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几类全纯函数空间上的加权复合算子 摘要 这篇硕士论文集中了作者在攻读硕士学位期间的主要研究成果 复合算子的研究是解析函数理论与算子理论相结合的产物关于算子性质及 应用的问题，早在上个世纪六七十年代，人们就对此有所关注随后，人们又将其 推广得到加权复合算子，这是一类非常重要的具体算子类近几年来，对这类算子 的研究引起了国内外诸多数学工作者的兴趣，到目前为止，已获得了许多较为深 刻的结论本文在前人所做成果的基础上，进一步讨论复合算子和加权复合算子 的性质问题，对某些参考文献中的一些结果做了改进，并将其推广到更多的函数 空间上，使得这类算子的性质更加完善 这篇文章着重考虑，在单位圆盘上，几类全纯函数空间之间复合算子和加权 复合算子的两种性质：有界性和紧性我们主要应用算子、函数空间的定义以及 范数的一些相关性质，并选取适当的辅助函数或测试函数，找到与这类算子密切 相关的全纯函数乱和全纯自映射妒所应满足的条件，从而得到复合算子和加权复 合算子在各个不同的全纯函数空间上分别为有界算子或紧算子的充分必要条件 本文一共分为三章其中，第一章简要叙述了复合算子的研究背景、发展过 程以及研究价值和意义，并将本文后面章节中所要考虑的函数空间做了简单介 绍第二章我们讨论复合算子q 和加权复合算子锃g 的有界性。本章在三个 小节中分别讨论了：b m o a 空问到。一b l o c h 空问上加权复合算子u g ：b m o a _ 风、b e s o v 空间到b l o c h 空间上加权复合算子u o ：b ；，口一p 以及b e s o v 空 i 间到z y g m u n d 空间上复合算子q ：b p ，口_ z 的有界性问题，得到了它们为有界 算子的充分必要条件 在第三章中，我们研究复合算子c 0 和加权复合算子乱q 的紧性问题本章 在第二章所得结果的基础上，分别在相应的三小节中，讨论上述几个算予的紧性 通过寻找适当条件，利用复分析、泛函分析等学科中的一些性质定理，分别得到： b m o a 空问到c e - b l o c h 空间上加权复合算子u 巴：b m o a _ 风、b e s o v 空间到 b l o c h 空间上加权复合算子“c 0 ：岛，q _ p 以及b e s o v 空间和z y g m u n d 空间之 间的复合算子：b p ，口一z 、q ：z _ 岛，q 为紧算子的充分必要条件 关键词：加权复合算子；复合算子；有界性；紧性 i i w e l g h t e dc o m p o s i t l 0 n0 p e r a t o e so n s e v e r a lh o l o m o r p h l cf u n c t i o ns p a c e s a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o l l e c t st h em a i nr e s u l t so b t a i n e db yt h ea u t h o rd u r i n gt h ep e r i o d w h e ns h eh a sa p p l i e df o rt h em d s t u d yo fc o m p o s i t i o no p e r a t o r si st h ep r o d u c to fc o m b i n a t i o no f t h ea n a l y t i cf u n c d o nt h e o r ya n do p e r a t o rt h e o r y e a r l yi nt h es i x t i e sa n ds e v e n t i e so fl a s tc e n t u r y , p e o p l e h a v ec o n c e m e da b o u tt h ep r o b l e m so ft h en a t u r ea n da p p l i c a t i o no fc o m p o s i t i o no p e r a t o r s t h e n ，t h e yw e r eg e n e r a l i z e dt ot h ew e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r s ，t h i si sav e r y i m p o r t a n ts p e c i f i co p e r a t o rc a t e g o r y i nr e c e n ty e a r s ，r e s e a r c ho ns u c ho p e r a t o r sh a s a r o u s e dt h ei n t e r e s to fm a n yw o r k e r si nm a t ha th o m ea n da b r o a d s of a r , h a sa c q u i r e d am u c hm o r ep r o f o u n dc o n c l u s i o n s i nt h i sp a p e r , o nt h eb a s i so ft h er e s u l t sw h i c ho u r p r e d e c e s s o r sh a v ed o n e ，w ew i l lf u r t h e rd i s c u s st h en a t u r eo fc o m p o s i t i o no p e r a t o r s a n dw e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r s w ea l s oi m p r o v em a n yr e s u l t so fs o m el i t e r a t u r e r e f e r e n c e s ，a n de x t e n dt om o r ef u n c t i o ns p a c e s m a k et h en a t u r eo ft h eo p e r a t o r sm o r e p e r f e c t i nt h i sa r t i c l e ，w ef o c u s e do nt h et w on a t u r eo ft h ec o m p o s i t i o no p e r a t o r sa n d w e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r so ns e v e r a lh o l o m o r p h i cf u n c t i o ns p a c e so nt h eu n i t d i s c ：b o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s s m a i n l ya p p l yt h ed e f i n i t i o no fo p e r a t o r sa n dt h e r e l a t e dn a t u r eo fn o r m a n ds e l e c tt h ea p p r o p r i a t ea u x i l i a r yf u n c t i o no rt e s tf u n c t i o n ， i l l f i n dt h ec o n d i t i o n st h a tt h eh o l o m o r p h i cf u n c t i o n 乱a n dh o l o m o r p h i cs e l f - m a p 妒s h o u l d s a t i s f y t h u sw eo b t a i nn e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a tt h ec o m p o s i t i o no p e r - a t o r sa n dw e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r sa r eb o u n d e do p e r a t o r so rc o m p a c to p e r a t o r s i nd i f f e r e n th o l o m o r p h i cf u n c t i o ns p a c e s t h i sa r t i c l ei sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s o n eo ft h ef i r s tc h a p t e r , w eb r i e f l yd e s c r i b e st h er e s e a r c hb a c k g r o u n d ，d e v e l o p m e n tp r o c e s s ，r e s e a r c hv a l u ea n ds i g n i f i c a n c e o ft h ec o m p o s i t i o no p e r a t o r s a n dm a k eas i m p l ei n t r o d u c t i o no ft h ef u n c t i o ns p a c e s w ew i l lu s e di nt h eb a c ko ft h ec h a p t e r i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ed i s c u s st h eb o u n d e d n e s so ft h ec o m p o s i t i o no p e r a t o r sa n dw e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r s a n dr e c e i v e d t h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n s i nt h et h i r dc h a p t e r , o nt h eb a s i so ft h er e s u l t si nt h es e c o n dc h a p t e r , w ed i s c u s st h e c o m p a c t n e s so ft h ec o m p o s i t i o no p e r a t o r sa n dw e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r s a n d r e c e i v e dt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n s k e yw o r d s ： w e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r ；c o m p o s i t i o no p e r a t o r ；b o u n d e d n e s s ；c o m p a c t n e s s i v 浙江师范大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机 构已经发表或撰写过的研究成果其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中作了明确的声明并表示了谢意本人完全意识到本声明的法律结果由本人 承担 作者签名： 韩稿日期聊年妒月7 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关机关或机构送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和 借阅，可以采用影印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文同意浙江师范大 学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容 保密的学位论文在解密后遵守此协议 作者签名：韩毳导师虢多硝吡7嘲邛厂月吖日r 礓 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理 条例。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成 果、数据、观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名 称、作者、年份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和 版次等内容。论文中未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人( 研究生) ：韩肴 指导教师：彳弼，竹 1 1 加权复合算子概述 1 绪论 复合算子的研究是解析函数理论与算子理论相结合的产物，主要是利用解析 函数论中的方法与理论来研究算子理论中的某些基本问题，同时也以算子理论作 为工具来探讨函数论中的一些问题，相关的研究可以追溯到上个世纪6 0 年代中 期e r i c n o r d g r e n 的工作在其后的几十年中，人们对于复合算子给予了越来越 多的关注，并且沿着多种不同的函数空间进行推广，也由此得到了加权复合算子 从算子理论的角度看，加权复合算子是一类非常重要的具体算子类，在算子理论 中占有重要地位的乘积算子、复合算子和加权移位算子均是它的特例并且，加 权复合算子也是解析t o e p l i t z 算子的自然推广 七十年代末，c o w e n 为了解决d e d d e n s 和w o n g 在1 9 7 3 年提出的“在h a r d y 空间上是否存在一有界解析t o e p l i t z 算子与一非零紧算子可交换”这问题，对 加权复合算子进行了讨论，但未对其做更深入的研究 近年来，研究由全纯函数组成的各种b a n a c h 空间上复合算子、乘积算子以 及加权复合算子的相关性质问题十分活跃，也得到了很多非常深刻的结论，尤其 是对一些经典的全纯函数空间，如b l o c h 型空间、b e r g m a n 空间、h a r d y 空间等 函数空间上复合算子的研究，无论是单复变还是多复变情形，都有较多的结果 目前，对复合算子和加权复合算子的性质考虑较为频繁的是有界性和紧性 1 9 9 8 年，徐宪民就在文献【1 2 】中讨论了b l o c h 空间上的紧性；1 9 9 9 年，赵如汉在 【6 】中研究了单位圆盘上b l o c h 型空间到h a r d y 空间及b e s o v 空间上复合算子的 性质，得出该算子为有界算子和紧算子的充要条件；o h n o 和赵如汉在【l o 】中进 一步讨论了复合算子在经典b l o c h 空间上的相关性质随后，张学军又对这类 函数空间上复合算子和加权复合算子的性质做了更加深入的探讨，先后在文献 l 1 绪论 【1 3 】、【1 4 】、【1 5 】中分别对单复变和多复变的情形给出t p - b l o c h 空间、o t b l o c h 空问及u - b l o c h 空闻上复合算子和加权复合算子为有界算子和紧算子的条件 2 0 0 5 年，李颂孝研究了b m o a 空间到b l o c h 空间上加权复合算子的有界性，2 0 0 7 年，乌兰哈斯在【l 】中讨论了b m o a 空间和v m o a 空间上复合算子的紧性；在此 期间，唐笑敏等人又考虑了b e r g m a n 空间和b l o c h 型空间及b e r s 型空问之间复 合算予与加权复合算子的有界性和紧性最近，李颂孝等人又引入了新的全纯函 数空间一z y g m u n d 空间，并在【8 】中研究了此空间和b l o c h 型空间之间广义复 合算子的性质，得到了一些较好的结论虽然，对这类算子的研究已经非常广泛， 并且也得到了很多比较深刻的结论，但是仍有很多尚末解决的问题比如，在单位 圆盘上得出的结论是否都能够推广到单位球或多圆柱上以及用什么方法去解决 等等 在研究复合算子和加权复合算子的过程中，人们逐渐发现，这类算子在随机 过程、动力系统和遍历理论等诸多方面均起着重要作用，它的重要性已远远超出 了算子理论本身的范围因此，对加权复合算子进行深入研究还是非常有意义的 1 2 一些记号与定义 首先，我们将本文中所要用到的记号和涉及的算予以及函数空间的定义简要 介绍如下： 设d = ( z ： 1 ) 是复平面上的单位圆盘，o d 是单位圆周，h ( d ) 表示d 上全纯函数的全体，h ( d ，d ) 表示d 到d 上全纯自映射的全体 本文中的c 表示与变量z 、叫等无关的正常数，为方便起见，不同位置的 c 可以表示不同的数符号“”表示量的等价，即若a b ，则存在c ，使得 c 一1 b a c b 定义1 1 设 t t 日( d ) ，垆n ( m ，d ) ，则h ( d ) 上的复合算子。定义为： c p l = lo 咿，v f h 0 矾 一2 一一一 1 绪论 h ( d ) 上的加权复合算子让巳定义为： 乱g ，= u fo 妒，v f 日( d ) 显然，当u = 1 时，加权复合算子u o 就是复合算子o 定义1 2 设0 p ，函数f h ( d ) ，若 剐= ，l i 。m 。去上i ( - f f r e 招) l p d p 。o ； 1 i i f l l h 一= s u pi ，( 2 ) i o 。， z e d 则称函数，属于h a r d y 空间俨 定义l - 3 设v 。d ，记( 名) = 三乏为d 上的m s b i u s 变换，如果函数 f h ( d ) ，且满足 川。= s u pi i ，oo r a f ( a ) l l m ： ( 3 0 ， a e d 则称，属于b m o a 空间根据泛函分析知识不难验证，该空间在范数 i i f l i b m o a = l ，( o ) l + i i f l l + 下是一个b a n a c h 空间 由著名的j o h n n i r e n b e r g 定理可以得到，对于0 p ，下列等价关系式 成立： i i ：1 1 + s u p | l ，oo a f ( a ) l l h , 由文献 1 】又有： i i ：1 1 + s u p l ，k ) 1 2 ( 1 一l ( t a ( z ) 1 2 ) d a ( z ) ， ( 1 1 ) a e djd 其中d a ( z 1 = d x d y 是d 上的二维l e b e s g u e 测度 一3 一 1 缔论 定义1 4 设0 q o o ，o l b l o c h 空间风和小q - b l o c h 空间凡，0 分别定义如下： 风= ，日( d ) i l f l l q = 骝( 1 咔t 2 h 川l ) ； 胁= ，日( 巩l ! 离( 1 卟1 2 h 荆l = 。_ ) 显然，风在范数j i f l b 。= i - 厂( o ) l + l l 刘q 下是一个b a n a c h 空间，风，0 是凡的一个 闭子空间特别地，当o l = 1 时，风即为经典的b l o c h 空f u - jp ，风o 即为小b l o c h 空间阮 定义1 5 设0 p o o ，一1 q o o ，若函数厂满足t y , j 条件： ，日( d ) ，且| l 列；，q = 1 厂7 ( z ) f p ( 1 一h 2 ) qd m ( z ) jd 其中d m ( z ) 是d 上的l e b e s g u e 面积测度，则称函数厂属于b e s o v 空间岛，q 另外，当参数p 、g 在不同范围内取值时，此空间即为某些熟知的函数空 间如当p = 2 时，b 2 ，g = d q 是加权d i r i c h l e t 空间；由文献 2 】和 3 】可知，当 1 p 0 0 时，b p ，p 一2 = 廓为解析b e s o v 空间，并且j e i ；cp ，范数l i f l b 和i i f l l s ， 都是m 6 b i u s 不变的；又由【3 】中的定理4 2 9 得，当l p o o 时，b r , ，p = 理是 b e r g m a n 空间 定义1 6 设函数厂h ( d ) nc ( 一d ) ，且满足 i l f l l ：s u p 躞竺竿学堂趔 0 ，则称函数，属于z y g m u n d 空间z 由文献【4 】中的定理5 3 和闭图象定理可知，函数f z 的充要条件是 s u p ( 1 l z l 2 ) i f ( z ) i o o i l f i l e = 1 厂( o ) l + l ，7 ( o ) l + s u p ( 1 一l z l 2 ) i ，( z ) i ，( 1 2 ) 1 绪论 易知，z 在范数怯下是一个b a n a c h 空间 若函数，满足下列关系式： 扣t i m 。( 1 一阡) i f ( 名) l = o ， 则称，属于小z y g m u n d 空间，记为z o 显然，z o 是z 的一个闭子空间 由( 1 2 ) 式，经计算易得下列关系式成立： m ) 一，( o ) l c i l f l l zl o g 南， 本文在前人所得成果的基础上，着重研究上述定义巾的几个全纯函数窄间上 复合算子和加权复合算子的一些性质问题，得到这类算子在不同函数空间上为有 界算子或紧算子的充分必要条件 一5 一 2 复合算子和加权复合算子的有界性 在这一章，我们主要考虑四个全纯函数空间：b l o c h 空间、b m o a 空间、 b e s o v 空间、z y g m u n d 空间之问复合算子g 和加权复合算子“q 的有界性问 题利用泛函分析、复分析、实变函数等学科中的相关性质、定理，通过寻找适 当条件以及测试函数，从而得出这类算子在各个不同函数空间上为有界算子的充 分必要条件 此部分的结构如下：第2 1 节中，我们讨论得出b m o a 空间到o l b l o c h 空问 上加权复合算子u 已是有界算子的充要条件在第2 2 节，我们将研究b e s o v 空 间和b l o c h 空间之间加权复合算子u g 为有界算子的充要条件在第2 3 节，我 们将证明使得b e s o v 空间和z y g m u n d 空间上的复合算子巳为有界算子的充分 必要条件 。 2 1b m o a 空间到o l b l o c h 空间上加权复合算子的有界性 在参考文献 5 】中，李颂孝研究了b m o a 空间到b l o c h 空间上的加权复合算 子u 既：b m o a p 的有界性，得出它为有界算子的条件本节在此基础上，对其 结果做了一些改进主要证明了b m o a 空间到a b l o c h 空间上的加权复合算子 u 巴：b m o a _ 凡有界的充要条件为了得到主要结果，我们需要如下引理： 引理2 1f 5 】设任意函数厂b m o a ，则有下列不等式成立： i f ( z ) tsc i i f l l 山g 南； 1 ) ( 1 一2 ) 1 ( 名) l c l l l l + ( 2 2 ) 6 2 复合算子和加权复合算子的有界性 本节的主要结果及其证明过程如下： 定理2 1 设u h ( d ) ，9 h ( d ，d ) ，则加权复合算子乱g ：b m o a _ 风是有 界算子的充要条件是以下两个式子成立： s 舢u p 矧蒜m 咖他) i o 。； s u p ( 卜口l 让k ) ll ogzed南1 z 。o 一l 妒k ，。 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 证明：首先证明必要性，即由加权复合算子仳。的有界性得到( 2 3 ) 和( 2 4 ) 式， 其关键是要找到合适的测试函数 设算子钆o ：b m o a _ 尻有界取常值函数f ( z ) 三1 ，则u = u g ，风 任取一点w d ，令函数九( z ) = _ 等，由等价关系( 1 1 ) 式易得函数 l 一妒l j z 门 厶b m o a ，且i i f 硼l l + r = 1 云研。于是，由不等式的性质得 l u q 厶l l 风( 1 一l 仞1 2 ) q l ( 乱。凡) ( 伽) ( 1 一j 叫1 2 ) a l 饥( 叫) 妒7 ( 叫) | i 尼( 妒( 叫) ) i 一( 1 一l 叫f 2 ) a i 让7 ( w ) f w ( 妒( 叫) ) ( 1 一1 w 1 2 ) a i u ( 伽) 妒7 ( 叫) i ( 1 一 叫1 2 ) 口1 l , 7 ( 叫) 妒( 叫) i =- ( 1 一i 妒( 叫) 1 2 ) 21 一i 妒( 叫) 1 2 又由范数的性质，有 陋g 圳如 i i u 驯i i f 删l l + c l l f 硼l l 。赢 因此，我们得到 ( 1 一f 叫1 2 ) a i u ( 埘) 妒7 ( 叫) 一， c ( 1 一| 砌 2 ) q l 扎7 ( 叫) 妒( 凹) l ( 1 一i 妒( 叫) 1 2 ) 2二1 一l v ( w ) 1 2 。1 一f 妒( 叫) 1 2 2 复合算子和加权复合算子的有界性 上式两边同乘以( 1 一i 妒( 伽) 1 2 ) ，得 芝j 古鲁考言i 乱( 叫) 妒7 ( 伽) i c + ( 1 一l 叫f 2 ) q i 。( 叫) l l 妒( 训) i 因为i 妒( 叫) l 1 ，又u 风，故( 1 一l 叫1 2 ) a l ) | l 妒( ”) l c 所以，由伽的任意 性即证得( 2 3 ) 式 对于( 2 4 ) 式，我们取测试函数厶( z ) = l 。gr 丽2 同理，由( 1 1 ) 式经简 单计算知厶b m o a ，且l i 丸队c 根据范数和不等式的性质，有 | | 乱q l 厶虬i i u g 厶恢 ( 1 一i 叫1 2 ) a i ( 叫) 厶( 妒( 叫) ) + u ( 叫) 妒7 ( ) 尼( 妒( 叫) ) ( 1 一i 1 2 ) a l u ( 如) 1 l 厶( 妒( 伽) ) l 一( 1 一l 叫1 2 ) 口l u ( 伽) 妒( 叫) i 丘( 妒( 叫) ) l = ( 1 - l 叫j 2 ) a l ( 叫) l1 。g 南一壬毛j 古葛寻声l u ( 叫) ( 伽) 1 1 妒( 叫) 1 因为算子札g ：b m o a _ 风有界，所以 钆o i 厶肌v i i 厶队c 又由于l 妒( 叫) | 1 ，故利用( 2 3 ) 式得 ( 1 - j 叫1 2 ) q ( 叫) ll 。g 南e + 三篆i 乱( 叫) ( 似) isc 于是由砌的任意性即得证 其次证明充分性，只要利用引理及不等式的相关知识即可证得 设( 2 3 ) 、( 2 4 ) 式成立，则对任意函数f b m o a 和任意点z d ，我们 2 复合算子和加权复合算子的有界性 根据引理2 1 有 ( 1 一i z l 2 ) ai ( 钍( z ) ( 1 一i z l 2 ) q l u 7 ( z ) jj ，( 妒( z ) ) i + ( 1 一j zj 2 ) a j 乱( z ) 妒7 ( z ) jj f 7 ( 妒( z ) ) i 冬( 1 一1 名1 2 ) q l ( z ) l c i i f l l + 1 。gi 二= _ t 墨i ；了f + ( 1 一l z l 2 ) a i u ( z ) 妒7 ( z ) i _ 硎川。 又因为 l ( u c q o f ) ( 0 ) l = m 。) ll f ( 们) ) l 外( 0 ) l c l l f t l , l o gf 淼硎刘+ 于是i l u o f l l 风= i ( u 似o ) i + u c 妒f l l a c i i l l 。 因此加权复合算子札q ：b m o a _ 风有界 口 据第一章的定义1 4 我们知道，风。是风的闭子空间，所以由定理2 1 可以 直接得到下列推论： 推论2 1 设u h ( d ) ，妒h ( d ，d ) ，则加权复合算子u o ：b m o a 一凡，。是 有界算子当且仅当下列条件成立： ( 1 ) 对任意函数f b m o a ，有他o ，风，。； ( 2 ) s ：u 。p 毛三乇篆善皋l “( z ) ( 名) l 。，j j s ：u 。p ( 1 一i z i 2 ) q 乱( z ) 1 。g 高 。 由定理2 1 还可以得到关于复合算子巴的相应结果： 推论2 2 设妒h ( d d ) ，则对于复合算子：b m o a 一风，下列结论成立： ( 1 ) 当q 1 时，算子g 必有界； ( 2 ) 当。 口 i 时，算子以肴界当且仅当! 器呈j 安弊矽( 名) l o 。 2 复合算子和加权复合算子的有界性 证明：( 1 ) 当a 1 时，由s c h w a r z p i c k 引理得 瓣批胚高躲l 1 故由定理2 1 知，复合算子：b m o a _ 风必有界 ( 2 ) 当0 q 1 时，由定理2 1 即得 由定理2 1 中的( 2 4 ) 式，经简单计算变换可以得到下列条件： “风，承l i m 吖卜q l 讹k ) i = o 此条件在讨论加权复合算子的紧性时会有所帮助 2 2b e s o v 空间和b l o c h 空间之间加权复合算子的有界性 口 b e s o v 空间是常见的函数空间在1 9 9 9 年，赵如汉就在文献【6 】中讨论了 b l o c h 空间到解析b e s o v 空间上复合算子既的有界性和紧性近年，唐笑敏等人 在文献 7 】中研究了b e r g m a n 空间和b l o c h 型空间中q 的相关性质本节在此 基础上讨论了b e s o v 空间到b l o c h 空间上加权复合算子u 巴的有界性，并由此 给出g 的相应结论在证明主要结果的过程中需要下列引理： 引理2 2 设0 p o o ，- 1 g o o ，则对函数空间岛，q 巾的任意函数厂有 l ，也) i 必，并且 ( 1 一f z l 2 ) 7 ，( z ) l c l l f l l p ，g ( 卜i z l 2 ) 宁一1 0 p 2 + 口 一1 0 一 2 复合算子和加权复合算子的有界性 证明：因为对任意的名d ，有f ( z ) 一，( o ) = ，7 ( ) 必，所以 ，名 ，0 l ，( z ) i i ，( o ) l + f l z l1 厂能) i 鹰 - ，0 由l ，7 ( z ) l p 的次调和性，知 i f | p 南k 学i f 删p d m ( 毗 由于对任意的伽 伽：i w - - 2 ；l 三j 丝) ，有1 一l z j 2 1 - i 加1 2 ，因此 l 删l p 1 ，即0 p 2 + q 时， p 南必赤 删w 朋卅高1 耘2 - - j 高1z 耘i 2 ( 一1 彳f l1 彳叫 2 复合算子和加杈复合算子的有界性 ( 2 ) 当型生：1 ，即p ：2 + q 时， p 南妒弘1g 两1 + i z l 譬1g 南 i f ( z ) l l 们) l + 弘1g 南c i l f l l 则 c ( 1 + 弘1g 南) 舢 卯i i f l l p , ql o gf 评。 ( 3 ) 当0 2 + q 2 + q 时， 障i 南必c ( 1 一l z l 2 ) 卜字c 所以，l ，( z ) i i | 厂( o ) i + c i i f l l n 。j i f l l 鼽。+ c l l f l l p ，口= cj l f l l 鼽q 口 利用上述引理，我们可以得到本节的主要结果： 定理2 2 设函数 h ( d ) ，妒h ( d ，d ) ，且0 p 0 0 ，一1 口 0 0 ，则加 权复合算子钍：屏，g _ 是有界算子的充要条件是 s 舢u p 噤鬻秽一， 协5 ， z d ( 1 一l 妒( z ) 1 2 ) 彳 并且 ( 1 ) 当o p 2 + q 盹s z d u p 器锄； z d ( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) 亨一1 ( 2 ) 当p2 2 十q 时，：酱( 1 一2 ) i 钍7 ( z ) l l o g r 云开 2 十q 时，“p 2 复合算子和加权复合算子的有界性 证明：首先假设( 2 5 ) 式成立，并且满足条件( 1 ) 一( 3 ) 当0 p 2 - t - 口两种情况，由引理2 2 ，与上同理可证得 其次证明必要性与定理2 1 必要性的证明同理，其关键是要找到适 当的测试函数设加权复合算子乱o ：岛，。_ p 有界任取w d ，记 e 1 = 叫d ：妒( 伽) = o ) ，易= w d ：妒( 彬) o ) 当w e 1 时，取函数厂( z ) 三1 岛，q ，则u = u g ，p ，南定义得 。 s u p ( 1 一2 ) l ( _ z ) l o 。( 2 6 ) ：d 取函数f ( z ) = z 屏，g ，则妒p ，故 s u p ( 1 一l z l 2 ) l u 7 ( z ) 妒( z ) + 乱( z ) 妒7 ( z ) l 。o ( 2 7 ) o d 由( 2 6 ) 、( 2 7 ) 两式以及i 妒( z ) f 1 ，得s u p ( 1 一2 ) i 乱( z ) ( z ) l 所以， z d 坚 = j 竺 警掣：( 1 一1 w 1 2 ) l 乱( 叫) 妒，( 硼) l c 弋了二1 ；石历矿2 。上一l 乱叫妒。础川。 2 复合算子和加权复合算子的有界性 当w 岛时，令函数 胁，= 高 潜一斋 ， 经计算估计得厶b p ，口，且l l 厶l i p ，。c 因为厶( 妒( 叫) ) = 0 ，咒( 妒( 叫) ) = ( 1 一i 妒( 叫) 1 2 ) 学 所以 i f 乱。厶i i p ( 1 一i 叫1 2 ) i ( 乱。厶) 7 ( 叫) ( 1 一 叫1 2 ) i 让( 叫) p ( 叫) l 2 1 丽矿( 1 一j 妒( 叫) 1 2 ) 守 由于加权复合算子u o ：b ，q _ p 有界，故 l u o 凡l i p l l 札q l l l l f , 。i i 鼽q e l l 厶1 i 鼽q c 综上，由w 的任意性即证得( 2 5 ) 式 ( 1 ) 当0 p 2 + 口时，对任意的w d ，令函数 胁) = 警瓦表芦一2 + q i - 妒一( w ，) ，l i 尹， 则有凡b p i g ，且i l 九q c 由于厶( 妒( 伽) ) = 咒( 妒( 叫) ) = 0 ，故 ( 1 一l 妒( 叫) 1 2 ) 宁一1 i l 诅q 厶j b ( 1 一i 叫1 2 ) l ( “o ) 7 ( 伽) i = ( 1 一i 叫i 2 ) i ( 叫) ，( 妒( 叫) ) l = 若 = 器 由加权复合算予仳巴的有界性和w 的任意性，( 1 ) 即得证 2 复合算子和加权复合算子的有界性 ( 2 ) 当p = 2 + 口时，令函数厶( z ) = 1 0 9r 丽2，易知厶岛，口，且 厶忆口c 因为 l i z , c 妒f w j | 卢( 1 一i 叫1 2 ) l u 7 ( 叫) 厶( 妒( 叫) ) + 乱( 加) 妒7 ( 叫) f - ( 妒( 加) ) l ( 1 一i 伽1 2 ) l ( 叫) i ，。g 南一q 二= 垫；芝当琵掣 并有i i u c 0 厶怕c l l a 忆q c 及l 妒( 叫) i 2 + q 时，令s ( z ) 三1 昂，q ，即有u = u o ，p 口 推论2 3 设函数“h ( d ) ，妒h ( d ，d ) ，且0 p 。，一1 q o o ，则加 权复合算子“o ：岛，口一岛是有界算子的充要条件是对任意的，岛，。，有 让g ，阮，并且满足定理2 2 中的( 2 5 ) 式及条件( 1 ) 一( 3 ) 上述推论是定理2 2 的直接结果特别地，当= 1 时，由定理2 2 及 s c h w a r z p i c k 引理可以得到复合算子o ：岛，口_ p 的有界性： 推论2 4 设妒h ( d ，d ) ，且0 p o o ，一l q o o ，则有如f 结论： ( 1 ) 当p22 + q 时，复合算子q ：b p ，q _ p 总是有界算子； c 2 ，当。 p 2 + 口时，g ：岛，q p 有界当且仅当s 。u 。p 罟描 o o 2 3 b e s o v 空间和z y g m u n d 空间上复合算子的有界性 本节在前两节以及文献 8 】的基础上，着重研究b e s o v 空间到z y g m u n d 空间 2 复合算子和加权复合算子的有界性 上复合算子g 的有界性为了得到本节的主要结果，我们需要如下引理： 引理2 3 对空间b p ，口中的任意函数厂及v z d ，有1 厂7 ( 名) i i 以训器 c m k ( 1 一阡) 宁 该引理由文献 9 】和次调和函数的性质易证得，故而此处证明从略 这一节的主要结果有下列定理及推论： 定理2 3 设妒h ( d ，d ) ，则复合算子o ：屏，。_ z 有界的充要条件是 supz6d辨1 一； 8 ， ( 一i 妒( z ) 1 2 ) 亨 、。 且 s 湖u p 滞一 仁9 ， 证明：首先假设( 2 8 ) 、( 2 9 ) 成立设任意函数厂昂，口，由引理2 3 得 ( 1 一j z l 2 ) i 妒( 名) ，7 ( 妒( 名) ) l - t - ( 1 一l z l 2 ) i 妒7 ( 名) 1 2 l ，( 妒( 名) ) 滞刀盯一篇c 忖b 所以，由( 2 8 ) 和( 2 9 ) 式即得复合算子o ：b 舢_ z 有界 反之，取函数f ( z ) = z 岛，q ，则妒= o f z ，由定义有 s u p ( 1 一h 2 ) 杪( z ) l ，e 2 = 加d ：妒( 叫) 0 ) 任取w d ，当 l u e 1 2 复合算子和加权复合算子的有界性 时，由( 2 1 0 ) 式有 睾f 舞= ( 1 一l 叫 2 ) i 妒( 伽) i c ( 1 一l 妒( 砌) 1 2 ) 节 当叫e 2 时，令函数， 胁，= 高 ( 1 + 象) 捌器 经计算易得丸岛，q ，且i l 厶口c 由于咒( 垆( 叫) ) = 咒( 妒( 训) ) = 0 故 q 丸l z2 ( 1 一l 伽1 2 ) l ( o 厶) ( 叫) l ( 1 一i 妒( 删) 1 2 ) 宁 = ( 1 一i 叫1 2 ) i 妒( 叫) 兄( 妒( 彬) ) + 【妒7 ( 叫) 】2 咒( 妒( 叫) ) ( 1 一| w 1 2 ) l 7 ( 叫) f 2i 一_ = 西 ( 1 一i 妒( 伽) 1 2 ) 节 因为复合算子g ：昂，。一z 有界，所以 。九s1 | o l l | | 九l l p ，。e l l 厶l l p ，q c 于是，由 t o 的任意性，( 2 8 ) 式得证 取函数f ( z ) = z 2 岛，q ，则妒2 = o ，z ，据定义1 6 有 s u p ( 1 一i z l 2 ) l 妒2 ( 2 ) 】l = s u p ( 1 一i zj 2 ) 2i 妒( z ) 】2 + 妒( z ) 妒( z ) l o o z e do d 2 复合算子和加权复合算子的有界性 因i 垆( z ) i 1 ，故由上式及( 2 1 0 ) 式得 s u p ( 1 一i z l 2 ) i 妒k ) 1 2 0 ( 3 ( 2 1 1 ) z e d 对任意的叫d ，当伽毋时，由( 2 1 1 ) 式，有 曼l 二竺熙：( 1 一l 叫l z ) i 妒，( 叫) l 。c ( 1 一j 妒( 叫) 1 2 ) 字+ 1 r r 叫川r 叫一一 当加岛时，令函数 胁，= 志 赤器 则有厶b p 且l i 九p ，a 。因咒( 妒( 叫) ) = 0 咒( 垆( 叫) ) 2 石= 葫， 所以我们可以得到 i l q 厶l f z ( 1 一1 w 1 2 ) f 妒7 ( 训) 2 咒( 妒( 叫) )