的非线性方程组 f 。，： 扣 一斗 ：。或f 。，： 。，一z ：。，：。，研 i 以( c ) 一以i 2 2 1问题g 2 的一般提法及其基本性质 在问题g 2 有解时，可以将问题g 2 的求解描述为解最小二乘问题。设给定 n + 1 个实对称矩阵a ，爿，a 。，及m 个实数舛，z ( 卅s n ) ，且升 碟， 置换阵萨 盯l 一，盯。 ，其中l q 口。n 。定义f ：r “一r 为函数 1 m f ( c ，仃) = 去( ，( c ) 一0 ) 2 ( 2 2 ，1 ) i = 1 其中 ( c ) ，i = l ，h 是 一( c ) = 4 + c ，a ( 2 2 2 ) i = i 的特征值。求参数c = ( c l ，巳) 7 使得f ( c ，盯) 该函数达到最小。问题g 2 可以表述 为如下的优化问题。 问题l s g l 求c r ”和置换阵盯= 一，一，o - 使得 f ( f ，盯) = m j n f ( c ，口) ( 2 2 3 ) f - 口 其中f ( e ，盯) 如( 2 2 1 ) 定义。 利用特征值的连续性和紧性的有关理论，立即推知问题l s g l 总是有解的。 并且，如果对应问题g 2 或g 1 ( 此时m = n ) 有解c ，则c 也是对应问题l s g l 的解。 对于问题l s g l ，假设用烈( n ) 表示所有r 中正交矩阵的集合，d ”表示所 有r 护岍中正交矩阵的集合，并且设人。= 硪昭( 斗，) ，定义子集r 为 f = q d i a g ( a = ，a ) q 7i q 吼( n ) ，人e d ” ( 2 2 4 ) 和仿射子空间 吼= a ( c ) i c e r ” ( 2 2 5 ) 其中a ( c ) 如( 2 - 2 2 ) 定义。 因为r 包含了所有r “中以耳，龙为部分特征值的实对称矩阵，故贼和r 之间的最短距离其实是另外一种意义上的最小二乘逼近。故问题可描述如下。 问题l s g 2 求c r “。q e 啦( n ) 和人d ，使得函数 对含参变量的实对称矩阵特征值反问题的研究 g ( c ，q ，a